12.1 复数的概念（2个知识点+3类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（苏教版2019必修第二册）

12．1 复数的概念 课程标准 学习目标 （1）通过方程的解体会引人复数的必要性，能类比自然数系扩充到实数系的过程，归纳出数系扩充的基本思想；能用自己的语言说明虚数单位i的意义，体会现实需求与数学内部的矛盾在促进数系扩充过程中所起的作用． （2）能说明复数代数表示的基本结构并能运用Venn图对复数进行分类；能说出复数相等的含义，并会用于解决简单的实际问题． （3）能类比实数的几何意义，用自己的语言解释复数的几何意义，从数与形两个角度，理解复数相等的条件． （1）通过方程的解，认识复数. （2）理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义． 知识点01 复数的基本概念 1、虚数单位 数叫倣虚数单位，它的平方等于，即． 知䢔点诠释： （1）是的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是； （2）可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立． 2、复数的摡念 形如的数叫复数，记作：； 其中：叫复数的实部，叫复数的虚部，是虚数单位．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示． 知识点诠释： 复数定义中，容易忽视，但却是列方程求复数的重要依据． 3、复数的分类 对于复数 若，则为实数，若，则为虚数，若且，则为纯虚数． 分类如下： （） 用集合表示如下图： 4、复数集与其它数集之间的关系 （其中为自然数集，为整数集，为有理数集，为实数集，C为复数集．） 【即学即练1】（2025·高一·全国·课后作业）下列四种说法正确的是（    ） A．如果实数，那么是纯虚数． B．实数是复数． C．如果，那么是纯虚数． D．任何数的偶数次幂都不小于零． 知识点02 复数相等的充要条件 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．即： 如果，那么 特别地：． 知识点诠释： （1）一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样． 根据复数与相等的定义，可知在两式中，只要有一个不成立，那么就有（，）． （2）一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小． 【即学即练2】（2025·高一·全国·课时练习）方程的实数解 . 题型一：复数的概念 【典例1-1】（2025·高一·山东临沂·期中）下列几个命题，其中正确的命题的个数有（    ） （1）实数的共轭复数是它本身 （2）复数的实部是实数，虚部是虚数 （3）复数与复平面内的点一一对应 （4）复数是最小的纯虚数. A．0 B．1 C．2 D．3 【典例1-2】（2025·高一·全国·专题练习）给出下列命题： ①若R，则是纯虚数； ②若R且，则； ③若C，则复数的实部为a，虚部为b； ④i的平方等于. 其中正确命题的序号是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【方法技巧与总结】 复数中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部．特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部． 【变式1-1】（2025·浙江温州·二模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 【变式1-2】（2025·高一·全国·专题练习）下列命题正确的个数是（    ） ①；②若，且，则；③若，则；④两个虚数不能比较大小. A．1 B．2 C．0 D．3 题型二：复数的分类 【典例2-1】（2025·高一·全国·课后作业）写出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数，还是纯虚数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)0． 【典例2-2】（2025·高一·上海·课堂例题）求实数m的值或取值范围，使得复数分别是： (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数； (4)0. 【方法技巧与总结】 解决复数分类问题的方法与步骤 （1）化标准式：解题时一定要先看复数是否为的形式，以确定实部和虚部． （2）定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程（不等式）即可． （3）下结论：设所给复数为， ①z为实数⇔． ②z为虚数⇔． ③z为纯虚数⇔且． 【变式2-1】（2025·高一·广东清远·期末）已知复数，求当实数为何值时； (1)为实数； (2)为纯虚数； (3)为虚数． 【变式2-2】（2025·高一·江苏扬州·阶段练习）已知复数．（其中i为虚数单位，m为实数） (1)若z为纯虚数，求m的值； (2)若，求m的值． 题型三：复数相等的充要条件 【典例3-1】（2025·高一·全国·课后作业）已知，求实数x，y的值. 【典例3-2】（2025·高一·全国·专题练习）已知，其中，，则的值为 . 【方法技巧与总结】 复数相等问题的解题技巧 （1）必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解． （2）根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现． （3）如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的． 【变式3-1】（2025·高一·全国·课后作业）定义：复数是()的转置复数，已知，i是虚数单位，若，则复数的转置复数是 . 【变式3-2】（2025·上海奉贤·二模）已知，，且，是虚数单位，则 ． 【变式3-3】（2025·高一·湖南·课后作业）已知，，则“”是“”的 条件． 1．（2025·高三·北京西城·期末）设为虚数单位，，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·高二·湖南娄底·学业考试）已知复数，则的虚部为（   ） A．1 B． C． D． 3．（2025·高一·湖南长沙·阶段练习）复数，（，）为实数的充要条件是（    ） A． B．且 C．且 D．且 4．（2025·高一·全国·专题练习）已知复数，当时，（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 5．（2025·湖南·一模）如果复数是纯虚数，是虚数单位，则（    ） A．且 B． C． D．或 6．（2025·高一·安徽安庆·期末）已知a，b均为实数，复数：，其中i为虚数单位，若，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·高一·北京·期末）若复数是虚数，则实数取值的集合是（    ） A． B． C． D． 8．（2025·辽宁沈阳·三模）已知复数和，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．（多选题）（2025·高一·全国·专题练习）若为虚数单位)为实数，则的值可能为（    ） A．0 B．1 C．－1 D．2或－2 10．（多选题）（2025·高一·浙江宁波·期中）已知复数，且，则的值可以是（    ） A．2 B． C． D．1 11．（2025·高一·新疆·期中）已知，则 ． 12．（2025·高一·全国·课后作业）设实数，，满足，则的最大值为 ． 13．（2025·高一·全国·课后作业）设复数，，如果是纯虚数，则的值是 ；的虚部为 ． 14．（2025·高一·上海·课堂例题）已知复数，，其中．若，求的值． 15．（2025·高一·上海·课堂例题）已知，求实数的值. 16．（2025·高一·上海·课堂例题）已知成立，求实数a的值. 17．（2025·高一·安徽马鞍山·期中）已知复数，并且. (1)若为虚数，求的取值范围； (2)求的取值范围. 18．（2025·高一·全国·课堂例题）复数，当实数m取什么值时， (1)是实数； (2)是虚数； (3)是纯虚数． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 12．1 复数的概念 课程标准 学习目标 （1）通过方程的解体会引人复数的必要性，能类比自然数系扩充到实数系的过程，归纳出数系扩充的基本思想；能用自己的语言说明虚数单位i的意义，体会现实需求与数学内部的矛盾在促进数系扩充过程中所起的作用． （2）能说明复数代数表示的基本结构并能运用Venn图对复数进行分类；能说出复数相等的含义，并会用于解决简单的实际问题． （3）能类比实数的几何意义，用自己的语言解释复数的几何意义，从数与形两个角度，理解复数相等的条件． （1）通过方程的解，认识复数. （2）理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义． 知识点01 复数的基本概念 1、虚数单位 数叫倣虚数单位，它的平方等于，即． 知䢔点诠释： （1）是的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是； （2）可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立． 2、复数的摡念 形如的数叫复数，记作：； 其中：叫复数的实部，叫复数的虚部，是虚数单位．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示． 知识点诠释： 复数定义中，容易忽视，但却是列方程求复数的重要依据． 3、复数的分类 对于复数 若，则为实数，若，则为虚数，若且，则为纯虚数． 分类如下： （） 用集合表示如下图： 4、复数集与其它数集之间的关系 （其中为自然数集，为整数集，为有理数集，为实数集，C为复数集．） 【即学即练1】（2025·高一·全国·课后作业）下列四种说法正确的是（    ） A．如果实数，那么是纯虚数． B．实数是复数． C．如果，那么是纯虚数． D．任何数的偶数次幂都不小于零． 【答案】B 【解析】对于A中，若，那么，所以A错误； 对于B中，由复数的概念，可得实数是复数，所以B正确； 对于C中，若且时，复数，所以C不正确； 对于D中，由虚数单位，可得D错误. 故选：B. 知识点02 复数相等的充要条件 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．即： 如果，那么 特别地：． 知识点诠释： （1）一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样． 根据复数与相等的定义，可知在两式中，只要有一个不成立，那么就有（，）． （2）一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小． 【即学即练2】（2025·高一·全国·课时练习）方程的实数解 . 【答案】 【解析】由得：，解得：. 故答案为：. 题型一：复数的概念 【典例1-1】（2025·高一·山东临沂·期中）下列几个命题，其中正确的命题的个数有（    ） （1）实数的共轭复数是它本身 （2）复数的实部是实数，虚部是虚数 （3）复数与复平面内的点一一对应 （4）复数是最小的纯虚数. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】因为复数的共轭复数， 若为实数，则，此时，命题（1）正确， 复数的实部为，虚部为， 复数的虚部是实数，（2）错误； 因为复数在复平面上的对应点为， 复平面上的点对应复数，（3）正确； 复数不能比较大小，命题（4）错误， 故选：C. 【典例1-2】（2025·高一·全国·专题练习）给出下列命题： ①若R，则是纯虚数； ②若R且，则； ③若C，则复数的实部为a，虚部为b； ④i的平方等于. 其中正确命题的序号是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【解析】对于复数（R），当且时为纯虚数， 在①中，若，则不是纯虚数，①错误； 在②中，两个虚数不能比较大小，②错误； 在③中，只有当R时，复数的实部才为a，虚部为b，③错误； 在④中，i的平方等于，④正确. 故选：D 【方法技巧与总结】 复数中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部．特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部． 【变式1-1】（2025·浙江温州·二模）已知，则“”是“”的（    ） A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 【答案】B 【解析】易知，所以不满足充分性，而，满足必要性. 故选：B 【变式1-2】（2025·高一·全国·专题练习）下列命题正确的个数是（    ） ①；②若，且，则；③若，则；④两个虚数不能比较大小. A．1 B．2 C．0 D．3 【答案】B 【解析】对于①，因为，所以，故①正确； 对于②，两个虚数不能比较大小，故②错误； 对于③，当，时，成立，故③错误；④正确. 故选：B 题型二：复数的分类 【典例2-1】（2025·高一·全国·课后作业）写出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数，还是纯虚数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)0． 【解析】（1）实部为2，虚部为3，是虚数； （2）实部为，虚部为，是虚数； （3）实部为，虚部为1，是虚数； （4）实部为，虚部为0，是实数； （5）实部为0，虚部为，是纯虚数； （6）实部为0，虚部为0，是实数； 【典例2-2】（2025·高一·上海·课堂例题）求实数m的值或取值范围，使得复数分别是： (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数； (4)0. 【解析】（1）当，即或时，复数z是实数. （2）当，解得且时，复数z是虚数. （3）当且，即时，复数z是纯虚数 （4）当且，即时，复数z是0. 【方法技巧与总结】 解决复数分类问题的方法与步骤 （1）化标准式：解题时一定要先看复数是否为的形式，以确定实部和虚部． （2）定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程（不等式）即可． （3）下结论：设所给复数为， ①z为实数⇔． ②z为虚数⇔． ③z为纯虚数⇔且． 【变式2-1】（2025·高一·广东清远·期末）已知复数，求当实数为何值时； (1)为实数； (2)为纯虚数； (3)为虚数． 【解析】（1）当且时，复数为实数，解得， 所以时，复数为实数； （2）当且且时，复数为纯虚数， 解得或， 所以或时，复数为纯虚数； （3）当且时，复数为虚数，解得且， 所以且时，复数为虚数. 【变式2-2】（2025·高一·江苏扬州·阶段练习）已知复数．（其中i为虚数单位，m为实数） (1)若z为纯虚数，求m的值； (2)若，求m的值． 【解析】（1）若z为纯虚数，则且 所以 （2）若，则且 所以 题型三：复数相等的充要条件 【典例3-1】（2025·高一·全国·课后作业）已知，求实数x，y的值. 【解析】，解得或 【典例3-2】（2025·高一·全国·专题练习）已知，其中，，则的值为 . 【答案】0 【解析】由z1>z2，得， 即，解得. 故答案为：0 【方法技巧与总结】 复数相等问题的解题技巧 （1）必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解． （2）根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现． （3）如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的． 【变式3-1】（2025·高一·全国·课后作业）定义：复数是()的转置复数，已知，i是虚数单位，若，则复数的转置复数是 . 【答案】/i-2 【解析】由，得，所以复数， 故复数的转置复数是. 故答案为： 【变式3-2】（2025·上海奉贤·二模）已知，，且，是虚数单位，则 ． 【答案】 【解析】因，则. 故答案为：2 【变式3-3】（2025·高一·湖南·课后作业）已知，，则“”是“”的 条件． 【答案】充分不必要 【解析】当时，必有且，解得或， 显然“”是“”的充分不必要条件． 故答案为：充分不必要. 1．（2025·高三·北京西城·期末）设为虚数单位，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 又，根据复数的相等， 故则 故选：B. 2．（2025·高二·湖南娄底·学业考试）已知复数，则的虚部为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】因为复数，所以的虚部为. 故选：D. 3．（2025·高一·湖南长沙·阶段练习）复数，（，）为实数的充要条件是（    ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】A 【解析】若复数，（，）为实数， 则有， ， 故选：A. 4．（2025·高一·全国·专题练习）已知复数，当时，（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【解析】依题意，得，解得， 所以. 故选：A 5．（2025·湖南·一模）如果复数是纯虚数，是虚数单位，则（    ） A．且 B． C． D．或 【答案】C 【解析】由复数是纯虚数， 得 解得:. 故选:C. 6．（2025·高一·安徽安庆·期末）已知a，b均为实数，复数：，其中i为虚数单位，若，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题，所以为实数，即， 则有，解得，即a的取值范围为. 故选：A 7．（2025·高一·北京·期末）若复数是虚数，则实数取值的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由复数是虚数， 所以，所以实数取值的集合是， 故选：C. 8．（2025·辽宁沈阳·三模）已知复数和，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】，复数和是实数，成立， 当时，例如，推不出， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 9．（多选题）（2025·高一·全国·专题练习）若为虚数单位)为实数，则的值可能为（    ） A．0 B．1 C．－1 D．2或－2 【答案】BC 【解析】若为虚数单位)为实数， 则，所以. 故选：BC 10．（多选题）（2025·高一·浙江宁波·期中）已知复数，且，则的值可以是（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】AC 【解析】因为，且， 所以， 则， ， ， 因为， 所以， 则， 故选：AC 11．（2025·高一·新疆·期中）已知，则 ． 【答案】1 【解析】由，得，解得． 故答案为：1． 12．（2025·高一·全国·课后作业）设实数，，满足，则的最大值为 ． 【答案】/ 【解析】因为， 所以， ， 又， 所以． 故答案为： 13．（2025·高一·全国·课后作业）设复数，，如果是纯虚数，则的值是 ；的虚部为 ． 【答案】 【解析】因为是纯虚数，所以，解得. 则，则的虚部为. 故答案为：；. 14．（2025·高一·上海·课堂例题）已知复数，，其中．若，求的值． 【解析】由题意，, 因为， 所以， 解得. 15．（2025·高一·上海·课堂例题）已知，求实数的值. 【解析】由， 得， 所以解得 16．（2025·高一·上海·课堂例题）已知成立，求实数a的值. 【解析】因为，所以由， 可得解得或. 所以实数的值为. 17．（2025·高一·安徽马鞍山·期中）已知复数，并且. (1)若为虚数，求的取值范围； (2)求的取值范围. 【解析】（1）因为，所以， 又为虚数，所以，即，所以. （2），， 消去可得， . 18．（2025·高一·全国·课堂例题）复数，当实数m取什么值时， (1)是实数； (2)是虚数； (3)是纯虚数． 【解析】（1）因为复数为实数，所以，即或， 所以或时，复数为实数. （2）因为为虚数，则，解得且且， 所以且且时，复数为纯虚数. （3）因为为纯虚数，则，解得， 所以时，复数为纯虚数. 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$