数学（江苏南通卷）-学易金卷：2025年中考第二次模拟考试

2025年中考第二次模拟考试（南通卷） 数学·参考答案 1、 选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D B C A A D D A 二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每题3分，第13～18题每题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11．2（a﹣2）2． 12．3（答案不唯一）． 13．9.3 14．：1． 15．27． 16．2020． 17．． 18．． 三、解答题（本大题共8小题，共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（10分）【详解】（1）， 解①得：x＞﹣1，（2分） 解②得：x≤4，（4分） ∴不等式组的解集为：﹣1＜x≤4．（5分） （2）， 方程两边同乘（x+1）（x﹣1）得：（x﹣1）2﹣4＝x2﹣1， 整理得：x＝﹣1，（4分） 检验：将x＝﹣1代入x2﹣1＝0，x＝﹣1是增根， ∴原分式方程无解．（5分） 20．（10分）【详解】（1）由题意得，王小虎随机抽出一张纸牌，抽到“龙”牌的概率是． 故答案为：．（4分） （2）列表如下： 龙 蛇 马 羊 龙 （龙，蛇） （龙，马） （龙，羊） 蛇 （蛇，龙） （蛇，马） （蛇，羊） 马 （马，龙） （马，蛇） （马，羊） 羊 （羊，龙） （羊，蛇） （羊，马） 共有12种等可能的结果，其中丽丽抽到“龙”和“马”的结果有2种， ∴丽丽获得奖品的概率为．（6分） 21．（10分）【详解】小明的作图方法正确，（2分） 理由：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，AF∥CE， ∴∠AFO＝∠CEO， 在△AOF和△COE中， ， ∴△AOF≌△COE（AAS）， ∴OE＝OF， 又∵OA＝OC， ∴四边形ABCD为平行四边形．（10分） 22．（12分）【详解】（1）由题意得，m90， n＝86， 故答案为：90，86；（4分） （2）由折线统计图可知，乙组数据的波动比甲组的小，所以五位评委评价更“一致”的是乙组． 故答案为：乙；（8分） （3）应该推荐丙组，理由如下： 由题意可知，乙组和丙组的平均数均为90分，比甲组的平均数88分高，所以从乙组和丙组推荐一个小组的作品到区里参加比赛，又因为丙组的最低分比乙组的最低分高，所以应该推荐丙组．（12分） 23．（10分） 【解答】（1）证明：∵PA与⊙O相切于点A， ∴PA⊥OA， ∴∠OAD+∠PAE＝∠OAP＝90°， ∵AE⊥PB，垂足为E， ∴∠AEP＝90°， ∴∠P+∠PAE＝90°， ∴∠OAD＝∠P， ∵∠COD＝2∠OAD， ∴∠COD＝2∠P．（5分） （2）解：作OF⊥AD于点F，则∠OFA＝90°， ∵PB是⊙O的切线， ∴PB⊥OB， ∴∠OBE＝∠BEF＝∠OFE＝90°， ∴四边形OBEF是矩形， ∵AC是⊙O的直径，且AC＝8， ∴OA＝OD＝OB＝FE＝4， ∵∠OAD＝∠P＝60°， ∴△AOD是等边三角形， ∴∠AOD＝60°，AD＝OA＝4， ∴AF＝DFAD＝2， ∴AE＝AF+FE＝2+4＝6，OF2， ∵tan60°， ∴PE＝2， ∴S阴影＝S△PAE+△OAD﹣S扇形OAD6×24×210， ∴阴影部分的面积为10．（10分） 24．（12分）【详解】（1）当1≤x≤30时， w＝（0.5x+35﹣30）（﹣2x+124）＝﹣x2+52x+620； 当31≤x≤60时， w＝（50﹣30）（﹣2x+124）＝﹣40x+2480． ∴w与x的函数关系式为w．（4分） （2）当1≤x≤30时， w＝﹣x2+52x+620＝﹣（x﹣26）2+1296．（6分） ∵﹣1＜0， ∴当x＝26时，w有最大值，最大值为1296； 当31≤x≤60时， w＝﹣40x+2480． ∵﹣40＜0， ∴当x＝31时，w有最大值，最大值为﹣40×31+2480＝1240． ∵1296＞1240，（10分） ∴该商品在第26天的日销售利润最大，最大日销售利润是1296元．（12分） 25．（13分）【详解】（1）甲小组的猜想正确，理由如下： ∵四边形ABCD为矩形， ∴AD∥BC， ∴∠BCA＝∠CAD， ∵折叠， ∴∠BMN＝∠NME， 又∵∠NME＝∠CAD， ∴∠BCA＝∠BMN， ∴MN∥AC；（4分） （2）在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4， ∴， ∵折叠， ∴ME＝MB，∠BMN＝∠NME， 由（1）可知MN∥AC， ∴∠EMN＝∠MEC，∠BMN＝∠BCA， ∴∠MEC＝∠BCA， ∴ME＝MC， ∴MC＝MB， 同理NA＝NB， ∴；（8分） （3）当点E在AC下方时，如图，延长ME交AC于点H， 同（2）可得∠MHC＝∠MCH， ∴MH＝MC， ∵EF∥BC， ∴∠EFH＝∠MCH， ∴∠MHC＝∠EFH， ∴EH＝EF， 由（1）可得∠NME＝∠BCA， ∴tan∠NME＝tan∠BCA． ∵∠NEM＝∠B＝90°， ∴， 设NE＝3a，则EM＝4a， ∴EH＝EF＝EN＝3a，BM＝EM＝4a， ∴MH＝EH+EM＝7a， ∴MC＝MH＝7a， ∴4a+7a＝4， ∴， ∴； ②当点E在AC下方时，设ME交AC于点H，如图， 同①可得BM＝EM＝4a，EH＝EF＝EN＝3a， ∴MH＝EM﹣EH＝a， ∴MC＝MH＝a， ∴a+4a＝4， ∴， ∴； 综上，或．（13分） 26．【详解】（1）∵y＝kx+b（b＞0）， ∴当x＝0时，y＝b，当y＝0时，， ∴C（0，b），， ∴， ∵kS+2＝0， ∴， ∵b＞0， ∴b＝2；（4分） （2）设，点B的横坐标为x2，则点E的横坐标为x2， 设直线OA为y＝tx，则， 解得， ∴直线OA的解析式为， 由（1）可知y＝kx+2， 令， 整理得x2﹣4kx﹣8＝0， 则x1，x2是方程的两个实数根， ∴x1x2＝﹣8， 将x＝x2代入， 得， ∴点E的纵坐标为﹣2；（8分） （3）是定值，理由如下： 设直线l3的解析式为y＝mx+n， 令， 整理得x2﹣4mx﹣4n＝0， ∵直线y＝mx+n与抛物线只有一个交点， ∴（4m）2﹣4×（﹣4n）＝0， ∴n＝﹣m2， ∴y＝mx﹣m2， 由（1）（2）可知C（0，2），E点的纵坐标为﹣2， ∴当y＝2时，，当y＝﹣2时，， ∴，， ∴，， ∴8﹣16＝﹣8， ∴CP2﹣CQ2的值为定值﹣8．（13分） 7 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1 2025 年中考第二次模拟考试（南通卷） 数学·答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 二、填空题（本大题共 8 小题，第 11～12 题每题 3 分，第 13～18 题每题 4 分，共 30 分） 11．_________________ 12．___________________ 12．__________________ 14．__________________ 15．___________________ 16 ． 17． 18． 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 姓 名：__________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B 铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm 黑色签字笔 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 三、解答题（本大题共 8 小题，共 90 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤） 19．（10 分） 20. （10 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21. （10 分） 22．（12 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.（10 分） 24.（12 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25. （13 分） 26. （13 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025年中考第二次模拟考试（南通卷） 数学·全解全析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．下列式子中，计算正确的是（　　） A．（x+2）2＝x2+4 B．2xy﹣2y＝x C．（x2y3）2＝x4y6 D．a10÷a5＝a2 1．C 【分析】利用完全平方公式，合并同类项的法则，同底数幂的除法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可． 【详解】A、（x+2）2＝x2+4x+4，故A不符合题意； B、2xy与﹣2y不属于同类项，不能合并，故B不符合题意； C、（x2y3）2＝x4y6，故C符合题意； D、a10÷a5＝a5，故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查完全平方公式，合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 2．若一个数用科学记数法表示为3.96×105，则这个数是（　　） A．39600 B．396000 C．0.0000396 D．0.00000396 2．B 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】3.96×105＝396000． 故选：B． 【点睛】此题考查科学记数法，关键是掌握n的值的确定方法，当原数大于等于10时，n等于原数的整数数位减1． 3．下列剪纸中，可看作轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．D 【分析】根据轴对称图形的定义，逐项判断即可求解． 【详解】选项A、B、C的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． 选项D的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 4．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体为（　　） A．圆柱 B．圆锥 C．球体 D．棱锥 4．B 【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形． 【详解】由于俯视图为圆形可得为球、圆柱、圆锥．主视图和左视图为三角形可得此几何体为圆锥． 故选：B． 【点睛】考查学生对圆锥三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查，解题的关键是具有一定的空间概念． 5．如图，小明用一副三角板拼成一幅“帆船图”．∠B＝∠E＝90°，∠C＝30°，∠F＝45°，ED∥AB，则∠FDC的度数为（　　） A．60° B．65° C．75° D．80° 5．C 【分析】先利用三角形内角和定理可得∠A＝60°，∠EDF＝45°，然后利用平行线的性质可得∠A＝∠ADE＝60°，从而利用平角定义进行计算，即可解答． 【详解】∵∠B＝∠E＝90°，∠C＝30°，∠F＝45°， ∴∠A＝90°﹣∠C＝60°，∠EDF＝90°﹣∠F＝45°， ∵ED∥AB， ∴∠A＝∠ADE＝60°， ∴∠FDC＝180°﹣∠ADE﹣∠EDF＝75°， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 6．若关于x的一元二次方程mx2+nx﹣2024＝0（m≠0）的一个解是x＝1，则m+n+1的值是（　　） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 6．A 【分析】根据关于x的一元二次方程mx2+nx﹣2024＝0（m≠0）的一个解是x＝1，可以得到m+n﹣2024＝0，从而可以得到m+n＝2024，进而得到m+n+1＝2025． 【详解】∵关于x的一元二次方程mx2+nx﹣2024＝0（m≠0）的一个解是x＝1， ∴m+n﹣2024＝0， ∴m+n＝2024， ∴m+n+1＝2025， 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确方程的解一定使得原方程成立． 7．《九章算术》是我国古代数学名著，记载着“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：一根笔直生长的竹子，高一丈（一丈＝10尺），因虫害有病，一阵风吹来将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，求折断处离地面的高度是多少尺？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（　　） A．x2+32＝（10﹣x）2 B．x2+32＝102 C．x2+（10﹣x）2＝32 D．（10﹣x）2+32＝x2 7．A 【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，利用勾股定理列出方程即可． 【详解】设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺， 根据勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2． 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题出现出一元二次方程以及勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 8．已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数y＝﹣2x+b的图象上，且x1＜0＜x2，则下列结论一定成立的是（　　） A．y1+y2＜0 B．y1+y2＞0 C．y1＜y2 D．y1＞y2 8．D 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】∵k＝﹣2＜0，y随x的增大而减小， ∵x1＜0＜x2， ∴y1＞y2 故选：D． 【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数的性质是解答此题的关键． 9．如图，矩形ABCD中，AB＝5cm，BC＝4cm，动点M从点A出发以1cm/s的速度沿折线AB﹣BC运动到点C停止．连接AM，作MN⊥AM交CD于点N．设点M运动t s时，CN长为y cm，则y关于t的函数图象大致为（　　） A． B． C． D． 9．D 【分析】分点M在AB和BC上运动两种情况，分别根据矩形的性质、相似三角形的判定与性质以及二次函数的性质求出函数解析式，最后根据函数解析式判断即可． 【详解】①当点M在边AB上时，即0≤t≤5， ∵MN⊥AB， ∴四边形MBCN为矩形， ∴CN＝MB＝AB﹣AM， 即y＝5﹣t（0≤t≤5）； ②当点M在边BC上时，即5＜t≤9，则MB＝t﹣5，CM＝4﹣（t﹣5）＝9﹣t， 如图所示： ∵MN⊥AM， ∴∠NMA＝90°， ∴∠NMC+∠AMB＝90°， ∵∠AMB+∠MAB＝90°， ∴∠MAB＝∠NMC， ∵∠C＝∠B＝90°， ∴△MNC∽△MAB， ∴， 即CN， ∵BM＝t﹣5，AB＝5，CN＝y，CM＝9﹣t， ∴y（t2﹣14t+45）（t﹣7）2， 综上，y． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象、矩形的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的图象等知识点，根据题意确定函|数解析式是解答本题的关键． 10．定义：如果两个实数m，n满足，则称m，n为一对“互助数”．已知a，b为实数，且a+b，a﹣b是一对“互助数”．若a2﹣b2＝p﹣3，则p的值可以为（　　） A． B．6 C． D．3 10．A 【分析】根据题意，互助数m，n应满足mn＝m+n，因此（a+b）（a﹣b）＝a+b+a﹣b，化简得：a2﹣b2＝2a＝p﹣3，将每个选项的数字代入，看能否求解出符合要求的实数a、b即可． 【详解】根据题意，互助数m，n应满足mn＝m+n， 因此（a+b）（a﹣b）＝a+b+a﹣b， 化简得：a2﹣b2＝2a＝p﹣3； A．若p，则a2﹣b2＝2a，a，b2＝a2﹣2a＞0，故选项A正确； B．若p＝6，则a2﹣b2＝2a＝3，a，b2＝a2﹣2a＜0，故选项B错误； C．若p，则a2﹣b2＝2a，a，b2＝a2﹣2a＜0，故选项C错误； D．若p＝3，则a2﹣b2＝2a＝0，a＝0，明显不符合题意，故选项D错误； 故选：A． 【点睛】本题考查的是因式分解的应用，关键在于根据互助数的定义，得到a2﹣b2＝2a＝p﹣3，然后将每个选项的数字代入验证即可． 二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每题3分，第13～18题每题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11．因式分解：2a2﹣8a+8＝ 　2（a﹣2）2　． 11．见试题解答内容 【分析】首先提取公因式2，进而利用公式法分解因式即可． 【详解】2a2﹣8a+8＝2（a2﹣4a+4）＝2（a﹣2）2． 故答案为：2（a﹣2）2． 【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练利用公式法分解因式是解题关键． 12．若12，则整数a的值可以是 　3（答案不唯一）　．（写出一个值即可） 12．3（答案不唯一）． 【分析】运用算术平方根知识进行估算、求解． 【详解】∵12， ∴整数a的值可以是3， 故答案为：3（答案不唯一）． 【点睛】此题考查了无理数的估算能力，关键是能准确理解并运用平方根知识进行求解． 13．如图，测角仪CD竖直放在距建筑物AB底部6m的位置，在D处测得建筑物顶端A的仰角为52°．若测角仪的高度是1.6m，则建筑物AB的高度约为 　9.3　m．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28） 13．9.3 【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据正切的定义求出AE，结合图形计算即可． 【详解】过点D作DE⊥AB于E， 则四边形DCBE为矩形， ∴DE＝BC＝6m，BE＝CD＝1.6m， 在Rt△ADE中，∠ADE＝52°，tan∠ADE， 则AE＝DE•tan∠ADE≈6×1.28＝7.68（m）， ∴AB＝AE+BE＝7.68+1.6≈9.3（m）， 故答案为：9.3． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 14．如图所示的正方形网格中，O，A，B，C，D是网格线交点，若弧CD与弧AB所在的圆心都为点O，则弧CD与弧AB的长度之比为 　：1　． 14．：1． 【分析】根据勾股定理分别求出OC、OD，根据勾股定理的逆定理得到∠COD＝90°，根据弧长公式计算，得到答案． 【详解】由勾股定理得，OC＝OD2， 则OC2+OD2＝CD2， ∴∠COD＝90°， ∴与的长度之比：：1， 故答案为：：1． 【点睛】本题考查的是弧长的计算，掌握弧长公式l是解题的关键． 15．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝42°，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于M，N两点，画直线MN交AC于点E，连接BE，则∠EBC的度数为 　27　°． 15．27． 【分析】根据三角形的内角和定理、线段的垂直平分线的性质及角的和差求解． 【详解】∵AB＝AC，∠A＝42°， ∴∠C＝∠ABC（180°﹣42°）＝69°， 由作图得：MN垂直平分AB， ∴AE＝BE， ∴∠ABE＝∠A＝42°， ∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝27°， 故答案为：27． 【点睛】本题考查了基本作图，掌握三角形的内角和定理、线段的垂直平分线的性质及角的和差是解题的关键． 16．若m是方程x2+x﹣4＝0的一个实数根，则代数式m3﹣5m+2024的值为 　2020　． 16．2020． 【分析】把x＝m代入方程x2+x﹣4＝0，得出关于m的一元二次方程，再整体代入． 【详解】当x＝m时，方程x2+x﹣4＝0为m2+m﹣4＝0， 即m2+m＝4，m2＝4﹣m， 所以，m3﹣5m+2024 ＝m（4﹣m）﹣5m+2024 ＝4m﹣m2﹣5m+2024 ＝﹣（m2+m）+2024 ＝﹣4+2024 ＝2020， 故答案为：2020． 【点睛】本题考查的是一元二次方程解的定义．能使方程成立的未知数的值，就是方程的解，同时，考查了整体代入的思想． 17．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B分别落在x轴，y轴上，点C，D分别落在函数 与（x＜0）的图象上．若，且，则k的值为 　　． 17．． 【分析】作DM⊥x轴于点M，CF⊥y轴于点F，由AD/AB＝1/2，设AD＝a，AB＝2a，证明∠ADM＝∠OAB得tan∠ADM＝tan∠OAB，则，即DM＝3AM，进而得AM＝√，DM，证明△DMA∽△AOB得，则OA＝2DM，OB＝2AM，OM＝OA﹣AM，从而得点D，根据点D在反比例函数（x＜0）的图象上得，由此解出a＝2，则AM，DM，OB，证明△ADM和△CBF全等得CF＝AM，BF＝DM，则OF＝BF﹣OB，从而得点C，将点C坐标代入反比例函数之中即可求出k的值． 【详解】作DM⊥x轴于点M，CF⊥y轴于点F，如图所示： ∵， ∴设AD＝a，AB＝2a， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝CB＝a，AD∥BC，∠DAB＝∠ABC＝90°， ∵∠ADM+∠DAM＝90°，∠DAM+∠OAB＝90°， ∴∠ADM＝∠OAB， ∴tan∠ADM＝tan∠OAB， 即， ∴DM＝3AM， 在Rt△ADM中，由勾股定理得：AM2+DM2＝AD2， 即AM2+（3AM）2＝a2， ∴AM， ∴DM， ∵∠ADM＝∠OAB，∠DMA＝∠AOB＝90°， ∴△DMA∽△AOB， ∴， ∴OA＝2DM，OB＝2AM， ∴OM＝OA﹣AM， ∴点D， ∵点D在反比例函数（x＜0）的图象上， ∴， 解得：a1＝2，a2＝﹣2（不合题意，舍去）， ∴AM，DM，OB， ∵∠OAB+∠OBA＝90°，∠OBA+∠CBF＝90°， ∴∠OAB＝∠CBF， 又∵∠ADM＝∠OAB， ∴∠ADM＝∠CBF， 在△ADM和△CBF中， ， ∴△ADM≌△CBF（AAS）， ∴CF＝AM，BF＝DM， ∴OF＝BF﹣OB， ∴点C， ∵点C在反比例函数的图象上， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的表达式，熟练掌握矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用锐角三角函数的定义及勾股定理进行计算是解决问题的关键． 18．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+8与坐标轴分别交于A，B两点．点P为直线AB上一动点，连接OP．将线段OP绕点O顺时针旋转90°得线段OQ，以OB，OQ为一组邻边构造平行四边形BOQH．连接OH，则线段OH的最小值为 　　. 18．． 【分析】“瓜豆模型”主要用于解决动点问题，在这个模型中，有两个动点，一个动点（母点）的运动轨迹是确定的，另一个动点（子点）的运动轨迹与母点的运动轨迹相关，且子点的运 动轨迹是由母点的运动轨迹所确定的．本题母点为点P，在直线y＝2x+8上移动，OP绕点O顺时针旋转90°得线段OQ，所以点Q运动轨迹也是一条直线，然后根据A，B两点确定 点Q运动轨迹的两点可得出该解析式和点H坐标，最后再根据勾股定理和一元二次方程的知识点求出OH最小值即可． 【解答】解∵∠POQ 始终为90°， 当点P移动到B点的位置时，点Q坐标为（0，4）， 当点P移动到A点的位置时，点Q坐标为（8，0）， 设点M坐标为（0，4），设点N坐标为（8，0）， 连接MN，设该直线的解析式为：y＝kx+b， 代入点M、点N，得：， 解得， ∴， 设， ∴由平行四边形的性质可得：H（a﹣4，a+4）， ∴ ， ∴当时，OH的值最小， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理、解直角三角形、平行四边形的性质，掌握“瓜豆模型”找到点Q的运动轨迹是一条直线是解题关键． 三、解答题（本大题共8小题，共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（10分）（1）解不等式组：； （2）解方程：． 19．（1）﹣1＜x≤4．（2）原分式方程无解． 【分析】（1）分别解出不等式①②后再得到不等式组的解集即可； （2）根据解分式方程的步骤解出方程的解，再进行检验即可得到结果． 【详解】（1）， 解①得：x＞﹣1， 解②得：x≤4， ∴不等式组的解集为：﹣1＜x≤4． （2）， 方程两边同乘（x+1）（x﹣1）得：（x﹣1）2﹣4＝x2﹣1， 整理得：x＝﹣1， 检验：将x＝﹣1代入x2﹣1＝0，x＝﹣1是增根， ∴原分式方程无解． 【点睛】本题考查了解分式方程，分式方程的检验是关键． 20．（10分）在庆祝龙年的元旦联欢会上，九年级1班进行抽奖活动，活动规则如下：将4张正面标有龙、蛇、马、羊的纸牌（纸牌反面完全相同）洗匀后，反面朝上放在桌子上，参与者每次随机从中抽取两张纸牌，若抽到“龙”和“马”，即组成“龙马精神”这个寓意美好的成语，则参与者可获得奖品． （1）王小虎随机抽出一张纸牌，抽到“龙”牌的概率是 　　； （2）丽丽决定参加游戏，请用树状图或列表法说明丽丽获得奖品的概率． 20．（1）． （2）． 【分析】（1）直接利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及丽丽抽到“龙”和“马”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）由题意得，王小虎随机抽出一张纸牌，抽到“龙”牌的概率是． 故答案为：． （2）列表如下： 龙 蛇 马 羊 龙 （龙，蛇） （龙，马） （龙，羊） 蛇 （蛇，龙） （蛇，马） （蛇，羊） 马 （马，龙） （马，蛇） （马，羊） 羊 （羊，龙） （羊，蛇） （羊，马） 共有12种等可能的结果，其中丽丽抽到“龙”和“马”的结果有2种， ∴丽丽获得奖品的概率为． 【点睛】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 21．（10分）【阅读材料】 老师的问题：如图，在▱ABCD中，点E在BC上，连接AE，只用一把无刻度的直尺，求作四边形AECF，使得四边形AECF是平行四边形． 小明的作法： （1）连接AC，BD，相交于点O； （2）连接EO并延长，交AD于点F； （3）连接CF．四边形AECF即为所求． 【解答问题】 请根据材料中的信息，判断小明的作图方法是否正确．若正确，给出证明；若不正确，说明理由． 21．小明的作图方法正确，证明详见解答． 【分析】由平行四边形的性质可得OA＝OC，AF∥CE，得∠AFO＝∠CEO，进而证明△AOF≌△COE（AAS），得到OE＝OF，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可求证． 【详解】小明的作图方法正确， 理由：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，AF∥CE， ∴∠AFO＝∠CEO， 在△AOF和△COE中， ， ∴△AOF≌△COE（AAS）， ∴OE＝OF， 又∵OA＝OC， ∴四边形ABCD为平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定和性质． 22．（12分）某校举办“绿色低碳，美丽中国”主题作品展活动，五名评委对每组同学的参赛作品进行打分．对参加比赛的甲、乙、丙三个组参赛作品得分（单位：分）的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a．甲、乙两组参赛作品得分的折线图： b．在给丙组参赛作品打分时，三位评委给出的分数分别为85，92，95，其余两位评委给出的分数均高于85； c．甲、乙、丙三个组参赛作品得分的平均数与中位数： 甲组 乙组 丙组 平均分 88 m 90 中位数 n 92 92 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：m＝　90　，n＝　86　； （2）若某组作品评委打分的5个数据的方差越小，则认为评委对该组作品的评价越“一致”．据此推断：对于甲、乙两组的参赛作品，五位评委评价更“一致”的是 　乙　组（填“甲”或“乙”）； （3）该校现准备推荐一个小组的作品到区里参加比赛，你认为应该推荐哪个小组，请说明理由． 22．（1）90，86； （2）乙； （3）应该推荐丙组，理由见解答． 【分析】（1）根据算术平均数的定义和中位数的定义列式计算即可； （2）根据方差的定义和意义求解即可； （3）根据平均数和中位数的定义求解即可． 【详解】（1）由题意得，m90， n＝86， 故答案为：90，86； （2）由折线统计图可知，乙组数据的波动比甲组的小，所以五位评委评价更“一致”的是乙组． 故答案为：乙； （3）应该推荐丙组，理由如下： 由题意可知，乙组和丙组的平均数均为90分，比甲组的平均数88分高，所以从乙组和丙组推荐一个小组的作品到区里参加比赛，又因为丙组的最低分比乙组的最低分高，所以应该推荐丙组． 【点睛】本题考查折线统计图，平均数、方差，理解平均数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提． 23．（10分）如图，AC是⊙O的直径，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B，AE⊥PB，垂足为E，AE交⊙O于点D，连接OD． （1）求证：∠COD＝2∠P； （2）若AC＝8，∠P＝60°，求阴影部分的面积． 23．（1）证明见解答； （2）10， 【分析】（1）由PA与⊙O相切于点A，得PA⊥OA，则∠OAD+∠PAE＝∠OAP＝90°，由AE⊥PB于点E，得∠AEP＝90°，则∠P+∠PAE＝90°，所以∠OAD＝∠P，则∠COD＝2∠OAD＝2∠P； （2）作OF⊥AD于点F，由PB是⊙O的切线，得PB⊥OB，可证明四边形OBEF是矩形，由⊙O的直径AC＝8，得OA＝OD＝OB＝FE＝4，而∠OAD＝∠P＝60°，则△AOD是等边三角形，所以∠AOD＝60°，AD＝OA＝4，则AF＝DF＝2，求得AE＝6，OF＝2，由tan60°，求得PE＝2，即可由S阴影＝S△PAE+△OAD﹣S扇形OAD求得S阴影＝10． 【解答】（1）证明：∵PA与⊙O相切于点A， ∴PA⊥OA， ∴∠OAD+∠PAE＝∠OAP＝90°， ∵AE⊥PB，垂足为E， ∴∠AEP＝90°， ∴∠P+∠PAE＝90°， ∴∠OAD＝∠P， ∵∠COD＝2∠OAD， ∴∠COD＝2∠P． （2）解：作OF⊥AD于点F，则∠OFA＝90°， ∵PB是⊙O的切线， ∴PB⊥OB， ∴∠OBE＝∠BEF＝∠OFE＝90°， ∴四边形OBEF是矩形， ∵AC是⊙O的直径，且AC＝8， ∴OA＝OD＝OB＝FE＝4， ∵∠OAD＝∠P＝60°， ∴△AOD是等边三角形， ∴∠AOD＝60°，AD＝OA＝4， ∴AF＝DFAD＝2， ∴AE＝AF+FE＝2+4＝6，OF2， ∵tan60°， ∴PE＝2， ∴S阴影＝S△PAE+△OAD﹣S扇形OAD6×24×210， ∴阴影部分的面积为10． 【点睛】此题重点考查切线的性质定理、切线长定理、直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、圆周角定理、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形、三角形的面积公式及扇形的面积公式等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 24．（12分）某商店销售某种商品的进价为每件30元，这种商品在近60天中的日销售价与日销售量的相关信息如表： 时间：第x天（1≤x≤60，且x为整数） 1≤x≤30 31≤x≤60 日销售价（元/件） 0.5x+35 50 日销售量（件） 124﹣2x 设该商品的日销售利润为w元． （1）求日销售利润w关于x的函数关系式； （2）该商品在第几天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？ 24．（1）w；（2）该商品在第26天的日销售利润最大，最大日销售利润是1296元． 【分析】（1）依据题意，当1≤x≤30时，w＝（0.5x+35﹣30）（﹣2x+124）＝﹣x2+52x+620；又当31≤x≤60时，w＝（50﹣30）（﹣2x+124）＝﹣40x+2480，进而计算可以得解； （2）依据题意，结合（1）的解析式，根据二次函数的性质计算可以得解． 【详解】（1）当1≤x≤30时， w＝（0.5x+35﹣30）（﹣2x+124）＝﹣x2+52x+620； 当31≤x≤60时， w＝（50﹣30）（﹣2x+124）＝﹣40x+2480． ∴w与x的函数关系式为w． （2）当1≤x≤30时， w＝﹣x2+52x+620＝﹣（x﹣26）2+1296． ∵﹣1＜0， ∴当x＝26时，w有最大值，最大值为1296； 当31≤x≤60时， w＝﹣40x+2480． ∵﹣40＜0， ∴当x＝31时，w有最大值，最大值为﹣40×31+2480＝1240． ∵1296＞1240， ∴该商品在第26天的日销售利润最大，最大日销售利润是1296元． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要能熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 25．（13分）在数学活动课上，老师给同学们提供了一个矩形纸片ABCD，其中AB＝3，BC＝4，要求各小组开展“矩形的折叠”探究活动． 【操作猜想】 （1）甲小组给出了下面框图中的操作及猜想： 甲小组的操作与猜想 操作：如图1，在AB，BC上分别取一点N，M，将△BMN沿直线MN翻折180°，得到△EMN． 猜想：当∠NME＝∠CAD 时，MN∥AC． 请判断甲小组的猜想是否正确，并说明理由； 【深入探究】 （2）如图2，乙小组按照甲小组的方式操作发现，当∠NME＝∠CAD 时，点E恰好落在矩形的对角线AC上．请求出图中线段MN的长度； 【拓广延伸】 （3）丙小组按照甲小组的过程操作，进一步探究并提出问题：当∠NME＝∠CAD 时，过点E作 EF∥BC交射线CA于点F，若 EF＝EN，则BN的长是多少？请解答这个问题． 25．（1）正确，理由见解答； （2）； （3）或． 【分析】（1）根据矩形的性质得出AD∥BC，根据平行线的性质得出∠BCA＝∠CAD，根据折叠得出∠BMN＝∠NME，证明∠BCA＝∠BMN，根据平行线的判定得出MN∥AC； （2）根据勾股定理得出，根据折叠得出ME＝MB，∠BMN＝∠NME，根据平行线的性质得出∠EMN＝∠MEC，∠BMN＝∠BCA，证明∠MEC＝∠BCA，得出ME＝MC，证明MC＝MB，同理证明NA＝NB，根据中位线的性质得出结果即可； （3）分两种情况进行讨论：当点E在AC下方时，当点E在AC下方时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）甲小组的猜想正确，理由如下： ∵四边形ABCD为矩形， ∴AD∥BC， ∴∠BCA＝∠CAD， ∵折叠， ∴∠BMN＝∠NME， 又∵∠NME＝∠CAD， ∴∠BCA＝∠BMN， ∴MN∥AC； （2）在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4， ∴， ∵折叠， ∴ME＝MB，∠BMN＝∠NME， 由（1）可知MN∥AC， ∴∠EMN＝∠MEC，∠BMN＝∠BCA， ∴∠MEC＝∠BCA， ∴ME＝MC， ∴MC＝MB， 同理NA＝NB， ∴； （3）当点E在AC下方时，如图，延长ME交AC于点H， 同（2）可得∠MHC＝∠MCH， ∴MH＝MC， ∵EF∥BC， ∴∠EFH＝∠MCH， ∴∠MHC＝∠EFH， ∴EH＝EF， 由（1）可得∠NME＝∠BCA， ∴tan∠NME＝tan∠BCA． ∵∠NEM＝∠B＝90°， ∴， 设NE＝3a，则EM＝4a， ∴EH＝EF＝EN＝3a，BM＝EM＝4a， ∴MH＝EH+EM＝7a， ∴MC＝MH＝7a， ∴4a+7a＝4， ∴， ∴； ②当点E在AC下方时，设ME交AC于点H，如图， 同①可得BM＝EM＝4a，EH＝EF＝EN＝3a， ∴MH＝EM﹣EH＝a， ∴MC＝MH＝a， ∴a+4a＝4， ∴， ∴； 综上，或． 