专题练习04：圆锥曲线的定值问题重难点讲与练-2024-2025学年高二上学期数学沪教版（2020）选择性必修第一册

上海高中数学2020选择性必修第一册重难点讲与练（培优课程） 专题训练04 圆锥曲线的定值问题 题型一：斜率型定值 1、直线斜率定值 1.如图，已知是抛物线上的两个动点，是抛物线上的定点，如果直线的斜率与的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出这个定值. 2.已知双曲线过点，且离心率． （1）求该双曲线的标准方程； （2）如果，为双曲线上的动点，直线与直线的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出该定值． 3．已知椭圆C：的离心率为，且过点． Ⅰ 求椭圆C的方程； Ⅱ 若是椭圆C上的两个动点，且使的角平分线总垂直于x轴，试判断直线PQ的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由. 2、斜率和差为定值 4.设抛物线的焦点为F，过F且斜率为1的直线l与E交于A，B两点，且． (1)求抛物线E的方程； (2)设为E上一点，E在P处的切线与x轴交于Q，过Q的直线与E交于M，N两点，直线PM和PN的斜率分别为和．求证：为定值． 5.已知椭圆过点，点与关于原点对称，椭圆上的点满足直线与直线的斜率之积为. (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆相交于两点，已知点，点与关于原点对称，讨论：直线的斜率与直线的斜率之和是否为定值？如果是，求出此定值；如果不是，请说明理由. 6.已知双曲线的离心率为，点在双曲线上. (1)求双曲线的方程； (2)若为双曲线的左焦点，过点作直线交的左支于两点.点，直线交直线于点.设直线的斜率分别，求证：为定值. 3、 斜率之积为定值 7.已知抛物线的焦点为,直线与抛物线交于,两点,且． （1）求抛物线的方程； （2）若,是抛物线上一点,过点的直线与抛物线交于,两点（均与点不重合）,设直线,的斜率分别为,,求证：为定值． 8.已知点在抛物线上,的焦点为,． （1）求抛物线的方程及； （2）经过点的直线与交于,两点,且,异于点,若直线与的斜率存在且不为零,证明：直线与的斜率之积为定值． 9.已知椭圆的焦距为，且过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与椭圆相交于两点，设直线的斜率分别为，试探究是否为定值？请说明理由. 10.已知离心率为的椭圆与x轴，y轴正半轴交于两点，作直线的平行线交椭圆于两点. (1)若的面积为1，求椭圆的标准方程； (2)在（1）的条件下，记直线的斜率分别为，，求证：为定值； 11.动圆与圆：外切，与圆：内切. (1)求动圆的圆心的轨迹方程； (2)直线： 轴的平行线交线段于点，直线的斜率为（O为坐标原点），若，判断是否为定值？并说明理由. 4、斜率之比为定值 12．椭圆C： 的左、右焦点分别是F1、F2，离心率为，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为l． （1）求椭圆C的方程； （2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1、PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围． （3）在（2）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点．设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，若k≠0，试证明为定值，并求出这个定值． 13.已知椭圆的右焦点是，过点F的直线交椭圆C于A，B两点，若线段AB中点Q的坐标为． (1)求椭圆C的方程； (2)已知是椭圆C的下顶点，如果直线y=kx+1（k≠0）交椭圆C于不同的两点M，N，且M，N都在以P为圆心的圆上，求k的值； (3)过点作一条非水平直线交椭圆C于R、S两点，若A，B为椭圆的左右顶点，记直线AR、BS的斜率分别为k1、k2，则是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由．    题型二：距离型定值 14．已知椭圆的离心率为，且过点． （1）求C的方程； （2）点M，N在C上，且，D为垂足，问是否存在定点Q，使得为定值，若存在，求出Q点，若不存在，请说明理由． 15. （2022松江区二模）已知椭圆的右顶点坐标为A（2，0），左、右焦点分别为F1、F2，且|F1F2|＝2，直线l交椭圆Γ于不同的两点M和N． （1）求椭圆Γ的方程； （2）若直线l的斜率为1，且以MN为直径的圆经过点A，求直线l的方程； （3）若直线l与椭圆Γ相切，求证：点F1、F2到直线l的距离之积为定值． 16.已知椭圆的长轴长是焦距的2倍，点是椭圆的右焦点，且点在椭圆上，直线与椭圆交于A，两点. (1)求椭圆的方程； (2)当时，求的面积； (3)对，的周长是否为定值？若是，给出证明，并求出定值；若不是，说明理由. 17．已知直线l的方程为x＝﹣2，且直线l与x轴交于点M，圆O：与x轴交于A，B两点（如图）． （1）过M点的直线l1交圆于P、Q两点，且O点到直线l1的距离为，求直线l1的方程； （2）求以l为准线，中心在原点，且短轴长为圆O的半径的椭圆方程； （3）过M点的圆的切线l2，交（2）中的一个椭圆于C、D两点，其中C、D两点在x轴上方，求线段CD的长． 18.在平面直角坐标系Oxy中,点M是以原点O为圆心,半径为a的圆上的一个动点.以原点O为圆心,半径为的圆与线段OM交于点N,作轴于点D,作于点Q. （1）令,若,,,求点Q的坐标； （2）若点Q的轨迹为曲线C,求曲线C的方程； （3）设（2）中的曲线C与x轴的正半轴交于点A,与y轴的正负半轴分别交于点,,若点E､F分别满足,,设直线和的交点为K,设直线：及点,（其中）,证明：点K到点H的距离与点K到直线l的距离之比为定值. 19．已知,分别是双曲线C：(,)的左、右焦点,,P是C上一点,,且. （1）求双曲线C的标准方程； （2）经过点的直线l与双曲线C交于A,B两点,过点A作直线的垂线,垂足为D,过点O作(O为坐标原点),垂足为M.则在x轴上是否存在定点N,使得为定值？若存在,求出点N的坐标；若不存在,请说明理由. 20.在平面直角坐标系中, 圆 过点 和点 , 圆心 到直线 的距离等于 . （1）求圆 的标准方程; （2）若圆心 在第一象限, 为圆 外一点, 过点 做圆 的两条切线, 切点分别为 , 四边形 的面积为 , 问线段 CM 的长是否为定值？若为定值, 请求出定值; 若不是定值, 请说明理由. 21.已知椭圆 的离心率为 , 且过点 . (1) 求 的方程: (2) 点 在 上, 且 为垂足. 证明：存在定点 , 使得 为定值. 22．设椭圆C：1（a＞b＞0）的一个顶点与抛物线C：x2＝4y的焦点重合，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，且离心率e且过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于M、N两点． （1）求椭圆C的方程； （2）是否存在直线l，使得2．若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由． （3）若AB是椭圆C经过原点O的弦，MN∥AB，求证：为定值． 23．已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为． （1）证明：； （2）设为的右焦点，为上一点,且．证明：，，成等差数列，并求该数列的公差． 题型三：面积型定值 24．已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为，O是坐标原点，点A，B分别为椭圆C的左右顶点，|AB|＝4． （1）求椭圆C的标准方程． （2）若P是椭圆C上异于A，B的一点，直线l交椭圆C于M，N两点，AP∥OM，BP∥ON，则△OMN的面积是否为定值？若是，求出定值，若不是，请说明理由． 25.已知椭圆，的左右焦点分别是，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切，点在椭圆上. (1)求椭圆的方程; (2)若直线与椭圆相交于两点，且的面积是否为定值?