专题练习07 圆锥曲线的最值与范围问题-2024-2025学年高二上学期数学沪教版（2020）选择性必修第一册

上海高中数学2020选择性必修第一册重难点讲与练（培优课程） 专题训练07 圆锥曲线的最值与范围问题 题型1：长度或距离的最值与范围 1. 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，过点M(1，0)的直线l交椭圆C于A，B两点，|MA|＝λ|MB|，且当直线l垂直于x轴时，|AB|＝． (1)求椭圆C的方程； (2)若λ∈[，2]求弦长|AB|的取值范围． 2．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，其离心率e＝，点P为椭圆上的一个动点，△PF1F2 面积的最大值为4． (1)求椭圆的方程； (2)若A，B，C，D是椭圆上不重合的四个点，AC与BD相交于点F1，·＝0，求||＋||的取值范围． ３．设椭圆过，两点，为坐标原点． （1）求椭圆的方程； （2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，，且？若存在，写出该圆的方程，并求的取值范围；若不存在，说明理由． ４．在平面直角坐标系中，已知点，，点满足，点的轨迹为. （1）求的方程； （2）不过的直线与交于､两点，若直线的斜率是直线､斜率的等差中项，直线和线段的垂直平分线与轴分别交于､，求的最小值. 5．已知椭圆经过点，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆相交于两点，求的最大值. ６．己知等轴双曲线的顶点分别是椭圆的左、右焦点、. （1）求等轴双曲线的方程； （2）为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线和与椭圆的交点分别为，和，，求的最小值. 题型2：斜率的最值与范围 ７．已知双曲线的离心率为，且焦点到渐近线的距离为． （1）求双曲线的标准方程； （2）若以为斜率的直线与双曲线相交于两个不同的点，，且线段的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求实数的取值范围． ８．已知椭圆的方程为，双曲线的左、右焦点分别是的左、右顶点，而的左、右顶点分别是的左、右焦点． (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线恒有两个不同的交点和，且(其中为原点)，求的取值范围． ９．已知椭圆过点，焦点分别为，．短轴端点分别为，，． （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆相交于，两点，当线段的中点落在四边形内（包括边界）时，求直线的斜率的取值范围． 10.已知抛物线，直线过点且与交于，两点，其中. （1）若，且，求点的坐标； （2）若（为坐标原点），求实数的取值范围. 11.已知椭圆的左､右焦点分别为和，且，，，四点中恰有三点在椭圆C上. （1）求椭圆C的标准方程； （2）点P是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线和与直线分别交于G和H两点，设直线和的斜率分别为和，若线段GH的长度小于，求的最大值. 13.已知椭圆的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，焦点在轴上，有一个顶点为，． （1）求椭圆的方程； （2）过点作直线与椭圆交于两点，线段的中点为,求直线的斜率的取值范围. 题型3：参数的最值与范围 14.在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别为(－1，0)，(1，0)，且AC，BC所在直线的斜率之积等于－2，记顶点C的轨迹为曲线E． (1)求曲线E的方程； (2)设直线y＝kx＋2(0＜k＜2)与y轴相交于点P，与曲线E相交于不同的两点Q，R(点R在点P和点Q之间)，且＝λ，求实数λ的取值范围． 15. 已知椭圆的离心率为，且以原点为圆心，以短轴长为直径的圆过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若过点的直线与椭圆交于不同的两点，，且与圆没有公共点，设为椭圆上一点，满足为坐标原点），求实数的取值范围． 16. 已知中心在原点，焦点在y轴上的椭圆C，其上一点Q到两个焦点F1，F2的距离之和为4，离心率为． (1)求椭圆C的方程； (2)若直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，且线段MN恰被直线x＝－平分，设弦MN的垂直平分线的方程为y＝kx＋m，求m的取值范围． 17．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线x＋y＋1 ＝0与以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切． (1)求椭圆C的方程； (2)过点M(2，0)的直线l与椭圆C相交于不同的两点S和T，若椭圆C上存在点P满足＋＝t (其中O为坐标原点)，求实数t的取值范围． 18．已知椭圆E：＋y2＝1的左，右顶点分别为A，B，圆x2＋y2＝4上有一动点P，点P在x轴的上方， C(1，0)，直线PA交椭圆E于点D，连接DC，PB． (1)若∠ADC＝90°，求△ADC的面积S； (2)设直线PB，DC的斜率存在且分别为k1，k2，若k1＝λk2，求λ的取值范围． 19. 已知椭圆Γ：＋＝1，过点P(1，1)作倾斜角互补的两条不同直线l1，l2，设l1与椭圆Γ交于A、B两点，l2与椭圆Γ交于C，D两点． (1)若P(1，1)为线段AB的中点，求直线AB的方程； (2)若直线l1与l2的斜率都存在，记λ＝，求λ的取值范围． 题型4：坐标或截距最值与范围 20. 如图，设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|－1． (1)求p的值； (2)若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M．求M的横坐标的取值范围． 题型5：向量数量积的最值与范围 21．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且以原点为圆心，椭圆的焦距为直径的圆与直线xsin θ＋ycos θ－1＝0相切(θ为常数)． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作直线l与椭圆交于M，N两点，求·的取值范 围． 22．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，短轴长为2．直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于M，N两 点，又l与直线y＝x，y＝－x分别交于A，B两点，其中点A在第一象限，点B在第二象限，且△OAB的面积为2(O为坐标原点)． (1)求椭圆C的方程； (2)求·的取值范围． 23．已知点M在椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)上，且点M到椭圆C的左、右焦点的距离之和为 2． (1)求椭圆C的方程； (2)设O为坐标原点，若椭圆C的弦AB的中点在线段OM(不含端点O，M)上，求·的取值范围． 题型6：面积有关的最值与范围 24．已知椭圆的离心率是，，分别是椭圆的左、右焦点．以线段为直径的圆的内接正三角形的边长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知点，，直线与椭圆交于，两点，求面积的最大值． 25．在平面直角坐标系中，已知椭圆和抛物线，椭圆的左，右焦点分别为，，且椭圆上有一点满足，抛物线的焦点为． （1）求椭圆的方程； （2）过作两条互相垂直的直线和，其中直线交椭圆于，两点，直线交抛物线于，两点，求四边形面积的最小值． 26．如图，在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，过椭圆右焦点作两条互相垂直的弦与．当直线斜率为0时，． （1）求椭圆的方程； （2）求由，，，四点构成的四边形的面积的取值范围． 27．已知椭圆的离心率为，，是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，的最小值为2． （1）求椭圆的方程； （2）过点且与轴不重合的直线交椭圆于，两点，圆是以为圆心椭圆的长轴长为半径的圆，过且与垂直的直线与圆交于，两点，求四边形面积的取值范围． 28．已知椭圆的焦距为4，左、右焦点分别为、，且与抛物线的交点所在的直线经过． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）分别过、作平行直线、，若直线与交于，两点，与抛物线无公共点，直线与交于，两点，其中点，在轴上方，求四边形的面积的取值范围． 29. 在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，过椭圆C的焦点F作长轴的垂线，交椭圆于点P，且． (1)求椭圆C的方程； (2)假设直线与椭圆C交于A，B两点．若原点O到直线l的距离为1，并且，当时，求的面积S的取值范围． 30.平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别是、 ．以为圆心以3为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆上． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设椭圆：，为椭圆上任意一点，过点的直线 交椭圆于两点，射线交椭圆于点．( i )求的值；（ii）求△面积的最大值． 31.已知椭圆的左、右焦点分别是,离心率,过点且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为． （1）求椭圆的方程; （2）若直线过椭圆的右焦点,且与轴不重合, 交椭圆于两点, 过点且与垂直的直线与圆交于两点, 求四边形面积的取值范围． 32.如图，已知直线，，分别与抛物线交于点，，，与轴的正半轴分别交于点，，，且，直线方程为． （Ⅰ）设直线，的斜率分别为，，求证：； （Ⅱ）求的取值范围． 33. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线交椭圆于，两点.当直线的斜率为1时，点是线段的中点. （1）求椭圆的标准方程； （2）如图，若过点的直线交椭圆于，两点，且，求四边形的面积的最大值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 M O x y R P Q P M O x y M T S O x y M N F1 F2 M O x y A B M N M O x y A B M M O x y B M A $$ 上海高中数学2020选择性必修第一册重难点讲与练（培优课程） 专题训练07 圆锥曲线的最值与范围问题 题型1：长度或距离的最值与范围 1. 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，过点M(1，0)的直线l交椭圆C于A，B两点，|MA|＝λ|MB|，且当直线l垂直于x轴时，|AB|＝． (1)求椭圆C的方程； (2)若λ∈[，2]求弦长|AB|的取值范围． [规范解答]　(1)由已知e＝，得＝，又当直线垂直于x轴时，|AB|＝， 所以椭圆过点，代入椭圆方程得＋＝1， ∵a2＝b2＋c2，联立方程可得a2＝2，b2＝1，∴椭圆C的方程为＋y2＝1． (2)当过点M的直线斜率为0时，点A，B分别为椭圆长轴的端点， λ＝＝＝3＋2>2或λ＝＝＝3－2<，不符合题意．∴直线的斜率不能为0． 设直线方程为x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 将直线方程代入椭圆方程得：(m2＋2)y2＋2my－1＝0， 由根与系数的关系可得， 将①式平方除以②式可得：＋＋2＝－，由已知|MA|＝λ|MB|可知，＝－λ， ∴－λ－＋2＝－，又知λ∈，∴－λ－＋2∈，∴－≤－≤0，解得m2∈． |AB|2＝(1＋m2)|y1－y2|2＝(1＋m2)[(y1＋y2)2－4y1y2]＝82＝82， ∵m2∈，∴∈，∴|AB|∈． 2．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，其离心率e＝，点P为椭圆上的一个动点，△PF1F2 面积的最大值为4． (1)求椭圆的方程； (2)若A，B，C，D是椭圆上不重合的四个点，AC与BD相交于点F1，·＝0，求||＋||的取值范围． 5．解析　(1)由题意得，当点P是椭圆的上、下顶点时，△PF1F2的面积取得最大值， 此时S△PF1F2＝|F1F2|·|OP|＝bc，∴bc＝4， 因为e＝＝，所以b＝2，a＝4，所以椭圆方程为＋＝1． (2)由(1)得，F1的坐标为(－2，0)，因为·＝0，所以AC⊥BD， ①当直线AC与BD中有一条直线斜率不存在时，易得||＋||＝6＋8＝14． ②当直线AC的斜率k存在且k≠0时，设其方程为y＝k(x＋2)，A(x1，y1)，C(x2，y2)， 由得(3＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－48＝0，x1＋x2＝，x1x2＝． ||＝|x1－x2|＝，此时直线BD的方程为y＝－(x＋2)． 同理由可得||＝， ||＋||＝＋＝， 令t＝k2＋1，则||＋||＝＝(t>1)，因为t>1，0<≤， 所以||＋||＝∈．综上，||＋||的取值范围是． ３．设椭圆过，两点，为坐标原点． （1）求椭圆的方程； （2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，，且？若存在，写出该圆的方程，并求的取值范围；若不存在，说明理由． 【解析】（1）将，的坐标代入椭圆的方程得， 解得，． 所以椭圆的方程为． （2）假设满足题意的圆存在，其方程为，其中， 设该圆的任意一条切线和椭圆交于，两点， 当直线的斜率存在时，令直线的方程为，① 将其代入椭圆的方程并整理得， 由韦达定理得，，② 因为，所以，③ 将①代入③并整理得， 联立②得，④ 因为直线和圆相切，因此，由④得， 所以存在圆满足题意． 当切线的斜率不存在时，易得， 由椭圆方程得，显然， 综上所述，存在圆满足题意． 当切线的斜率存在时，由①②④得 ， 由，得， 即． 当切线的斜率不存在时，易得， 所以． 综上所述，存在圆心在原点的圆满足题意，且． ４．在平面直角坐标系中，已知点，，点满足，点的轨迹为. （1）求的方程； （2）不过的直线与交于､两点，若直线的斜率是直线､斜率的等差中项，直线和线段的垂直平分线与轴分别交于､，求的最小值. 【解析】（1）由椭圆的定义知，点在以，为焦点且的椭圆上， 所以其方程为： （2）由题意得直线的斜率存在且不为0. 直线的方程为，，， 直线方程与椭圆方程联立得得， 所以得 ， 由题意得，即 整理得 ∵直线不过，∴， ∴，∴ ∵，∴，解得或 线段的中点为，线段中垂线方程为 当时，，直线与轴交点的纵坐标 ，或 当时，最小，最小值为2. 5．已知椭圆经过点，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆相交于两点，求的最大值. 【分析】（1）由已知得建立关于a，b，c的方程组，求解即可； （2）直线与椭圆的方程联立整理得，设，由向量的数量积运算求得，得三角形MAB为直角三角形，运用等面积法求得，设，由二次函数的性质可求得其最大值. 【解析】（1）由已知得解得， 因此椭圆C的方程为； （2）由整理得， 设，则， 因为 ， 所以MA⊥MB，三角形MAB为直角三角形， 设d为点M到直线的距离，故， 又因为， ， 所以， 设，则，由于， 所以，当，即k=0时，等号成立. 因此，的最大值为32. ６．己知等轴双曲线的顶点分别是椭圆的左、右焦点、. （1）求等轴双曲线的方程； （2）为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线和与椭圆的交点分别为，和，，求的最小值. 【解析】（1）由椭圆可得， 所以等轴双曲线的顶点为，设等轴双曲线为，所以， 所以等轴双曲线的方程为； （2）设，，,, 设直线的方程为，直线的方程为， 由得：， 所以显然成立，所以， 同理可得， 所以， ， 联立直线和：，解得，所以， 因为在双曲线上，所以，解得， 所以 ， . 当且仅当，即时，取得最小值. 1 学科网（北京）股份有限公司 题型2：斜率的最值与范围 ７．