解答题04 三角形的综合问题（8大题型+好题必刷）-【上好课】2025年中考数学二轮复习讲练测（全国通用）

解答题04 三角形的综合问题（8大题型） 中考数学中的三角形综合题，常常是考生们感到挑战的题目之一。这类题目不仅考察学生对三角形基本性质的掌握，还涉及全等三角形、相似三角形、直角三角形的判定和性质，以及几何图形的变换等知识.中考中的三角形综合题虽然有一定的难度，但只要掌握了基本的几何知识和解题方法，多加练习，就能轻松应对。希望考生们在备考过程中，注重基础知识的掌握和思维能力的培养，取得优异的成绩。 题型一： 与三角形有关的多结论问题 1．（2024·山东东营·中考真题）如图，在正方形中，与交于点O，H为延长线上的一点，且，连接，分别交，BC于点E，F，连接，则下列结论：①；②；③平分；④．其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）如图，把一个边长为5的菱形沿着直线折叠，使点C与延长线上的点Q重合．交于点F，交延长线于点E．交于点P，于点M，，则下列结论，①，②，③，④．正确的是（    ）    A．①②③ B．②④ C．①③④ D．①②③④ 一、仔细审题，明确条件 首先，仔细阅读题目，理解并标记所有已知条件。这些条件可能涉及边长、角度、三角形的类型（如等腰、直角）等。明确已知条件是解题的基础，有助于在后续步骤中有针对性地进行推导。 二、逐项验证，逻辑推导 对每个待验证的结论逐一进行推导。可以利用三角形的各种性质，如内角和定理、正弦定理、余弦定理、相似三角形的判定和性质等。在推导过程中，确保每一步逻辑严谨，避免跳步或假设未经验证的条件。例如，若题目中给出两边及其夹角，可以利用余弦定理求解第三边。 三、综合利用已知条件 有时，单独验证每个结论可能并不足够，需要结合所有已知条件和已推导出的中间结果进行综合分析。通过这种综合判断，可以排除不可能的结论，筛选出符合题意的正确结论。例如，利用三角形的内角和为180度，可以进一步确定角度的取值范围。 1．（2023·四川宜宾·中考真题）如图，和是以点为直角顶点的等腰直角三角形，把以为中心顺时针旋转，点为射线、的交点．若，．以下结论：①；②；③当点在的延长线上时，④在旋转过程中，当线段最短时，的面积为．其中正确结论有（　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2024·山东泰安·模拟预测）如图，等腰直角中，，于点D，的平分线分别交于点E，F，M为中点，延长线交于点N，连接，下列结论：①；②；③平分；④；⑤，其中正确结论的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 题型二： 与三角形有关的折叠问题 1．（2024·四川·中考真题）如图，中，，，，折叠，使点A与点B重合，折痕与交于点D，与交于点E，则的长为 ． 2．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在纸片中，，点分别在边上，且，将沿折叠，使点A落在边上的点F处，则（   ） A． B． C． D． 解题方法： 1）折叠的本质是轴对称，会产生新的角与角的关系. 2）解题关键:找到对应相等的角. 3）折叠问题的本质是全等变换.折叠前的部分与折叠后的部分是全等形. 4）折痕可看作垂直平分线(对应两点之间的连线被折痕垂直平分). 5）折痕可看作角平分线(对应线段所在的直线与折痕的夹角相等). 记住三句话:1）折叠前后对应角，对应边相等. 2）折叠不改变原先的平行关系. 3）以折线为对称轴. 1．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，E是中点，F是上一点，沿着折叠，若，则 ． 2．（2024·河南商丘·模拟预测）如图，在中，，点P为上一个动点，连接，将沿折叠得到，点C的对应点为D，连接，若，，当为直角三角形时，线段的长为 ． 题型三： 利用特殊三角形的性质与判定解决分类讨论问题 1．（2023·江苏泰州·中考真题）如图，中，，，射线从射线开始绕点C逆时针旋转角，与射线相交于点D，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点E．若是等腰三角形，则的度数为 ．      2．（2023·浙江宁波·中考真题）如图，在中，，E为边上一点，以为直径的半圆O与相切于点D，连接，．P是边上的动点，当为等腰三角形时，的长为 ．    在几何学中，特殊三角形如等腰三角形、直角三角形和等边三角形因其独特的性质，常常成为解题的关键。分类讨论是一种重要的解题策略，尤其在面对条件复杂或存在多种可能性时，利用特殊三角形的性质与判定进行分类讨论，可以使问题简化、明朗化。 具体步骤： 1. 审题：仔细阅读题目，明确题目中给出的条件和要求解决的问题。 2. 分类标准：根据题目条件，确定分类的标准。例如，三角形的边长关系、角度大小等。 3. 分类讨论：按照分类标准，将问题分为若干个子问题，每个子问题对应一种情况。针对每种情况，利用特殊三角形的性质与判定进行求解。 4. 综合结论：将每种情况的解综合起来，得到问题的完整答案。 1．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）已知矩形纸片，，，点P在边上，连接，将沿所在的直线折叠，点B的对应点为，把纸片展平，连接，，当为直角三角形时，线段的长为 ． 2．（2024·黑龙江佳木斯·模拟预测）在矩形中，对角线相交于点O，，，M是直线上的一个动点，当为直角三角形时，的长为 ． 题型四： 与三角形有关的规律探究问题 1．（2024·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知直线的表达式为，点的坐标为，以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；……按照这样的规律进行下去，点的横坐标是 ． 2．（2024·四川达州·中考真题）如图，在中，，分别是内角、外角的三等分线，且，，在中，，分别是内角，外角的三等分线．且，，…，以此规律作下去．若．则 度． 1．（2024·山东济宁·三模）如图，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，，将绕点顺时针旋转到，扫过的面积记为，交轴于点；将绕点顺时针旋转到，扫过的面积记为，交轴于点；将绕点顺时针旋转到扫过的面积记为；…；按此规律，则为（    ）    A． B． C． D． 2．（2024·山东济南·二模）如图，在平面直角坐标系中，将等边绕点旋转180°得到，再将绕点旋转得到，再将绕点旋转得到，按此规律进行下去，若点的坐标为，则点的坐标为 ． 题型五： 与三角形有关的最值问题 1．（2024·西藏·中考真题）如图，在中，，，，点P是边上任意一点，过点P作，，垂足分别为点D，E，连接，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为 ． 3．（2024·四川广元·中考真题）如图，在中，，，则的最大值为 ．    中考与三角形有关的最值问题解题思路 一、利用固定底边或高 如果题目中给出了三角形某条边或高的固定值，那么可以直接使用面积公式。通过确定底或高的最大值或最小值，进而求得面积的最值。例如，若已知底边长度，则当高取得最大值时，面积也最大。 二、利用三角形的相似与比例关系 当题目中出现线段的倍数关系时，可以考虑利用三角形的相似性质来转化求解。常见的技巧包括作平行线构造相似三角形，通过相似比来推导目标三角形的面积与其他三角形面积的关系。例如，若某条线段被分为1:2的两部分，则可以利用该比例关系求解相关面积的最值。 三、转化为二次函数求最值 当三角形的底和高均变化时，通常需要借助函数思想，将面积表示为某个变量的二次函数，再利用二次函数的极值性质求解最值。具体步骤包括： 1. 设定变量：假设某条边的长度为变量$x$。 2. 表示面积：利用几何关系将面积表示为$x$的函数。 3. 求最值：通过求二次函数的极值点，确定面积的最大值或最小值。 四、利用几何图形的特性 有时，利用几何图形的特性（如等腰三角形的三线合一、直角三角形的性质等）可以简化问题。例如，等腰三角形底边上的高也是底边的中垂线，利用这一性质可以快速确定高的最大值。 五、构造辅助圆 在某些动态问题中，特别是涉及翻折、旋转等操作时，可能会形成圆或圆弧的轨迹。通过构造辅助圆，利用圆的性质（如半径相等、圆周角定理等）来求解最值问题。 1．（2024·四川广元·一模）如图，在中，点 D 为边上一个动点，以为边在的上方作正方形，当取得最小值时，的长为 ．      21．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知菱形的面积为，是边上的中点，是对角线上的动点，连接，若平分，则的最小值为 ． 题型六： 全等三角形与相似三角形综合 1．（2024·海南·中考真题）正方形中，点E是边上的动点（不与点B、C重合），，，交于点H，交延长线于点G．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，于点P，交于点M． ①求证：点P在的平分线上； ②当时，猜想与的数量关系，并证明； ③作于点N，连接，当时，若，求的值．   2．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在中，为锐角，点在边上，连接，且．    (1)如图1，若是边的中点，连接，对角线分别与相交于点． ①求证：是的中点； ②求； (2)如图2，的延长线与的延长线相交于点，连接的延长线与相交于点．试探究线段与线段之间的数量关系，并证明你的结论． 中考数学中，全等三角形与相似三角形是几何部分的重要内容，也是考试的常见题型。掌握综合解题思路，有助于在考试中迅速找到解题切入点，提高答题效率。以下是针对中考全等三角形与相似三角形的综合解题思路： 全等三角形 相似三角形 解题思路（判定方法） SSS（边边边）：三组对应边分别相等。 SAS（边角边）：两边及其夹角对应相等。 ASA（角边角）：两角及其夹边对应相等。 AAS（角角边）：两角及其中一角的对边对应相等。 HL（直角边斜边）：适用于直角三角形，斜边和一条直角边对应相等。 AA（两角对应相等）：两角对应相等。 SAS（两边成比例且夹角相等）：两边成比例且夹角相等。 SSS（三边成比例）：三边对应成比例。 解题步骤 标记已知条件：在图中标记已知的边和角，明确需要证明的全等三角形。  寻找全等条件：根据已知条件，判断是否满足全等三角形的判定定理。 添加辅助线：当直接证明困难时，通过添加辅助线构造全等三角形。 标记已知条件：在图中标记已知的边和角，明确需要证明的相似三角形。 寻找相似条件：根据已知条件，判断是否满足相似三角形的判定定理。 利用比例关系：通过相似三角形的性质，建立比例关系，求解未知量。 1．（2024·陕西渭南·模拟预测）【问题呈现】 （1）和都是直角三角形，，连接，，探究，的位置关系． ①如图1，当时，与的位置关系为______； ②如图2，当时，①中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由； 【拓展应用】 （2）某村村民计划开垦一块形状为直角三角形的空地（如图3），同时在空地内部或周边，围出形状为直角三角形的空地作为菜地（点C，D，E按逆时针方向排列），以点A，E，D作为取水点，且要使三个取水点恰好在同一直线上，已知千米，千米，，求取水点E到入口B的距离． 2．（2022·安徽合肥·一模）如图①，在四边形中，，E为上一点，且，过点B作交的延长线于点F，连接，． (1)求证：； (2)如图②，连接交于点G． ①若，求证：平分； ②若，求的值． 题型七： 三角形与函数综合（求函数解析式） 1．（2023·广西·中考真题）如图，是边长为4的等边三角形，点D，E，F分别在边，，上运动，满足．    (1)求证：； (2)设的长为x，的面积为y，求y关于x的函数解析式； (3)结合（2）所得的函数，描述的面积随的增大如何变化． 2．（2024·吉林·中考真题）如图，在中，，，，是的角平分线．动点P从点A出发，以的速度沿折线向终点B运动．过点P作，交于点Q，以为边作等边三角形，且点C，E在同侧，设点P的运动时间为，与重合部分图形的面积为．    (1)当点P在线段上运动时，判断的形状（不必证明），并直接写出的长（用含t的代数式表示）． (2)当点E与点C重合时，求t的值． (3)求S关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围． 解决几何图形中的函数关系的问题，往往要用到几何图形的特征和相似/全等的性质，尤其是利用相似得到比例式，从而将未知线段用含字母的代数式表示出来. 1．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，AB是圆O的直径，点D为圆O上一点，连接AD并延长至点C，使，过点D 作AB的垂线，交圆O于点E，点F为劣弧AE上一点，连接EF并延长交BA的延长线于点P，连接DF与AB交于点G． (1)求证：BC是圆O的切线； (2)记的面积分别为，若，求的值； (3)若圆O的半径为1，设，试求y关于x的函数解析式． 2．（2025·上海静安·一模）如图，在中，，，是中点，在延长线上，在边上（不与点重合），． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)设，求关于的函数解析式，并写出定义域； (4)连接，如果四边形有两个内角互补，求的长． 题型八： 三角形与函数综合（存在性问题） 1．（2023·浙江绍兴·中考真题）如果两点到一条直线的距离相等，则称该直线为“两点的等距线”． (1) 如图1，直线经过线段的中点P，试说明直线是点A，B的一条等距线． (2)如图2，是正方形网格中的三个格点，请在网格中作出所有的直线m，使直线m过点C且直线m是“两点的等距线”． (3)如图3，中，，则在坐标轴上是否存在点P，使？若存在，试求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2023·四川绵阳·中考真题）如图，过原点O的直线与反比例函数 的图象交于，两点，一次函数的图象过点A与反比例函数交于另一点．    (1)求反比例函数的解析式；当时，根据图象直接写出x的取值范围； (2)在y轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．   3．（2023·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点．与y轴交于点．    (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求与的最大值及此时点P的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得是以为一条直角边的直角三角形：若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 1）等腰三角形存在性问题 解题方法： 几何法：1）“两圆一线”作出点； 2）利用勾股、相似、三角函数等求线段长； 3)分类讨论，求出点P的坐标. 代数法：1）表示出三个点坐标A、B、P； 2）由点坐标表示出三条线段：AB、AP、BP； 3）根据题意要求（看题目有没有指定腰），取①AB=AP、②AB=BP、③AP=BP； 4）列出方程求解． 2）直角三角形存在性问题 解题方法：如有两定点，在其他特定的“线”上求第三点，形成直角三角形时： 1）当动点在直线上运动时，常用的方法是①，②三角形相似，③勾股定理； 2）当动点在曲线上运动时，情况分类如下， 第一当已知点处作直角的方法：①，②三角形相似，③勾股定理； 第二是当动点处作直角的方法：寻找特殊角. 3）等腰直角三角形存在性问题 解题大招：确定等腰直角三角形后构造一线三垂直，对应上下两个三角形全等，得到对应线段相等的关系，进而设出点的坐标，根据线段相等列出等式建立方程求解参数. 1．（2024·广东广州·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象交于，两点．    (1)求此反比例函数的表达式及点的坐标； (2)当时，直接写出的取值范围； (3)在轴上存在点，使得的周长最小，求点的坐标并直接写出的周长． 2．（2024·新疆克孜勒苏·一模）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)判断的形状，并证明你的结论； (3)在该抛物线位于第四象限内的部分上是否存在点，使得的面积最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 1．（2025·河南许昌·一模）如图1，点P从等边三角形的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为x，，图(2)是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形的边长为（    ） A．6 B．3 C． D． 2．（2025·河南开封·一模）依次连接周长为的等边三角形各边的中点，得到第二个等边三角形，再依次连接第二个等边三角形各边的中点，得到第三个等边三角形，，按这样的规律，第个等边三角形的周长为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·安徽六安·一模）如图，在四边形中，，连接，，，点是边上的点，连接，，，那么下列结论中：①；②；③；④，正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2025·河南周口·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，．将绕点O顺时针旋转得到，过点作交x轴于点；将绕点O顺时针旋转得到，过点作交y轴于点；…；按此规律循环下去，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·安徽合肥·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，在轴正半轴上（点在点的右侧），，分别以，为直角边作等腰直角三角形，等腰直角三角形，反比例函数的图象与斜边交于点，与斜边交于点． （1）若是的中点，且点的坐标为，则点的坐标为 ． （2）过点作轴于点，过点作轴于点．若是的中点，阴影部分（四边形的面积等于，则的值为 ． 6．（2025·河南驻马店·一模）如图，在中，，D是平面内一点，，连接、E为的中点，连接，则的最小值为 ，最大值为 ． 7．（2025·山东济南·一模）（一）模型呈现 （1）如图1，点在直线上，，过点作于点，过点作于点，由，得，又，可以推理得到，进而得到_______，_______．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； （二）模型体验 （2）如图2，在中，点为上一点，，四边形的周长为，的周长为．小诚同学发现根据模型可以推理得到，进而得到，那么，再根据题目中周长信息就可得_______； （三）模型拓展 （3）如图3，在中，，直线经过点，且于点，于点．请猜想线段之间的数量关系，并写出证明过程： （四）模型应用 （4）如图4，已知在矩形中，，点在边上，且．是对角线上一动点，是边上一动点，且满足，当在上运动时，请求线段的最大值，并求出此时线段的长度． 8．（2025·河南濮阳·一模）综合与探究 如图，，点在的平分线上，于点． (1)【操作判断】 如图1，过点作于点，根据题意，在图1中画出，并直接写出的度数： _______________． (2)【问题探究】 如图2，点在线段上，连接，作，交射线于点，探究，与之间的数量关系，并给出证明． (3)【拓展延伸】 点在射线上，连接，作，交射线于点，射线与射线相交于点．若，请直接写出的值． 9．（2025·重庆·模拟预测）如图．在中，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动到点停止，过点作交两腰于点，连接，设点的运动时间为(秒)，的面积为 (1)直接写出与之间的函数关系式，并写出对应的的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质： (3)反比例函数的图象如下，直接写出时的取值范围．（误差小于) 10．（2023·湖南益阳·中考真题）在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与抛物线交于B，C两点（B在C的左边）．    (1)求A点的坐标； (2)如图1，若B点关于x轴的对称点为点，当以点A，，C为顶点的三角形是直角三角形时，求实数a的值； (3)定义：将平面直角坐标系中横坐标与纵坐标均为整数的点叫作格点，如，等均为格点．如图2，直线l与抛物线E所围成的封闭图形即阴影部分（不包含边界）中的格点数恰好是26个，求a的取值范围． 1．（2024·山东德州·中考真题）如图中，，，垂足为D，平分，分别交，于点F，E．若，则为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·山东济南·中考真题）如图1，是等边三角形，点在边上，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线匀速运动，到达点后停止，连接．设点的运动时间为，为．当动点沿匀速运动到点时，与的函数图象如图2所示．有以下四个结论： ①； ②当时，； ③当时，； ④动点沿匀速运动时，两个时刻，分别对应和，若，则．其中正确结论的序号是（    ） A．①②③       B．①②            C．③④              D．①②④ 3．（2024·安徽·中考真题）如图，在中，，，，是边上的高．点E，F分别在边，上（不与端点重合），且．设，四边形的面积为y，则y关于x的函数图象为（    ） A．B．C．D． 4．（2024·四川广安·中考真题）已知，直线与轴相交于点，以为边作等边三角形，点在第一象限内，过点作轴的平行线与直线交于点，与轴交于点，以为边作等边三角形（点在点的上方），以同样的方式依次作等边三角形，等边三角形，则点的横坐标为 ． 5．（2024·四川遂宁·中考真题）如图，在正方形纸片中，是边的中点，将正方形纸片沿折叠，点落在点处，延长交于点，连结并延长交于点．给出以下结论：①为等腰三角形；②为的中点；③；④．其中正确结论是 ．（填序号） 6．（2024·山西·中考真题）综合与探究 问题情境：如图，四边形是菱形，过点作于点，过点作于点． 猜想证明： （1）判断四边形的形状，并说明理由； 深入探究： （2）将图中的绕点逆时针旋转，得到，点，的对应点分别为点，． ①如图，当线段经过点时，所在直线分别与线段，交于点，．猜想线段与的数量关系，并说明理由； ②当直线与直线垂直时，直线分别与直线，交于点，，直线与线段交于点．若，，直接写出四边形的面积． 7．（2024·江苏徐州·中考真题）在中，点在边上，若，则称点是点的“关联点”． (1)如图（1），在中，若，于点．试说明：点是点的“关联点”． (2)如图（2），已知点在线段上，用无刻度的直尺和圆规作一个，使其同时满足下列条件：①点为点的“关联点”；②是钝角（保留作图痕迹，不写作法）． (3)若为锐角三角形，且点为点的“关联点”．设，，用含、的代数式表示的取值范围（直接写出结果）． 8．（2024·山东济南·中考真题）某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究． （一）拓展探究 如图1，在中，，垂足为． （1）兴趣小组的同学得出．理由如下： ①______ ②______ 请完成填空：①______；②______； （2）如图2，为线段上一点，连接并延长至点，连接，当时，请判断的形状，并说明理由． （二）学以致用 （3）如图3，是直角三角形，，平面内一点，满足，连接并延长至点，且，当线段的长度取得最小值时，求线段的长． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 解答题04 三角形的综合问题（8大题型） 中考数学中的三角形综合题，常常是考生们感到挑战的题目之一。这类题目不仅考察学生对三角形基本性质的掌握，还涉及全等三角形、相似三角形、直角三角形的判定和性质，以及几何图形的变换等知识.中考中的三角形综合题虽然有一定的难度，但只要掌握了基本的几何知识和解题方法，多加练习，就能轻松应对。希望考生们在备考过程中，注重基础知识的掌握和思维能力的培养，取得优异的成绩。 题型一： 与三角形有关的多结论问题 1．（2024·山东东营·中考真题）如图，在正方形中，与交于点O，H为延长线上的一点，且，连接，分别交，BC于点E，F，连接，则下列结论：①；②；③平分；④． 其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据正方形的性质结合勾股定理可知，，，，与互相垂直且平分，进而可求得，根据正切值定义即可判断②；由，可知，由相似三角形的性质即可判断①；由，可求得，再结合与互相垂直且平分，得，可知，进而可判断③；再证，即可判断④． 【详解】解：在正方形中，，，，，与互相垂直且平分， 则， ∵，则， ∴，故②不正确； ∵，则，， ∴， ∴，故①不正确； ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵与互相垂直且平分， ∴， ∴，则， ∴， ∴平分，故③正确； 由上可知，， ∴， ∴，则， 又∵， ∴，故④正确； 综上，正确的有③④，共2个， 故选：B． 【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，解直角三角形等知识，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 2．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）如图，把一个边长为5的菱形沿着直线折叠，使点C与延长线上的点Q重合．交于点F，交延长线于点E．交于点P，于点M，，则下列结论，①，②，③，④．正确的是（    ）    A．①②③ B．②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】由折叠性质和平行线的性质可得，根据等角对等边即可判断①正确；根据等腰三角形三线合一的性质求出，再求出即可判断②正确；由得，求出即可判断③正确；根据即可判断④错误． 【详解】由折叠性质可知：， ∵， ∴． ∴． ∴． 故正确； ∵，， ∴． ∵， ∴． 故正确； ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． 故正确； ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴与不相似． ∴． ∴与不平行． 故错误； 故选A． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，菱形的性质等知识，属于选择压轴题，有一定难度，熟练掌握相关性质是解题的关键． 一、仔细审题，明确条件 首先，仔细阅读题目，理解并标记所有已知条件。这些条件可能涉及边长、角度、三角形的类型（如等腰、直角）等。明确已知条件是解题的基础，有助于在后续步骤中有针对性地进行推导。 二、逐项验证，逻辑推导 对每个待验证的结论逐一进行推导。可以利用三角形的各种性质，如内角和定理、正弦定理、余弦定理、相似三角形的判定和性质等。在推导过程中，确保每一步逻辑严谨，避免跳步或假设未经验证的条件。例如，若题目中给出两边及其夹角，可以利用余弦定理求解第三边。 三、综合利用已知条件 有时，单独验证每个结论可能并不足够，需要结合所有已知条件和已推导出的中间结果进行综合分析。通过这种综合判断，可以排除不可能的结论，筛选出符合题意的正确结论。例如，利用三角形的内角和为180度，可以进一步确定角度的取值范围。 1．（2023·四川宜宾·中考真题）如图，和是以点为直角顶点的等腰直角三角形，把以为中心顺时针旋转，点为射线、的交点．若，．以下结论： ①；②； ③当点在的延长线上时，； ④在旋转过程中，当线段最短时，的面积为． 其中正确结论有（　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】证明即可判断①，根据三角形的外角的性质得出②，证明得出，即可判断③；以为圆心，为半径画圆，当在的下方与相切时，的值最小，可得四边形是正方形，在中 ，然后根据三角形的面积公式即可判断④． 【详解】解：∵和是以点为直角顶点的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，，故①正确； 设， ∴, ∴， ∴，故②正确； 当点在的延长线上时，如图所示    ∵，， ∴ ∴ ∵，． ∴， ∴ ∴，故③正确； ④如图所示，以为圆心，为半径画圆，    ∵， ∴当在的下方与相切时，的值最小， ∴四边形是矩形， 又， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 在中， ∴取得最小值时， ∴ 故④正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的性质，勾股定理，切线的性质，垂线段最短，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 2．（2024·山东泰安·模拟预测）如图，等腰直角中，，于点D，的平分线分别交于点E，F，M为中点，延长线交于点N，连接，下列结论：①；②；③平分；④；⑤，其中正确结论的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据三线合一的性质证明，即可判断①；证明A、B、D、M四点共圆，则，得到，即可判断③；证明，过点D作于点H，则，设，则，得到，则，即，即可判断②；求出，过点D作于点P，求出，即可判断④；证明，则，利用等量代换即可判断⑤. 【详解】解：∵，，， ∴，，，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵M为中点， ∴， ∴， ∴， ∴ 在和中， ∴， ∴， ∴①正确； ∵， ∴A、B、D、M四点共圆， ∴， ∴， ∵， ∴平分 ∴③正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 过点D作于点H，则， ∴， 设，则， ∴ ∵ ∴，即， ∴； 故②正确； ∵， ∴ ∴， 过点D作于点P， 则， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴，故④错误； ∵，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， 故⑤正确； 综上可知，正确结论是①②③⑤， 故选：C 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、解直角三角形，全等三角形的判定和性质、四点共圆等知识，熟练掌握相关知识点是解题关键，综合性较强． 题型二： 与三角形有关的折叠问题 1．（2024·四川·中考真题）如图，中，，，，折叠，使点A与点B重合，折痕与交于点D，与交于点E，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了折叠的性质和勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 设，则，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：由折叠的性质，得， 设，则， 由勾股定理，得， ∴， 解得. 故答案为：3． 2．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在纸片中，，点分别在边上，且，将沿折叠，使点A落在边上的点F处，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理与折叠，直角三角形的性质，由折叠可得，，即可得到，再分别在和利用直角三角形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵将沿折叠，使点A落在边上的点F处， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 解题方法： 1）折叠的本质是轴对称，会产生新的角与角的关系. 2）解题关键:找到对应相等的角. 3）折叠问题的本质是全等变换.折叠前的部分与折叠后的部分是全等形. 4）折痕可看作垂直平分线(对应两点之间的连线被折痕垂直平分). 5）折痕可看作角平分线(对应线段所在的直线与折痕的夹角相等). 记住三句话:1）折叠前后对应角，对应边相等. 2）折叠不改变原先的平行关系. 3）以折线为对称轴. 1．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，E是中点，F是上一点，沿着折叠，若，则 ． 【答案】 【分析】取中点为D、连接，作中点G，连接交，交于O，根据勾股定理求出的长，由折叠性质以及等腰三角形的判定与性质得出共线，即O与重合，利用中位线性质，勾股定理得出一元二次方程，求出结果即可得出结论． 【详解】解：如图所示，取中点为D、连接，作中点G，连接交，交于O， 在中 为中点， ， 由折叠可知：， 点G是中点，在中有，且， 在中，， 在中，E为中点，G为中点， ， 取中点为，则， ， ， 共线，即O与重合， ， 在中，， 为的中点，D为的中点， ， ， ， 在中，设，则， ， ， 在中，，即， 整理得：， 解得：， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，一元二次方程的几何应用，中位线的性质，等腰三角形的判定与性质，折叠性质，熟练掌握相关性质定理，准确作出辅助线为解题关键． 2．（2024·河南商丘·模拟预测）如图，在中，，点P为上一个动点，连接，将沿折叠得到，点C的对应点为D，连接，若，，当为直角三角形时，线段的长为 ． 【答案】或5 【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，分当时，当时，两种情况画出对应的图形，讨论求解即可． 【详解】解：如图所示，当时，则， 由折叠的性质可得， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴； 如图所示，时， 由折叠的性质可得， ∴， ∴A、D、B三点共线， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的长为或5； 故答案为：或5． 题型三： 利用特殊三角形的性质与判定解决分类讨论问题 1．（2023·江苏泰州·中考真题）如图，中，，，射线从射线开始绕点C逆时针旋转角，与射线相交于点D，将沿射线翻折至处，射线与射线相交于点E．若是等腰三角形，则的度数为 ．      【答案】或或 【分析】分情况讨论，利用折叠的性质知，，再画出图形，利用三角形的外角性质列式计算即可求解． 【详解】解：由折叠的性质知，， 当时，，      由三角形的外角性质得，即， 此情况不存在； 当时，   ，， 由三角形的外角性质得， 解得； 当时，，    ∴， 由三角形的外角性质得， 解得； 当时，，      ∴， ∴； 综上，的度数为或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，画出图形，数形结合是解题的关键． 2．（2023·浙江宁波·中考真题）如图，在中，，E为边上一点，以为直径的半圆O与相切于点D，连接，．P是边上的动点，当为等腰三角形时，的长为 ．    【答案】或 【分析】连接，勾股定理求出半径，平行线分线段成比例，求出的长，勾股定理求出和的长，分和两种情况进行求解即可． 【详解】解：连接，    ∵以为直径的半圆O与相切于点D， ∴，， ∴ 设，则， 在中：，即：， 解得：， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵为等腰三角形， 当时，， 当时， ∵， ∴点与点重合， ∴，    不存在的情况； 综上：的长为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查切线的性质，平行线分线段成比例，勾股定理，等腰三角形的定义．熟练掌握切线的性质，等腰三角形的定义，确定点的位置，是解题的关键． 在几何学中，特殊三角形如等腰三角形、直角三角形和等边三角形因其独特的性质，常常成为解题的关键。分类讨论是一种重要的解题策略，尤其在面对条件复杂或存在多种可能性时，利用特殊三角形的性质与判定进行分类讨论，可以使问题简化、明朗化。 具体步骤： 1. 审题：仔细阅读题目，明确题目中给出的条件和要求解决的问题。 2. 分类标准：根据题目条件，确定分类的标准。例如，三角形的边长关系、角度大小等。 3. 分类讨论：按照分类标准，将问题分为若干个子问题，每个子问题对应一种情况。针对每种情况，利用特殊三角形的性质与判定进行求解。 4. 综合结论：将每种情况的解综合起来，得到问题的完整答案。 1．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）已知矩形纸片，，，点P在边上，连接，将沿所在的直线折叠，点B的对应点为，把纸片展平，连接，，当为直角三角形时，线段的长为 ． 【答案】或2 【分析】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，分两种情况进行讨论：当时，当，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， 当时，如图所示： ∵， ∴点在上， 根据折叠可知：，， 设，则， ∴， ， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：， 即； 当，如图所示： 根据折叠可知：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上分析可知：或2． 故答案为：或2， 2．（2024·黑龙江佳木斯·模拟预测）在矩形中，对角线相交于点O，，，M是直线上的一个动点，当为直角三角形时，的长为 ． 【答案】或或2 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，直角三角形的性质，先由矩形对角线相等且互相平分得到，再证明是等边三角形，得到，则，据此利用勾股定理求出的长；然后分情况分析：，，，分别作出相应图形，利用勾股定理及直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 当点M与点B重合时，， ∴； 当点M与点D重合时，当时，如图所示： ∴； 当时，如图所示： ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 当时，如图所示： 同理得： ； 综上可得：的长为或或2， 故答案为：或或2． 题型四： 与三角形有关的规律探究问题 1．（2024·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知直线的表达式为，点的坐标为，以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；……按照这样的规律进行下去，点的横坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数性质应用，等腰直角三角形的判定与性质及点的坐标规律问题，作轴于点H，依次求出，找出规律即可解决． 【详解】解：作轴于点H， 均在直线上， ， ， ，， ， ， ， ， ， 同理，， ， 同理， ， 即点的横坐标是， 故答案为：． 2．（2024·四川达州·中考真题）如图，在中，，分别是内角、外角的三等分线，且，，在中，，分别是内角，外角的三等分线．且，，…，以此规律作下去．若．则 度． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外角定理，等式性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 先分别对运用三角形的外角定理，设，则，，则，得到，，同理可求：，所以可得． 【详解】解：如图： ∵，， ∴设，，则，， 由三角形的外角的性质得：，， ∴， 如图： 同理可求：， ∴， ……， ∴， 即， 故答案为：． 1．（2024·山东济宁·三模）如图，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，，将绕点顺时针旋转到，扫过的面积记为，交轴于点；将绕点顺时针旋转到，扫过的面积记为，交轴于点；将绕点顺时针旋转到扫过的面积记为；…；按此规律，则为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，余弦，扇形面积．根据题意推导一般性规律是解题的关键． 由题意知，，，……均为等腰直角三角形，则，，，……，由，，，，……，可推导一般性规律为，然后求解作答即可． 【详解】解：由题意知，，，……均为等腰直角三角形， ∴，，，…… ∴，，，，…… ∴可推导一般性规律为， ∴， 故选：A． 2．（2024·山东济南·二模）如图，在平面直角坐标系中，将等边绕点旋转180°得到，再将绕点旋转得到，再将绕点旋转得到，按此规律进行下去，若点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，坐标与图形等，找出规律是解题的关键．先根据题意求出、，、的坐标，发现规律，即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形，点的坐标为，将绕点旋转180°得到， ∴， ∵， ∴， ∴， 故， 即，， 则， 同理可得， ， ······， ， 故点的坐标为， 即． 故答案为：． 题型五： 与三角形有关的最值问题 1．（2024·西藏·中考真题）如图，在中，，，，点P是边上任意一点，过点P作，，垂足分别为点D，E，连接，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的运用、矩形的判定和性质以及直角三角形的面积的不同求法，题目难度不大，设计很新颖，解题的关键是求的最小值转化为其相等线段的最小值．连接，根据矩形的性质可知：，当最小时，则最小，根据垂线段最短可知当时，则最小，再根据三角形的面积为定值即可求出的长． 【详解】解：中，，，， ， 连接，如图所示： ∵于点，于点，， ∴， 四边形是矩形， ， 当最小时，则最小，根据垂线段最短可知当时，则最小， ∴此时． 故选：B． 2．（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查轴对称—最短问题以及勾股定理和轴对称图形的性质．先取点A关于直线的对称点，连交直线于点C，连，得到，，再由轴对称图形的性质和两点之间线段最短，得到当三点共线时，的最小值为，再利用勾股定理求即可． 【详解】解：取点A关于直线的对称点，连交直线于点C，连， 则可知，， ∴， 即当三点共线时，的最小值为， ∵直线垂直于y轴， ∴轴， ∵，， ∴， ∴在中， ， 故答案为：5 3．（2024·四川广元·中考真题）如图，在中，，，则的最大值为 ．    【答案】 【分析】过点作，垂足为，如图所示，利用三角函数定义得到，延长到，使，连接，如图所示，从而确定，，再由辅助圆-定弦定角模型得到点在上运动，是的弦，求的最大值就是求弦的最大值，即是直径时，取到最大值，由圆周角定理及勾股定理求解即可得到答案． 【详解】解：过点作，垂足为，如图所示：    ， 在中，设，则，由勾股定理可得， ，即， ， 延长到，使，连接，如图所示：    ， ，， 是等腰直角三角形，则， 在中，，，由辅助圆-定弦定角模型，作的外接圆，如图所示：   由圆周角定理可知，点在上运动，是的弦，求的最大值就是求弦的最大值，根据圆的性质可知，当弦过圆心，即是直径时，弦最大，如图所示：   是的直径， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，则由勾股定理可得，即的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查动点最值问题，涉及解三角形、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、圆的性质、圆周角定理、动点最值问题-定弦定角模型等知识，熟练掌握动点最值问题-定弦定角模型的解法是解决问题的关键． 中考与三角形有关的最值问题解题思路 一、利用固定底边或高 如果题目中给出了三角形某条边或高的固定值，那么可以直接使用面积公式。通过确定底或高的最大值或最小值，进而求得面积的最值。例如，若已知底边长度，则当高取得最大值时，面积也最大。 二、利用三角形的相似与比例关系 当题目中出现线段的倍数关系时，可以考虑利用三角形的相似性质来转化求解。常见的技巧包括作平行线构造相似三角形，通过相似比来推导目标三角形的面积与其他三角形面积的关系。例如，若某条线段被分为1:2的两部分，则可以利用该比例关系求解相关面积的最值。 三、转化为二次函数求最值 当三角形的底和高均变化时，通常需要借助函数思想，将面积表示为某个变量的二次函数，再利用二次函数的极值性质求解最值。具体步骤包括： 1. 设定变量：假设某条边的长度为变量$x$。 2. 表示面积：利用几何关系将面积表示为$x$的函数。 3. 求最值：通过求二次函数的极值点，确定面积的最大值或最小值。 四、利用几何图形的特性 有时，利用几何图形的特性（如等腰三角形的三线合一、直角三角形的性质等）可以简化问题。例如，等腰三角形底边上的高也是底边的中垂线，利用这一性质可以快速确定高的最大值。 五、构造辅助圆 在某些动态问题中，特别是涉及翻折、旋转等操作时，可能会形成圆或圆弧的轨迹。通过构造辅助圆，利用圆的性质（如半径相等、圆周角定理等）来求解最值问题。 1．（2024·四川广元·一模）如图，在中，点 D 为边上一个动点，以为边在的上方作正方形，当取得最小值时，的长为 ．      【答案】 【分析】过点作于，由四边形是正方形，得，，可证明，即有，，从而，而，根据二次函数性质可得取得最小值时，，即可得到答案． 【详解】解：过点作于，如图所示：   四边形是正方形， ，， ，， ，且，， ， ，， ， ， ， 当时，最小，则也最小， 此时， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形中的动点问题，涉及正方形性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理及二次函数图像与性质等知识，熟记二次函数表图像与性质，用含的代数式表示是解决问题的关键．. 21．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知菱形的面积为，是边上的中点，是对角线上的动点，连接，若平分，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图，连接、，过点作交的延长线于点，由点是一边上的中点及平分，可得是等边三角形，继而推出的最小值为，求出即可． 【详解】解：如图，连接、，过点作交的延长线于点， ∴，， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形，且面积为， ∴， ∴，即是等边三角形，设， ∴，，， ∴， ∴， 解得：或（负值不符合题意，舍去）， ∴， ∵四边形是菱形， ∴点和点关于对称， ∴， ∴， ∴的最小值为，即． 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称—最短路线问题，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识点，证明是等边三角形是解题的关键． 题型六： 全等三角形与相似三角形综合 1．（2024·海南·中考真题）正方形中，点E是边上的动点（不与点B、C重合），，，交于点H，交延长线于点G．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，于点P，交于点M． ①求证：点P在的平分线上； ②当时，猜想与的数量关系，并证明； ③作于点N，连接，当时，若，求的值． 【答案】(1)见解析； (2)①见解析；②；③． 【分析】（1）利用即可证明； （2）①证明是等腰直角三角形，再推出四点共圆，求得，据此即可证明结论成立； ②由①得点P在的平分线即正方形的对角线上，证明，根据相似三角形的性质即可求解； ③证明四边形是平行四边形，推出和都是等腰直角三角形，设，则，，由，得到，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴； （2）①证明：连接，    由（1）得， ∴， ∴，即， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴，， ∵， ∴四点共圆， ∴， ∵，， ∴点P在的平分线上； ②，理由如下： 由①得点P在的平分线即正方形的对角线上，    ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴； ③由①得点P在的平分线即正方形的对角线上，    ∴， 同理四点共圆，则， ∵， ∴， ∴，∵， ∴四边形是平行四边形， 设平行四边形的对角线的交点为，且， ∵是等腰直角三角形， ∴和都是等腰直角三角形， 设，则，， ∵，， ∴， ∴，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，四点共圆，熟练掌握三角形全等的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 2．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在中，为锐角，点在边上，连接，且．    (1)如图1，若是边的中点，连接，对角线分别与相交于点． ①求证：是的中点； ②求； (2)如图2，的延长线与的延长线相交于点，连接的延长线与相交于点．试探究线段与线段之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)①见解析；② (2)，理由见解析 【分析】（1）①根据，得出为的中点，证明出即可；②先证明出得到，然后再根据平行四边形的性质找到线段的数量关系求解； （2）连接交于点，证明，进一步证明出四边形为平行四边形，得出为的中位线，得到，再证明出得到，再通过等量代换即可求解． 【详解】（1）解：①， 为的中点， ， 是边的中点， ， ， 在中， ∴， 又∵， ， ， 是的中点； ②， 四边形为平行四边形， ， ， ， ∵， ， ， ， ， ； （2）解：线段与线段之间的数量关系为：，理由如下： 连接交于点，如下图：    由题意，的延长线与的延长线相交于点，连接的延长线与相交于点， ， 又， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， 为的中点， ， ， 为的中点， 为的中位线， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定及性质，三角线相似的判定及性质，三角形的中位线等知识，解题的关键是添加适当的辅助线构造全等三角形来求解． 中考数学中，全等三角形与相似三角形是几何部分的重要内容，也是考试的常见题型。掌握综合解题思路，有助于在考试中迅速找到解题切入点，提高答题效率。以下是针对中考全等三角形与相似三角形的综合解题思路： 全等三角形 相似三角形 解题思路（判定方法） SSS（边边边）：三组对应边分别相等。 SAS（边角边）：两边及其夹角对应相等。 ASA（角边角）：两角及其夹边对应相等。 AAS（角角边）：两角及其中一角的对边对应相等。 HL（直角边斜边）：适用于直角三角形，斜边和一条直角边对应相等。 AA（两角对应相等）：两角对应相等。 SAS（两边成比例且夹角相等）：两边成比例且夹角相等。 SSS（三边成比例）：三边对应成比例。 解题步骤 标记已知条件：在图中标记已知的边和角，明确需要证明的全等三角形。  寻找全等条件：根据已知条件，判断是否满足全等三角形的判定定理。 添加辅助线：当直接证明困难时，通过添加辅助线构造全等三角形。 标记已知条件：在图中标记已知的边和角，明确需要证明的相似三角形。 寻找相似条件：根据已知条件，判断是否满足相似三角形的判定定理。 利用比例关系：通过相似三角形的性质，建立比例关系，求解未知量。 1．（2024·陕西渭南·模拟预测）【问题呈现】 （1）和都是直角三角形，，连接，，探究，的位置关系． ①如图1，当时，与的位置关系为______； ②如图2，当时，①中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由； 【拓展应用】 （2）某村村民计划开垦一块形状为直角三角形的空地（如图3），同时在空地内部或周边，围出形状为直角三角形的空地作为菜地（点C，D，E按逆时针方向排列），以点A，E，D作为取水点，且要使三个取水点恰好在同一直线上，已知千米，千米，，求取水点E到入口B的距离． 【答案】（1）①；②成立，证明见解析；（2）或千米 【分析】本题考查了勾股定理，三角形内角和定理以及相似三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是通过添加辅助线，利用角度关系证明三角形相似，进而求解相关线段的长度． （1）①通过观察图形和简单的几何直观判断，当给定特定条件时，可直接得出与的位置关系为垂直； ②延长交于点，交于点，根据两角对应相等的两个三角形相似，可证，再根据相似三角形对应角相等，得到，而，所以，进而得出，即； （2）①当点在线段上时，在中，，求解，舍去负值； ②当点在线段上时，在中，，求解，舍去负值． 【详解】（1）①（或垂直）． 如图，延长交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， 。 ②当时，（1）中的结论还成立，证明如下： 延长交于点，交于点，如图： ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， （2）①当点在线段上时，如图： 同①②可得， ， 千米， ， 在中，， ， 解得（负值已舍去）； ②当点在线段上时，如图： 同理可得， 解得（负值已舍去）； 综上所述，取水点到入口的距离为或千米． 2．（2022·安徽合肥·一模）如图①，在四边形中，，E为上一点，且，过点B作交的延长线于点F，连接，． (1)求证：； (2)如图②，连接交于点G． ①若，求证：平分； ②若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）先证，再证四边形是平行四边形，则，然后证，则，由即可得出结论； （2）①连接，先证四边形是平行四边形，得，再证四边形是平行四边形，然后证平行四边形是菱形，即可得出结论； ②先证，得，进而证，得，则，然后求出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ， ， ， 即， ， 在和中， ， ． （2）解：①证明：如图，连接， 由（1）得：， ∴， ， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ， ∴平行四边形是菱形， ∴平分； ②解：由（1）可知，， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）可知，四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 即， 两边除以得：， 解得：，或（舍去）， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，本题综合性强，熟练掌握菱形的判定与性质和平行四边形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型． 题型七： 三角形与函数综合（求函数解析式） 1．（2023·广西·中考真题）如图，是边长为4的等边三角形，点D，E，F分别在边，，上运动，满足．    (1)求证：； (2)设的长为x，的面积为y，求y关于x的函数解析式； (3)结合（2）所得的函数，描述的面积随的增大如何变化． 【答案】(1)见详解 (2) (3)当时，的面积随的增大而增大，当时，的面积随的增大而减小 【分析】（1）由题意易得，，然后根据“”可进行求证； （2）分别过点C、F作，，垂足分别为点H、G，根据题意可得，，然后可得，由（1）易得，则有，进而问题可求解； （3）由（2）和二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）证明：∵是边长为4的等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：分别过点C、F作，，垂足分别为点H、G，如图所示：    在等边中，，， ∴， ∴， 设的长为x，则，， ∴， ∴， 同理（1）可知， ∴， ∵的面积为y， ∴； （3）解：由（2）可知：， ∴，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小； 即当时，的面积随的增大而增大，当时，的面积随的增大而减小． 【点睛】本题主要考查锐角三角函数、二次函数的综合及等边三角形的性质，熟练掌握锐角三角函数、二次函数的综合及等边三角形的性质是解题的关键． 2．（2024·吉林·中考真题）如图，在中，，，，是的角平分线．动点P从点A出发，以的速度沿折线向终点B运动．过点P作，交于点Q，以为边作等边三角形，且点C，E在同侧，设点P的运动时间为，与重合部分图形的面积为．    (1)当点P在线段上运动时，判断的形状（不必证明），并直接写出的长（用含t的代数式表示）． (2)当点E与点C重合时，求t的值． (3)求S关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围． 【答案】(1)等腰三角形， (2) (3) 【分析】（1）过点Q作于点H，根据“平行线+角平分线”即可得到，由，得到，解得到； （2）由为等边三角形得到，而，则，故，解得； （3）当点P在上，点E在上，重合部分为，过点P作于点G，，则，此时；当点P在上，点E在延长线上时，记与交于点F，此时重合部分为四边形，此时，因此，故可得，此时；当点P在上，重合部分为， 此时，，解直角三角形得，故，此时，再综上即可求解． 【详解】（1）解：过点Q作于点H，由题意得：    ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∴在中，； （2）解：如图，    ∵为等边三角形， ∴， 由（1）得， ∴， 即， ∴； （3）解：当点P在上，点E在上，重合部分为，过点P作于点G，    ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 由（2）知当点E与点C重合时，， ∴； 当点P在上，点E在延长线上时，记与交于点F，此时重合部分为四边形，如图，    ∵是等边三角形， ∴， 而， ∴， ∴， ∴， 当点P与点D重合时，在中，， ∴， ∴； 当点P在上，重合部分为，如图，    ∵ ， 由上知， ∴， ∴此时， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当点P与点B重合时，， 解得：， ∴， 综上所述：． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，解直角三角形的相关计算，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解决本题的关键． 解决几何图形中的函数关系的问题，往往要用到几何图形的特征和相似/全等的性质，尤其是利用相似得到比例式，从而将未知线段用含字母的代数式表示出来. 1．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，AB是圆O的直径，点D为圆O上一点，连接AD并延长至点C，使，过点D 作AB的垂线，交圆O于点E，点F为劣弧AE上一点，连接EF并延长交BA的延长线于点P，连接DF与AB交于点G． (1)求证：BC是圆O的切线； (2)记的面积分别为，若，求的值； (3)若圆O的半径为1，设，试求y关于x的函数解析式． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)． 【分析】（1）记 由是的直径，得到 再进一步得到即可得出结论； （2）由得到进而得到设根据勾股定理进一步证明即可得出结论； （3）连接，证明，得到，进一步证明，得到，，设，则，由，求出即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图，记 ∵是的直径， ∵由题意得： 又∵是的直径， ∴是 的切线； （2）解：由（1）得 ∴在中， 即 设 在中， ∵为的直径， ∵由题意得 ； （3）解：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵，且为的直径， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，切线的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角形等知识，掌握相关知识是解题的关键． 2．（2025·上海静安·一模）如图，在中，，，是中点，在延长线上，在边上（不与点重合），． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)设，求关于的函数解析式，并写出定义域； (4)连接，如果四边形有两个内角互补，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4)或 【分析】（1）根据等边对等角可得，根据三角形外角的性质可得，结合相似三角形的判定即可求解； （2）根据，得到，即，可证，得到，即平分，即可求解； （3）根据相似三角形的判定和性质得到，则，即，如图所示，连接，过点作于点，由勾股定理可得，，，根据三角函数的计算得到，在中，，，，可求出，， 则，在中，由勾股定理可得，所以有，由此即可求解； （4）由（3）可知，分类讨论：第一种情况，如果与互补，则，在中，由三角函数的计算可得，结合，可求解；第二种情况，如果与互补，即，则，由题意可得点也是的中点，即，结合，可求解；第三种情况，一定是钝角，则（舍）；由此即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵是中点， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即平分； （3）解：∵，， ∴， ∴，即， 如图所示，连接，过点作于点， ∵，是中点，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 在中，，，， ∴，， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴. （4）解：由（3）可知， 第一种情况，如果与互补，则， 在中，， 在中，， ∵， ∴， ∴， 解得； 第二种情况，如果与互补，即，则， ∵点是的中点， ∴点也是的中点，即， ∵， ∴， ∴， 解得； 第三种情况，∵一定是钝角， ∴（舍）. 综上所述，当四边形有两个内角互补时，的长为或． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，函数解析式的计算，解直角三角形的计算，掌握相似三角形的判定和性质，解直角三角形的计算是解题的关键． 题型八： 三角形与函数综合（存在性问题） 1．（2023·浙江绍兴·中考真题）如果两点到一条直线的距离相等，则称该直线为“两点的等距线”． (1) 如图1，直线经过线段的中点P，试说明直线是点A，B的一条等距线． (2)如图2，是正方形网格中的三个格点，请在网格中作出所有的直线m，使直线m过点C且直线m是“两点的等距线”． (3)如图3，中，，则在坐标轴上是否存在点P，使？若存在，试求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)存在， 【分析】本题是三角形综合题，考查了点到直线的距离、全等三角形的判定与性质，待定系数法，一次函数解析式与坐标轴的交点等知识． （1）分别作，，垂足为E，F，利用证明，得到即可证明直线是点A、B的一条等距线； （2）根据两点等距线的定义作图，连接中点与组成的直线或者过作的平行线即可； （3）由可得A、B两点到直线的距离相等，再分两类进行讨论，由待定系数求出直线解析式即可求出点P的坐标． 【详解】（1）证明：分别过A，B两点作，垂足分别为E，F． ， 是的中点， ， 在和中， ， ， 即直线是点A，B的一条等距线； （2）如图，直线就是所有的直线， （3）设直线的解析式为， ， ∴解得： ∴直线的解析式为． ， 两点到直线的距离相等， ∴或过中点， 如图，当时，可设直线的解析式为，代入得，解得， ∴直线的解析式为， ∴直线与坐标轴的交点为； ②当直线过中点时， ， ∴中点E的坐标为， ∴设直线的函数解析式为， 代入，得，解得：， ∴直线的函数解析式为， ∴直线与坐标轴的交点为． 综上所述，满足条件的点P的坐标为． 2．（2023·四川绵阳·中考真题）如图，过原点O的直线与反比例函数 的图象交于，两点，一次函数的图象过点A与反比例函数交于另一点．    (1)求反比例函数的解析式；当时，根据图象直接写出x的取值范围； (2)在y轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，或 (2)点M的坐标为或或或 【分析】本题考查待定系数法求反比例函数解析式及等腰三角形，熟知待定系数法及利用分类讨论的数学思想是解题的关键． （1）将点A坐标代入反比例函数解析式即可求出k，利用数形结合的思想即可求出x的取值范围． （2）先求出点C坐标，再根据分类讨论的数学思想即可解决问题． 【详解】（1）解：由题知，将A点坐标代入反比例函数解析式得， ， 所以反比例函数的解析式为． 由函数图象可知，在直线和之间的部分及直线右侧的部分， 反比例函数的图象在一次函数的图象的上方，即． 所以x的取值范围是：或． （2）将代入反比例函数解析式得， 所以点C的坐标为． 则． 如图：    当时， ， 所以点坐标为(或． 当时，点在的垂直平分线上， 又因为点C坐标为， 所以点坐标为． 当时，点M在OC的垂直平分线上， 过点作轴于点， 令，则，， 在N中， 即， 解得． 所以点M的坐标为． 综上所述：点M的坐标为或或或． 3．（2023·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点．与y轴交于点．    (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求与的最大值及此时点P的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得是以为一条直角边的直角三角形：若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，的最大值为， (3)或 【分析】（1）将、、代入抛物线解析式求解即可； （2）可求直线的解析式为，设（），可求，从而可求，即可求解； （3）过作交抛物线的对称轴于，过作交抛物线的对称轴于，连接，设， 可求，，由，可求，进而求出直线的解析式，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得 ， 解得：， 抛物线的解析式为． （2）解：设直线的解析式为，则有 ， 解得：， 直线的解析式为； 设（）， ， 解得：， ， ， ， ， ， ， 当时，的最大值为， ， ． 故的最大值为，． （3）解：存在， 如图，过作交抛物线的对称轴于，过作交抛物线的对称轴于，连接，    ∵抛物线的对称轴为直线， 设， ， ， ， ， ， 解得：， ； 设直线的解析式为，则有 ， 解得， 直线解析式为， ，且经过， 直线解析式为， 当时，，   ； 综上所述：存在，的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数中动点最值问题，直角三角形的判定，勾股定理等，掌握解法及找出动点坐标满足的函数解析式是解题的关键． 1）等腰三角形存在性问题 解题方法： 几何法：1）“两圆一线”作出点； 2）利用勾股、相似、三角函数等求线段长； 3)分类讨论，求出点P的坐标. 代数法：1）表示出三个点坐标A、B、P； 2）由点坐标表示出三条线段：AB、AP、BP； 3）根据题意要求（看题目有没有指定腰），取①AB=AP、②AB=BP、③AP=BP； 4）列出方程求解． 2）直角三角形存在性问题 解题方法：如有两定点，在其他特定的“线”上求第三点，形成直角三角形时： 1）当动点在直线上运动时，常用的方法是①，②三角形相似，③勾股定理； 2）当动点在曲线上运动时，情况分类如下， 第一当已知点处作直角的方法：①，②三角形相似，③勾股定理； 第二是当动点处作直角的方法：寻找特殊角. 3）等腰直角三角形存在性问题 解题大招：确定等腰直角三角形后构造一线三垂直，对应上下两个三角形全等，得到对应线段相等的关系，进而设出点的坐标，根据线段相等列出等式建立方程求解参数. 1．（2024·广东广州·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象交于，两点．    (1)求此反比例函数的表达式及点的坐标； (2)当时，直接写出的取值范围； (3)在轴上存在点，使得的周长最小，求点的坐标并直接写出的周长． 【答案】(1)反比例函数的表达式为，点的坐标为 (2)或 (3) 【分析】（1）由点在一次函数图象上即可求出值，从而得出点的坐标，根据点的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数的关系式，再联立直线与反比例函数关系式成方程组，解方程组即可求出点的坐标； （2）观察函数图象，结合反比例函数的对称性，根据函数图象的上下位置关系即可找出不等式的解集； （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小，则的周长最小，根据点的坐标即可得出点的坐标，由点、的坐标利用待定系数法即可求出直线的函数关系式，令其求出值即可得出点的坐标，再利用勾股定理求得线段的长度即可求出的周长． 【详解】（1）解：点在一次函数的图象上， ， 点的坐标为． 点在反比例函数为常数且的图象上， ， 反比例函数的表达式为． 联立直线与反比例函数的表达式，得：， 解得：或， 点的坐标为． （2）解：∵， ∴， ∴观察函数图象可知：当或时，一次函数的图象在（为常数且）的图象的下方， ∴时，的取值范围为：或． （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小，则的周长最小，如图所示．   点， 点． 设直线的表达式为， 则，解得：， 直线的表达式为． 令中，令，则， 点的坐标为． ，，． ，， 的周长． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，函数与不等式的关系，已知两点求距离，轴对称最短路线问题，求得函数的解析式是解题的关键． 2．（2024·新疆克孜勒苏·一模）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)判断的形状，并证明你的结论； (3)在该抛物线位于第四象限内的部分上是否存在点，使得的面积最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)直角三角形，证明见解析 (3)存在， 【分析】（1）把点代入可求出，即可得出抛物线解析式，配方即可得出顶点坐标； （2）根据（1）得抛物线的解析式，求出点的坐标，根据勾股定理的逆定理即可得结论； （3）先根据、坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，设，用表示出点坐标及的长，求出二次函数取得最大值时的值，代入即可得答案． 【详解】（1）解：∵点在抛物线上， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为：； ∵， ∴顶点． （2）∵抛物线与轴交于点， ∴当时，， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交于点，点， ∴， ∴，， ∴点， ∴，，， ∵；；， ∴， ∴是直角三角形． （3）存在，理由如下： 过点作轴，交于， 设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值， ∴， ∴点． 【点睛】本题考查二次函数与几何的综合，待定系数法求解析式，求一次函数解析式，二次函数的最值求法及勾股定理的逆定理是解题关键． 1．（2025·河南许昌·一模）如图1，点P从等边三角形的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为x，，图(2)是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形的边长为（    ） A．6 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】如图，令点从顶点出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从点沿直线运动到顶点．结合图象可知，当点在上运动时，，，易知，当点在上运动时，可知点到达点时的路程为，可知，过点作，解直角三角形可得，进而可求得等边三角形的边长． 【详解】解：如图，令点从顶点出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从点沿直线运动到顶点． 结合图象可知，当点在上运动时，， ∴，， 又∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 当点在上运动时，可知点到达点时的路程为， ∴，即， ∴， 过点作， ∴，则， ∴，   即：等边三角形的边长为6， 故选：A． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，全等三角形的判定与性质，解直角三角形的相关计算，等边三角形的性质，解决本题的关键是综合利用图象和图形给出的条件． 2．（2025·河南开封·一模）依次连接周长为的等边三角形各边的中点，得到第二个等边三角形，再依次连接第二个等边三角形各边的中点，得到第三个等边三角形，，按这样的规律，第个等边三角形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的中位线定理及应用，规律型：图形的变化类，等边三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 由题意可得第二个三角形的周长为，同理可得，第三个三角形的周长为，即可得到规律，从而可得第个等边三角形的周长． 【详解】解：如图所示： 、、分别为、、的中点， 、、都为的中位线， ，，， 的周长， 第二个三角形的周长为， 同理可得，第三个三角形的周长为， ， 第个等边三角形的周长为， 故选：B． 3．（2025·安徽六安·一模）如图，在四边形中，，连接，，，点是边上的点，连接，，，那么下列结论中：①；②；③；④，正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，圆的相关性质，平行线的性质，解决本题的关键是证明．根据相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、圆的相关性质、平行线的性质进行逐一判断即可． 【详解】 ，， 点是边上的点， ，故②错误； ，， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ，在以为直径的圆上， ，，故④正确； ， ，故①正确； ， ， ，故③正确． 故选C． 4．（2025·河南周口·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，．将绕点O顺时针旋转得到，过点作交x轴于点；将绕点O顺时针旋转得到，过点作交y轴于点；…；按此规律循环下去，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查坐标与旋转，等腰三角形的判定和性质，根据旋转的性质，得到、、、⋯、都是等腰直角三角形，分别求出，，，进而得，，，，抽象概括出相应的数字规律，进而得出结论即可． 【详解】解：将绕点O顺时针旋转得到，交x轴于点， ∴，，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 同理可得：、、⋯、都是等腰直角三角形，，…， ∴，，，…， ∵， ∴点在第一象限，坐标为即， 故选：C． 5．（2025·安徽合肥·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，在轴正半轴上（点在点的右侧），，分别以，为直角边作等腰直角三角形，等腰直角三角形，反比例函数的图象与斜边交于点，与斜边交于点． （1）若是的中点，且点的坐标为，则点的坐标为 ． （2）过点作轴于点，过点作轴于点．若是的中点，阴影部分（四边形的面积等于，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的图像上点的特征，等腰直角三角形的性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）由点的坐标为可得，，设点的纵坐标为，则点的横坐标为，得到，求出值即可求解； （2）设，得以得到点的坐标为，然后可以得到点的坐标为，然后得到点的坐标，根据阴影部分的面积求出值即可解题． 【详解】解：（1）点的坐标为， ， 是的中点， ， 设点的纵坐标为，则点的横坐标为， ， 解得：，（舍去）， ， 点的坐标为， 故答案为：； （2）设， ， ， ，都是等腰直角三角形， 点的坐标为， 是的中点， 点的坐标为， ， 阴影部分的面积等于， ， ， 点的坐标为， ， ， ， 故答案为：． 6．（2025·河南驻马店·一模）如图，在中，，D是平面内一点，，连接、E为的中点，连接，则的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 2 3 【分析】如图，取的中点，连接，求解，在以为圆心，为半径的上运动，连接交于，则为最小，为最长，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接， ∵为的中点，， ∴， ∴在以为圆心，为半径的上运动， 连接交于，则为最小，为最长， ∵， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∴，， ∴的最小值为2，最大值为3； 故答案为：2，3 【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理的应用，直角三角形斜边上的中线的性质，圆的确定，圆外一点与圆上各点的距离的最值问题，确定E的轨迹是解本题的关键． 7．（2025·山东济南·一模）（一）模型呈现 （1）如图1，点在直线上，，过点作于点，过点作于点，由，得，又，可以推理得到，进而得到_______，_______．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； （二）模型体验 （2）如图2，在中，点为上一点，，四边形的周长为，的周长为．小诚同学发现根据模型可以推理得到，进而得到，那么，再根据题目中周长信息就可得_______； （三）模型拓展 （3）如图3，在中，，直线经过点，且于点，于点．请猜想线段之间的数量关系，并写出证明过程： （四）模型应用 （4）如图4，已知在矩形中，，点在边上，且．是对角线上一动点，是边上一动点，且满足，当在上运动时，请求线段的最大值，并求出此时线段的长度． 【答案】（1）；（2）；（3），见解析；（4）当时 【分析】（1）由全等三角形的性质可得结论； （2）由全等三角形的性质得对应相等的线段，经过等量代换即可求出； （3）证明，得，由，得，进而可得结论： （4）在上找一点使，延长交的延长线于点，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为．由矩形性质及勾股定理证明，求出，证明，进而证明，为等腰三角形， 设，则，解直角三角形求出，，设，，证明，得，由二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：， ， 故答案为： （2）解：四边形的周长为，， ， ， 的周长为，， ， ， ， 故答案为：； （3）解：；理由如下， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （4）解：在上找一点使，延长交的延长线于点，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为． 在矩形中，，， ，， ，， ， ， ， ， ， ，， 为等腰三角形， ， 设，则， ， ，，，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ∴，， 设，， ， ， ， 即， ，对称轴为直线， 当时，， 即当时，． 【点睛】本题主要涉及全等三角形的判定与性质、“一线三等角”模型等数学概念，利用“一线三等角”模型及全等三角形的判定定理证明三角形全等，进而得出对应边相等；构造“一线三等角”模型，结合三角函数和相似三角形的性质及二次函数的性质，求解线段的最值及相应长度是正确解题的关键． 8．（2025·河南濮阳·一模）综合与探究 如图，，点在的平分线上，于点． (1)【操作判断】 如图1，过点作于点，根据题意，在图1中画出，并直接写出的度数： _______________． (2)【问题探究】 如图2，点在线段上，连接，作，交射线于点，探究，与之间的数量关系，并给出证明． (3)【拓展延伸】 点在射线上，连接，作，交射线于点，射线与射线相交于点．若，请直接写出的值． 【答案】(1)图见解析， (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据尺规基本作图——作垂线，作出；再利用四边形内角和等于360度求出即可； （2）作于C，证明，得到，再证明，得到，从而得到，然后证明，由勾股定理，得，即可得，从而得出结论． （3）证明，得到，，从而可证得是等边三角形，得出，，再证明，设，则，由（2）知：，，从而求得，然后证明，得，即可求出，即可代入求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求， ∵，， ∴， ∵， ∴ ， 故答案为：． （2）解：， 证明：如图，作于C， 由（1）知：， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵点在的平分线上， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在的平分线上，， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理，得， ∴， ∴． （3）解：如图， 由（1）知：， ∵ ∴ ∵，， ∴， ∵点在的平分线上， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 由（2）知：， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 由（2）知：，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查尺规基本作图-作垂线，角平分线的性质，全等三角形的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，证明和是解题的关键． 9．（2025·重庆·模拟预测）如图．在中，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动到点停止，过点作交两腰于点，连接，设点的运动时间为(秒)，的面积为 (1)直接写出与之间的函数关系式，并写出对应的的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质： (3)反比例函数的图象如下，直接写出时的取值范围．（误差小于) 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了一次函数，反比例函数，解直角三角形，根据题意列出函数解析式是解题的关键； （1）分两种情况，当 时，当时，由的长，根据三角形的面积公式列出函数解析式即可； （2）由题意画出图象，由一次函数的性质可得出结论； （3）由（2）中的图象与直线的交点坐标可得出答案． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点， ∵在中， ∴，； 依题意，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动到点停止， ∴，则， 在中，， ∴； 当时， ∴，则； 当时， ∴，则， ∴； （2）解：如图所示， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，当时，取得最大值最大值为； （3）解：如图所示 根据函数图象可得，时的取值范围为． 10．（2023·湖南益阳·中考真题）在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与抛物线交于B，C两点（B在C的左边）．    (1)求A点的坐标； (2)如图1，若B点关于x轴的对称点为点，当以点A，，C为顶点的三角形是直角三角形时，求实数a的值； (3)定义：将平面直角坐标系中横坐标与纵坐标均为整数的点叫作格点，如，等均为格点．如图2，直线l与抛物线E所围成的封闭图形即阴影部分（不包含边界）中的格点数恰好是26个，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)或； (3)或． 【分析】（1）对于直线，令，求出x，即可求解； （2）表示出点，，的坐标，利用勾股定理解方程求解，注意直角顶点不确定，需分类讨论； （3）直线与抛物线所围成的封闭图形（不包含边界）中的格点只能落在轴和直线上，各为13个，分别求出的范围． 【详解】（1）解：对于直线， 当时，， ∴A点的坐标为； （2）解：联立直线与抛物线得： ， ， 或， ，， 点关于轴的对称点为点， ， ， ， ， 若，则，即，所以， 若，则，即，所以， 若，则，即，此方程无解． 或； （3）解：如图，直线与抛物线所围成的封闭图形（不包含边界）中的格点只能落在轴和直线上，   ，，， ， 格点数恰好是26个， 落在轴和直线上的格点数应各为13个， 落在轴的格点应满足，即， ①若，即， 所以线段上的格点应该为，，，， ②若，，，所以线段上的格点正好13个， 综上，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及了二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，勾股定理，关键是弄清格点只能落在轴和直线上，各为13个，并对点、进行定位． 1．（2024·山东德州·中考真题）如图中，，，垂足为D，平分，分别交，于点F，E．若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、三角形的面积等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质以及角平分线的性质是解答的关键．设，，利用勾股定理求得，，再证明得到，再利用角平分线的性质和三角形的面积得到即可求解． 【详解】解：∵， 设，， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴点F到、的距离相等，又点A到、的距离相等， ∴，即， 故选：A． 2．（2024·山东济南·中考真题）如图1，是等边三角形，点在边上，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线匀速运动，到达点后停止，连接．设点的运动时间为，为．当动点沿匀速运动到点时，与的函数图象如图2所示．有以下四个结论： ①； ②当时，； ③当时，； ④动点沿匀速运动时，两个时刻，分别对应和，若，则．其中正确结论的序号是（    ） A．①②③       B．①②            C．③④              D．①②④ 【答案】D 【分析】由图知当动点沿匀速运动到点时，，作于点，利用解直角三角形和勾股定理，即可得到，即可判断①，当时，证明是等边三角形，即可判断②，当时，且时，最小，求出最小值即可判断③，利用勾股定理分别表示出和进行比较，即可判断④． 【详解】解：由图知当动点沿匀速运动到点时，， 作于点， 是等边三角形，点在边上，， ，， ，， ， ， 故①正确； 当时，，， ， 是等边三角形， ， ， 故②正确； 当时，且时，最小， ，， ， 最小为，即能取到， 故③错误； 动点沿匀速运动时， ，， ，，， ； 当时，，， ； ， ； 故④正确； 综上所述，正确的有①②④， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数综合，等边三角形性质，解直角三角形，勾股定理，涉及到动点问题、读懂函数图象、正确理解题意，利用数形结合求解是解本题的关键． 3．（2024·安徽·中考真题）如图，在中，，，，是边上的高．点E，F分别在边，上（不与端点重合），且．设，四边形的面积为y，则y关于x的函数图象为（    ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了函数图象的识别，相似三角形的判定以及性质，勾股定理的应用，过点E作于点H，由勾股定理求出，根据等面积法求出，先证明，由相似三角形的性质可得出，即可求出，再证明，由相似三角形的性质可得出，即可得出，根据，代入可得出一次函数的解析式，最后根据自变量的大小求出对应的函数值． 【详解】解：过点E作于点H，如下图： ∵，，， ∴， ∵是边上的高． ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴当时， ， 当时，． 故选：A． 4．（2024·四川广安·中考真题）已知，直线与轴相交于点，以为边作等边三角形，点在第一象限内，过点作轴的平行线与直线交于点，与轴交于点，以为边作等边三角形（点在点的上方），以同样的方式依次作等边三角形，等边三角形，则点的横坐标为 ． 【答案】 【分析】直线直线可知，点坐标为，可得，由于是等边三角形，可得点，把代入直线解析式即可求得的横坐标，可得，由于是等边三角形，可得点；同理，，发现规律即可得解，准确发现坐标与字母的序号之间的规律是解题的关键． 【详解】解：∵直线l：与x轴负半轴交于点， ∴点坐标为， ∴， 过，，作轴交x轴于点M，轴交于点D，交x轴于点N，    ∵为等边三角形， ∴ ∴， ∴ ∴， 当时，，解得：， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，，解得：， ∴； 而， 同理可得：的横坐标为， ∴点的横坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标的特征，勾股定理的应用，等边三角形的性质，特殊图形点的坐标的规律，掌握探究的方法是解本题的关键. 5．（2024·四川遂宁·中考真题）如图，在正方形纸片中，是边的中点，将正方形纸片沿折叠，点落在点处，延长交于点，连结并延长交于点．给出以下结论：①为等腰三角形；②为的中点；③；④．其中正确结论是 ．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】设正方形的边长为，，根据折叠的性质得出，根据中点的性质得出，即可判断①，证明四边形是平行四边形，即可判断②，求得，设，则，勾股定理得出，进而判断③，进而求得，，勾股定理求得，进而根据余弦的定义，即可判断④，即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵为的中点， ∴ 设正方形的边长为， 则 ∵折叠， ∴， ∴ ∴是等腰三角形，故①正确； 设， ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴ ，即是的中点，故②正确； ∵， ∴ 在中，， ∵ ∴ 设，则， ∴ ∴ ∴，， ∴，故③正确； 连接，如图所示， ∵，， 又 ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 在中， ∴，故④不正确 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了正方形与折叠问题，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 6．（2024·山西·中考真题）综合与探究 问题情境：如图，四边形是菱形，过点作于点，过点作于点． 猜想证明： （1）判断四边形的形状，并说明理由； 深入探究： （2）将图中的绕点逆时针旋转，得到，点，的对应点分别为点，． ①如图，当线段经过点时，所在直线分别与线段，交于点，．猜想线段与的数量关系，并说明理由； ②当直线与直线垂直时，直线分别与直线，交于点，，直线与线段交于点．若，，直接写出四边形的面积． 【答案】（1）矩形，理由见解析；（2）①，理由见解析；② 或 【分析】（1）由和菱形性质得，．可证四边形为矩形； （2）①由菱形和旋转得性质证，可证； ②分情况讨论：当点在线段上时，当点在线段延长线上时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：（1）四边形为矩形．理由如下： ，     ， 四边形为菱形， ∴， ∴， ， ∴， 四边形为矩形． （2）①．理由如下： ∵四边形为菱形， ， 旋转得到， ， ， ， ， ， ， ． ②解：如图所示，当点N在线段上时，过点A作于P， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ， ∴， 由旋转知：，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴ ； 当点N在线段延长线上时，在上，过点A作于K，连接，如图所示：    由旋转知：，，，， ∵， ∴， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ， ∴，， ∵， ∴ 四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， 综上，四边形的面积是或． 【点睛】本题是正方形，菱形综合题，主要考查正方形的判定与性质，菱形的性质，矩形的判定与性质，旋转的性质，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，解直角三角形的应用，四边形的面积等知识，熟练掌握特殊图形的性质与判定，添加正确的辅助线是解题关键． 7．（2024·江苏徐州·中考真题）在中，点在边上，若，则称点是点的“关联点”． (1)如图（1），在中，若，于点．试说明：点是点的“关联点”． (2)如图（2），已知点在线段上，用无刻度的直尺和圆规作一个，使其同时满足下列条件：①点为点的“关联点”；②是钝角（保留作图痕迹，不写作法）． (3)若为锐角三角形，且点为点的“关联点”．设，，用含、的代数式表示的取值范围（直接写出结果）． 【答案】(1)证明见解析 (2)图见解析 (3)或 【分析】（1）证，根据“关联点”的定义即可得结论； （2）以为直径作，过点作的垂线，交于，由圆周角定理可得，由（1）可得，以为圆心，为半径作圆，在直线右侧的上取点作即可得答案； （3）分类讨论，①当时，根据第二问可得出锐角三角形时C的位置，再利用勾股定理求出临界值范围即可，②当时，同①方法． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点D是点C的“关联点”． （2）解：如图，①作线段的垂直平分线，交于点； ②以为圆心，为半径作圆； ③过作交于点； ④以为圆心，为半径画圆，则点在上且在直线右侧．连接、，即为所求， 证明：∵在以为直径的圆上运动， ∴， 由（1）可知：， ∵， ∴． （3）①当时， 如图所示，结合第（2）问，我们发现当点C在直线左侧、A的右侧时，是锐角三角形， 此时， ∵，且，， 在中，， 在中，， ； ②当时，同理可得：； 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了尺规作图，圆周角定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识和正确理解题意是解题的关键． 8．（2024·山东济南·中考真题）某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究． （一）拓展探究 如图1，在中，，垂足为． （1）兴趣小组的同学得出．理由如下： ①______ ②______ 请完成填空：①______；②______； （2）如图2，为线段上一点，连接并延长至点，连接，当时，请判断的形状，并说明理由． （二）学以致用 （3）如图3，是直角三角形，，平面内一点，满足，连接并延长至点，且，当线段的长度取得最小值时，求线段的长． 【答案】（1）①；②；（2）是直角三角形，证明见解析；（3） 【分析】（1）根据余角的性质和三角形相似的性质进行解答即可； （2）证明，得出，证明，得出，即可得出答案； （3）证明，得出，求出，以点为圆心，2为半径作，则都在上，延长到，使，交于，连接，证明，得出，说明点在过点且与垂直的直线上运动，过点作，垂足为，连接，根据垂线段最短，得出当点E在点处时，最小，根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：（1）， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）是直角三角形；理由如下： ， ， ， 由（1）得， ， ， ， ， ， 是直角三角形． （3）， ， ， ， 如图，以点为圆心，2为半径作，则都在上，延长到，使，交于，连接， 则， ∵为的直径， ∴， ， ∴， ， ， ， 点在过点且与垂直的直线上运动， 过点作，垂足为，连接， ∵垂线段最短， ∴当点E在点处时，最小， 即的最小值为的长， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中根据勾股定理得：， 即当线段的长度取得最小值时，线段的长为． 【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，圆周角定理，矩形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$