若是，求出定值;若不是，请说明理由. 26.已知离心率为的椭圆经过点. (1)求椭圆的方程; (2)若椭圆的右焦点为，过点的直线与椭圆分别交于，若直线的斜率成等差数列，请问的面积是否为定值？若是，求出此定值;若不是，请说明理由. 27．已知椭圆：()的左､右焦点分别为，，离心率为，点是椭圆上一点，的周长为. （1）求椭圆的方程； （2）直线：与椭圆交于，两点，且四边形为平行四边形，求证：的面积为定值. 28.如图,已知抛物线：,,,过点垂直于轴的垂线与抛物线交于,,点,满足,. （1）求证：直线与抛物线有且仅有一个公共点； （2）设直线与此抛物线的公共点为,记与的面积分别为,,求的值. 29.已知抛物线的焦点为，点为坐标原点，一条直线过定点与抛物线相交于、两点，且. (1)求抛物线方程； (2)连接，并延长交抛物线于、两点，设和的面积分别为和，则是否为定值？若是，求出其值；若不是，请说明理由. 题型四：角度型定值 30.已知椭圆 上的点到它的两个焦的距离之和为 4 , 以椭圆 的短轴为直径的圆 经过这两个焦点, 点 分别是椭圆 的左、右顶点. (1) 求圆 和椭圆 的方程. (2) 已知 分别是椭圆 和圆 上的动点 位于 轴两侧 , 且直线 与 轴平行,直线 分别与 轴交于点 . 求证: 为定值. 31．已知点F1为椭圆的左焦点，在椭圆上，PF1⊥x轴． （1）求椭圆的方程： （2）已知直线l与椭圆交于A，B两点，且坐标原点O到直线l的距离为的大小是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由． 32.已知过点的双曲线的渐近线方程为.如图所示，过双曲线的右焦点作与坐标轴都不垂直的直线交的右支于两点. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知点，求证：； (3)若以为直径的圆被直线截得的劣弧为，则所对圆心角的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 33．已知椭圆上的点到它的两个焦点的距离之和为4，以椭圆的短轴为直径的圆经过这两个焦点，点，分别是椭圆的左、右顶点． （Ⅰ）求圆和椭圆的方程； （Ⅱ）已知，分别是椭圆和圆上的动点，位于轴两侧），且直线与轴平行，直线，分别与轴交于点，．求证：为定值． 34．已知点，为椭圆上任意一点，直线与圆交于，两点，点为椭圆的左焦点． （1）求椭圆的离心率及左焦点的坐标； （2）求证：直线与椭圆相切； （3）判断是否为定值，并说明理由． 35．已知椭圆：的上下顶点分别为，且点．分别为椭圆的左、右焦点，且． （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）点是椭圆上异于，的任意一点，过点作轴于，为线段 的中点．直线与直线交于点，为线段的中点，为坐标原点．求 的大小． 题型五：数量积型定值 36．已知双曲线方程为，，为双曲线的左、右焦点，离心率为2，点为双曲线在第一象限上的一点，且满足，． （1）求双曲线的标准方程； （2）过点作直线1交双曲线于、两点，则在轴上是否存在定点使得为定值，若存在，请求出的值和该定值，若不存在，请说明理由． 37．已知，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的一点． （1）若点的坐标为，，求△的面积； （2）若点的坐标为，，且是钝角，求横坐标的范围； （3）若点的坐标为，且直线与椭圆交于两不同点，，求证：为定值，并求出该定值． 38.已知椭圆：的离心率为,,分别为椭圆的左,右焦点,为椭圆上一点,的周长为. （1）求椭圆的方程； （2）为圆上任意一点,过作椭圆的两条切线,切点分别为A,B,判断是否为定值?若是,求出定值：若不是,说明理由, 39.已知椭圆Γ：＝1（a＞b＞0）过点P（0，2），且它的一个焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同．直线l过点Q（1，0），且与椭圆Γ相交于A、B两点． （1）求椭圆Γ的方程； （2）若直线l的一个方向向量为，求△OAB的面积（其中O为坐标原点）； （3）试问：在x轴上是否存在点M，使得为定值？若存在，求出点M的坐标和定值；若不存在，请说明理由． 40.椭圆是椭圆的左右顶点，点是椭圆上的任意一点. (1)证明：直线，与直线，斜率之积为定值. (2)设经过且斜率不为0的直线交椭圆于两点，直线与直线交于点，求证:为定值. 41．已知双曲线的中心在原点，是它的一个顶点．是它的一条渐近线的一个方向向量． （1）求双曲线的方程； （2）设，为双曲线右支上动点，当取得最小时，求四边形的面积； （3）若过点任意作一条直线与双曲线交于，两点，都不同于点，求证：为定值． 42．已知椭圆的离心率为，右焦点为，直线l经过点F，且与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点． （1）求椭圆的标准方程； （2）当直线l绕点F转动时，试问：在x轴上是否存在定点M，使得为常数?若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由． 题型六：参数型定值 43．已知抛物线经过点，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，，且直线交轴于，直线交轴于． （Ⅰ）求直线的斜率的取值范围； （Ⅱ）设为原点，，，求证：为定值． 44．已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于、两点，与共线． （Ⅰ）求椭圆的离心率； （Ⅱ）设为椭圆上任意一点，且，证明为定值． 题型七：运算关系定值 45．已知椭圆：： 的离心率 ，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为.，是椭圆的两个焦点. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆相交于不同的两点，已知点的坐标为，若，求直线的方程； (3)设是椭圆上一点，直线与椭圆交于另一点，点满足：轴且，求证：是定值. 46．已知抛物线．的焦点为，直线与轴相交于点，与曲线相交于点，且． （1）求抛物线的方程； （2）过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，过，分别作抛物线的切线，两切线交于点，求证点的纵坐标为定值． 47．已知椭圆的离心率为，椭圆与直线相切（有且只有一个公共点）． （1）求椭圆的方程； （2）为椭圆上一点，射线，分别交椭圆于点，，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 48．已知椭圆经过与两点，过原点的直线与椭圆交于，两点，椭圆上一点满足． （1）求椭圆的方程； （2）求证：为定值； （3）是否存在定圆，使得直线绕原点转动时，恒与该定圆相切？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由． 49．如图，已知椭圆的左、右顶点为，，上、下顶点为，，记四边形的内切圆为． （1）求圆的标准方程； （2）已知圆的一条不与坐标轴平行的切线交椭圆于，两点． 求证：； 试探究是否为定值． 题型八：坐标相关定值 50.已知椭圆的离心率为，四个顶点构成的四边形面积为． (1)求椭圆方程； (2)若直线交椭圆于，，且，求证为定值． 51.已知离心率为的椭圆的下顶点为，过点B（0，3）作斜率存在的直线交椭圆C于P，Q两点，连AP，AQ分别与x轴交于点M，N，记点M，N的横坐标分别为xM，xN. (1)求椭圆C的标准方程； (2)试判断 xM xN  是否为定值？若为定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上海高中数学2020选择性必修第一册重难点讲与练（培优课程） 专题训练04 圆锥曲线的定值问题 题型一：斜率型定值 1、直线斜率定值 1.如图，已知是抛物线上的两个动点，是抛物线上的定点，如果直线的斜率与的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出这个定值. 高等背景：当与的倾斜角一个趋近于时，另一个趋近于时，直线的斜率就趋向于过的切线斜率. 而，所以，因此，可以确定所求的定值为. 初等解法：设直线的方程为， 代入得：， 设，注意到是方程的一个根，所以，同理可求， 所以，把，代入上式得 2.已知双曲线过点，且离心率． （1）求该双曲线的标准方程； （2）如果，为双曲线上的动点，直线与直线的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出该定值． 【答案】（1）；（2）证明见解析，6. 【详解】 （1）由题意，，，， 双曲线的方程为； （2）设，，，， 设的方程为，代入双曲线方程，可得， ， ，， ，， 同理，． ． 故得证. 【反思】在本题第（2）问中，在双曲线:中，定点()在双曲线上,设,是双曲线上的两个动点,直线,的斜率分别为，,且满足.则直线的斜率，由于本题是解答题，故不可直接使用此二级结论，但可用该二级结论试探答案，再解答，如果本题是选择题，或者填空题，本题可直接使用此二级结论：. 3．已知椭圆C：的离心率为，且过点． Ⅰ 求椭圆C的方程； Ⅱ 若是椭圆C上的两个动点，且使的角平分线总垂直于x轴，试判断直线PQ的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由. 【答案】Ⅰ ；（Ⅱ） 【分析】 （I）由离心率可得关系，再将点坐标代入，可得间关系，又，解方程可得的值； （II）由的角平分线总垂直于轴，可判断直线的斜率互为相反数，由两直线都过点，由点斜式可写出直线方程．一一与椭圆方程联立，消去或的值，可得一元二次方程，又点满足条件，可求得点的坐标，用表示．再由斜率公式可得直线的斜率为定值． 【详解】 (Ⅰ) 因为椭圆的离心率为, 且过点, 所以, . 因为, 解得, , 所以椭圆的方程为. (Ⅱ)法1：因为的角平分线总垂直于轴, 所以与所在直线关于直线对称. 设直线的斜率为, 则直线的斜率为. 所以直线的方程为, 直线的方程为. 设点, ,由消去, 得. ① 因为点在椭圆上, 所以是方程①的一个根, 则, 所以. 同理.所以. 又. 所以直线的斜率为. 所以直线的斜率为定值，该值为. 法2：设点， 则直线的斜率, 直线的斜率. 因为的角平分线总垂直于轴, 所以与所在直线关于直线对称. 所以, 即, ① 因为点在椭圆上, 所以，② . ③ 由②得, 得, ④ 同理由③得, ⑤ 由①④⑤得, 化简得, ⑥ 由①得, ⑦ ⑥⑦得. ②③得,得. 所以直线的斜率为为定值. 法3：设直线的方程为，点， 则, 直线的斜率, 直线的斜率. 因为的角平分线总垂直于轴, 所以与所在直线关于直线对称. 所以, 即, 化简得. 把代入上式, 并化简得 . (*) 由消去得, (**) 则, 代入(*)得, 整理得, 所以或. 若, 可得方程(**)的一个根为，不合题意. 若时, 合题意. 所以直线的斜率为定值，该值为. 2、斜率和差为定值 4.设抛物线的焦点为F，过F且斜率为1的直线l与E交于A，B两点，且． (1)求抛物线E的方程； (2)设为E上一点，E在P处的切线与x轴交于Q，过Q的直线与E交于M，N两点，直线PM和PN的斜率分别为和．求证：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题意，，直线l的方程为，代入，得．于是，∴焦点弦，解得p＝2．故抛物线E的方程为． （2）因在E上，∴m＝2．设E在P处的切线方程为，代入，得．由，解得t＝1，∴P处的切线方程为y＝x＋1，从而得． 易知直线MN的斜率存在，设其方程为，设，． 将代入，得．于是，，且，． ∴ ． 故为定值2． 5.已知椭圆过点，点与关于原点对称，椭圆上的点满足直线与直线的斜率之积为. (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆相交于两点，已知点，点与关于原点对称，讨论：直线的斜率与直线的斜率之和是否为定值？如果是，求出此定值；如果不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)是定值，0 【分析】（1）先求得，设，由可得，求得，从而可得椭圆方程； （2）设，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理可得，由题意得，而，把代入即可求解. 【详解】（1）因为椭圆过点，所以， 设满足，则， 又， 则， 所以椭圆的方程. （2）直线，代入椭圆，可得， 由于直线交椭圆于两点，所以，整理得. 设，由于点与关于原点对称，所以， 于是有， ， 又， 于是有 故直线的斜率与直线的斜率之和为0.    【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 6.已知双曲线的离心率为，点在双曲线上. (1)求双曲线的方程； (2)若为双曲线的左焦点，过点作直线交的左支于两点.点，直线交直线于点.设直线的斜率分别，求证：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由已知条件，列方程组求，可得双曲线标准方程； （2）设直线的方程与双曲线联立方程组，设两点坐标，表示出直线，得点坐标，表示出，结合韦达定理，证明为定值. 【详解】（1）由题意，双曲线的离心率为，且在双曲线上， 可得，解得，，所以双曲线的方程为. （2）双曲线的左焦点为， 当直线的斜率为0时，此时直线为，与双曲线左支只有一个交点，舍去； 当直线的斜率不为0时，设， 联立方程组，消得，易得， 由于过点作直线交的左支于两点， 设，，所以，， 由直线，得， 所以，又， 所以 ， 因为，所以，且， 所以，即为定值. 【点睛】方法点睛：解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．强化有关直线与双曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 3、 斜率之积为定值 7.已知抛物线的焦点为,直线与抛物线交于,两点,且． （1）求抛物线的方程； （2）若,是抛物线上一点,过点的直线与抛物线交于,两点（均与点不重合）,设直线,的斜率分别为,,求证：为定值． 【分析】(1)联立直线和抛物线方程,根据抛物线定义和焦半径公式得到,根据韦达定理可得到最终结果；（2）代入点坐标可得到参数的值,设直线的方程为,联立该直线和抛物线方程,,代入韦达定理可得到最终结果. 【解析】（1）设点,,点,, 联立,整理得, , 由抛物线的定义知, 解得, 抛物线的方程为． （2）,为抛物线上一点, ,即, 设,,,,直线的方程为, 由,消去得, ,, , 即为定值． 8.已知点在抛物线上,的焦点为,． （1）求抛物线的方程及； （2）经过点的直线与交于,两点,且,异于点,若直线与的斜率存在且不为零,证明：直线与的斜率之积为定值． 【解析】（1）由题知：. 所以抛物线的方程：. （2）当直线的斜率不存在时,直线为, 联立,得,. ,, 则. 当直线的斜率存在时,设直线为,设,, 则：,. 联立得： 因为,所以,． 所以, 所以, 所以直线与的斜率之积为定值． 9.已知椭圆的焦距为，且过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与椭圆相交于两点，设直线的斜率分别为，试探究是否为定值？请说明理由. 【答案】(1) (2)是，理由见解析 【分析】（1）根据条件，建立的方程，直接求出即可得到结果； （2）设出直线方程，联立，通过消元得到，再由韦达定理得，，再直接对化简即可求出结果. 【详解】（1）由，得到，又椭圆过点， 所以，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）由题意知直线斜率不为0，设直线方程为，， 联立，消整理得， 所以， 又 ， 所以为定值.    10.已知离心率为的椭圆与x轴，y轴正半轴交于两点，作直线的平行线交椭圆于两点. (1)若的面积为1，求椭圆的标准方程； (2)在（1）的条件下，记直线的斜率分别为，，求证：为定值； 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由离心率、椭圆参数关系及三角形面积列方程组求椭圆参数，即可得椭圆方程； （2）设直线CD为且，联立椭圆方程并整理，应用韦达定理及并化简即可证. 【详解】（1）由题设，即①，又②， 由①②解得，故椭圆的标准方程是 （2）设直线CD为代入，整理得， 则，则， 设，则，    所以 为定值. 11.动圆与圆：外切，与圆：内切. (1)求动圆的圆心的轨迹方程； (2)直线： 轴的平行线交线段于点，直线的斜率为（O为坐标原点），若，判断是否为定值？并说明理由. 【答案】(1)； (2)为定值，理由见解析. 【分析】（1）设动圆的半径为，由题可知，，结合椭圆的定义即可得解； （2）由题意可得，联立直线：与椭圆方程，得到两根之和、两根之积，代入化简得，又因为在椭圆上，所以，代入化简得，从而得，，从而得结论. 【详解】（1）解：设动圆的半径为，由题可知，， 从而， 所以圆心的轨迹是以为焦点的椭圆，轨迹方程为； （2）由可知平分，直线的斜率互为相反数，即，      设， 由得，， 由韦达定理可得：，， 而， 则， 即 ， 于是      ，. 化简得： ， 且又因为在椭圆上，即 ， 即，， 从而，， 又因为不在直线上，则有， 即 ， 所以为定值，且. 【点睛】方法点睛：定值问题常见方法：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； (2)直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 4、斜率之比为定值 12．椭圆C： 的左、右焦点分别是F1、F2，离心率为，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为l． （1）求椭圆C的方程； （2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1、PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围． （3）在（2）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点．设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，若k≠0，试证明为定值，并求出这个定值． 【答案】（1）；（2）；（3）-8 【解析】试题分析：（1）根据题意可得又因为，所以可得a，b的值，即可得方程；（2）设出点p坐标，由两点式列出直线方程，然后利用点m到两直线的距离相等来确定m值，再根据p点，横坐标的范围，来确定m范围；（3）设直线方程为与椭圆方程联立，需满足求得，由（2）可知，代入化简即可 试题解析：（1）由于 由题意知 又 （2）设 由题意知 由于点P在椭圆上，所以 所以 （3）设则直线l的方程为 联立 由题意得 又 由（2）知 所以 因此 考点：1．椭圆方程的性质；2．直线与椭圆 13.已知椭圆的右焦点是，过点F的直线交椭圆C于A，B两点，若线段AB中点Q的坐标为． (1)求椭圆C的方程； (2)已知是椭圆C的下顶点，如果直线y=kx+1（k≠0）交椭圆C于不同的两点M，N，且M，N都在以P为圆心的圆上，求k的值； (3)过点作一条非水平直线交椭圆C于R、S两点，若A，B为椭圆的左右顶点，记直线AR、BS的斜率分别为k1、k2，则是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)为定值，理由见解析. 【分析】（1）由点差法可得结合，解方程组可得、的值，从而可得椭圆C的方程； （2）依题意可知点P在线段MN的垂直平分线上，则可得线段MN的垂直平分线方程为，再由线段MN的中点在此直线上，代入解方程即可求得k的值； （3）设直线的方程为，联立椭圆方程可得，，则，代入计算即可得结果. 【详解】（1）设，，直线AB的斜率显然存在，则， 因为线段AB中点Q的坐标为，所以，， 直线AB的斜率， A，B两点在椭圆椭圆C上， 所以，，两式相减得 ， 即， 所以，整理得，① 又且，② 由①②可解得，， 所以椭圆C的方程为. （2）由得， 则，，， 设M，N中点为， 则，， 因为M，N都在以P为圆心的圆上，所以，则点P在线段MN的垂直平分线上， 依题意，所以线段MN的垂直平分线方程为， M，N中点为在此直线上， 所以有，即，解得. 所以k的值为. （3）依题意有，，， 设直线的方程为， 由得， 则，， ， 所以为定值.    题型二：距离型定值 14．已知椭圆的离心率为，且过点． （1）求C的方程； （2）点M，N在C上，且，D为垂足，问是否存在定点Q，使得为定值，若存在，求出Q点，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）存在，答案见解析. 【分析】 （1）由题意得到关于的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程； （2）设出点，的坐标，在斜率存在时设方程为, 联立直线方程与椭圆方程，根据已知条件，已得到的关系，进而得直线恒过定点，在直线斜率不存在时要单独验证，然后结合直角三角形的性质即可确定满足题意的点的位置. 【详解】 （1）由题意可得：，解得：， 故椭圆方程为：. (2)设点， 若直线斜率存在时，设直线的方程为：， 代入椭圆方程消去并整理得：， 可得，， 因为，所以，即， 根据,代入整理可得： ， 所以， 整理化简得， 因为不在直线上，所以， 故，所以， 于是的方程为， 所以直线过定点直线过定点， 当直线的斜率不存在时，可得， 由得：， 得，结合可得：， 解得：，或，当时与横坐标重合舍去， 此时直线过点， 令为的中点，即， 若与不重合，则由题设知是的斜边， 故， 若与重合，则， 故存在点，使得为定值. 【点睛】 关键点点睛：本题的关键点是利用得 ，转化为坐标运算，需要设直线的方程，点，因此需要讨论斜率存在与不存在两种情况，当直线斜率存在时，设直线的方程为：，与椭圆方程联立消去可 ，代入即可，当直线的斜率不存在时，可得， 利用坐标运算以及三角形的性质即可证明，本题易忽略斜率不存在的情况，属于难题. 15. （2022松江区二模）已知椭圆的右顶点坐标为A（2，0），左、右焦点分别为F1、F2，且|F1F2|＝2，直线l交椭圆Γ于不同的两点M和N． （1）求椭圆Γ的方程； （2）若直线l的斜率为1，且以MN为直径的圆经过点A，求直线l的方程； （3）若直线l与椭圆Γ相切，求证：点F1、F2到直线l的距离之积为定值． 【答案】（1） （2）或 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意结合，可求得椭圆方程；（2）设直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及，即可求得直线l的方程；（3）分类讨论，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程y＝kx+b，与椭圆方程联立，由Δ＝0，可得b2＝3+4k2，结合点到直线的距离公式，即可求得点F1、F2到直线l的距离之积为定值． 【小问1详解】 因为|F1F2|＝2c＝2，则c＝1， 因为a＝2，， 所以椭圆Γ的方程； 【小问2详解】 因为直线l的斜率为1，故设直线l的方程为y＝x+m，设M（x1，y1），N（x2，y2）， 由，消去y整理得， 则，， 因为以MN为直径的圆经过右顶点A，则， 所以，即 整理得 ∴ 整理得，解得或， 因为， 显然当或时，成立 所以直线l的方程为或； 【小问3详解】 证明：椭圆Γ的左、右焦点分别为， ①当直线l平行于y轴时，因为直线l与椭圆Γ相切，所以直线l的方程为x＝±2， 此时点F1、F2到直线l的距离分别为d1＝1，d2＝3，所以d1d2＝3， ②当直线l不平行与y轴时，设直线l的方程为y＝kx+b， 联立，消去y整理得， 所以， 因为直线l与椭圆Γ相切，则Δ＝0，所以， 因为到直线l的距离为，到直线l的距离为， 所以， 所以点F1、F2到直线l的距离之积为定值，且定值为3． 【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量的坐标运算，点到直线的距离公式，考查转化思想，分类讨论思想，计算能力，属于难题． 16.已知椭圆的长轴长是焦距的2倍，点是椭圆的右焦点，且点在椭圆上，直线与椭圆交于A，两点. (1)求椭圆的方程； (2)当时，求的面积； (3)对，的周长是否为定值？若是，给出证明，并求出定值；若不是，说明理由. 【答案】(1) (2) (3)是，定值为8，证明见解析 【分析】（1）由a、b、c关系及点在椭圆上建立方程组即可解得参数； （2），联立直线与椭圆方程，结合韦达定理即可求. （3）判断直线恒过左焦点，由椭圆定义可得周长为定值. 【详解】（1）长轴长是焦距的2倍，则，则， ∴椭圆为，代入点得，解得. ∴椭圆的方程为. （2），则直线为，过椭圆左焦点，右焦点为. 设，由得，∴， ，. ∴. ∴. （3）的周长为定值，理由如下： 直线l恒过椭圆左焦点，由椭圆定义可知的周长为. 17．已知直线l的方程为x＝﹣2，且直线l与x轴交于点M，圆O：与x轴交于A，B两点（如图）． （1）过M点的直线l1交圆于P、Q两点，且O点到直线l1的距离为，求直线l1的方程； （2）求以l为准线，中心在原点，且短轴长为圆O的半径的椭圆方程； （3）过M点的圆的切线l2，交（2）中的一个椭圆于C、D两点，其中C、D两点在x轴上方，求线段CD的长． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】 （1）可设直线l1的方程为y＝k（x+2），由点到直线的距离公式可得k的方程，解方程可得； （2）设椭圆的方程为1（a＞b＞0），易得a＝1或b＝1，分别可得b和a值，可得方程； （3）可设直线l2的方程为y（x+2）和椭圆联立可得5x2+8x+2＝0，由弦长公式可得． 【详解】 （1）∵点到直线的距离为. 设的方程为，∴，∴. ∴的方程为. （2）设椭圆方程为，半焦距为，则. ，，∴.∴所求椭圆方程为. （3）设切点为，则由题意得，椭圆方程为， 在中，，，则， ∴的方程为，代入椭圆中，整理得. 设，，则，. ∴. 【点睛】 本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用． 18.在平面直角坐标系Oxy中,点M是以原点O为圆心,半径为a的圆上的一个动点.以原点O为圆心,半径为的圆与线段OM交于点N,作轴于点D,作于点Q. （1）令,若,,,求点Q的坐标； （2）若点Q的轨迹为曲线C,求曲线C的方程； （3）设（2）中的曲线C与x轴的正半轴交于点A,与y轴的正负半轴分别交于点,,若点E､F分别满足,,设直线和的交点为K,设直线：及点,（其中）,证明：点K到点H的距离与点K到直线l的距离之比为定值. 【解析】（1）设,则由题知 ,因此 （2） （2）设及,则由题知 ,则点Q的轨迹C为椭圆,方程为：. （3）设,由题知,,,,, ：,即, ：,即, 联列上述直线方程,解得. 令点到直线的距离为,则. 因此有. 19．已知,分别是双曲线C：(,)的左、右焦点,,P是C上一点,,且. （1）求双曲线C的标准方程； （2）经过点的直线l与双曲线C交于A,B两点,过点A作直线的垂线,垂足为D,过点O作(O为坐标原点),垂足为M.则在x轴上是否存在定点N,使得为定值？若存在,求出点N的坐标；若不存在,请说明理由. 【解析】（1）由题意得, ∵,, ∴, 又,∴,解得, ∴,, ∴双曲线C的标准方程为. （2）由(1)得,设,,则, 易知直线l的斜率不为0,设直线l的方程为,, 联立直线l与双曲线C的方程,消去x得, ∵,∴,. ∵直线BD的斜率, ∴直线BD的方程为, 设BD交x轴于E点,如图,∵OM⊥BD,∴若在x轴上存在定点N,使得为定值,则E为定点,N为OE中点,,即直线BD过x轴上的定点E. 在直线BD的方程中,令,得 , ∴直线BD过定点. ∴,则. 综上,在x轴上存在定点,使得为定值. 20.在平面直角坐标系中, 圆 过点 和点 , 圆心 到直线 的距离等于 . （1）求圆 的标准方程; （2）若圆心 在第一象限, 为圆 外一点, 过点 做圆 的两条切线, 切点分别为 , 四边形 的面积为 , 问线段 CM 的长是否为定值？若为定值, 请求出定值; 若不是定值, 请说明理由. 【答案】 (1) 或 . (2) 【解析】 (1) 因为圆 过点 和点 , 所以圆心 在线段 的垂直平分线 上,所以可设圆心为 , 因为圆心 到直线 的距离等于 , 所以 , 解得 , 当 时, 圆心为 , 半径 , 圆 的方程为: , 当 时, 圆心为 , 半径 , 圆 的方程为: 所以圆 的标准方程为: 或 . （2）由题知：因为 , 所以四边形 的面积 , 因为 , 所以 , 所以 , 所以 ， 即线段 的长度为定值 2 . 21.已知椭圆 的离心率为 , 且过点 . (1) 求 的方程: (2) 点 在 上, 且 为垂足. 证明：存在定点 , 使得 为定值. 【答案】 (1) (2) 详见解析. 【解析】 （1）由题意可得：，解得：，故椭圆方程为： （2）设点 , 因为 , 即 (1) 当直线 的斜率存在时, 设方程为 , 如图 1 . 代入椭圆方程消去 并整理得: , (2) 根据 , 代入(1)整理可得: 将(2)代入, , 整理化简得 , ∵ 不在直线 上, ∴, ∴ 于是 的方程为 , 所以直线 过定点 . 当直线 的斜率不存在时, 可得 , 如图 2 . 代入 , 得 , 结合 , 解得 或 （舍）, 此时直线 过点 , 由于为定值，且为直角三角形，为斜边， 所以中点满足为定值，即定值). 由于，由中点坐标公式可得. 故存在点，使得为定值. 22．设椭圆C：1（a＞b＞0）的一个顶点与抛物线C：x2＝4y的焦点重合，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，且离心率e且过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于M、N两点． （1）求椭圆C的方程； （2）是否存在直线l，使得2．若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由． （3）若AB是椭圆C经过原点O的弦，MN∥AB，求证：为定值． 【答案】（1）（2）或（3）定值 【分析】 （1）根据抛物线的焦点确定椭圆的顶点，结合离心率，即可求出椭圆的标准方程．（2）由题可知，椭圆的右焦点为（1，0），直线l与椭圆必相交．分两种情况讨论：①当直线斜率不存在时，经检验不合题意；②设存在直线l为y＝k（x﹣1）（k≠0），与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合向量条件，即可求得直线l的方程；（3）设M（x1，y1），N（x2，y2），A（x3，y3），B（x4，y4），求出|MN|与|AB|的长，从而可证结论． 【详解】 （1）抛物线的焦点为 ∵椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合 ∴椭圆的一个顶点为，即 ∵，∴a＝2， ∴椭圆的标准方程为 （2）由题可知，椭圆的右焦点为（1，0），直线l与椭圆必相交． ①当直线斜率不存在时，M（1，），N（1，），∴，不合题意． ②设存在直线l为y＝k（x﹣1）（k≠0），且M（x1，y1），N（x2，y2）． 由得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0， ，， 所以， 故直线l的方程为或 （3）证明：设M（x1，y1），N（x2，y2），A（x3，y3），B（x4，y4） 由（2）可得：|MN| ． 由消去y，并整理得：， |AB|， ∴为定值 【点睛】 本题重点考查椭圆的标准方程，考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查向量知识的运用，解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化． 23．已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为． （1）证明：； （2）设为的右焦点，为上一点,且．证明：，，成等差数列，并求该数列的公差． 【答案】（1） （2）或 【详解】 分析：（1）设而不求，利用点差法进行证明． （2）解出m,进而求出点P的坐标，得到,再由两点间距离公式表示出，得到直的方程，联立直线与椭圆方程由韦达定理进行求解． 详解：（1）设，则. 两式相减，并由得 . 由题设知，于是 .① 由题设得，故. （2）由题意得，设，则 . 由（1）及题设得. 又点P在C上，所以，从而，. 于是 . 同理. 所以. 故，即成等差数列. 设该数列的公差为d，则 .② 将代入①得. 所以l的方程为，代入C的方程，并整理得. 故，代入②解得. 所以该数列的公差为或. 点睛：本题主要考查直线与椭圆的位置关系，等差数列的性质，第一问利用点差法，设而不求可减小计算量，第二问由已知得到,求出m得到直线方程很关键，考查了函数与方程的思想，考察学生的计算能力，难度较大． 题型三：面积型定值 24．已知椭圆C：1（a＞b＞0）的离心率为，O是坐标原点，点A，B分别为椭圆C的左右顶点，|AB|＝4． （1）求椭圆C的标准方程． （2）若P是椭圆C上异于A，B的一点，直线l交椭圆C于M，N两点，AP∥OM，BP∥ON，则△OMN的面积是否为定值？若是，求出定值，若不是，请说明理由． 【答案】（1）1；（2）是，定值2． 【分析】 由题知,,由及的关系即可求解; 由题意可得A（﹣2，0），B（2，0），设P（x0，y0）则x02+2y02＝8，可得,分直线l的斜率存在和不存在两种情况分别求△OMN的面积即可. 【详解】 由2a＝4，e， 解得a＝2，c＝2，b2＝a2﹣c2＝4， 则椭圆的方程为1； （2）由题意可得A（﹣2，0），B（2，0）， 设P（x0，y0），可得1，即x02+2y02＝8， 则•， 因为AP∥OM,BP∥ON，则， ①当直线l的斜率不存在时，设l：x＝m，联立椭圆方程可得y＝±， 所以,由, 可得，解得m＝±2，所以, 所以S△MNO2×22； ②当直线l的斜率存在时，设直线l：y＝kx+n，M（x1，y1），N（x2，y2）， 联立直线y＝kx+n和x2+2y2＝8，可得（1+2k2）x2+4knx+2n2﹣8＝0， 可得x1+x2，x1x2， y1y2＝（kx1+n）（kx2+n）＝k2x1x2+kn（x1+x2）+n2， 由k2，可得n2＝2+4k2， 由弦长公式可得,|MN|•••， 点（0，0）到直线l的距离为， 所以S△OMNd•|MN|＝2， 综上可知,△OMN的面积为定值2． 【点睛】 本题考查椭圆标准方程和直线与椭圆的位置关系及弦长公式;考查分类讨论思想和运算求解能力;分直线l的斜率存在和不存在两种情况分别求△OMN的面积是求解本题的关键,亦是易错点;属于中档题、常考题型. 25.已知椭圆，的左右焦点分别是，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切，点在椭圆上. (1)求椭圆的方程; (2)若直线与椭圆相交于两点，且的面积是否为定值?若是，求出定值;若不是，请说明理由. 【答案】(1)(2)面积为定值. 【解析】(1)依题意有， 故椭圆的方程为. (2)联立，可得， 则(1) 由，可得，所以，所以， 整理可，满足(1) 设原点到直线的距离为，则， 为定值. 26.已知离心率为的椭圆经过点. (1)求椭圆的方程; (2)若椭圆的右焦点为，过点的直线与椭圆分别交于，若直线的斜率成等差数列，请问的面积是否为定值？若是，求出此定值;若不是，请说明理由. 【答案】(1)(2)是，. 【解析】(1)因为椭圆的离心率为，所以，即， 又，所以，(1) 因为点在椭圆上，所以，(2) 由(1)(2)解得，所以椭圆的方程为. (2)可知，可设所在直线的方程为， 由得 设，则 设直线的斜率分别为， 因为三点共线，所以，即， 所以因为直线的斜率成等差数列，所以， 即，化简得，即点恒在直线上， 又因为直线方程为，且， 所以为定值. 27．已知椭圆：()的左､右焦点分别为，，离心率为，点是椭圆上一点，的周长为. （1）求椭圆的方程； （2）直线：与椭圆交于，两点，且四边形为平行四边形，求证：的面积为定值. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】 （1）由抛物线的定义和离心率得出椭圆的方程； （2）联立直线与椭圆方程，利用根与系数的关系求出点坐标，代入椭圆方程，再由弦长公式，点线距公式结合三角形的面积公式化简计算可得定值． 【详解】 （1）因为的周长为， 所以，即. 又离心率，解得，， . ∴椭圆的方程为. （2）设，，， 将代入 消去并整理得， 则，， ， ∵四边形为平行四边形， ∴，得， 将点坐标代入椭圆方程得， 点到直线的距离为，， ∴平行四边形的面积为 . 故平行四边形的面积为定值为. 【点睛】 关键点点睛：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查点线距公式和弦长公式，解决本题的关键点是借助于平面向量的坐标表示，利用点在曲线上得出方程，代入平行四边形的面积公式，消去参数得出定值，考查学生计算能力，属于中档题． 28.如图,已知抛物线：,,,过点垂直于轴的垂线与抛物线交于,,点,满足,. （1）求证：直线与抛物线有且仅有一个公共点； （2）设直线与此抛物线的公共点为,记与的面积分别为,,求的值. 【解析】（1）易知,设,由,可得, 故有,同理, 于是直线的方程是, 即①与抛物线方程联立,即 得到, 此方程有两个相等的根：代入①,得, 故直线与抛物线有且仅有一个公共点 （2） 设直线与轴交于,则, 于是 故有. 29.已知抛物线的焦点为，点为坐标原点，一条直线过定点与抛物线相交于、两点，且. (1)求抛物线方程； (2)连接，并延长交抛物线于、两点，设和的面积分别为和，则是否为定值？若是，求出其值；若不是，请说明理由. 【答案】(1)； (2)存在定值，定值为.理由见解析. (1)设直线的方程为：， 与抛物线方程联立为：，设， 所以，因为， 所以， 化简得：，把代入得： ，所以抛物线的方程为； (2)抛物线的焦点， 设直线的方程为：， 与抛物线方程联立为：，设， 所以，即， 设，同理可得：，即， ，因为，所以， 因为，所以， 而，，， 所以，因此为定值，定值为. 题型四：角度型定值 30.已知椭圆 上的点到它的两个焦的距离之和为 4 , 以椭圆 的短轴为直径的圆 经过这两个焦点, 点 分别是椭圆 的左、右顶点. (1) 求圆 和椭圆 的方程. (2) 已知 分别是椭圆 和圆 上的动点 位于 轴两侧 , 且直线 与 轴平行,直线 分别与 轴交于点 . 求证: 为定值. 【答案】 (1) ( 2 ）见解析. 【解析】（1）依题意 , 得 , ∴ 圆方程 , 椭圆 方程 . （2）设 , ∴ ∵ 方程 , 令 时, , 方程为 , 令 得 , ∴, ∴ ∴. 31．已知点F1为椭圆的左焦点，在椭圆上，PF1⊥x轴． （1）求椭圆的方程： （2）已知直线l与椭圆交于A，B两点，且坐标原点O到直线l的距离为的大小是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由． 【答案】（1）y2＝1；（2）∠AOB为定值 【分析】 （1）由PF1⊥x轴，及点P的坐标可得F1的坐标，即c的值，将P的坐标代入，由a，b，c之间的关系的关系求出a，b的值，进而求出椭圆的方程； （2）分直线l的斜率存在和不存在两种情况讨论：当斜率不存在时由原点到直线的距离可得直线l的方程，代入椭圆中求出A，B的坐标，进而可得数量积的值为0，可得∠AOB；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程与椭圆联立求出两根之和及两根之积，由原点到直线的距离可得参数之间的关系，将其代入数量积的表达式，可得恒为0，即∠AOB恒为定值 【详解】 （1）因为PF1⊥x轴，又在椭圆上，可得F1(﹣1，0)， 所以c=1，1，a2=c2+b2， 解得a2=2，b2=1， 所以椭圆的方程为：y2=1； （2）当直线l的斜率不存在时，由原点O到直线l的距离为， 可得直线l的方程为：x， 代入椭圆可得A(,)，B(,)或A(,)，B(,)， 可得，所以∠AOB； 当直线l的斜率存在时，设直线的方程为：y=kx+m，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由原点O到直线l的距离为，可得，可得3m2＝2(1+k2)，① 直线与椭圆联立，整理可得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣2=0， =16k2m2﹣4(1+2k2)(2m2﹣2)>0，将①代入中可得=16m2+8>0， x1+x2，x1x2， y1y2＝k2x1x2+km(x1+x2)+m2， 所以， 将①代入可得0， 所以∠AOB； 综上所述∠AOB恒成立． 【点睛】 32.已知过点的双曲线的渐近线方程为.如图所示，过双曲线的右焦点作与坐标轴都不垂直的直线交的右支于两点. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知点，求证：； (3)若以为直径的圆被直线截得的劣弧为，则所对圆心角的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)是，定值为 【分析】(1)利用双曲线的渐近线方程可设出双曲线的方程，再将点的坐标代入即可求解； (2)要证，只需证即可； (3)构造直角三角形，利用锐角三角函数即可求出定值. 【详解】（1）因为双曲线的渐近线方程为， 所以设双曲线方程为，又双曲线过点， 则， 所以双曲线的方程为，即. （2）由(1)可知，的斜率存在且不为0，所以设的方程为， 联立，消去得， 设，由题意得， 所以，且， 所以 ， 所以，即得证. （3）由(2)可知恒成立，， 所以圆心到的距离， 半径， 设所对圆心角为， 则， 因为为劣弧，所以， 所以，所以，即所对圆心角的大小为定值. 33．已知椭圆上的点到它的两个焦点的距离之和为4，以椭圆的短轴为直径的圆经过这两个焦点，点，分别是椭圆的左、右顶点． （Ⅰ）求圆和椭圆的方程； （Ⅱ）已知，分别是椭圆和圆上的动点，位于轴两侧），且直线与轴平行，直线，分别与轴交于点，．求证：为定值． 【解答】解：（Ⅰ）依题意得解得：，． 所以圆的方程为，椭圆的方程为． （Ⅱ）证法一：如图所示，设，，，，则即， 又由得． 由得． 所以，． 所以． 所以，即． （Ⅱ）证法二：如图所示，设，，． 由得． 所以，即． 所以，即． 所以 直线的斜率为． 所以． 令得：，． 设，，则，． 所以． 因为， 所以． 所以，即． 34．已知点，为椭圆上任意一点，直线与圆交于，两点，点为椭圆的左焦点． （1）求椭圆的离心率及左焦点的坐标； （2）求证：直线与椭圆相切； （3）判断是否为定值，并说明理由． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，，则， 椭圆的离心率，左焦点的坐标， 证明：（Ⅱ）由题意可得， 当时，直线的方程为或，直线与椭圆相切， 当时，由可得， 即， △， 故直线与椭圆相切． （Ⅲ）设，，，， 当时，，，， ， ，即 当时，由，， 则，， ， ，， ， ，即 综上所述为定值． 35．已知椭圆：的上下顶点分别为，且点．分别为椭圆的左、右焦点，且． （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）点是椭圆上异于，的任意一点，过点作轴于，为线段 的中点．直线与直线交于点，为线段的中点，为坐标原点．求 的大小． 【答案】（1）（2）见解析 【解析】 试题分析：（1）由顶点坐标得再在中利用椭圆几何条件得．（2）利用向量数量积研究的大小．先设 ，则得 ．求出直线与直线交点，得 ．再根据向量数量积得，根据代入化简得，即得． 试题解析：解：(Ⅰ)依题意，得．又， 在中，，所以． 所以椭圆的标准方程为． (Ⅱ)设 ，，则 ， ． 因为点在椭圆上，所以．即． 又 ，所以直线的方程为． 令，得 ． 又 ，为线段的中点，所以 ． 所以，． 因为 ， 所以．． 题型五：数量积型定值 36．已知双曲线方程为，，为双曲线的左、右焦点，离心率为2，点为双曲线在第一象限上的一点，且满足，． （1）求双曲线的标准方程； （2）过点作直线1交双曲线于、两点，则在轴上是否存在定点使得为定值，若存在，请求出的值和该定值，若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）由题意可得，可得，， 所以， 又因为，． 在△中，由． 由，所以可得， 而， 所以， 可得，， 所以双曲线的方程为：； （2）由（1）可得， 当直线的斜率为0时，，此时，， 由，则， 当的斜率不为0时，设，，，，， 联立，整理可得：， 因为，，， 因为，， ， 要使为定值，则，解得， 所以．定值为0． 37．已知，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的一点． （1）若点的坐标为，，求△的面积； （2）若点的坐标为，，且是钝角，求横坐标的范围； （3）若点的坐标为，且直线与椭圆交于两不同点，，求证：为定值，并求出该定值． 【解答】解：（1）因为点在椭圆上，所以，因为，所以， 因为，，所以，， 所以； （2）因为点在椭圆上，所以， 由余弦定理得， 因为是钝角，所以， 又因为，所以，解得，的范围为； （3）证明：设，，，， 由得， ，， 又， 所以 ， 即有为定值． 38.已知椭圆：的离心率为,,分别为椭圆的左,右焦点,为椭圆上一点,的周长为. （1）求椭圆的方程； （2）为圆上任意一点,过作椭圆的两条切线,切点分别为A,B,判断是否为定值?若是,求出定值：若不是,说明理由, 【分析】（1）由离心率和焦点三角形周长可求出,结合关系式得出,即可得出椭圆的方程； （2）由平行于轴特殊情况求出,即；当平行于轴时,设过的直线为,联立椭圆方程,令化简得关于的二次方程,由韦达定理即可求解. 【解析】（1）由题可知,,解得,又,解得,故椭圆的标准方程为：； （2） 如图所示,当平行于轴时,恰好平行于轴,,,； 当不平行于轴时,设,设过点的直线为, 联立得, 令得,化简得 ,设,则,又, 故,即. 综上所述,. 39.已知椭圆Γ：＝1（a＞b＞0）过点P（0，2），且它的一个焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同．直线l过点Q（1，0），且与椭圆Γ相交于A、B两点． （1）求椭圆Γ的方程； （2）若直线l的一个方向向量为，求△OAB的面积（其中O为坐标原点）； （3）试问：在x轴上是否存在点M，使得为定值？若存在，求出点M的坐标和定值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由抛物线的方程可得焦点坐标，由题意可得椭圆的c值，再由椭圆过的定点可得b的值，又由a，b，c之间的关系求出椭圆的方程； （2）由直线l的一个方向向量为＝（1，2），可得直线l的方程，与椭圆联立可得A，B的坐标，进而求出面积； （3）分直线l的斜率为0和不为0两种情况讨论，当直线l的斜率不为0设直线l的方程，与椭圆联立，求出两根之和及两根之积，求出数量积，要使之为定值，则需使分子、分母的多样性系数成比例，求出定点，进而求出的值．当斜率为0时，求出A，B的坐标，求出数量积也为定值． 【解答】解：（1）由椭圆过（0，2），可得b＝2，再由抛物线的方程y2＝8x可得焦点为（2，0）， 所以由题意可得椭圆的焦点（2，0），又a2＝b2+c2， 可得， 故椭圆方程为． （2）由直线l的方向向量（1，2），可得直线l的斜率为2，又过（1，0）， 所以可得l的方程：y＝2x﹣2，将直线与椭圆联立得，B（0，﹣2）， 故S△OAB＝|OQ|•|yA﹣yB|＝•1•|+2|＝． （3）假设存在这样的点M（a，0）， ①当直线斜率不为0时，设：l：x＝my+1，M（a，0），A（x1，y1），B（x2，y2）， 将l与椭圆联立得（m2+2）y2+2my﹣7＝0， ＝ ＝，由于该式为定值， 故，定值为﹣． ②当直线斜率为0时，，， ＝（2﹣，0）（﹣2﹣，0）＝﹣8+＝﹣． 综上，定点，定值﹣． 【点评】本题考查求椭圆的方程的方法及直线与椭圆的综合，以及数量积为定值的性质，属于中档题． 40.椭圆是椭圆的左右顶点，点是椭圆上的任意一点. (1)证明：直线，与直线，斜率之积为定值. (2)设经过且斜率不为0的直线交椭圆于两点，直线与直线交于点，求证:为定值. 【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析. 【解析】(1)由题意，设点， 则直线的斜率为，直线的斜率为， 所以 又由点在椭圆上，可得，即， 所以，即直线与直线的斜率之积为定值. (2)由直线过点，所以直线的方程为， 联立方程组，整理得， 设，则， 则，即， 又由直线，直线， 联立方程组，可得， 整理得， 解得，即点 又由向量， 所以(定值)， 即为定值. 41．已知双曲线的中心在原点，是它的一个顶点．是它的一条渐近线的一个方向向量． （1）求双曲线的方程； （2）设，为双曲线右支上动点，当取得最小时，求四边形的面积； （3）若过点任意作一条直线与双曲线交于，两点，都不同于点，求证：为定值． 【解答】解：设双曲线的方程为，则， 又，得，的以双曲线的方程为； （2）设，，则，于是 故的最小值为，此时，， 于是， （3）当直线垂直于轴是时，其方程为， ，的坐标分别为，， ，，得， 当直线不与轴垂直时，设此直线方程为， 由得，设，，，，则，， 所以 ， 综上，为定值． 42．已知椭圆的离心率为，右焦点为，直线l经过点F，且与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点． （1）求椭圆的标准方程； （2）当直线l绕点F转动时，试问：在x轴上是否存在定点M，使得为常数?若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）（2）存在定点满足题意 【分析】 （1）由题意得，再根据右焦点为，求出的值，就可得到的值，再根据，，的关系，解出值，则椭圆方程可知；（2）当直线斜率存在时，设出直线的方程，与椭圆方程联立，消去，得到关于的一元二次方程，求出，，设出M点坐标，以及，要使其为常数，只需要，化简，可求出的值，当直线垂直于轴时，同样求出的值，两者一致，所以在轴上存在定点M，使得为常数. 【详解】 （1）由题意可知，，又，解得， 所以，所以椭圆的方程为． （2）若直线不l垂直于x轴，可设的方程为． 由得． ． 设，，则，． 设，则，， 要使得（为常数），只要， 即． 对于任意实数k，要使式恒成立， 只要，解得． 若直线l垂直于x轴，其方程为， 此时，直线l与椭圆两交点为，， 取点，有，， ． 综上所述，过定点的动直线l与椭圆相交于A，B两点，当直线l绕点F转动时，存在定点，使得． 【点睛】 本题主要考查了椭圆方程的求法，以及动直线与椭圆相交时存在性问题的解法．做题时综合运用了向量数量积的运算，韦达定理的应用，属于难题. 题型六：参数型定值 43．已知抛物线经过点，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，，且直线交轴于，直线交轴于． （Ⅰ）求直线的斜率的取值范围； （Ⅱ）设为原点，，，求证：为定值． 【解答】解：（Ⅰ）抛物线经过点，，解得， 设过点的直线方程为，，，， 联立方程组可得，消可得， △，且解得， 且，，， 又、要与轴相交，直线不能经过点，即， 故直线的斜率的取值范围，，，； （Ⅱ）证明：设点，， 则， 因为，所以，故，同理， 直线的方程为， 令，得，同理可得， 因为 ， ，为定值． 44．已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于、两点，与共线． （Ⅰ）求椭圆的离心率； （Ⅱ）设为椭圆上任意一点，且，证明为定值． 【解答】解：（1）设椭圆方程为 则直线的方程为，代入， 化简得． 令，，，， 则． 与共线， ，又，， ， ． 即， 所以． ， 故离心率． 证明：由（1）知， 所以椭圆可化为． 设， 由已知得，，，， 在椭圆上， ． 即．① 由（1）知． ， ． 又，， 代入①得． 故为定值，定值为1． 题型七：运算关系定值 45．已知椭圆：： 的离心率 ，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为.，是椭圆的两个焦点. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆相交于不同的两点，已知点的坐标为，若，求直线的方程； (3)设是椭圆上一点，直线与椭圆交于另一点，点满足：轴且，求证：是定值. 【答案】(1) (2) (3)14 【分析】（1）由离心率公式以及椭圆的性质列出方程组得出椭圆的方程； （2）联立直线和椭圆方程，利用韦达定理得出点坐标，最后由距离公式得出直线的方程． （3）设，，，计算，求出直线，将其与椭圆联立求得，则，最后计算两者之和即可得到定值. 【解析】（1）由题意可得，得，，椭圆； （2）设，，直线为． 由，得 显然，由韦达定理有：，则； 所以，且， 若，即 解得，所以． （3）由题意可得，， 设，，，则， 由，可得， ； 直线的方程为，得， 与椭圆方程联立， 可得， 所以， 即有， 所以． 所以，是定值． 【点睛】关键点睛：本题第二问主要是由弦长求直线方程，通常采用弦长公式，本题已知其中一交点坐标则可以利用韦达定理求出另一交点坐标，再利用两点距离公式得到关于的弦长方程，则可得到值，第三问的关键在于首先利用面积关系及在椭圆上得到，再写出直线的方程，将其与椭圆联立，利用两根之和式得到，从计算出，最后即可证明定值. 46．已知抛物线．的焦点为，直线与轴相交于点，与曲线相交于点，且． （1）求抛物线的方程； （2）过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，过，分别作抛物线的切线，两切线交于点，求证点的纵坐标为定值． 【解答】解：（1）由已知抛物线的焦点， 由，得，即， 点， 所以， 所以抛物线方程：． （2）抛物线的焦点为， 设过抛物线的焦点的直线为． 设直线与抛物线的交点分别为，，，， 由，消去得：，根据韦达定理，得， 抛物线，即二次函数，对函数求导数，得， 所以抛物线在点处的切线斜率为， 可得切线方程为，化简得， 同理，得到抛物线在点处切线方程为， 两方程消去，得两切线交点纵坐标满足， ，，即点的纵坐标是定值． 47．已知椭圆的离心率为，椭圆与直线相切（有且只有一个公共点）． （1）求椭圆的方程； （2）为椭圆上一点，射线，分别交椭圆于点，，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【解答】解：（1）， 设椭圆方程为：，（1分） ， 因为直线与椭圆相切，则△，（3分） ，，所以椭圆方程为．（5分） （2）①当点在轴上时，由对称性不妨设点，此时，两点重合，、， 是定值．（6分） ②当点不在轴上时，由对称性不妨设，，，，，， 直线， 联立方程组：消得：， 且，（9分） 由韦达定理：，（10分） 同理， 则． 综上所述，线段比例和为定值．（12分） 48．已知椭圆经过与两点，过原点的直线与椭圆交于，两点，椭圆上一点满足． （1）求椭圆的方程； （2）求证：为定值； （3）是否存在定圆，使得直线绕原点转动时，恒与该定圆相切？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）设椭圆方程为，把点与代入椭圆方程可得 ，解得． 故椭圆方程为． （2）根据条件，可知在线段的垂直平分线上， 同时，关于原点对称． 若，在椭圆的短轴顶点上，则点在椭圆的长轴顶点上． 这时． 若，，不是椭圆的顶点， 不妨设， 代入椭圆方程得， 解得， 所以． 同时可得， 综上可知：不论，位置如何，总有． 49．如图，已知椭圆的左、右顶点为，，上、下顶点为，，记四边形的内切圆为． （1）求圆的标准方程； （2）已知圆的一条不与坐标轴平行的切线交椭圆于，两点． 求证：； 试探究是否为定值． 【解答】解：（1）因为，分别为椭圆的右顶点和上顶点，则，坐标分别为，，可得直线的方程为：， 则原点到直线的距离为，则圆的半径， 故圆的标准方程为， （2）可设切线，，，，， 将直线方程代入椭圆可得，由韦达定理得：则， 又与圆相切，可知原点到的距离，整理得， 则，所以，故． 由知， ①当直线的斜率不存在时，显然，，此时； ②当直线的斜率存在时，设代入椭圆方程可得，则， 故， 同理， 则． 综上可知：为定值． 题型八：坐标相关定值 50.已知椭圆的离心率为，四个顶点构成的四边形面积为． (1)求椭圆方程； (2)若直线交椭圆于，，且，求证为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题意设，，则．代入菱形的面积公式求出t即可求解； （2）直线方程联立椭圆方程，利用韦达定理表示，由题意，结合弦长公式可得，根据计算化简即可求解. 【详解】（1）由椭圆的离心率为，可设，，则． 四个顶点构成的四边形为菱形，其面积为， 即，即椭圆的方程为：． （2）， 联立直线与椭圆，消去y可得， ，， 得， 整理得， 而， 所以为定值． 51.已知离心率为的椭圆的下顶点为，过点B（0，3）作斜率存在的直线交椭圆C于P，Q两点，连AP，AQ分别与x轴交于点M，N，记点M，N的横坐标分别为xM，xN. (1)求椭圆C的标准方程； (2)试判断 xM xN  是否为定值？若为定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由. 【答案】(1) (2)是，定值为. 【分析】（1）根据条件，列出关于的方程组，即可求椭圆方程； （2）首先设直线方程，与椭圆方程联立，并求得根与系数的关系，分别利用点的坐标表示直线的方程，并利用韦达定理表示. 【详解】（1）由条件可知，解得， 所以椭圆C的标准方程为； （2）由条件设直线PQ的方程为， 联立得， 则，解得. 根据韦达定理得 根据题意，直线，令y=0，得，同理.， 于是 所以是定值，该定值为.    2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$