【点睛】本题考查四边形综合应用，主要考查了平行线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，解直角三角形的相关计算，解题的关键是作出辅助线，数形结合，并注意分类讨论． 26．如图，直线y＝kx+b（b＞0）与抛物线yx2相交于A，B两点（A在B的左侧），与x轴正半轴相交于点D，与y轴相交于点C．设△OCD的面积为S，且kS+2＝0．过点B作x轴的垂线交AO的延长线于点E，过点C，E分别作x轴的平行线l1，l2，直线l3（不平行于y轴）与抛物线yx2有唯一公共点，分别交l1，l2于P，Q两点． （1）求b的值； （2）求点E的纵坐标； （3）探究CP2﹣CQ2是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 26．（1）2； （2）﹣2； （3）是，﹣8． 【分析】（1）求出一次函数与坐标轴的两个交点，根据面积公式结合kS+2＝0，求出b的值即可； （2）设，点B的横坐标为x2，则点E的横坐标为x2，求出OA的解析式，令，整理得x2﹣4kx﹣8＝0，韦达定理得到x1x2＝﹣8，把x＝x2代入OA的解析式中，求出E点的纵坐标即可； （3）设直线l3的解析式为y＝mx+n，令，根据两个图象只有一个交点得到n＝﹣m2，得到y＝mx﹣m2，进而求出P，Q坐标，利用两点间的距离公式，求出CP2，CQ2，进行求解即可． 【详解】（1）∵y＝kx+b（b＞0）， ∴当x＝0时，y＝b，当y＝0时，， ∴C（0，b），， ∴， ∵kS+2＝0， ∴， ∵b＞0， ∴b＝2； （2）设，点B的横坐标为x2，则点E的横坐标为x2， 设直线OA为y＝tx，则， 解得， ∴直线OA的解析式为， 由（1）可知y＝kx+2， 令， 整理得x2﹣4kx﹣8＝0， 则x1，x2是方程的两个实数根， ∴x1x2＝﹣8， 将x＝x2代入， 得， ∴点E的纵坐标为﹣2； （3）是定值，理由如下： 设直线l3的解析式为y＝mx+n， 令， 整理得x2﹣4mx﹣4n＝0， ∵直线y＝mx+n与抛物线只有一个交点， ∴（4m）2﹣4×（﹣4n）＝0， ∴n＝﹣m2， ∴y＝mx﹣m2， 由（1）（2）可知C（0，2），E点的纵坐标为﹣2， ∴当y＝2时，，当y＝﹣2时，， ∴，， ∴，， ∴8﹣16＝﹣8， ∴CP2﹣CQ2的值为定值﹣8． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及一次函数与坐标轴的交点问题，根与系数的关系，两点间的距离公式等知识点，熟练掌握相关知识点，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 11 2025年中考第二次模拟考试（南通卷） 数学·答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2、 填空题（本大题共8小题，第11～12题每题3分，第13～18题每题4分，共30分） 11． _________________ 12．___________________ 12． __________________ 14．__________________ 15．___________________ 16 ． 17． 18． 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、解答题（本大题共8小题，共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（10分） 20. （10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21. （10分） 22．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.（10分） 24.（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25. （13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26. （13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年中考第二次模拟考试（南通卷） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．下列式子中，计算正确的是（　　） A．（x+2）2＝x2+4 B．2xy﹣2y＝x C．（x2y3）2＝x4y6 D．a10÷a5＝a2 2．若一个数用科学记数法表示为3.96×105，则这个数是（　　） A．39600 B．396000 C．0.0000396 D．0.00000396 3．下列剪纸中，可看作轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 4．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体为（　　） A．圆柱 B．圆锥 C．球体 D．棱锥 5．如图，小明用一副三角板拼成一幅“帆船图”．∠B＝∠E＝90°，∠C＝30°，∠F＝45°，ED∥AB，则∠FDC的度数为（　　） A．60° B．65° C．75° D．80° 6．若关于x的一元二次方程mx2+nx﹣2024＝0（m≠0）的一个解是x＝1，则m+n+1的值是（　　） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 7．《九章算术》是我国古代数学名著，记载着“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：一根笔直生长的竹子，高一丈（一丈＝10尺），因虫害有病，一阵风吹来将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，求折断处离地面的高度是多少尺？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（　　） A．x2+32＝（10﹣x）2 B．x2+32＝102 C．x2+（10﹣x）2＝32 D．（10﹣x）2+32＝x2 8．已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数y＝﹣2x+b图象上，且x1＜0＜x2，则下列结论一定成立的是（　　） A．y1+y2＜0 B．y1+y2＞0 C．y1＜y2 D．y1＞y2 9．如图，矩形ABCD中，AB＝5cm，BC＝4cm，动点M从点A出发以1cm/s的速度沿折线AB﹣BC运动到点C停止．连接AM，作MN⊥AM交CD于点N．设点M运动t s时，CN长为y cm，则y关于t的函数图象大致为（　　） A． B． C． D． 10．定义：如果两个实数m，n满足，则称m，n为一对“互助数”．已知a，b为实数，且a+b，a﹣b是一对“互助数”．若a2﹣b2＝p﹣3，则p的值可以为（　　） A． B．6 C． D．3 二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每题3分，第13～18题每题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11．因式分解：2a2﹣8a+8＝ 　 　． 12．若12，则整数a的值可以是 　 　．（写出一个值即可） 13．如图，测角仪CD竖直放在距建筑物AB底部6m的位置，在D处测得建筑物顶端A的仰角为52°．若测角仪的高度是1.6m，则建筑物AB的高度约为 　 　m．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28） 14．如图所示的正方形网格中，O，A，B，C，D是网格线交点，若弧CD与弧AB所在的圆心都为点O，则弧CD与弧AB的长度之比为 　 ． 15．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝42°，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于M，N两点，画直线MN交AC于点E，连接BE，则∠EBC的度数为 　 　°． 16．若m是方程x2+x﹣4＝0的一个实数根，则代数式m3﹣5m+2024的值为 　 ． 17．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B分别落在x轴，y轴上，点C，D分别落在函数 与（x＜0）的图象上．若，且，则k的值为 　 ． 18．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+8与坐标轴分别交于A，B两点．点P为直线AB上一动点，连接OP．将线段OP绕点O顺时针旋转90°得线段OQ，以OB，OQ为一组邻边构造平行四边形BOQH．连接OH，则线段OH的最小值为 　 . 三、解答题（本大题共8小题，共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（10分）（1）解不等式组：； （2）解方程：． 20．（10分）在庆祝龙年的元旦联欢会上，九年级1班进行抽奖活动，活动规则如下：将4张正面标有龙、蛇、马、羊的纸牌（纸牌反面完全相同）洗匀后，反面朝上放在桌子上，参与者每次随机从中抽取两张纸牌，若抽到“龙”和“马”，即组成“龙马精神”这个寓意美好的成语，则参与者可获得奖品． （1）王小虎随机抽出一张纸牌，抽到“龙”牌的概率是 　 ； （2）丽丽决定参加游戏，请用树状图或列表法说明丽丽获得奖品的概率． 21．（10分）【阅读材料】 老师的问题：如图，在▱ABCD中，点E在BC上，连接AE，只用一把无刻度的直尺，求作四边形AECF，使得四边形AECF是平行四边形． 小明的作法： （1）连接AC，BD，相交于点O； （2）连接EO并延长，交AD于点F； （3）连接CF．四边形AECF即为所求． 【解答问题】 请根据材料中的信息，判断小明的作图方法是否正确．若正确，给出证明；若不正确，说明理由． 22．（12分）某校举办“绿色低碳，美丽中国”主题作品展活动，五名评委对每组同学的参赛作品进行打分．对参加比赛的甲、乙、丙三个组参赛作品得分（单位：分）的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a．甲、乙两组参赛作品得分的折线图： b．在给丙组参赛作品打分时，三位评委给出的分数分别为85，92，95，其余两位评委给出的分数均高于85； c．甲、乙、丙三个组参赛作品得分的平均数与中位数： 甲组 乙组 丙组 平均分 88 m 90 中位数 n 92 92 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：m＝　 　，n＝　 　； （2）若某组作品评委打分的5个数据的方差越小，则认为评委对该组作品的评价越“一致”．据此推断：对于甲、乙两组的参赛作品，五位评委评价更“一致”的是 　 　组（填“甲”或“乙”）； （3）该校现准备推荐一个小组的作品到区里参加比赛，你认为应该推荐哪个小组，请说明理由． 23．（10分）如图，AC是⊙O的直径，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B，AE⊥PB，垂足为E，AE交⊙O于点D，连接OD． （1）求证：∠COD＝2∠P； （2）若AC＝8，∠P＝60°，求阴影部分的面积． 24．（12分）某商店销售某种商品的进价为每件30元，这种商品在近60天中的日销售价与日销售量的相关信息如表： 时间：第x天（1≤x≤60，且x为整数） 1≤x≤30 31≤x≤60 日销售价（元/件） 0.5x+35 50 日销售量（件） 124﹣2x 设该商品的日销售利润为w元． （1）求日销售利润w关于x的函数关系式； （2）该商品在第几天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？ 25．（13分）在数学活动课上，老师给同学们提供了一个矩形纸片ABCD，其中AB＝3，BC＝4，要求各小组开展“矩形的折叠”探究活动． 【操作猜想】 （1）甲小组给出了下面框图中的操作及猜想： 甲小组的操作与猜想 操作：如图1，在AB，BC上分别取一点N，M，将△BMN沿直线MN翻折180°，得到△EMN． 猜想：当∠NME＝∠CAD 时，MN∥AC． 请判断甲小组的猜想是否正确，并说明理由； 【深入探究】 （2）如图2，乙小组按照甲小组的方式操作发现，当∠NME＝∠CAD 时，点E恰好落在矩形的对角线AC上．请求出图中线段MN的长度； 【拓广延伸】 （3）丙小组按照甲小组的过程操作，进一步探究并提出问题：当∠NME＝∠CAD 时，过点E作 EF∥BC交射线CA于点F，若 EF＝EN，则BN的长是多少？请解答这个问题． 26．如图，直线y＝kx+b（b＞0）与抛物线yx2相交于A，B两点（A在B的左侧），与x轴正半轴相交于点D，与y轴相交于点C．设△OCD的面积为S，且kS+2＝0．过点B作x轴的垂线交AO的延长线于点E，过点C，E分别作x轴的平行线l1，l2，直线l3（不平行于y轴）与抛物线yx2有唯一公共点，分别交l1，l2于P，Q两点． （1）求b的值； （2）求点E的纵坐标； （3）探究CP2﹣CQ2是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年中考第二次模拟考试（南通卷） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．下列式子中，计算正确的是（　　） A．（x+2）2＝x2+4 B．2xy﹣2y＝x C．（x2y3）2＝x4y6 D．a10÷a5＝a2 2．若一个数用科学记数法表示为3.96×105，则这个数是（　　） A．39600 B．396000 C．0.0000396 D．0.00000396 3．下列剪纸中，可看作轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 4．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体为（　　） A．圆柱 B．圆锥 C．球体 D．棱锥 5．如图，小明用一副三角板拼成一幅“帆船图”．∠B＝∠E＝90°，∠C＝30°，∠F＝45°，ED∥AB，则∠FDC的度数为（　　） A．60° B．65° C．75° D．80° 6．若关于x的一元二次方程mx2+nx﹣2024＝0（m≠0）的一个解是x＝1，则m+n+1的值是（　　） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 7．《九章算术》是我国古代数学名著，记载着“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：一根笔直生长的竹子，高一丈（一丈＝10尺），因虫害有病，一阵风吹来将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，求折断处离地面的高度是多少尺？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（　　） A．x2+32＝（10﹣x）2 B．x2+32＝102 C．x2+（10﹣x）2＝32 D．（10﹣x）2+32＝x2 8．已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数y＝﹣2x+b的图象上，且x1＜0＜x2，则下列结论一定成立的是（　　） A．y1+y2＜0 B．y1+y2＞0 C．y1＜y2 D．y1＞y2 9．如图，矩形ABCD中，AB＝5cm，BC＝4cm，动点M从点A出发以1cm/s的速度沿折线AB﹣BC运动到点C停止．连接AM，作MN⊥AM交CD于点N．设点M运动t s时，CN长为y cm，则y关于t的函数图象大致为（　　） A． B． C． D． 10．定义：如果两个实数m，n满足，则称m，n为一对“互助数”．已知a，b为实数，且a+b，a﹣b是一对“互助数”．若a2﹣b2＝p﹣3，则p的值可以为（　　） A． B．6 C． D．3 二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每题3分，第13～18题每题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11．因式分解：2a2﹣8a+8＝ 　 　． 12．若12，则整数a的值可以是 　 　．（写出一个值即可） 13．如图，测角仪CD竖直放在距建筑物AB底部6m的位置，在D处测得建筑物顶端A的仰角为52°．若测角仪的高度是1.6m，则建筑物AB的高度约为 　 　m．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28） 14．如图所示的正方形网格中，O，A，B，C，D是网格线交点，若弧CD与弧AB所在的圆心都为点O，则弧CD与弧AB的长度之比为 　 ． 15．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝42°，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于M，N两点，画直线MN交AC于点E，连接BE，则∠EBC的度数为 　 　°． 16．若m是方程x2+x﹣4＝0的一个实数根，则代数式m3﹣5m+2024的值为 　 ． 17．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B分别落在x轴，y轴上，点C，D分别落在函数 与（x＜0）的图象上．若，且，则k的值为 　 ． 18．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+8与坐标轴分别交于A，B两点．点P为直线AB上一动点，连接OP．将线段OP绕点O顺时针旋转90°得线段OQ，以OB，OQ为一组邻边构造平行四边形BOQH．连接OH，则线段OH的最小值为 　 . 三、解答题（本大题共8小题，共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（10分）（1）解不等式组：； （2）解方程：． 20．（10分）在庆祝龙年的元旦联欢会上，九年级1班进行抽奖活动，活动规则如下：将4张正面标有龙、蛇、马、羊的纸牌（纸牌反面完全相同）洗匀后，反面朝上放在桌子上，参与者每次随机从中抽取两张纸牌，若抽到“龙”和“马”，即组成“龙马精神”这个寓意美好的成语，则参与者可获得奖品． （1）王小虎随机抽出一张纸牌，抽到“龙”牌的概率是 　 ； （2）丽丽决定参加游戏，请用树状图或列表法说明丽丽获得奖品的概率． 21．（10分）【阅读材料】 老师的问题：如图，在▱ABCD中，点E在BC上，连接AE，只用一把无刻度的直尺，求作四边形AECF，使得四边形AECF是平行四边形． 小明的作法： （1）连接AC，BD，相交于点O； （2）连接EO并延长，交AD于点F； （3）连接CF．四边形AECF即为所求． 【解答问题】 请根据材料中的信息，判断小明的作图方法是否正确．若正确，给出证明；若不正确，说明理由． 22．（12分）某校举办“绿色低碳，美丽中国”主题作品展活动，五名评委对每组同学的参赛作品进行打分．对参加比赛的甲、乙、丙三个组参赛作品得分（单位：分）的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a．甲、乙两组参赛作品得分的折线图： b．在给丙组参赛作品打分时，三位评委给出的分数分别为85，92，95，其余两位评委给出的分数均高于85； c．甲、乙、丙三个组参赛作品得分的平均数与中位数： 甲组 乙组 丙组 平均分 88 m 90 中位数 n 92 92 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：m＝　 　，n＝　 　； （2）若某组作品评委打分的5个数据的方差越小，则认为评委对该组作品的评价越“一致”．据此推断：对于甲、乙两组的参赛作品，五位评委评价更“一致”的是 　 　组（填“甲”或“乙”）； （3）该校现准备推荐一个小组的作品到区里参加比赛，你认为应该推荐哪个小组，请说明理由． 23．（10分）如图，AC是⊙O的直径，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B，AE⊥PB，垂足为E，AE交⊙O于点D，连接OD． （1）求证：∠COD＝2∠P； （2）若AC＝8，∠P＝60°，求阴影部分的面积． 24．（12分）某商店销售某种商品的进价为每件30元，这种商品在近60天中的日销售价与日销售量的相关信息如表： 时间：第x天（1≤x≤60，且x为整数） 1≤x≤30 31≤x≤60 日销售价（元/件） 0.5x+35 50 日销售量（件） 124﹣2x 设该商品的日销售利润为w元． （1）求日销售利润w关于x的函数关系式； （2）该商品在第几天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？ 25．（13分）在数学活动课上，老师给同学们提供了一个矩形纸片ABCD，其中AB＝3，BC＝4，要求各小组开展“矩形的折叠”探究活动． 【操作猜想】 （1）甲小组给出了下面框图中的操作及猜想： 甲小组的操作与猜想 操作：如图1，在AB，BC上分别取一点N，M，将△BMN沿直线MN翻折180°，得到△EMN． 猜想：当∠NME＝∠CAD 时，MN∥AC． 请判断甲小组的猜想是否正确，并说明理由； 【深入探究】 （2）如图2，乙小组按照甲小组的方式操作发现，当∠NME＝∠CAD 时，点E恰好落在矩形的对角线AC上．请求出图中线段MN的长度； 【拓广延伸】 （3）丙小组按照甲小组的过程操作，进一步探究并提出问题：当∠NME＝∠CAD 时，过点E作 EF∥BC交射线CA于点F，若 EF＝EN，则BN的长是多少？请解答这个问题． 26．如图，直线y＝kx+b（b＞0）与抛物线yx2相交于A，B两点（A在B的左侧），与x轴正半轴相交于点D，与y轴相交于点C．设△OCD的面积为S，且kS+2＝0．过点B作x轴的垂线交AO的延长线于点E，过点C，E分别作x轴的平行线l1，l2，直线l3（不平行于y轴）与抛物线yx2有唯一公共点，分别交l1，l2于P，Q两点． （1）求b的值； （2）求点E的纵坐标； （3）探究CP2﹣CQ2是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$