已知双曲线的离心率为，且焦点到渐近线的距离为． （1）求双曲线的标准方程； （2）若以为斜率的直线与双曲线相交于两个不同的点，，且线段的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求实数的取值范围． 【解析】(1)焦点到渐近线的距离为, 又,∴,∴,∴双曲线的标准方程为. (2)设直线的方程为,,, 则由消去,可得, 根据题意可知,且, 即①, 设线段的中点坐标为, 则,, ∴线段的垂直平分线方程为, 此直线与轴,轴的交点坐标分别为,, ∴,化简可得②, 将②代入①得, 即,解得或, ∴实数的取值范围是. ８．已知椭圆的方程为，双曲线的左、右焦点分别是的左、右顶点，而的左、右顶点分别是的左、右焦点． (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线恒有两个不同的交点和，且(其中为原点)，求的取值范围． 【解析】(1)设双曲线的方程为， 则，再由，得故的方程为 (2)将代入，得 由直线与双曲线交于不同的两点，得 ①，设则 又，得， ，即，解得②，由①②得＜k2＜1， 故的取值范围 ９．已知椭圆过点，焦点分别为，．短轴端点分别为，，． （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆相交于，两点，当线段的中点落在四边形内（包括边界）时，求直线的斜率的取值范围． 【解析】（1）由题设条件知，，， 解得：，． 故椭圆的方程为． （2）易证四边形为正方形，点的坐标， 显然直线的斜率存在，设直线的方程为． 如图，设点，的坐标分别为，，线段的中点为， 由，得，① 由，解得．② 因为，是方程①的两根，所以，于是 ，． 因为，所以点不可能在轴的右边， 又直线，的方程分别为，， 所以点在正方形内（包括边界）的充要条件为． 即，亦即． 解得，此时②也成立， 故直线斜率的取值范围． １０．已知抛物线，直线过点且与交于，两点，其中. （1）若，且，求点的坐标； （2）若（为坐标原点），求实数的取值范围. 【解析】（1）依题意，为的焦点， 故，解得， 则，则， 故点的坐标为或. （2）设直线的方程为， 联立得， 设，，， 由知， ， 所以且， , 故实数的取值范围为. １１．已知椭圆的左､右焦点分别为和，且，，，四点中恰有三点在椭圆C上. （1）求椭圆C的标准方程； （2）点P是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线和与直线分别交于G和H两点，设直线和的斜率分别为和，若线段GH的长度小于，求的最大值. 【解析】（1）由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点. 又由，知C不经过，所以点在C上. 所以解得 所以椭圆C的标准方程为； （2）设，如图，过点P作直线轴， 分别交x轴和直线于M，N两点. 易知，则，即， 由，得，所以， 由，得，从而 所以当时，，即的最大值为. １２．若抛物线上存在不同的两点关于直线对称，求实数的取值范围． 【解析】 解法1：当时，显然满足． 当时，设抛物线上关于直线对称的两点分别为， 且的中点为，则，又，． 中点在直线上，，于是． 中点在抛物线区域内 ，即，解得． 综上可知，所求实数的取值范围是． 解法2：当时，显然满足． 当时，设抛物线上关于直线对称的两点分别为， 且的中点为，设直线的方程为 直线与抛物线联立得 ① 所以 ，， 所以，由点在直线上，得 ，即 ② ②代入①得，解得． 综上可知，所求实数的取值范围是． 【方法总结】 解法1：利用抛物线上存在不同的两点的中点在不等式所表示的区域内，建立不等式，从而得到结果． 解法2：利用直线与抛物线联立，转化为一元方程根的个数，利用判别式建立不等式． 13.已知椭圆的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，焦点在轴上，有一个顶点为，． （1）求椭圆的方程； （2）过点作直线与椭圆交于两点，线段的中点为,求直线的斜率的取值范围. （1）当直线与轴垂直时，点的坐标为，此时，； （2）当直线的斜率存在且不为零时，设直线方程为, 由方程组 消去， 并整理得， 设,, 又有，则 ∴ ∴ ， ∴， ， ， . 且 ． 综合(1)、(2)可知直线的斜率的取值范围是：． 【点评】利用基本不等式求函数的最值时，要注意创设情景，保证一正二定三相等. 题型3：参数的最值与范围 14.在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别为(－1，0)，(1，0)，且AC，BC所在直线的斜率之积等于－2，记顶点C的轨迹为曲线E． (1)求曲线E的方程； (2)设直线y＝kx＋2(0＜k＜2)与y轴相交于点P，与曲线E相交于不同的两点Q，R(点R在点P和点Q之间)，且＝λ，求实数λ的取值范围． [规范解答]　(1)设C(x，y)．由题意，可得·＝－2(x≠±1)，∴曲线E的方程为x2＋＝1(x≠±1)． (2)设R(x1，y1)，Q(x2，y2)．联立，得消去y，可得(2＋k2)x2＋4kx＋2＝0， ∴Δ＝8k2－16＞0，∴k2＞2．又0＜k＜2，∴＜k＜2． 由根与系数的关系得，x1＋x2＝－，①，x1x2＝，② ∵＝λ，点R在点P和点Q之间，∴x2＝λx1(λ＞1)，③ 联立①②③，可得＝．∵＜k＜2，∴＝∈(4，)，∴4＜＜， ∴＜λ＜3，且λ≠1，∵λ＞1，∴实数λ的取值范围为(1，3)． 15. 已知椭圆的离心率为，且以原点为圆心，以短轴长为直径的圆过点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若过点的直线与椭圆交于不同的两点，，且与圆没有公共点，设为椭圆上一点，满足为坐标原点），求实数的取值范围． 【解析】解：（1）依题意：椭圆的离心率为，且以原点为圆心，以短轴长为直径的圆过点．所以，，则，所以， 所以椭圆方程为． （2）由题意直线斜率不为0，设直线， 得．由△得， 设，，，， 由韦达定理， 因为，所以 因为点在椭圆上得， 直线与圆没有公共点，则，所以， ，令，，可知在上，是减函数，，， 即：，， ． 16. 已知中心在原点，焦点在y轴上的椭圆C，其上一点Q到两个焦点F1，F2的距离之和为4，离心率为． (1)求椭圆C的方程； (2)若直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，且线段MN恰被直线x＝－平分，设弦MN的垂直平分线的方程为y＝kx＋m，求m的取值范围． [破题思路]　(2)给出线段MN恰被直线x＝－平分，弦MN的垂直平分线方程为y＝kx＋m，用y＝kx＋m是弦MN的中垂线及MN的中点在直线x＝－上，可设出中点坐标P，建立y0与m的关系，通过y0范围求m范围或建立m与k的关系式．注意到MN的中点在椭圆内部及直线x＝－上，其隐含条件为线段MN的中点纵坐标的范围可确定或联立直线l与椭圆方程，利用判别式Δ>0求解． [规范解答]　 (1)由题意可设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，由条件可得a＝2，c＝，则b＝1． 故椭圆C的方程为＋x2＝1． (2)法一：设弦MN的中点为P，M(xM，yM)，N(xN，yN)，则由点M，N为椭圆C上的点， 可知4x＋y＝4，4x＋y＝4，两式相减，得4(xM－xN)(xM＋xN)＋(yM－yN)(yM＋yN)＝0， 将xM＋xN＝2×＝－1，yM＋yN＝2y0，＝－，代入上式得k＝－． 又点P在弦MN的垂直平分线上，所以y0＝－k＋m，所以m＝y0＋k＝y0． 由点P在线段BB′上B′(xB′，yB′)，B(xB，yB)为直线x＝－与椭圆的交点，如图所示， 所以yB′<y0<yB，即－<y0<．所以－<m<，且m≠0． 故m的取值范围为∪． 法二：设弦MN的中点为P，M(xM，yM)，N(xN，yN)，则由点M，N为椭圆C上的点， 可知4x＋y＝4，4x＋y＝4，两式相减，得4(xM－xN)(xM＋xN)＋(yM－yN)(yM＋yN)＝0， 将xM＋xN＝2×＝－1，yM＋yN＝2y0，＝－，代入上式得y0＝－2k． 又点P在弦MN的垂直平分线上，所以y0＝－k＋m，所以m＝y0＋k＝－k． 设直线l的方程为y＋2k＝－，即x＝－ky－2k2－， 联立消去x，得(4k2＋1)y2＋8k2k2＋y＋16k4＋8k2－3＝0， 由Δ>0，得k∈∪，所以m＝－k∈∪， 即m的取值范围为∪． [题后悟通]　利用点差法求解第(2)问时，关键是利用点差法得到目标参数m与y0的关系，再根据点P与椭圆的位置关系得到y0的取值范围，从而求得目标参数m的取值范围．很多同学在解决本题时往往出现如下失误：忽视y0的取值范围而造成思路受阻无法正确求解；利用判别式法求解此题时，抓住直线与圆锥曲线相交这一条件，利用判别式Δ>0构建m与k的关系式，从而得所求，但部分考生忽视Δ>0，导致思路受阻而无法求解． 利用点在曲线内(外)的充要条件构建目标不等式的核心是抓住目标参数和某点的关系，根据点与圆锥曲线的位置关系构建目标不等式． 利用判别式构建目标不等式的核心是抓住直线与圆锥曲线的位置关系和判别式Δ的关系建立目标不等式． 17．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线x＋y＋1 ＝0与以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切． (1)求椭圆C的方程； (2)过点M(2，0)的直线l与椭圆C相交于不同的两点S和T，若椭圆C上存在点P满足＋＝t (其中O为坐标原点)，求实数t的取值范围． 3．解析　(1)由题意，以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为(x－c)2＋y2＝a2， ∴圆心到直线x＋y＋1＝0的距离d＝＝a．(*) ∵椭圆C的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形， ∴b＝c，a＝c，代入(*)式得b＝c＝1，∴a＝c＝，故所求椭圆方程为＋y2＝1． (2)由题意知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－2)，设P(x0，y0)， 将直线l的方程代入椭圆方程得(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2＝0， ∴Δ＝64k4－4(1＋2k2)(8k2－2)>0，解得k2<． 设S(x1，y1)，T(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，∴y1＋y2＝k(x1＋x2－4)＝－． 由＋＝t，得tx0＝x1＋x2，ty0＝y1＋y2， 当t＝0时，直线l为x轴，则椭圆上任意一点P满足＋＝t，符合题意； 当t≠0时，∴x0＝·，y0＝·． 将上式代入椭圆方程得＋＝1，整理得t2＝＝， 由k2<知，0<t2<4，所以t∈(－2，0)∪(0，2)，综上可得，实数t的取值范围是(－2，2)． 18．已知椭圆E：＋y2＝1的左，右顶点分别为A，B，圆x2＋y2＝4上有一动点P，点P在x轴的上方， C(1，0)，直线PA交椭圆E于点D，连接DC，PB． (1)若∠ADC＝90°，求△ADC的面积S； (2)设直线PB，DC的斜率存在且分别为k1，k2，若k1＝λk2，求λ的取值范围． 4．解析　(1)依题意，A(－2，0)．设D(x1，y1)，则＋y＝1．由∠ADC＝90°得kAD·kCD＝－1， ∴·＝－1，∴＝＝－1，解得x1＝，x1＝－2(舍去)， ∴|y1|＝，S＝××3＝． (2)设D(x2，y2)，∵动点P在圆x2＋y2＝4上，∴kPB·kPA＝－1． 又k1＝λk2，∴＝λ·， 即λ＝－＝－＝－＝4·＝4． 又由题意可知x2∈(－2，2)，且x2≠1， 则问题可转化为求函数f(x)＝4(x∈(－2，2)，且x≠1)的值域． 由导数可知函数f(x)在其定义域内为减函数，∴函数f(x)的值域为(－∞，0)∪(0，3)， 从而λ的取值范围为(－∞，0)∪(0，3)． 19. 已知椭圆Γ：＋＝1，过点P(1，1)作倾斜角互补的两条不同直线l1，l2，设l1与椭圆Γ交于A、B两点，l2与椭圆Γ交于C，D两点． (1)若P(1，1)为线段AB的中点，求直线AB的方程； (2)若直线l1与l2的斜率都存在，记λ＝，求λ的取值范围． [规范解答]　(1)解法一(点差法)：由题意可知直线AB的斜率存在． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则两式作差得＝－·＝－·＝－， ∴直线AB的方程为y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0． 解法二：由题意可知直线AB的斜率存在．设直线AB的斜率为k， 则其方程为y－1＝k(x－1)，代入x2＋2y2＝4中，得x2＋2[kx－(k－1)]2－4＝0． ∴(1＋2k2)x2－4k(k－1)x＋2(k－1)2－4＝0． Δ＝[－4(k－1)k]2－4(2k2＋1)[2(k－1)2－4]＝8(3k2＋2k＋1)＞0． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ∵AB中点为(1，1)，∴(x1＋x2)＝＝1，则k＝－． ∴直线AB的方程为y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0． (2)由(1)可知|AB|＝ |x1－x2|＝·＝． 设直线CD的方程为y－1＝－k(x－1)(k≠0)．同理可得|CD|＝． ∴λ＝＝ (k≠0)，λ＞0． ∴λ2＝1＋＝1＋，令t＝3k＋，则t∈(－∞，－2 ]∪[2，＋∞)， 令g(t)＝1＋，t∈(－∞，－2 ]∪[2，＋∞)， ∵g(t)在(－∞，－2]，[2，＋∞)上单调递减，∴2－≤g(t)＜1或1＜g(t)≤2＋． 故2－≤λ2＜1或1＜λ2≤2＋．∴λ∈∪． 题型4：坐标或截距最值与范围 20. 如图，设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|－1． (1)求p的值； (2)若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M．求M的横坐标的取值范围． [规范解答]　(1)由题意可得，抛物线上的点A到焦点F的距离等于点A到直线x＝－1的距离， 由抛物线的定义得＝1，即p＝2． (2)由(1)得，抛物线方程为y2＝4x，F(1，0)，可设A(t2，2t)，t≠0，t≠±1． 因为AF不垂直于y轴，可设直线AF：x＝sy＋1(s≠0)，由，消去x得y2－4sy－4＝0， 故y1y2＝－4，所以B． 又直线AB的斜率为，故直线FN的斜率为－． 从而得直线FN：y＝－(x－1)，直线BN：y＝－，所以N． 设M(m，0)，由A，M，N三点共线得＝，于是m＝＝2＋． 所以m<0或m>2．经检验，m<0或m>2满足题意． 综上，点M的横坐标的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)． 题型5：向量数量积的最值与范围 21．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且以原点为圆心，椭圆的焦距为直径的圆与直线xsin θ＋ycos θ－1＝0相切(θ为常数)． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作直线l与椭圆交于M，N两点，求·的取值范 围． 8．解析　(1)由题意，得解得故椭圆C的标准方程为＋y2＝1． (2)由(1)得F1(－1，0)，F2(1，0)． ①若直线l的斜率不存在，则直线l⊥x轴，直线l的方程为x＝1，不妨记M，N， ∴＝，＝，故·＝． ②若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－1)，由消去y得， (1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝．① ＝(x1＋1，y1)，＝(x2＋1，y2)， 则·＝(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2＝(x1＋1)(x2＋1)＋k(x1－1)·k(x2－1) ＝(1＋k2)x1x2＋(1－k2)(x1＋x2)＋1＋k2， 结合①可得·＝＋＋1＋k2＝＝－， 由k2≥0可得·∈．综上可知，·的取值范围是． 22．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，短轴长为2．直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于M，N两 点，又l与直线y＝x，y＝－x分别交于A，B两点，其中点A在第一象限，点B在第二象限，且△OAB的面积为2(O为坐标原点)． (1)求椭圆C的方程； (2)求·的取值范围． 7．解析　(1)由于b＝1且离心率e＝，∴＝＝，则a2＝2，因此椭圆的方程为＋y2＝1． (2)联立直线l与直线y＝x，可得点A， 联立直线l与直线y＝－x，可得点B， 又点A在第一象限，点B在第二象限，∴ 化为m2(1－4k2)>0，而m2≥0，∴1－4k2>0． 又|AB|＝＝， 原点O到直线l的距离为，即△OAB底边AB上的高为， ∴S△OAB＝·＝＝2，∴m2＝1－4k2． 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，将直线l代入椭圆方程，整理可得： (1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，∴x1＋x2＝－，x1·x2＝， Δ＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－2)＝48k2>0，则k2>0，∴y1·y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝， ∴·＝x1x2＋y1y2＝＋＝－7． ∵0<k2<，∴1＋2k2∈，∴∈，∴·∈． 故·的取值范围为． 23．已知点M在椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)上，且点M到椭圆C的左、右焦点的距离之和为 2． (1)求椭圆C的方程； (2)设O为坐标原点，若椭圆C的弦AB的中点在线段OM(不含端点O，M)上，求·的取值范围． 6．解析　(1)由条件知＋＝1，2a＝2，所以a＝，b＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1． (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB的中点在线段OM上． 因为kOM＝，所以x1＋x2＝2(y1＋y2)． ＋y＝1，＋y＝1，两式相减得＋(y1－y2)(y1＋y2)＝0， 易知x1－x2≠0，y1＋y2≠0，所以＝－＝－1，即kAB＝－1． 设直线AB的方程为y＝－x＋m，代入＋y2＝1并整理得3x2－4mx＋2m2－2＝0． 由Δ＝8(3－m2)＞0得m2＜3．由根与系数的关系得x1＋x2＝，x1x2＝， 又∈，所以∈，所以0＜m＜． ·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(－x1＋m)(－x2＋m)＝2x1x2－m(x1＋x2)＋m2 ＝－＋m2＝m2－， 而0＜m＜，所以·的取值范围是． 题型6：面积有关的最值与范围 24．已知椭圆的离心率是，，分别是椭圆的左、右焦点．以线段为直径的圆的内接正三角形的边长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知点，，直线与椭圆交于，两点，求面积的最大值． 【解析】解：（1）由题意可知，，，所以，， 所以， 所以椭圆的标准方程为：； （2）方法一：设点，，，， 由，消去，整理得：， 则△，所以，所以， 所以，， 所以， 到直线的距离为， 所以， 设，则， 所以， 令，， 则，当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故当，即时，取得最大值，即取得最大值， 所以最大值为， 所以面积的最大值． 方法二：同方法一，， 由， 当且仅当，即时，取等号， 所以， 所以面积的最大值． 25．在平面直角坐标系中，已知椭圆和抛物线，椭圆的左，右焦点分别为，，且椭圆上有一点满足，抛物线的焦点为． （1）求椭圆的方程； （2）过作两条互相垂直的直线和，其中直线交椭圆于，两点，直线交抛物线于，两点，求四边形面积的最小值． 【解析】解：（1）由题意可知，抛物线的焦点为， 因为抛物线的焦点为，所以椭圆的半焦距， 又椭圆有一点满足， 所以椭圆的离心率，所以，， 则求得椭圆的方程是． （2）当直线的斜率不存在时，直线即为轴，与抛物线只有一个交点，不满足条件； 当直线的斜率为0时，，为椭圆长轴两端点， 直线轴，，四边形的面积； 当直线的斜率时，设直线的方程为，，，，， 联立直线与椭圆，消去可得， 则，． 则弦长 ， 设，，，，联立直线与抛物线， 消去可得，则， 由抛物线的定义，弦长， 由于，则四边形的面积， 令，则， 即，令，则， 可知时，，则单调递增，则（3）， 综上，当直线斜率时，四边形面积有最小值8． 26．如图，在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，过椭圆右焦点作两条互相垂直的弦与．当直线斜率为0时，． （1）求椭圆的方程； （2）求由，，，四点构成的四边形的面积的取值范围． 【解析】解：（1）由题意知，，则，， ， 所以．所以椭圆的方程为． （2）①当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在， 由题意知； ②当两弦斜率均存在且不为0时，设，，，， 且设直线的方程为， 则直线的方程为． 将直线的方程代入椭圆方程中，并整理得， 所以， 同理． 所以 ， 由，当且仅当时取等号． ，， 综合①与②可知，，． 27．已知椭圆的离心率为，，是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，的最小值为2． （1）求椭圆的方程； （2）过点且与轴不重合的直线交椭圆于，两点，圆是以为圆心椭圆的长轴长为半径的圆，过且与垂直的直线与圆交于，两点，求四边形面积的取值范围． 【解析】解：（1）已知，的最小值为， 又， 解得，，所以椭圆方程为． （2）当与轴不垂直时，设的方程为，，，，． 由得．则． 所以． 过点且与垂直的直线，到的距离为， 所以． 故四边形的面积． 可得当与轴不垂直时，四边形面积的取值范围为． 当与轴垂直时，其方程为，，，四边形的面积为12． 综上，四边形面积的取值范围为． 28．已知椭圆的焦距为4，左、右焦点分别为、，且与抛物线的交点所在的直线经过． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）分别过、作平行直线、，若直线与交于，两点，与抛物线无公共点，直线与交于，两点，其中点，在轴上方，求四边形的面积的取值范围． 【解析】解：（Ⅰ）依题意得，则，； 椭圆与抛物线的交点与轴垂直，则椭圆与抛物线的一个交点为， 于是，从而． 又，解得 所以椭圆的方程为． （Ⅱ）依题意，直线的斜率不为0，设直线， 由，消去整理得，由△得． 由，消去整理得， 设，，，，则，， 所以， 与间的距离（即点到的距离）， 由椭圆的对称性知，四边形为平行四边形， 故， 令，则， 所以四边形的面积的取值范围为． 29. 在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，过椭圆C的焦点F作长轴的垂线，交椭圆于点P，且． (1)求椭圆C的方程； (2)假设直线与椭圆C交于A，B两点．若原点O到直线l的距离为1，并且，当时，求的面积S的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 （1）利用离心率及列出方程组，求出椭圆方程；（2）设出直线方程，联立后用韦达定理表达出弦长及面积，利用求出的的取值范围，求出面积的取值范围. (1) 由题意可知：，又， 可得， ∴椭圆C的方程为： (2) 由，得 联立得 显然，设，，则， 且 ∴ = 由，解得，∴ ∴ ∴ ∴当时，，当时， ∴．综上， 【点睛】 直线与椭圆相结合，求三角形面积的范围问题，通常处理思路是设出直线方程，与椭圆方程联立后运用韦达定理表达出弦长或者三角形面积等，利用基本不等式或二次函数等知识求范围. 30.平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别是、 ．以为圆心以3为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆上． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设椭圆：，为椭圆上任意一点，过点的直线 交椭圆于两点，射线交椭圆于点．( i )求的值；（ii）求△面积的最大值． 【解析】（Ⅰ）由题意知，则，又，， 可得，所以椭圆的方程为． （Ⅱ）由（I）知椭圆的方程为． （i）设，由题意知， 因为，又，即， 所以，即． （ii）设，将代入椭圆的方程， 可得， 由，可得 ， 则有， 所以． 因为直线与轴交点的坐标为， 所以的面积 令，将代入椭圆的方程， 可得 ， 由，可得 ， 由①②可知 ，因此， 故 ， 当且仅当时，即时取得最大值， 由（i）知，面积为， 所以面积的最大值为． 31.已知椭圆的左、右焦点分别是,离心率,过点且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为． （1）求椭圆的方程; （2）若直线过椭圆的右焦点,且与轴不重合, 交椭圆于两点, 过点且与垂直的直线与圆交于两点, 求四边形面积的取值范围． 【解析】（1）略 （2）当直线与轴不垂直时, 设的方程 , 由,得,则 , ,过点且与垂直的直线, 圆心到的距离是,所以． 故四边形面积． 可得当与轴不垂直时, 四边形面积的取值范围为． 当与轴垂直时, 其方程为,四边形面积为, 综上, 四边形面积的取值范围为． 32.】如图，已知直线，，分别与抛物线交于点，，，与轴的正半轴分别交于点，，，且，直线方程为． （Ⅰ）设直线，的斜率分别为，，求证：； （Ⅱ）求的取值范围． 【解析】（Ⅰ）联立，解得，由图象可知， 易知，由题意可设， ∴ （），，所以，故． （Ⅱ）由（Ⅰ）得，，， 联立，得， 同理，得 设点到的距离为，点到的距离为， ∴ ， 所 以 因为 ，所以的取值范围是． 33. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线交椭圆于，两点.当直线的斜率为1时，点是线段的中点. （1）求椭圆的标准方程； （2）如图，若过点的直线交椭圆于，两点，且，求四边形的面积的最大值. 【分析】（1）根据题意设，，利用点差法得，再结合解方程即可得答案； （2）根据椭圆的对称性得四边形是平行四边形，进而将问题可转化为求的最大值，故设直线的方程为，与椭圆联立方程，结合韦达定理得，令，再根据基本不等式求解即可. 【解析】（1）设，. 由题意可得 ∴，即， ∴. ∵，∴，， ∴椭圆的标准方程为. （2）根据对称性知，， ∴四边形是平行四边形，又， ∴问题可转化为求的最大值. 设直线的方程为，代入，得. 则，， ∴. 令，则，且， ∴. 记，易知在上单调递增. ∴. ∴. ∴四边形的面积的最大值是6. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 M O x y A B C D M O x y M l N P M O x y M T S M O x y l2 A B C D P l1 O x y M N F1 F2 M O x y A B M N M O x y A B M M O x y B M A M O x y R P Q $$