精品解析：河南省南阳市方城县第一高级中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

2024-2025学年春期高一数学月考模拟 考试范围：第一章； 命题人：赵炬 审题人：刘涛 一、单选题 1. 集合中角的终边在单位圆中的位置（阴影部分）是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分为偶数和奇数两种情况讨论即可. 【详解】当，时，，.此时角的终边位于第一象限靠近轴的区域； 当，时，，.此时角的终边位于第三象限靠近轴的区域. 故选：C 2. 将函数图象向右平移个单位得到奇函数，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】先根据平移得出，再应用函数是奇函数得出进而求出最小值即可. 【分析】根据题意可得： 为奇函数， ， 故选：B 3. 智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成与噪声相位相反、振幅相同的声波来抵消噪声（如图）．已知噪声的声波曲线（其中，，）的振幅为1，周期为2π，初相为，则通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为（ ）． A. ； B. ； C. ； D. ． 【答案】D 【解析】 【分析】根据振幅可求出，根据周期可求出，根据初相可求出，化简后可得答案. 【详解】由噪声的声波曲线 （其中，，）的振幅为1， 周期为2π，初相为，可得，，， 所以噪声的声波曲线的解析式为， 所以通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为． 故选：D． 4. 已知角的终边过点，且，则（ ） A. 40° B. 50° C. 220° D. 310° 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角函数的定义和诱导公式即可. 【详解】； 角的终边过点； 且； 故选：D 5. 已知为锐角三角形，设函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由三角形的性质可得，由三角函数的性质可得，结合的单调性即可求解. 【详解】因为为锐角三角形，所以，所以， 又函数在区间上单调递增，所以， 因为，所以. 因为函数在上单调递增， 所以. 故选：B 6. 勒洛三角形是一种定宽曲线，它是德国机械工程专家勒洛首先进行研究的，其画法是：先画一个正三角形，再以正三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，如图所示，若正三角形的边长为2，则勒洛三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】勒洛三角形的面积为3个圆心角为 60°的扇形面积减去2个正三角形面积，即可得解. 【详解】如图：，以为圆心的扇形面积是， 的面积是， ∴勒洛三角形的面积为3个扇形面积减去2个正三角形面积， 即． 故选：B. 7. 函数的图象如图所示，直线经过函数图象的最高点M和最低点N，则（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由直线方程求得点坐标，从而利用周期和最高点坐标确定得函数解析式，由周期性，中连续8个的和为0，利用周期性化简计算． 【详解】在直线中，令得，令得，所以，， ，，，又，所以， 所以，周期是8，， 显然，， 所以 ． 故选：D． 8. 将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，如图所示，图中阴影部分的面积为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦型函数的对称性可知，阴影部分的面积等于一个长为，宽为的矩形的面积，求出的值，可得函数的最小正周期，进而可得出的值，再由结合的取值范围可得出的值. 【详解】根据正弦型函数图象的对称性可知， 阴影部分的面积等于一个长为，宽为的矩形的面积，所以，即， 由图象可知，函数的最小正周期满足，则，又， 所以，，则， 因为，所以，即， 因，所以. 故选：A. 二、多选题 9. 下列说法正确的有（    ） A. 若是锐角，则是第一象限角 B. “” 是“”的充分不必要条件 C. 若，则为第一或第二象限角 D. 小圆中1弧度的圆心角比大圆中1弧度制的圆心角小 【答案】AB 【解析】 【分析】根据象限角定义可判断A；根据三角函数的周期性可判断B；考虑终边在轴的非负半轴上可判断C；根据弧度定义可判断D. 【详解】对A，若是锐角，则，是第一象限角，A正确； 对B，若，则，充分性成立， 若，则或，必要性不成立， 所以“” 是“”的充分不必要条件，B正确； 对C，若，则， 即为第一或第二象限角，或者终边在轴非负半轴上，C错误； 对D，1弧度的圆心角是指弧长等于半径的弧所对的角，与圆的大小无关，D错误. 故选：AB 10. 某质点的位移与运动时间的关系式为的图象如图所示，其与轴交点坐标为，与直线的相邻三个交点的横坐标依次为，则（ ） A. B. C. 质点在内的位移图象为单调递减 D. 质点在内的平均速率为（平均速率） 【答案】AC 【解析】 【分析】根据周期和特殊点求得，，即可判断AB，结合图象和和解析式分析判断CD. 【详解】由题意可知：函数的周期，所以，故A正确； 令，即， 因为，即， 且，可得或， 又因为，所以，故B错误； 因为，由图象可知：在内单调递减， 且，所以在上单调递减，故C正确； 由图象直接得该质点在内的路程为， 所以该质点在内的平均速率为，所以D错误． 故选：AC. 11. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. B. 函数图象关于直线对称 C. 函数图象向右平移个单位可得函数的图象 D. 若方程在上有两个不等实数根，，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据图象确定函数的解析式，然后由正弦函数性质判断各选项． 【详解】对于A：由图可知，，所以， 所以，则， 将点代入得：， 所以，，又，所以， 所以，A正确； 对于B，因为，故B错误； 对于C，将函数图象向右平移个单位， 可得函数，故C正确； 对于D，因为，所以函数图象关于对称， 由条件结合图象可知，于是， 所以，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题 12. 设函数（是常数，）.若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为_________. 【答案】 【解析】 【详解】由在区间上具有单调性， 且知，函数的对称中心为， 由知函数的对称轴为直线， 设函数的最小正周期为， 所以，， 即，所以， 解得，故答案为. 考点：函数的对称性、周期性，属于中档题. 13. 奇函数的定义域为，若为偶函数，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由为偶函数可以推出，由为奇函数可以推出，从而可以求出的周期，进而即可求解. 【详解】因为为上的奇函数，所以有， 又因为为偶函数，所以有，即， 对比以上两式得， 从而，即函数是周期为的周期函数， 所以， 又注意到为上的奇函数， 所以， 又因为， 所以. 故答案为：. 14. 设函数，若为函数的零点，为函数的图象的对称轴，且在区间上单调，则的最大值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据对称轴及零点结合周期关系计算得出，再应用区间单调得出，最后分类计算求解即可. 【详解】因为为函数的一个零点，且是函数图象的一条对称轴， 所以，所以，所以； 因为函数在区间上单调， 所以，即，所以，所以， 又因为，所以， 当时，， 又因为，则，所以， 又，则， 所以函数在区间上不单调，所以舍去； 当时，， 又因为，则，所以． 又， 所以函数在区间上单调，所以． 故答案为：． 四、解答题 15. 在平面直角坐标系中，锐角的顶点是坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点．将角的终边按逆时针方向旋转得到角． （1）求； （2）求的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据点在单位圆上得到，由三角函数的定义可得，根据诱导公式计算即可； （2）利用诱导公式化简，代入数据计算即可． 【小问1详解】 ∵点单位圆上，∴， ∵为锐角，则，∴解得． ∴， ∴， ． 【小问2详解】 ． 16. 已知函数，当时，的最大值为． （1）求函数在上的单调区间； （2）若且满足，求的取值集合． 【答案】（1）单调递增区间为，减区间． （2）． 【解析】 【分析】（1）结合余弦函数性质求函数的递增区间和递减区间，再求区间上的单调区间； （2）结合余弦函数性质求函数在上的最大值的表达式，列方程求，方程可化为，结合余弦函数性质解方程即可. 【小问1详解】 令，，得，， 所以函数的递增区间为，， 令，，得，， 所以函数的递减区间为，， 因为， 所以的单调递增区间为，减区间． 【小问2详解】 由，可得， 所以， 所以当时，， 所以函数在上的最大值为，此时， 所以．解得． 所以，可得， 则，或，， 即，或，， 又，可解得，，，， 所以的取值集合为． 17. 已知函数. （1）求不等式的解集； （2）设函数，对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据正切函数的图象和性质，解不等式； （2）首先求函数的值域，再换元为函数，转化为讨论对称轴与定义域的关系，求函数的最小值问题，即可求解. 【小问1详解】 不等式，即，则， 从而， 解得， 故不等式的解集为. 【小问2详解】 因为，所以，所以， 所以，即. 设，则. 设函数，则. 当，即时，在上单调递增， 则，解得，又，所以，即不符合题意. 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 则，解得， 又，所以. 当，即时，在上单调递减， 则，解得， 又，所以. 综上，的取值范围是. 18. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，所以至今还在农业生产中被使用.如图，假定在水流稳定的情况下，一个直径为10米的筒车开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周需要1分钟，筒车的轴心O距离水面的高度为米.以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，设筒车开始旋转t秒后盛水筒P到水面的距离为h米（规定：若盛水筒P在水面下，则h为负数）. （1）写出h（单位：米）关于t（单位：秒）的函数解析式（其中，，）； （2）若盛水筒P在，时刻距离水面的高度相等，求的最小值. 【答案】（1）， （2）40 【解析】 【分析】（1）根据图形，利用几何知识和三角函数求解函数解析式； （2）根据正弦方程，求解的关系，通过分类讨论得到的最小值. 【小问1详解】 如图，过O作交PB于点C，设筒车与水面的交点为M，N，连接OM. 因为筒车转一周需要1分钟，所以筒车每秒钟转，则. 又因为，，所以， 则. ，， 即，. 【小问2详解】 不妨设，由题意得， 故， ①，，解得，，故，当且仅当，时，等号成立， ②，，解得，显然当时，取得最小值，最小值为. 综上，的最小值为40. 【点睛】思路点睛：几何中的三角函数模型, 一般应按下面几个步骤进行：一是要认真分析题意，借助已知或画出的示意图，弄清已知量和未知量，二是找出有关的数学模型，找出直角三角形或通过添加辅助线构造有关的直角三角形，把问题转化为求直角三角形的边或角有关问题，三是选择合适的三角函数表示出相应的角或线段，建立起函数模型. 19. 已知函数（，）的一个最高点的坐标为， （1）求的解析式； （2）将的图象上各点的横坐标变为原来的（）倍，纵坐标不变，得到的图象，且在区间上至少有个零点，求的取值范围； （3）在（2）的条件下，当取得最小值时，对，都有成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意得关于的方程组即可求解； （2）首先得表达式，进一步根据已知条件列出关于的不等式组即可求解； （3）首先求得的最值，进而得关于的不等式即可求解. 【小问1详解】 由题意，又， 所以，所以； 【小问2详解】 由题意，当时，， 在区间上至少有个零点， 则，解得，所以的取值范围为； 【小问3详解】 的最小值为，即， 因为当时，，， 所以的最大值为3，故，， 解得：或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年春期高一数学月考模拟 考试范围：第一章； 命题人：赵炬 审题人：刘涛 一、单选题 1. 集合中角终边在单位圆中的位置（阴影部分）是（ ） A. B. C. D. 2. 将函数图象向右平移个单位得到奇函数，则最小值为（ ） A. B. C. D. 3. 智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成与噪声相位相反、振幅相同的声波来抵消噪声（如图）．已知噪声的声波曲线（其中，，）的振幅为1，周期为2π，初相为，则通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为（ ）． A. ； B. ； C. ； D. ． 4. 已知角的终边过点，且，则（ ） A. 40° B. 50° C. 220° D. 310° 5. 已知锐角三角形，设函数，则（ ） A. B. C. D. 6. 勒洛三角形是一种定宽曲线，它是德国机械工程专家勒洛首先进行研究，其画法是：先画一个正三角形，再以正三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，如图所示，若正三角形的边长为2，则勒洛三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 函数的图象如图所示，直线经过函数图象的最高点M和最低点N，则（ ） A. 0 B. C. D. 8. 将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，如图所示，图中阴影部分的面积为，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列说法正确的有（    ） A. 若是锐角，则是第一象限角 B. “” 是“”的充分不必要条件 C. 若，则为第一或第二象限角 D. 小圆中1弧度的圆心角比大圆中1弧度制的圆心角小 10. 某质点位移与运动时间的关系式为的图象如图所示，其与轴交点坐标为，与直线的相邻三个交点的横坐标依次为，则（ ） A. B. C. 质点在内的位移图象为单调递减 D. 质点在内的平均速率为（平均速率） 11. 已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数图象向右平移个单位可得函数的图象 D. 若方程在上有两个不等实数根，，则 三、填空题 12. 设函数（是常数，）.若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为_________. 13. 奇函数的定义域为，若为偶函数，且，则__________. 14. 设函数，若为函数的零点，为函数的图象的对称轴，且在区间上单调，则的最大值为________． 四、解答题 15. 在平面直角坐标系中，锐角的顶点是坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点．将角的终边按逆时针方向旋转得到角． （1）求； （2）求的值. 16. 已知函数，当时，的最大值为． （1）求函数在上的单调区间； （2）若且满足，求的取值集合． 17. 已知函数. （1）求不等式的解集； （2）设函数，对任意的恒成立，求的取值范围. 18. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，所以至今还在农业生产中被使用.如图，假定在水流稳定的情况下，一个直径为10米的筒车开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周需要1分钟，筒车的轴心O距离水面的高度为米.以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，设筒车开始旋转t秒后盛水筒P到水面的距离为h米（规定：若盛水筒P在水面下，则h为负数）. （1）写出h（单位：米）关于t（单位：秒）的函数解析式（其中，，）； （2）若盛水筒P在，时刻距离水面的高度相等，求的最小值. 19. 已知函数（，）的一个最高点的坐标为， （1）求的解析式； （2）将的图象上各点的横坐标变为原来的（）倍，纵坐标不变，得到的图象，且在区间上至少有个零点，求的取值范围； （3）在（2）的条件下，当取得最小值时，对，都有成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$