精品解析：浙江省杭州市公益中学2024-2025学年七年级下学期3月月考数学试题

七年级数学课堂练习 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列方程中，是二元一次方程的是（ ）． A. B. C. D. 2. 如图，点E在的延长线上，在下列四个条件中，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 3. 二元一次方程x+3y=10的非负整数解共有（　　）对． A. 1 B. 2 C. 3 D 4 4. 如图，小明课间把老师的三角板的直角顶点放在黑板的两条平行线，中的直线上，已知，则的度数为（　　） A. B. C. D. 5. 《九章算术·盈不足》载，其文曰：“今有共买物，人出十一，盈八；人出九，不足十二．问人数、物价各几何?”意思为：几个人一起去买东西，如果每人出11钱，就多了8钱；如果每人出9钱，就少了12钱．问一共有多少人?这个物品的价格是多少?设共有x人，物品的价格为y钱，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法正确的是（　　） A. 过任意一点可作已知直线一条平行线 B. 两条不相交的直线是平行线 C. 过直线上一点只能画一条直线与已知直线垂直 D. 平行于同一直线的两直线平行 7. 如图分别是立定跳远和铅球场地的示意图，点，为相应的落地点，则立定跳远和铅球的成绩分别对应的是线段（　　） A. 和的长 B. 和的长 C. 和的长 D. 和的长 8. 解关于x，y的方程组可以用①×3﹣②，消去未知数x，也可以用①+②×4消去未知数y，则a，b的值分别为（　　） A. 1，﹣2 B. ﹣1，﹣2 C. 1，2 D. ﹣1，2 9. 如图1，，将长方形纸片沿直线折叠成图2，再沿折痕为折叠成图3，则图3中度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，，，平分，设，，，则的数量关系是（ ） A B. C D. 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 已知二元一次方程的一个解，则k的值为________． 12. 如果某个二元一次方程组的解中两个未知数的值互为相反数，我们称这个方程组为“和谐方程组”．若关于x，y的方程组是“和谐方程组”，则a的值为________． 13. 已知：如图，，则∠4的度数是___________． 14. 如图，和重叠在一起，将沿点B到点C的方向平移到如图位置，已知．图中阴影部分的面积为15，，则平移距离为______． 15. 若关于x，y的方程组的解是，则关于x，y的方程组的解是 ___．（用含m，n的代数式表示）． 16. 一副直角三角尺叠放如图1所示，现将的三角尺固定不动，将含的三角尺绕顶点A顺时针转动至图2位置的过程中，使两块三角尺至少有一组边互相平行．如图3：当°时，．则其余符合条件的度数为_____． 三、解答题（共8小题，满分72分） 17. 解方程组： （1）； （2）； （3）． 18. 如图，直线，分别与直线相交于点，，与直线相交于点，．若．求的度数． 19. 如图，在方格纸中每个小正方形的边长为1，将经过一次平移后得到．图中标出了点的对应点． （1）画出平移后的； （2）过点画出的垂线段，垂足为点； （3）在整个平移过程中，线段扫过的面积是_______． 20. 对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．已知，． （1）求a，b的值； （2）若关于，的方程组的解也满足方程，求的值； 21. 如图，点F在线段AB上，点E，G在线段CD上，FG∥AE，∠1=∠2． (1)求证：AB∥CD； (2)若FG⊥BC于点H，BC平分∠ABD，∠D=112°，求∠1的度数． 22. 已知关于，的二元一次方程组，其中为实数． （1）当时，求方程组的解； （2）求的值（用含的代数式表示）； （3）试说明无论取何数时，代数式的值始终不变． 23. 为了防治“新型冠状病毒”，某小区准备用3500元购买医用口罩和消毒液发放给本小区住户，若医用口罩买800个，消毒液买120瓶，则钱还缺100元；若医用口罩买1000个，消毒液买100瓶，则钱恰好用完． （1）求医用口罩和消毒液的单价； （2）由于实际需要，除购买医用口罩和消毒液外，还需购买单价为6元的N95口罩个．若需购买医用口罩和N95口罩共1000个，剩余的钱正好买了瓶消毒液，求与的关系式．（用含的代数式表示） （3）在（2）的基础上，若，求出N95口罩的个数． 24. 已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B． （1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系　 　； （2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，∠BAD与∠C有何数量关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）问的条件下，点E，F在DM上，连接BE，BF，CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF=180°，∠BFC=5∠DBE，求∠EBC的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学课堂练习 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列方程中，是二元一次方程的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】含有两个未知数，且未知数的次数都是1的等式是二元一次方程，据此解题． 【详解】A选项：只有一个未知数，一元一次方程，故A错误． B选项：有两个未知数，且未知数次数为1，故为二元一次方程，故B正确． C选项：中的次数为2，故不是二元一次方程，故C错误． D选项：是分式，故不是二元一次方程，故D错误． 故选B． 【点睛】本题考查二元一次方程的定义，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 2. 如图，点E在的延长线上，在下列四个条件中，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，解题的关键是掌握平行线的判定定理． 根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行分别进行分析． 【详解】解：A、若，则，故本选项不符合题意； B、若，则，故本选项符合题意； C、若，则，故本选项不符合题意； D、若，则，故本选项不符合题意； 故选：B 3. 二元一次方程x+3y=10的非负整数解共有（　　）对． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由于二元一次方程x+3y=10中x的系数是1，可先用含y的代数式表示x，然后根据此方程的解是非负整数，那么把最小的非负整数y=0代入，算出对应的x的值，再把y=1代入，再算出对应的x的值，依此可以求出结果． 【详解】解：∵x+3y=10， ∴x=10-3y， ∵x、y都是非负整数， ∴y=0时，x=10； y=1时，x=7； y=2时，x=4； y=3时，x=1． ∴二元一次方程x+3y=10的非负整数解共有4对． 故选D． 【点睛】由于任何一个二元一次方程都有无穷多个解，求满足二元一次方程的非负整数解，即此方程中两个未知数的值都是非负整数，这是解答本题的关键．注意：最小的非负整数是0． 4. 如图，小明课间把老师的三角板的直角顶点放在黑板的两条平行线，中的直线上，已知，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用． 由题意得，再由平行线的性质得，则结合平角的定义即可求的度数． 【详解】解：如图， 由题意得：， ∵，， ∴， ∴． 故选：C． 5. 《九章算术·盈不足》载，其文曰：“今有共买物，人出十一，盈八；人出九，不足十二．问人数、物价各几何?”意思为：几个人一起去买东西，如果每人出11钱，就多了8钱；如果每人出9钱，就少了12钱．问一共有多少人?这个物品的价格是多少?设共有x人，物品的价格为y钱，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设共有x人，物品的价格为y钱，根据“每人出11钱，就多了8钱；如果每人出9钱，就少了12钱”列出二元一次方程组即可． 【详解】解：根据题意，可得． 故选：C． 6. 下列说法正确的是（　　） A. 过任意一点可作已知直线的一条平行线 B. 两条不相交的直线是平行线 C. 过直线上一点只能画一条直线与已知直线垂直 D. 平行于同一直线的两直线平行 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查平行线和垂线的定义及平行公理，熟练掌握公理、定理是解决本题的关键． 根据平行线和垂线的定义及平行公理进行判断． 【详解】A．过不在直线上一点可作已知直线的一条平行线，故选项错误； B．同一平面内两条不相交的直线是平行线，故选项错误； C．同一平面内过直线上一点只能画一条直线与已知直线垂直，故选项错误； D．平行于同一直线的两直线平行，故选项正确； 故选D． 7. 如图分别是立定跳远和铅球场地的示意图，点，为相应的落地点，则立定跳远和铅球的成绩分别对应的是线段（　　） A. 和的长 B. 和的长 C. 和的长 D. 和的长 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了点到直线垂线段最短和两点之间线段最短， 根据点到直线垂线段最短和两点之间线段最短求解即可． 【详解】根据题意得，立定跳远和铅球的成绩分别对应的是线段和的长． 故选：D． 8. 解关于x，y的方程组可以用①×3﹣②，消去未知数x，也可以用①+②×4消去未知数y，则a，b的值分别为（　　） A. 1，﹣2 B. ﹣1，﹣2 C. 1，2 D. ﹣1，2 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得，然后将其化简得，再利用加减消元法进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ， 化简得： ， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键． 9. 如图1，，将长方形纸片沿直线折叠成图2，再沿折痕为折叠成图3，则图3中的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意知∠DEF=∠EFB=20°图2中∠GFC=140°，图3中的∠CFE=∠GFC-∠EFG． 【详解】∵AD∥BC， ∴∠DEF=∠EFB=20°， 在图2中∠GFC=180°-2∠EFG=140°， 在图3中∠CFE=∠GFC-∠EFG=120°． 故选B． 【点睛】此题考查图形的翻折变换，解题关键在于注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变． 10. 如图，，，平分，设，，，则的数量关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线，解题的关键是理解题意并掌握这些知识点． 过点E作，过点F作，根据题意得，，根据平行线的性质得，，可得，，，，即可得，，则，，得，即可得，进行计算即可得． 【详解】解：如图所示，过点E作，过点F作， ∵，平分，， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ，， ∴， ， 即，， ∴， ∴ ∴ ∴ 故选A． 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. 已知二元一次方程一个解，则k的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，熟知二元一次方程的解即为能使方程成立的未知数的值是解本题的关键． 把代入方程计算即可求出k的值． 【详解】解：是二元一次方程的一个解， 将代入得：， 解得：， 故答案为：2． 12. 如果某个二元一次方程组的解中两个未知数的值互为相反数，我们称这个方程组为“和谐方程组”．若关于x，y的方程组是“和谐方程组”，则a的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，相反数的定义，熟练运用整体法解方程组是解题的关键． 把两个方程相加可得，再根据相反数的定义可得，据此即可求解， 【详解】解：， 得： ， ， x，y互为相反数， ， ， ， 故答案为：． 13. 已知：如图，，则∠4的度数是___________． 【答案】126°． 【解析】 【分析】由∠1=∠2及对顶角相等可得出∠1=∠5，利用“同位角相等，两直线平行”可得出l1∥l2，利用“两直线平行，同旁内角互补”可求出∠6的度数，再利用对顶角相等可得出∠4的度数． 【详解】解：给各角标上序号，如图所示． ∵∠1=∠2，∠2=∠5， ∴∠1=∠5， ∴l1∥l2， ∴∠3+∠6=180°． ∵∠3=54°， ∴∠6=180°-54°=126°， ∴∠4=∠6=126°． 故答案为：126°． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，牢记平行线的各判定与性质定理是解题的关键． 14. 如图，和重叠在一起，将沿点B到点C的方向平移到如图位置，已知．图中阴影部分的面积为15，，则平移距离为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，对应点连线的长度等于平移距离，平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状，熟记各性质并判断出阴影部分面积等于梯形的面积是解题的关键． 根据平移的性质可知：，由此可求出的长．由，结合梯形的面积公式即可求出． 【详解】解：根据平移可得，，， ，， ， ， ， 即平移的距离为2． 故答案为：2． 15. 若关于x，y的方程组的解是，则关于x，y的方程组的解是 ___．（用含m，n的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】将待求方程组整理为，由原方程组的解将看作整体可得关于x、y的方程组，解之可得． 【详解】解：将方程组整理，得： ， 根据题意，得： 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解，解题的关键是由原方程组的解将将看作整体可得关于x、y的新方程组． 16. 一副直角三角尺叠放如图1所示，现将的三角尺固定不动，将含的三角尺绕顶点A顺时针转动至图2位置的过程中，使两块三角尺至少有一组边互相平行．如图3：当°时，．则其余符合条件的度数为_____． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，；熟练掌握平行的性质是解题的关键； 分，，三种情况，分别利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图3，当时，； 如图4，当（或）时，， ∴， ∴； 如图5，当时，， ∴． 综上所述，其他可能符合条件度数为或或． 故答案为：或或． 三、解答题（共8小题，满分72分） 17. 解方程组： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和整体代入思想，熟练掌握代入消元法和加减消元法是解题的关键． （1）利用代入消元法解此题即可； （2）利用加减消元法解此题即可； （3）整理①式，先利用整体代入法，再利用加减消元法解此题． 【小问1详解】 解： 将①代入②，得： ， 解得：， 将代入①，得： ， 所以原方程组的解是． 【小问2详解】 解： ，得： ， ，得： ， 解得：， 将代入①得： ， 解得：， 所以原方程组解是． 【小问3详解】 解： 整理①，得： ， 将②代入③，得： ， 解得：， 将④代入③，得： ， 解得：， ，得： ， 解得：， 将代入⑤，得： ， 所以原方程组的解是． 18. 如图，直线，分别与直线相交于点，，与直线相交于点，．若．求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，解题的关键是：熟练掌握平行线的性质与判定． 根据临补角的定义得到，根据平行线的判定得到，根据平行线的性质，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 19. 如图，在方格纸中每个小正方形的边长为1，将经过一次平移后得到．图中标出了点的对应点． （1）画出平移后的； （2）过点画出的垂线段，垂足为点； （3）在整个平移过程中，线段扫过的面积是_______． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据点C的对应点可以确定出和的位置，连接即可； （2）找到格点，连接即可； （3）利用割补法求解即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 如图，由网格可得， ∴线段即为所求； 【小问3详解】 如图所示， ∴线段扫过的面积． 【点睛】此题考查了图形的平移，作三角形的高，解题的关键是掌握平移的性质，正确作出． 20. 对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．已知，． （1）求a，b的值； （2）若关于，的方程组的解也满足方程，求的值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）根据定义新运算得出关于a、b的二元一次方程组，再解方程组即可； （2）根据题意得出关于x、y二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得， 解得：； 【小问2详解】 解：依题意得， 解得：， ∵， ∴， 解得：． 21. 如图，点F在线段AB上，点E，G在线段CD上，FG∥AE，∠1=∠2． (1)求证：AB∥CD； (2)若FG⊥BC于点H，BC平分∠ABD，∠D=112°，求∠1的度数． 【答案】(1)见解析；(2)56° 【解析】 【分析】（1）先证∠1=∠CGF即可，然后根据平行线的判定定理证明即可； （2）先根据平行线的性质、角平分线的性质以及垂直的性质得到∠1+∠4=90°，再求出∠4即可． 【详解】(1)证明：∵FG∥AE， ∴∠2=∠3， ∵∠1=∠2， ∴∠1=∠3， ∴AB∥CD． (2)解：∵AB∥CD， ∴∠ABD+∠D=180°， ∵∠D=112°， ∴∠ABD=180°﹣∠D=68°， ∵BC平分∠ABD， ∴∠4=∠ABD=34°， ∵FG⊥BC， ∴∠1+∠4=90°， ∴∠1=90°﹣34°=56°． 【点睛】本题考查三角形内角和定理、平行线的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练应用相关性质和定理． 22. 已知关于，的二元一次方程组，其中为实数． （1）当时，求方程组的解； （2）求的值（用含的代数式表示）； （3）试说明无论取何数时，代数式的值始终不变． 【答案】（1） （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和方程组的解，解题关键是熟练掌握解二元一次方程组的一般步骤和方程组解的定义． （1）把代入关于，的二元一次方程组得关于，的方程组，解方程组求出，即可； （2）把两个方程相减，求出即可； （3）把方程②①，消去，从而得到的值，从而求出的值即可． 【小问1详解】 把代入关于，的二元一次方程组得：， ①②得：， 把代入②得：， 方程组的解为：， 当时，方程组的解为：； 【小问2详解】 ， ①②得：， ， ； 【小问3详解】 证明：， ②得：③， ①③得：， ， ， 无论取何数时，代数式的值始终不变． 23. 为了防治“新型冠状病毒”，某小区准备用3500元购买医用口罩和消毒液发放给本小区住户，若医用口罩买800个，消毒液买120瓶，则钱还缺100元；若医用口罩买1000个，消毒液买100瓶，则钱恰好用完． （1）求医用口罩和消毒液的单价； （2）由于实际需要，除购买医用口罩和消毒液外，还需购买单价为6元的N95口罩个．