精品解析：河南省南阳市淅川县第一高级中学2024-2025学年高一下学期3月考评数学试题

高一数学3月考评试题 一：单选题（） 1. 顶点为坐标原点，始边在轴的非负半轴上，终边在轴上的角的集合是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】顶点为坐标原点，始边在轴的非负半轴上，终边落在轴上的角的取值集合为，故选C. 2. 设四边形ABCD中，有，且，则这个四边形是 A. 正方形 B. 矩形 C. 等腰梯形 D. 菱形 【答案】D 【解析】 【分析】由向量的关系得出线段的平行和相等关系，从而可判断四边形的形状. 【详解】由，可知且，所以四边形是平行四边形. 又，所以平行四边形是菱形. 【点睛】本题考查向量的基本概念问题. 3. 已知为非零不共线向量，向量与共线，则（ ） A. B. C. D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行，设，从而得到方程组，求出. 【详解】设， 故，解得. 故选：C 4. 在平面直角坐标系中，角的始边与轴的正半轴重合，将角的终边逆时针旋转得到角，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得出，再利用诱导公式可求得的值. 【详解】由题可得，所以. 故选：D. 【点睛】本题考查利用诱导公式求值，考查计算能力，属于基础题. 5. 函数的图象向右平移个单位后所得的图象关于原点对称，则可以是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数图象平移后的函数解析式，再利用函数图象关于原点对称，即，求出，比较可得. 【详解】函数的图象向右平移个单位后得到. 此函数图象关于原点对称，所以.所以. 当时，． 故选B. 【点睛】由的图象，利用图象变换作函数的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象沿轴的伸缩量的区别．先平移变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是个单位；而先周期变换(伸缩变换)再平移变换，平移的量是个单位. 6. 已知函数满足下列两个条件：①函数是奇函数；②，且．若函数在上存在最小值，则实数的最小值为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由②可得，周期，从而，根据函数是奇函数结合的范围可得，进而，由的范围求出的范围，根据存在最小值列出不等式，解出即可. 【详解】由可得， 由可得（其中为函数的最小正周期）， 所以，解得，所以， 所以， 因为函数是奇函数，所以，即， 因为，所以，所以， 当时，， 因为函数在上存在最小值，所以，即， 故实数的最小值为．故选C． 【点睛】本题主要考查了三角函数解析式的求法，通过三角函数的图象研究其性质，熟练掌握图象是解题的关键，属于中档题. 7. 函数的单调减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】要求函数的单调减区间，即求函数的单调增区间.根据正弦函数的单调性即可求出答案. 【详解】，要求函数的单调减区间，即求函数的单调增区间. 令， 所以. 故选：A. 8. 若函数的定义域为，且函数是偶函数, 函数是奇函数,则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】∵函数为偶函数， ∴，即 ① ∵函数为奇函数， ∴，即 ② 由①②得 ， ∴．选A ． 二．多选题（3×6） 9. 已知函数，则下列关于函数的说法，正确的是（ ） A. 的一个周期为 B. 的图象关于对称 C. 在上单调递增 D. 的值域为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用函数的对称性与周期性结合诱导公式可判定A、B，再根据A、B结论及三角函数的图象与性质可判定C、D. 【详解】对于A，根据诱导公式可知： ，故的一个周期为，即A正确； 对于B，根据诱导公式可知： ，所以的图象关于对称，即B正确； 对于C，易知 ，即为偶函数， 当时，，显然此时函数单调递减， 由偶函数的对称性可知时函数单调递增，故C错误； 由B结论可知为的一个周期， 此区间上，故D正确. 故选：ABD 10. 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后，在落潮时返回海洋.一艘货船的吃水深度（船底到水面的距离）为4m.安全条例规定至少要有2.25m的安全间隙（船底到海底的距离），下表给出了某港口在某季节每天几个时刻的水深. 时刻 水深/m 时刻 水深/m 时刻 水深/m 0：00 5.0 9：00 2.5 18：00 5.0 3：00 7.5 12：00 5.0 21：00 2.5 6：00 5.0 15：00 7.5 24：00 5.0 若选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，则下列说法中正确的有（ ） A. B. C. 该货船在2：00至4：00期间可以进港 D. 该货船在13：00至17：00期间可以进港 【答案】BCD 【解析】 【分析】依据题中所给表格，写出的表达式而判断选项A，B；再根据船进港的条件列出不等式，求解即可判断选项C，D. 【详解】依据表格中数据知，可设函数为， 由已知数据求得，，周期，所以﹐ 所以有，选项A错误；选项B正确； 由于船进港水深至少要6.25，所以，得， 又，则有或， 从而有或，选项C，D都正确. 故选：BCD 【点睛】解三角不等式关键在于：找准不等式中的函数值m所对角； 长为一个周期的区间内相位所在范围. 11. 下列命题正确的是（ ） A. 若向量共线，则必在同一条直线上 B. 若为平面内任意三点，则 C. 若点为的重心，则 D. 已知向量，若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】由向量共线的定义判断A，由向量运算性质判断B，由向量运算性质结合三角形重心的性质可判断C，由向量共线的坐标运算判断D. 【详解】对于A，若向量 ，共线， 只需两个向量方向相同或相反即可， 则A, B, C, D不必在同一直线上，故A错误； 对于B，由向量线性运算性质知，故B正确； 对于C，若点G为的重心， 设AB中点为M，则， 由重心性质知， 所以，故C正确； 对于D，因为向量， 所以， 化简得，故D正确. 故选：BCD. 三.填空题（3×5） 12. 如图所示，在中，，点在边上，点在线段上，若，则____________. 【答案】 【解析】 【分析】首先可根据点在边上设，然后将化简为，再根据点在线段上解得，最后通过计算即可得出结果. 【详解】因为点在边上，所以可设， 所以， 因为点在线段上，所以三点共线， 所以，解得， 所以，， 故答案为：12 【点睛】本题主要考查共线向量和三点共线的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 13. 设函数,的最大值为,最小值为,那么___________. 【答案】4040 【解析】 【分析】令，可证为上的奇函数，故，从而可得. 【详解】令，， 因为， ， 故，所以为上的奇函数， 故. 又，， 故. 故答案为：. 【点睛】本题考查函数的奇偶性以及函数的最值，注意根据函数解析式的形式把最值问题归结为奇函数的最值问题，本题属于中档题. 14. 在△ABC中，，，线段CD交BE于点G，且，求λ＋μ的值． 【答案】 【解析】 【分析】设，，表达出，同理设，，表达出，从而得到方程组，求出，得到，得到答案. 【详解】三点共线，设，， 即， 即，， 又，所以， 三点共线，设，， 即， 即，， 又，所以， 所以，解得， 故，. 四：解答题 15. （1）化简：； （2）已知，求. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式及商数关系化简即可求解； （2）找到角与角的关系，利用诱导公式即可求解. 【详解】（1）. （2）. 16. 已知扇形的圆心角是，半径为，弧长为. （1）若，，求扇形的弧长. （2）若扇形的周长是20 cm，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ （3）若，求扇形的弧所在的弓形的面积. 【答案】（1） （2）时，面积最大 （3）cm2. 【解析】 【分析】（1）直接利用弧长公式即可； （2）由扇形的周长得，表示出扇形的面积，求最值即可； （3）弓形的面积等于扇形的面积减去三角形的面积. 【小问1详解】 由，则扇形的弧长(cm). 【小问2详解】 由已知得，，则， ∴ 当且仅当，即时扇形的面积最大， 此时圆心角. 【小问3详解】 设弓形面积为，由，得， 所以. 17. 如图，某公园摩天轮的半径为，圆心距地面的高度为，摩天轮做匀速转动，每转一圈，摩天轮上的点的起始位置在最低点处． （1）已知在时刻（单位：）时点P距离地面的高度（其中，，），求函数解析式及时点P距离地面的高度； （2）当点P距离地面及以上时，可以看到公园的全貌，若游客可以在上面游玩，则游客在游玩过程中共有多少时间可以看到公园的全貌？ 【答案】（1）， （2）3 【解析】 【分析】（1）由已知可得，函数的振幅等于圆形的半径即，周期，即，，零时刻处，摩天轮上在最低点，可知初相，这样便可求得的解析式，进而求得时距离地面的高度； （2）从最低处开始到达高度为刚好能看着全貌，经过最高点再下降至时又能看着全貌，求得两次的时间差再乘以3即得能看着全貌的时间． 【小问1详解】 由题意可知：， 所以，又，得到，即， 又摩天轮上的点的起始位置在最低点处，即，所以， 即，又，所以， 故， 当时，，所以时点P距离地面的高度为85. 【小问2详解】 因为从最低处开始到达高度为刚好能看着全貌，经过最高点再下降至时又能看着全貌，每个游客可游玩三个周期， 由（1）知，得到，即，得到， 所以在每个周期内，， 又， 所以，游客在游玩过程中共有可以看到公园的全貌. 18. 已知函数相邻两对称轴间的距离为，若将的图象先向左平移个单位，再向下平移1个单位，所得的函数为奇函数. （1）求的解析式，并求的对称中心； （2）若关于的方程在区间上有两个不相等的实根，求实数的取值范围. 【答案】（1）；对称中心为：，（2）或 【解析】 【分析】（1）由周期求得，由函数的图象变换规律可得，再根据的为奇函数求得和的值，可得和的解析式以及的对称中心． （2）由（1）可得，由题意可得可得关于的方程在区间上有唯一解．再利用二次函数的性质求得的范围． 【详解】解：（1）由条件得：， 即， 则， 又为奇函数， 则，， ，， 令，，解得，， 故函数的对称中心为：， （2），又有（1）知，则， 的函数值从递增到，又从递减回. 令，则 由原命题得：在上仅有一个实根. 令， 则需或， 解得：或. 【点睛】本题主要考查由函数的部分图象求解析式，函数的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题． 19. 如图所示，中，AQ为边BC的中线，，，，，其中，，，． （1）当时，用向量，表示； （2）证明：为定值． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用平面向量的线性运算计算即可； （2）利用平面向量共线定理计算即可. 【小问1详解】 当时，， 因为AQ为边BC的中线， 所以， 所以． 【小问2详解】 由（1）可知， 所以． 而，，， 所以， 即， 整理可得， 而，是不共线向量，所以， 两式相加可得，是定值,证毕． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学3月考评试题 一：单选题（） 1. 顶点为坐标原点，始边在轴的非负半轴上，终边在轴上的角的集合是 A. B. C. D. 2. 设四边形ABCD中，有，且，则这个四边形是 A. 正方形 B. 矩形 C. 等腰梯形 D. 菱形 3. 已知为非零不共线向量，向量与共线，则（ ） A. B. C. D. 8 4. 在平面直角坐标系中，角的始边与轴的正半轴重合，将角的终边逆时针旋转得到角，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象向右平移个单位后所得的图象关于原点对称，则可以是 A. B. C. D. 6. 已知函数满足下列两个条件：①函数是奇函数；②，且．若函数在上存在最小值，则实数的最小值为 A. B. C. D. 7. 函数的单调减区间是（ ） A. B. C. D. 8. 若函数的定义域为，且函数是偶函数, 函数是奇函数,则 A. B. C. D. 二．多选题（3×6） 9. 已知函数，则下列关于函数的说法，正确的是（ ） A. 的一个周期为 B. 的图象关于对称 C. 在上单调递增 D. 的值域为 10. 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后，在落潮时返回海洋.一艘货船的吃水深度（船底到水面的距离）为4m.安全条例规定至少要有2.25m的安全间隙（船底到海底的距离），下表给出了某港口在某季节每天几个时刻的水深. 时刻 水深/m 时刻 水深/m 时刻 水深/m 0：00 5.0 9：00 2.5 18：00 5.0 3：00 7.5 12：00 5.0 21：00 2.5 6：00 5.0 15：00 7.5 24：00 5.0 若选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，则下列说法中正确的有（ ） A. B. C. 该货船在2：00至4：00期间可以进港 D. 该货船在13：00至17：00期间可以进港 11. 下列命题正确的是（ ） A. 若向量共线，则必在同一条直线上 B. 若为平面内任意三点，则 C. 若点为的重心，则 D. 已知向量，若，则 三.填空题（3×5） 12. 如图所示，在中，，点在边上，点在线段上，若，则____________. 13. 设函数,的最大值为,最小值为,那么___________. 14. 在△ABC中，，，线段CD交BE于点G，且，求λ＋μ的值． 四：解答题 15. （1）化简：； （2）已知，求. 16. 已知扇形的圆心角是，半径为，弧长为. （1）若，，求扇形的弧长. （2）若扇形的周长是20 cm，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ （3）若，求扇形的弧所在的弓形的面积. 17. 如图，某公园摩天轮的半径为，圆心距地面的高度为，摩天轮做匀速转动，每转一圈，摩天轮上的点的起始位置在最低点处． （1）已知在时刻（单位：）时点P距离地面的高度（其中，，），求函数解析式及时点P距离地面的高度； （2）当点P距离地面及以上时，可以看到公园的全貌，若游客可以在上面游玩，则游客在游玩过程中共有多少时间可以看到公园的全貌？ 18. 已知函数相邻两对称轴间的距离为，若将的图象先向左平移个单位，再向下平移1个单位，所得的函数为奇函数. （1）求的解析式，并求的对称中心； （2）若关于的方程在区间上有两个不相等的实根，求实数的取值范围. 19. 如图所示，中，AQ为边BC的中线，，，，，其中，，，． （1）当时，用向量，表示； （2）证明：为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $