12.3 复数的几何意义（2个知识点+6类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（苏教版2019必修第二册）

12.3 复数的几何意义 课程标准 学习目标 （1）能类比平面向量加、减运算的几何意义，探索复数加、减运算的几何意义，能用自己的语言解释复数加、减运算的几何意义． （1）了解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系. （2）掌握实轴、虚轴、模等概念. （3）理解向量加法、减法的几何意义，能用几何意义解决一些简单问题． 知识点01 复数的几何意义 1、复平面、实轴、虚轴： 如图所示，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴 知识点诠释： 实轴上的点都表示实数．除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 2、复数集与复平面内点的对应关系 按照复数的几何表示法，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应． 复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即 复数复平面内的点 这是复数的一种几何意义． 3、复数集与复平面中的向量的对应关系 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，所以，我们还可以用向量来表示复数． 设复平面内的点表示复数，向量由点唯一确定；反过来，点也可以由向量唯一确定． 复数集和复平面内的向量所成的集合是一一对应的，即 复数平面向量 这是复数的另一种几何意义． 4、复数的模 设，则向量的长度叫做复数的模，记作． 知识点诠释： ①两个复数不全是实数时不能比较大小，但它们的模可以比较大小． ②复平面内，表示两个共轭复数的点关于x轴对称，并且他们的模相等． 【即学即练1】（2025·高一·辽宁大连·期中）复数对应的点在第四象限，则角是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】B 【解析】因为复数对应的点在第四象限，则， 因此，角是第二象限角. 故选：B. 知识点02 复数的加减运算的几何意义 1、复数的表示形式： 代数形式：（） 几何表示： ①坐标表示：在复平面内以点表示复数（）； ②向量表示：以原点为起点，点为终点的向量表示复数． 知识点诠释： 复数复平面内的点平面向量 2、复数加、减法的几何意义： 如果复数、分别对应于向量、，那么以、为两边作平行四边形，对角线表示的向量就是的和所对应的向量．对角线表示的向量就是两个复数的差所对应的向量． 设复数，，在复平面上所对应的向量为、，即、的坐标形式为，以、为邻边作平行四边形，则对角线对应的向量是， 由于，所以和的和就是与复数对应的向量． 知识点诠释： 要会运用复数运算的几何意义去解题，利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理 【即学即练2】（2025·高一·福建龙岩·期中）已知复数及复数． (1)求，并在复平面内用向量表示出其运算的几何意义； (2)求． 【解析】（1）复数． 如图，． （2）． 题型一：复数与复平面内的点的关系 【典例1-1】（2025·高三·四川自贡·期中）在复平面内，复数对应的向量分别是，则复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】由题意得， 则， 对应的点为，位于第三象限. 故选：C 【典例1-2】（2025·高三·北京·阶段练习）在复平面内，复数满足，则复数对应的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以对应的点的坐标是， 故选：A. 【方法技巧与总结】 利用复数与点的对应关系解题的步骤 （1）找对应关系：复数的几何表示法即复数可以用复平面内的点来表示，是解决此类问题的根据． （2）列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程（组）或不等式（组）求解． 【变式1-1】（2025·高一·安徽黄山·期中）若复数的共轭复数对应的点在第一象限，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】B 【解析】由题，，对应的点在第一象限， 则，可得，又为整数，所以． 故选：B． 【变式1-2】（2025·高一·全国·课后作业）复数在复平面内对应的点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】由复数， 可得其在复平面内对应的点为，位于第二象限． 故选：B． 【变式1-3】（2025·高三·江苏南京·学业考试）在复平面内，复数z对应的点Z在第二象限，则复数对应的点所在象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【解析】由在复平面内，复数z对应的点Z在第二象限，设， 则，显然， 所以点在第一象限，A正确. 故选：A 题型二：复数与复平面内的向量的关系 【典例2-1】（2025·高一·全国·课时练习）设复数对应的向量为，复数对应的复数为，则（　　） A．按逆时针旋转，再拉伸2倍得到 B．按顺时针旋转，再拉伸2倍得到 C．按逆时针旋转，再压缩倍得到 D．按顺时针旋转，再压缩倍得到 【答案】A 【解析】因为，即， 所以复数对应的向量为，复平面内对应的点为，按逆时针旋转，得到对应的点为，对应复数为，再拉伸2倍得到点，即得到. 故选：A. 【典例2-2】（2025·高三·北京大兴·期末）已知复数z对应的向量如图所示，则复数z+1所对应的向量正确的是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由图可知，所以，则复数z+1所对应的向量的坐标为．故A正确． 【变式2-1】（2025·高三·江苏常州·期末）在复平面内，复数对应的向量为，复数对应的向量为，那么向量对应的复数是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得，，， 则对应复数1. 故选：A． 【方法技巧与总结】 复数与平面向量的对应关系 （1）根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量． （2）解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化． 【变式2-2】（2025·高一·河南郑州·阶段练习）复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】复数与分别表示向量与， 因为，所以表示向量的复数为. 故选：D. 【变式2-3】（2025·高一·全国·课时练习）向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由复数的几何意义知：对应的复数为． 故选：A． 题型三：复数加减法的几何意义 【典例3-1】（2025·高一·全国·课后作业）已知复数，试在复平面上作出下列运算结果对应的向量： (1)；                 (2)． 【解析】（1）设复数对应的向量为． 　　　图1 设复数对应的向量为，则两个复数的差对应两个向量的差，如图①所示，即为 （2）设复数对应的向量为，则两个复数的差对应两个向量的差，如②所示，即为． 图2 【典例3-2】（2025·高一·全国·课后作业）如图所示，已知复数，所对应的向量，，它们的和为向量．请根据两个向量相加的运算写出对应的复数运算过程． 【解析】， 对应的两个复数相加的运算过程： 【方法技巧与总结】 复数与向量的对应关系的两个关注点 （1）复数（）是与以原点为起点，为终点的向量一一对应的． （2）一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应的复数可能改变． 【变式3-1】（2025·高一·全国·课时练习）已知平行四边形ABCD中，与对应的复数分别是3＋2i与1＋4i，两对角线AC与BD相交于P点. （1）求对应的复数； （2）求对应的复数； （3）求△APB的面积. 【解析】由题意，画出平行四边形如下图示 （1）在平行四边形ABCD中，有 ∴有 = (1＋4i)－(3＋2i)＝－2＋2i 即对应的复数是－2＋2i （2）∵= (3＋2i)－(－2＋2i)＝5 即对应的复数是5 （3）∵ ∴，而， 即 ∴cos∠APB＝，故sin∠APB＝ 故 即的面积为 【变式3-2】（2025·高一·福建龙岩·期中）已知复数及复数． (1)求，并在复平面内用向量表示出其运算的几何意义； (2)求． 【解析】（1）复数． 如图，． （2）． 【变式3-3】（2025·高一·全国·课后作业）设向量及在复平面内分别与复数z1＝5＋3i及复数z2＝4＋i对应，试计算z1－z2，并在复平面内表示出来 【解析】解: z1－z2＝(5＋3i)－(4＋i)＝(5－4)＋(3－1)i＝1＋2i， ，则即为z1－z2所对应的向量，如图所示， 根据复数减法的几何意义：复数z1－z2是连接向量,的终点，并指向被减数的向量所对应的复数. 题型四：复数的模及其应用 【典例4-1】（2025·全国·模拟预测）已知复数和满足，，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【解析】题设等价为向量满足，求， 因为 又,所以， 故选：B 【典例4-2】（2025·黑龙江牡丹江·三模）设复数，满足，，则（    ） A． B． C． D．4 【答案】A 【解析】设因为,所以. 又,所以则ac+bd=-2， 所以 故选:A. 【方法技巧与总结】 复数模的计算 （1）计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算．虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小． （2）设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求解． 【变式4-1】（2025·高二·福建三明·期末）设复数满足，且，则= ． 【答案】 【解析】因为，所以， 又， 所以， 所以. 故答案为： 【变式4-2】（2025·高一·山东济南·期中）设复数，满足，，，则 ． 【答案】 【解析】设， 则，，， 由于，， 所以，整理得：， 所以 . 故答案为：. 【变式4-3】（2025·福建漳州·一模）已知复数，在复平面内，复数，对应的点分别为，，且点与点关于直线对称，则（    ） A． B． C． D．5 【答案】A 【解析】因为，所以点 因为点与点关于直线对称，所以. 所以 故选:A. 题型五：复数模的几何意义 【典例5-1】（2025·高三·云南昆明·期末）在复平面内，为原点，两点对应的复数分别为，，若四边形为平行四边形，则点对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设点对应的复数为，由，可得， 所以，则. 故选：A. 【典例5-2】（2025·高一·全国·课后作业）如图，设向量，，所对应的复数为，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，由题图可知，， 则不成立，故A错误； 对于B，，则不成立，故B错误； 对于C，，不成立，故C错误； 对于D，，所以有，故D正确. 故选：D 【方法技巧与总结】 复数模的几何意义可以延伸为表示复数对应的点与原点之间的距离，从而可以用数形结合解决有关的问题，考查直观想象素养． 【变式5-1】（2025·高一·山东青岛·期中）在复平面内，复数对应的点为，复数对应的点为，则对应的复数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得，故对应的复数为. 故选：B 【变式5-2】（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）复平面内三点所对应的复数分别为，若四边形为平行四边形，则点对应的复数为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【解析】由题意知三点的坐标为， 设复平面内点，则， 又四边形是复平面内的平行四边形，则，则，解得，则． 故选:B． 【变式5-3】（2025·江苏淮安·模拟预测）在复平面内，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是，，0，则第四个顶点对应的复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，正方形的三个顶点对应的坐标为，，， 设第四个顶点为，由，则， 所以为正方形的对角线，则， ，解得， ，即第四个顶点对应的复数为. 故选：B. 题型六：复数的轨迹与最值问题 【典例6-1】（2025·高一·全国·课后作业）如果复数z满足，那么的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【解析】设复数，，在复平面内对应的点分别为，，， 因为，， 所以复数z对应的点Z的集合线段，如图所示， 所以求的最小值的问题转化为：动点Z在线段上移动，求的最小值． 因此作于，则与的距离即为所求的最小值，， 故的最小值是1． 故选：A． 【典例6-2】（2025·高一·山东青岛·期末）已知i为虚数单位，复数z满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【解析】设，则，得 ， 所以，化简得， 所以， 所以 ，当时取等号， 所以的最小值为. 故选：A 【方法技巧与总结】 利用几何意义进行转化． 【变式6-1】（2025·高三·广东·开学考试）已知，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【解析】设，则， 而. 故由可解得，故， 于是，故的最小值为1. 故选：A. 【变式6-2】（2025·高三·四川成都·期中）在复平面内，复数的虚部为3，复数满足条件 ，则的最小值为（    ） A．0 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】由复数的虚部为3，可知在复平面内，复数对应的点在直线上， 又复数满足条件，可得复数表示的点在以为圆心，半径为1的圆上. 而则表示直线上的点到圆的点的距离. 如图所示，则当点共线(在之间)且与直线垂直时距离最小， 最小值为. 故选：B. 【变式6-3】（2025·高三·河北沧州·阶段练习）已知复数z满足，则的最大值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【解析】在复平面内，z与对应的点，关于x轴对称， 而满足条件的点的集合是以为圆心，2为半径的圆，该圆关于x轴对称， 因此，由复数的几何意义知表示点与点的距离， 又圆上的点到的距离最大值为5， 所以的最大值为5. 故选：B 【变式6-4】（2025·高二·湖北·阶段练习）若，是虚数单位，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可得，① ， 由， 所以①的最大值为， 故选：D. 1．（2025·高一·湖北咸宁·期末）在复平面内，复数对应的点在第三象限，则复数对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】复数对应的点在第三象限，设，则， ，由，则复数对应的点在第四象限. 故选：D. 2．（2025·河南商丘·模拟预测）已知复数和满足，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【解析】设 因为，所以，即，① 又，所以，即，② 又，所以，即，③ ②③可得，④ 把①代入④可得， 所以，故A正确； 故选：A. 3．（2025·高三·安徽阜阳·开学考试）已知复数z满足，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【解析】设（），已知，则. 根据复数模的性质，对两边取模可得，即. 因为，所以，又，则. 由，且，可得，即. 故选：B. 4．（2025·全国·模拟预测）设复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，设复数， 由得，， 所以，解得， 所以. 故选：B. 5．（2025·山东济南·一模）已知复数，满足，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【解析】设则 所以，，即， 则 故选：B. 6．（2025·内蒙古赤峰·一模）如图，向量对应的复数是，则的值为（    ） A．6 B． C．13 D． 【答案】C 【解析】由题意，向量对应的复数是， 则. 故选：C. 7．（2025·高一·河南驻马店·期末）设复数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则， 则， 所以， 则， 所以的最小值为， 故选：D. 8．（2025·云南·二模）已知为虚数单位，复数z满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【解析】设，而，所以，即， 所以，等号成立当且仅当， 综上所述，的最小值为. 故选：A. 9．（2025·高一·全国·课后作业）复数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设（），则，， 因为，所以， 所以解得 即． 故选：D. 10．（2025·高三·黑龙江哈尔滨·期中）复数在复平面内对应的点所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】由，且，则， 所以，可得其在复平面上对应的点为，即该点在第四象限. 故选：D. 11．（2025·高二·黑龙江哈尔滨·期末）已知复数（i为虚数单位），则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】因为, 所以, 所以对应的点为，,在复平面内对应的点位于第四象限. 故选：D. 12．（2025·高一·天津红桥·期中）已知复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【解析】因为, 所以对应点为, 所以对应点在第一象限. 故选：A. 13．（2025·高一·上海·阶段练习）已知为虚数单位，复数满足．则取最大值时，在复平面上以对应的点，为顶点的三角形的形状是（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【解析】因为 ，所以可设， 所以， 所以， 当时，取最大值， 即当，即时，取最大值， 此时， 所以对应的点， 所以，， ， 所以，根据各边关系易知各边对应角为锐角， 所以该图形为等腰三角形. 故选：D. 14．（2025·甘肃兰州·二模）定义运算，则满足（为虚数单位）的复数z在复平面内对应的点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】由题意可得， 即， 所以复数z在复平面内对应的点为，在第二象限， 故选：B. 15．（2025·宁夏·二模）已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】令， 因为，所以， 即点在以为圆心，1为半径的圆上，该圆在第四象限内， 所以在复平面内对应的点位于第四象限， 故选：D 16．（2025·高二·湖南长沙·期中）已知复数，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】， 所以在复平面内对应的点为，位于第三象限． 故选：C. 17．（2025·高一·安徽安庆·阶段练习）已知都是复数，其共轭复数分别为，则下列说法错误的是（    ） A． B． C．若，则 D． 【答案】C 【解析】对于A，设， 则，而， 故，故A正确； 对于B，， 则 ， 又， 所以，故B正确； 对于C，令，则，所以， 但是，故C错误； 对于D，，又， 所以，故D正确. 故选：C 18．（2025·辽宁·三模）已知是复数，满足，，，则（    ） A． B．3 C． D．6 【答案】D 【解析】因为， 且，， 即， 得； 同理因为，且， 即， 得：； 联立可得：，， ． 故选：D． 19．（多选题）（2025·高一·浙江湖州·期末）若复数z，w均不为0，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】不妨设且． 对于A，，故，而，故A错误， 对于B，，, 则,,故，B正确， 对于C, ， ， 故，因此C正确． 对于D，，，故，D正确． 故选：BCD 20．（多选题）（2025·湖南·二模）设为非零复数，则下列命题中正确的是（    ） A． B． C． D．若，则的最大值为2 【答案】BD 【解析】对于A，设，当均不为0时，为虚数，而为实数，所以不成立，故A错误； 对于B，则，所以， 而，所以成立，故B正确； 对于C，设，又，所以，故C错误. 对于D，则复数对应的点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 的几何意义为复数对应的点与两点间的距离， 所以，如图可知，当点为时，最大，取最大值， 则最大值为2，故D正确. 故选:BD. 21．（多选题）（2025·高三·重庆南岸·阶段练习）已知，关于的方程有一个根为，为虚数单位，另一个根为，则正确的有（    ） A．该方程不存在实数根 B．， C．对应的点在第四象限 D． 【答案】ABD 【解析】由是方程的根，得， 整理得，因此，解得， 所以方程为，故B正确； 对于A，根据方程，可得， 所以方程无实数根，故A正确； 对于C，D，方程，由韦达定理可知，得， 对应的点为，在第四象限，的共轭复数不在第四象限. ， 所以，故C错误，D正确． 故选：ABD 22．（多选题）（2025·高一·浙江杭州·阶段练习）已知是虚数单位，表示的共轭复数，复数满足，则下列正确的是（    ） A．的虚部为 B． C．是纯虚数 D．若是方程的一个根，则 【答案】BC 【解析】由题设，令且， 所以，即， 所以，则，可得， 所以，，则，A错，B对； ，C对； 若是方程的一个根， 则，，故，D错. 故选：BC 23．（多选题）（2025·高一·全国·课后作业）已知，是复数，则以下结论错误的是（   ） A．若，则，且 B．若，则，且 C．若，则向量和重合 D．若，则 【答案】AC 【解析】A中只能说明，不一定有，故A错误； B中，说明，即，故B正确； C中，说明，但与方向不一定相同，故C错误； D中，则，故，故D正确． 故选：AC. 24．（多选题）（2025·高一·湖北·阶段练习）设复数的共轭复数为为虚数单位，则下列命题正确的是（    ） A． B．是纯虚数 C．若，则在复平面内对应的点位于第二象限 D．若，则的最大值是6 【答案】BD 【解析】对于A，若，则，故A错误； 对于B，是纯虚数，故B正确； 对于C，因为，所以， 所以在复平面内对应的点位于第三象限，故C错误； 对于D，设，， 不妨设， 则， 其中， 所以，等号成立当且仅当， 所以的最大值是6，故D正确. 故选：BD. 25．（2025·高一·上海闵行·期末）若复数，满足．且（i为虚数单位），则 ． 【答案】 【解析】设，， ， ，又，所以，， ， ， . 故答案为：. 26．（2025·高一·全国·单元测试）已知复数满足，且为实数，则 ． 【答案】或或． 【解析】设 化简得 解得或 将代入可得， （1）当时，即则有，此时 （2）当时，则，故有则有或 综上所述故或或． 故答案为： 或或． 27．（2025·高三·江苏无锡·阶段练习）复平面上两个点，分别对应两个复数，，它们满足下列两个条件：①；②两点，连线的中点对应的复数为，若为坐标原点，则的面积为 ． 【答案】8 【解析】令，，且， 由，则，即，故①， 由两点，连线的中点对应的复数为，则，即②， 联立①②，可得，且，即，， 由，即，故为直角三角形， 又，，故的面积为. 故答案为：8 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 12.3 复数的几何意义 课程标准 学习目标 （1）能类比平面向量加、减运算的几何意义，探索复数加、减运算的几何意义，能用自己的语言解释复数加、减运算的几何意义． （1）了解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系. （2）掌握实轴、虚轴、模等概念. （3）理解向量加法、减法的几何意义，能用几何意义解决一些简单问题． 知识点01 复数的几何意义 1、复平面、实轴、虚轴： 如图所示，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴 知识点诠释： 实轴上的点都表示实数．除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 2、复数集与复平面内点的对应关系 按照复数的几何表示法，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应． 复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即 复数复平面内的点 这是复数的一种几何意义． 3、复数集与复平面中的向量的对应关系 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，所以，我们还可以用向量来表示复数． 设复平面内的点表示复数，向量由点唯一确定；反过来，点也可以由向量唯一确定． 复数集和复平面内的向量所成的集合是一一对应的，即 复数平面向量 这是复数的另一种几何意义． 4、复数的模 设，则向量的长度叫做复数的模，记作． 知识点诠释： ①两个复数不全是实数时不能比较大小，但它们的模可以比较大小． ②复平面内，表示两个共轭复数的点关于x轴对称，并且他们的模相等． 【即学即练1】（2025·高一·辽宁大连·期中）复数对应的点在第四象限，则角是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 知识点02 复数的加减运算的几何意义 1、复数的表示形式： 代数形式：（） 几何表示： ①坐标表示：在复平面内以点表示复数（）； ②向量表示：以原点为起点，点为终点的向量表示复数． 知识点诠释： 复数复平面内的点平面向量 2、复数加、减法的几何意义： 如果复数、分别对应于向量、，那么以、为两边作平行四边形，对角线表示的向量就是的和所对应的向量．对角线表示的向量就是两个复数的差所对应的向量． 设复数，，在复平面上所对应的向量为、，即、的坐标形式为，以、为邻边作平行四边形，则对角线对应的向量是， 由于，所以和的和就是与复数对应的向量． 知识点诠释： 要会运用复数运算的几何意义去解题，利用几何意义可以把几何图形的变换转化成复数运算去处理 【即学即练2】（2025·高一·福建龙岩·期中）已知复数及复数． (1)求，并在复平面内用向量表示出其运算的几何意义； (2)求． 题型一：复数与复平面内的点的关系 【典例1-1】（2025·高三·四川自贡·期中）在复平面内，复数对应的向量分别是，则复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【典例1-2】（2025·高三·北京·阶段练习）在复平面内，复数满足，则复数对应的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 利用复数与点的对应关系解题的步骤 （1）找对应关系：复数的几何表示法即复数可以用复平面内的点来表示，是解决此类问题的根据． （2）列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程（组）或不等式（组）求解． 【变式1-1】（2025·高一·安徽黄山·期中）若复数的共轭复数对应的点在第一象限，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D． 【变式1-2】（2025·高一·全国·课后作业）复数在复平面内对应的点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1-3】（2025·高三·江苏南京·学业考试）在复平面内，复数z对应的点Z在第二象限，则复数对应的点所在象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型二：复数与复平面内的向量的关系 【典例2-1】（2025·高一·全国·课时练习）设复数对应的向量为，复数对应的复数为，则（　　） A．按逆时针旋转，再拉伸2倍得到 B．按顺时针旋转，再拉伸2倍得到 C．按逆时针旋转，再压缩倍得到 D．按顺时针旋转，再压缩倍得到 【典例2-2】（2025·高三·北京大兴·期末）已知复数z对应的向量如图所示，则复数z+1所对应的向量正确的是 A． B． C． D． 【变式2-1】（2025·高三·江苏常州·期末）在复平面内，复数对应的向量为，复数对应的向量为，那么向量对应的复数是（   ） A．1 B． C． D． 【方法技巧与总结】 复数与平面向量的对应关系 （1）根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量． （2）解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化． 【变式2-2】（2025·高一·河南郑州·阶段练习）复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2025·高一·全国·课时练习）向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 题型三：复数加减法的几何意义 【典例3-1】（2025·高一·全国·课后作业）已知复数，试在复平面上作出下列运算结果对应的向量： (1)；                 (2)． 【典例3-2】（2025·高一·全国·课后作业）如图所示，已知复数，所对应的向量，，它们的和为向量．请根据两个向量相加的运算写出对应的复数运算过程． 【方法技巧与总结】 复数与向量的对应关系的两个关注点 （1）复数（）是与以原点为起点，为终点的向量一一对应的． （2）一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应的复数可能改变． 【变式3-1】（2025·高一·全国·课时练习）已知平行四边形ABCD中，与对应的复数分别是3＋2i与1＋4i，两对角线AC与BD相交于P点. （1）求对应的复数； （2）求对应的复数； （3）求△APB的面积. 【变式3-2】（2025·高一·福建龙岩·期中）已知复数及复数． (1)求，并在复平面内用向量表示出其运算的几何意义； (2)求． 【变式3-3】（2025·高一·全国·课后作业）设向量及在复平面内分别与复数z1＝5＋3i及复数z2＝4＋i对应，试计算z1－z2，并在复平面内表示出来 题型四：复数的模及其应用 【典例4-1】（2025·全国·模拟预测）已知复数和满足，，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【典例4-2】（2025·黑龙江牡丹江·三模）设复数，满足，，则（    ） A． B． C． D．4 【方法技巧与总结】 复数模的计算 （1）计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算．虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小． （2）设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求解． 【变式4-1】（2025·高二·福建三明·期末）设复数满足，且，则= ． 【变式4-2】（2025·高一·山东济南·期中）设复数，满足，，，则 ． 【变式4-3】（2025·福建漳州·一模）已知复数，在复平面内，复数，对应的点分别为，，且点与点关于直线对称，则（    ） A． B． C． D．5 题型五：复数模的几何意义 【典例5-1】（2025·高三·云南昆明·期末）在复平面内，为原点，两点对应的复数分别为，，若四边形为平行四边形，则点对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【典例5-2】（2025·高一·全国·课后作业）如图，设向量，，所对应的复数为，那么（   ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 复数模的几何意义可以延伸为表示复数对应的点与原点之间的距离，从而可以用数形结合解决有关的问题，考查直观想象素养． 【变式5-1】（2025·高一·山东青岛·期中）在复平面内，复数对应的点为，复数对应的点为，则对应的复数为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）复平面内三点所对应的复数分别为，若四边形为平行四边形，则点对应的复数为（    ） A．2 B． C．1 D． 【变式5-3】（2025·江苏淮安·模拟预测）在复平面内，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是，，0，则第四个顶点对应的复数是（    ） A． B． C． D． 题型六：复数的轨迹与最值问题 【典例6-1】（2025·高一·全国·课后作业）如果复数z满足，那么的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D． 【典例6-2】（2025·高一·山东青岛·期末）已知i为虚数单位，复数z满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．0 【方法技巧与总结】 利用几何意义进行转化． 【变式6-1】（2025·高三·广东·开学考试）已知，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【变式6-2】（2025·高三·四川成都·期中）在复平面内，复数的虚部为3，复数满足条件 ，则的最小值为（    ） A．0 B．4 C．5 D．6 【变式6-3】（2025·高三·河北沧州·阶段练习）已知复数z满足，则的最大值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【变式6-4】（2025·高二·湖北·阶段练习）若，是虚数单位，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 1．（2025·高一·湖北咸宁·期末）在复平面内，复数对应的点在第三象限，则复数对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2025·河南商丘·模拟预测）已知复数和满足，则（   ） A．1 B． C． D．2 3．（2025·高三·安徽阜阳·开学考试）已知复数z满足，则（    ） A．1 B． C． D．2 4．（2025·全国·模拟预测）设复数满足，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025·山东济南·一模）已知复数，满足，则（    ） A．1 B． C．2 D． 6．（2025·内蒙古赤峰·一模）如图，向量对应的复数是，则的值为（    ） A．6 B． C．13 D． 7．（2025·高一·河南驻马店·期末）设复数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·云南·二模）已知为虚数单位，复数z满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．0 9．（2025·高一·全国·课后作业）复数满足，则（   ） A． B． C． D． 10．（2025·高三·黑龙江哈尔滨·期中）复数在复平面内对应的点所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 11．（2025·高二·黑龙江哈尔滨·期末）已知复数（i为虚数单位），则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 12．（2025·高一·天津红桥·期中）已知复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 13．（2025·高一·上海·阶段练习）已知为虚数单位，复数满足．则取最大值时，在复平面上以对应的点，为顶点的三角形的形状是（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 14．（2025·甘肃兰州·二模）定义运算，则满足（为虚数单位）的复数z在复平面内对应的点在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 15．（2025·宁夏·二模）已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 16．（2025·高二·湖南长沙·期中）已知复数，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 17．（2025·高一·安徽安庆·阶段练习）已知都是复数，其共轭复数分别为，则下列说法错误的是（    ） A． B． C．若，则 D． 18．（2025·辽宁·三模）已知是复数，满足，，，则（    ） A． B．3 C． D．6 19．（多选题）（2025·高一·浙江湖州·期末）若复数z，w均不为0，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 20．（多选题）（2025·湖南·二模）设为非零复数，则下列命题中正确的是（    ） A． B． C． D．若，则的最大值为2 21．（多选题）（2025·高三·重庆南岸·阶段练习）已知，关于的方程有一个根为，为虚数单位，另一个根为，则正确的有（    ） A．该方程不存在实数根 B．， C．对应的点在第四象限 D． 22．（多选题）（2025·高一·浙江杭州·阶段练习）已知是虚数单位，表示的共轭复数，复数满足，则下列正确的是（    ） A．的虚部为 B． C．是纯虚数 D．若是方程的一个根，则 23．（多选题）（2025·高一·全国·课后作业）已知，是复数，则以下结论错误的是（   ） A．若，则，且 B．若，则，且 C．若，则向量和重合 D．若，则 24．（多选题）（2025·高一·湖北·阶段练习）设复数的共轭复数为为虚数单位，则下列命题正确的是（    ） A． B．是纯虚数 C．若，则在复平面内对应的点位于第二象限 D．若，则的最大值是6 25．（2025·高一·上海闵行·期末）若复数，满足．且（i为虚数单位），则 ． 26．（2025·高一·全国·单元测试）已知复数满足，且为实数，则 ． 27．（2025·高三·江苏无锡·阶段练习）复平面上两个点，分别对应两个复数，，它们满足下列两个条件：①；②两点，连线的中点对应的复数为，若为坐标原点，则的面积为 ． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$