若需购买医用口罩和N95口罩共1000个，剩余的钱正好买了瓶消毒液，求与的关系式．（用含的代数式表示） （3）在（2）的基础上，若，求出N95口罩的个数． 【答案】（1）医用口罩的单价为1.5元，消毒液的单价为20元． （2） （3）80或120或160， 【解析】 【分析】（1）设医用口罩的单价为x元，消毒液的单价为y元，根据“某小区准备用3500元购买医用口罩和消毒液．若医用口罩买800个，消毒液买120瓶，则还缺100元钱：若医用口罩买1000个，消毒液买100瓶，则钱恰好用完”，列出二元一次方程组，解之即可； （2）利用总价单价数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合“m，n均为正整数，即可得出m的值． （3）结合“m，n均为正整数，且”，即可得出m的值． 【小问1详解】 解：设医用口罩的单价为x元，消毒液的单价为y元， 依题意得： 解得： 答：医用口罩的单价为1.5元，消毒液的单价为20元． 【小问2详解】 需购买单价为6元的N95口罩m个，需购买医用口罩和N95口罩共1000个， ∴购买医用口罩个， 依题意得：， 化简得：． 【小问3详解】 由（2）可知 ∵m、n均为正整数，且， ∴m为40的倍数， ∴m为80或120或160， 故答案为：80或120或160． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程（组）是解题的关键． 24. 已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B． （1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系　 　； （2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，∠BAD与∠C有何数量关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）问的条件下，点E，F在DM上，连接BE，BF，CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF=180°，∠BFC=5∠DBE，求∠EBC的度数． 【答案】（1）∠A+∠C=90°；（2）∠C+∠BAD=90°，理由见解析；（3）99°． 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质以及直角三角形的性质进行证明即可； （2）先过点B作BG∥DM，根据同角的余角相等，得出∠ABD=∠CBG，再根据平行线的性质，得出∠C=∠CBG，即可得到∠ABD=∠C，可得∠C+∠BAD=90°； （3）先过点B作BG∥DM，根据角平分线的定义，得出∠ABF=∠GBF，再设∠DBE=α，∠ABF=β，根据∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得（2α+β）+5α+（5α+β）=180°，根据AB⊥BC，可得β+β+2α=90°，最后解方程组即可得到∠ABE=9°，进而得出∠EBC=∠ABE+∠ABC=9°+90°=99°. 【详解】（1）如图1，AM与BC的交点记作点O， ∵AM∥CN， ∴∠C=∠AOB， ∵AB⊥BC， ∴∠A+∠AOB=90°， ∴∠A+∠C=90°； （2）如图2，过点B作BG∥DM， ∵BD⊥AM， ∴∠ABD+∠BAD=90°，DB⊥BG，即∠ABD+∠ABG=90°， 又∵AB⊥BC， ∴∠CBG+∠ABG=90°， ∴∠ABD=∠CBG， ∵AM∥CN，BG∥AM， ∴CN∥BG， ∴∠C=∠CBG， ∴∠ABD=∠C， ∴∠C+∠BAD=90°； （3）如图3，过点B作BG∥DM， ∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD， ∴∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE， 由（2）可得∠ABD=∠CBG， ∴∠ABF=∠GBF， 设∠DBE=α，∠ABF=β，则 ∠ABE=α，∠ABD=2α=∠CBG，∠GBF=β=∠AFB，∠BFC=5∠DBE=5α， ∴∠AFC=5α+β， ∵∠AFC+∠NCF=180°，∠FCB+∠NCF=180°， ∴∠FCB=∠AFC=5α+β， △BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得 （2α+β）+5α+（5α+β）=180°，① 由AB⊥BC，可得 β+β+2α=90°，② 由①②联立方程组，解得α=9°， ∴∠ABE=9°， ∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=9°+90°=99°． 【点睛】此题主要考查平行线的性质以及角平分线的性质，解决问题的关键是作平行线构造内错角．解题时注意方程思想的运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $