精品解析：河北省邯郸市武安市第三中学等校2024-2025学年高二下学期第一次月考（3月）数学试题

2024~2025年高二下学期第一次月考 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册第六章6.1. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某大学食堂备有4种荤菜､8种素菜､2种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配成不同套餐的种数为（ ） A. 14 B. 64 C. 72 D. 80 2. 已知函数在处的导数为3，则（ ） A. 3 B. C. 6 D. 3. 若函数，则（ ） A. 0 B. C. D. 4. 现有5名同学去听同时进行的4个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是（ ） A. B. C. 20 D. 9 5. 已知函数，则的极小值为（ ） A. 2 B. C. D. 6. 已知函数，若，则下列式子大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线是曲线与曲线的公切线，则（ ） A. 2 B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 在区间上单调递减 B. 的最小值为0 C. 的对称中心为 D. 方程有3个不同的解 11. 已知函数的最大值为1，则（ ） A. B. 当时， C. D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 家住广州的小明同学准备周末去深圳旅游，从广州到深圳一天中动车组有30个班次，特快列车有20个班次，汽车有40个不同班次.则小明乘坐这些交通工具去深圳不同的方法有__________. 13. 函数的导函数满足关系式，则_____________． 14. 设实数，对于任意的，不等式恒成立，则k的最小值为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 求下列函数的导数. （1）； （2）； （3）. 16. 已知函数的图象在点处的切线方程为. （1）求的值； （2）求的极值. 17. 已知函数． （1）若在处取得极值，求的单调区间； （2）若在区间上单调递增，求a的取值范围． 18. 已知函数． （1）若恰有两个极值点，求实数的取值范围； （2）若的两个极值点分别为，证明:． 19. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）令，当时，求的极值点个数； （3）令，当有且仅有两个零点时，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025年高二下学期第一次月考 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册第六章6.1. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某大学食堂备有4种荤菜､8种素菜､2种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配成不同套餐的种数为（ ） A. 14 B. 64 C. 72 D. 80 【答案】B 【解析】 【分析】按照分步乘法计数原理计算可得. 【详解】因为备有4种素菜，8种荤菜，2种汤，所以素菜有4种选法，荤菜有8种选法，汤菜有2种选法， 所以要配成一荤一素一汤的套餐，可以配制出不同的套餐有种. 故选：B． 2. 已知函数在处的导数为3，则（ ） A. 3 B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件及函数在导数的定义即可求解. 【详解】因为函数在处的导数为3， 所以， 所以． 故选：B. 3. 若函数，则（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，得，所以. 4. 现有5名同学去听同时进行的4个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是（ ） A. B. C. 20 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】将此事分为5步，每一步均为1名同学选择讲座，后由分步计数原理可得答案. 【详解】将完成此事分为5步.第1步为第一名同学完成选择，有4种方法；第2步为第二名同学完成选择，有4种方法；；第5步为第五名同学完成选择，有4种方法. 则由分步计数原理可知，不同选法的种数位为：. 故选：A 5. 已知函数，则的极小值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】函数的定义域为， 令，解得，列表如下， 2 0 单调递减 极小值 单调递增 所以的极小值为． 6. 已知函数，若，则下列式子大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导得到函数单调性，结合得到，由函数单调性得到，故，从而得到，得到答案. 【详解】在上恒成立， 故在上单调递增， 因为，故，所以，故， 所以， 当时，， 故，，则， 故， 综上，，A正确. 故选：A 7. 已知函数，若，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意的值域包含于的值域，再分别求导分析函数的单调性与最值，进而根据值域区间端点满足的不等式列式求解即可. 【详解】，，令，解得， 令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增， 又，所以的值域为. 当时，，所以在上单调递增， 又，所以的值域为， 又，使得，所以，解得， 即实数的取值范围是． 故选：B． 8. 已知直线是曲线与曲线的公切线，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设是图象上的切点，利用导数的几何意义求出曲线上的切点，继而求出t的值，结合切线方程，即可求得答案. 【详解】由题意知直线是曲线与曲线的公切线， 设是图象上的切点，， 所以在点处的切线方程为，即① 令，解得， 即直线与曲线的切点为， 所以，即，解得或， 当时，①为，不符合题意，舍去， 所以，此时①可化为，所以， 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据导数的四则运算法则逐项计算判断即可. 【详解】对于A：因为，所以，所以，故A错误； 对于B：因为，所以，故B正确； 对于C：因为，所以，故C正确； 对于D：，故D正确. 故选：BCD. 10. 已知函数，则（ ） A. 在区间上单调递减 B. 的最小值为0 C. 的对称中心为 D. 方程有3个不同的解 【答案】AC 【解析】 【分析】利用导数考察函数的单调性及极值画出函数的大致图象，逐项判断，可判断A,B,D,对于C，利用中心对称定义进行判断即可. 【详解】对于A：，令或，令， 函数在上单调递增，在上单调递减，且， 可画出函数的大致图象如图所示，故A正确； 对于B：此函数无最小值，故B错误； 对于C：根据解析式易知，故C正确； 对于D：根据图象可知有2个不同的解，故D错误， 故选:AC． 11. 已知函数的最大值为1，则（ ） A. B. 当时， C. D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用导数求最值，结合已知可得，可判断A；利用单调性可判断BC；将目标不等式转化为，构造函数，利用导数求最值可判断D. 【详解】对A，，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在单调递减， 所以当时取得最大值，解得，A正确； 对B，由上可知，在上单调递增，在单调递减， 因为，所以，B错误； 对C，因为，所以，所以，C正确； 对D，当时，，不等式成立， 当时，， 记，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在 上单调递减， 所以当时，取得最大值， 综上，当时，不等式成立，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 家住广州的小明同学准备周末去深圳旅游，从广州到深圳一天中动车组有30个班次，特快列车有20个班次，汽车有40个不同班次.则小明乘坐这些交通工具去深圳不同的方法有__________. 【答案】90种 【解析】 【分析】根据分类加法计数原理即可求解. 【详解】根据分类加法计数原理，得方法种数为（种）. 故答案为：90种 13. 函数的导函数满足关系式，则_____________． 【答案】 【解析】 【分析】对函数两边求导，然后赋值，解得代入即可求解. 【详解】由，函数两边求导得：， 令，则，所以 代入函数得：． 故答案为： 14. 设实数，对于任意的，不等式恒成立，则k的最小值为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】将整理为，然后构造函数，根据的单调性得到，即，再构造函数，求导分析单调性得到，即可得到的范围. 【详解】由得， 即， 令，则． 因为， 所以在上单调递增， 因为，所以，即， 令，则， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以，即， 所以k的最小值为． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 求下列函数的导数. （1）； （2）； （3）. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】由基本初等函数的求导公式，根据求导法则，可得答案. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 【小问3详解】 . 16. 已知函数的图象在点处的切线方程为. （1）求的值； （2）求的极值. 【答案】（1）； （2）极小值为，无极大值. 【解析】 【分析】（1）求导函数，根据导数的几何意义及切点坐标列方程求解即可； （2）求导得函数的单调区间，即可确定极大值和极小值. 【小问1详解】 由题意知，所以， 解得； 【小问2详解】 由（1）知，令，所以， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，所以的极小值为，无极大值. 17. 已知函数． （1）若在处取得极值，求的单调区间； （2）若在区间上单调递增，求a的取值范围． 【答案】（1）的单调递减区间为，的单调递增区间为和. （2）. 【解析】 【分析】（1）求出，由题意可知，即可解得的值，然后利用和，求出的单调区间. （2）由条件可得在区间上恒成立，得在区间上恒成立，结合二次函数，可得答案. 【小问1详解】 ， ，解得，则， ， 令，解得或，令，解得， 所以的单调递减区间为，的单调递增区间为和. 【小问2详解】 ， 因为在区间上单调递增，所以在区间上恒成立， 因为恒大于，所以在区间上恒成立， 设， 当时，得在区间上不恒成立，所以不满足题意， 当时，由于函数的对称轴，所以要在区间上恒成立， 只需不等式组无解， 或解得， 当时，函数的对称轴， 要在区间上恒成立， 则只需，无解， 综上，实数的求值范围是. 18. 已知函数． （1）若恰有两个极值点，求实数的取值范围； （2）若的两个极值点分别为，证明:． 【答案】（1）； （2） 由（1）知是方程的两个不同的根，所以 所以 ， 令， 令在上恒成立， 所以在上单调递减，即在上单调递减， 所以，所以在上单调递减， 所以， 所以． 【解析】 【分析】（1）由题意导函数在上恰有两个不同的解，再根据二次函数的区间端点值，对称轴与判别式列式求解即可； （2）根据题意可得是方程的两个不同的根，所以再代入化简，进而构造函数，再求导分析的单调性与最值，进而可证明不等式. 【小问1详解】 在上恰有两个不同的解， 令，所以 解得，即实数的取值范围是； 【小问2详解】 略 19. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）令，当时，求的极值点个数； （3）令，当有且仅有两个零点时，求的取值范围. 【答案】（1） 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）两个极值点. （3）或 【解析】 【分析】（1）求导，利用一次型含参讨论求得单调性； （2）求导，求的极值点个数即为求的变号零点个数； （3）求导，整理得，易知，为一个零点， 分和分类讨论. 【小问1详解】 的定义域为， 当时，在上单调递增 当时，由，得， 由，得， 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 ， 令 当时，时单调递减， 时，单调递增，， 又时，， 所以分别在和上存在唯一的变号零点， 即有两个极值点. 【小问3详解】 ， 又为一个零点， ①若，则在定义域内单调递增，又，所以只有一个零点. ②若，令 又，则，即单调递增， i.当时，即，当时，单调递减； 当时，单调递增，的最小值为，函数只有一个零点. ii.当时，即，当时，， 所以存在唯一，使得，所以当时，单调递减， 当时，单调递增. 又时，，所以有两个零点. iii.当时，即，当时，， 所以存在唯一，使得，所以当时，单调递减， 当时，单调递增， 又时，，所以有两个零点. 所以，有且仅有两个零点时，或. 【点睛】思路点睛：研究函数的零点问题，可以通过转换、求导研究函数的单调性、最值，借助零点存在定理求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $