精品解析：山东省2024-2025学年高二下学期校际联考数学试题（历城二中命题）

2025年3月高二校际联考（名校卷） 数学试题 命题单位：济南市历城第二中学・数学学科组 本试卷共4页，19题，全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考场号及座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知函数，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 2. 曲线在点处的切线的斜率为（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 已知定义域为的函数的导函数为且的图象如图所示，则下列判断中正确的（ ） A. 在上单调递增 B. 有极大值 C. 有3个极值点 D. 在处取得最大值 4. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 5. 若函数在上有两个不同的极值点，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 6. 为庆祝中国共产主义青年团成立101周年，某学校5月份组织部分学生参与“地图上的青运史”打卡活动，计划一天内参观完①山东省建团纪念馆、②王尽美邓恩铭雕像纪念广场、③“四五”烈士纪念碑、④泺口九烈士纪念碑、⑤中共济南乡师党史陈列室、⑥山东省团校这6个地方．结合实际对参观路线顺序的规划如下：去②⑤参观的顺序相邻且去①参观在去③和⑥参观的前面（不一定相邻），则不同的参观安排种数是（ ） A. 60 B. 80 C. 120 D. 240 7 已知，，则（ ） A B. C. D. 8. 定义在的函数的导函数为，已知且，则下列结论正确的是（ ） A. 单调递增 B. 在单调递减 C. 在上有极小值 D. 在上有极大值 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数则（ ） A 有两个极值点 B 有3个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线 10. 排列数和组合数都有丰富的性质和实际应用，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 帕德近似是法国数学家亨利・帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数，，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，，，注：，，，，则下列结论正确的是（ ） A. 若函数在处的阶帕德近似为，则，， B. 函数在处的阶帕德近似 C. D. 函数在处的阶帕德近似为，当时， 三、填空题：本题共3小题，共15分 12. 《哪吒2》9天登顶中国影史票房榜，之后持续狂飙，上映16天票房突破100亿；21天登顶全球动画电影票房榜，电影中哪吒需要从风、火、水、雷、土五种灵珠中选出四个，按顺序排列成法阵对抗敌人，已知风灵珠和火灵珠不能相邻，问共有多少种法阵组合方式_____．（用数字作答） 13. 过可作的2条切线，那么的取值范围为_____． 14. 如果存在函数（，为常数），使得对函数在区间内任意的都有成立，那么为函数的一个“覆盖函数”．已知，，若为函数在区间上的一个“覆盖函数”，则实数的取值范围_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知． （1）若，且在处取得极值，求，的值； （2）当时，若在上单调递增，求的取值范围． 16. 宇树科技机器人亮相春晚，春晚舞蹈《秧BOT》火爆全球，某学校为提高学生的动手能力，培养创新型人才，购买了标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，9共9种型号的零件若干让同学们进行随意拼装． （1）甲同学从这9种型号的零件中任选两种型号的零件，选择的两种型号的数字之差的绝对值不超过3（不计两个数字的顺序），则甲有多少种选择？ （2）现将9种型号的零件全部分给甲乙丙三个小组对零件进行测试，每组至少2种类型的零件，一共有多少种分配方法？ （注：要写出算式，结果用数字表示） 17. 已知函数（为常数）． （1）若有3个零点，求的范围； （2）证明：． 18. 已知函数，． （1）讨论函数的单调性； （2），求的值； （3）对于任意的，求证：． 19. 已知函数． （1）函数与函数在处的切线互相垂直，求实数的值； （2）若，求函数的单调增区间； （3）若，函数有两个不同的零点，设为的一个零点，为的极值点，且，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年3月高二校际联考（名校卷） 数学试题 命题单位：济南市历城第二中学・数学学科组 本试卷共4页，19题，全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考场号及座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知函数，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由导数的定义与导数的运算公式可得结果. 【详解】∵， ∴， ∴. 故选：A 2. 曲线在点处的切线的斜率为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由导数的几何意义，求出导数得切线斜率. 【详解】, 所以. 故选：D 3. 已知定义域为的函数的导函数为且的图象如图所示，则下列判断中正确的（ ） A. 在上单调递增 B. 有极大值 C. 有3个极值点 D. 在处取得最大值 【答案】C 【解析】 【分析】根据导函数的图象确定单调区间、极值情况，即可判断各项的正误. 【详解】由题图知，在上，则在上单调递减， 在上，则在上单调递增， 所以在上不单调，为极小值，且共有3个极值点，处不是最大值. 故选：C 4. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由初等函数导数公式和导数运算法则可得答案. 【详解】根据题意，， 则， 即， 所以. 故选：C 5. 若函数在上有两个不同的极值点，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出导函数，再采用分离参数法，可得，再令，利用函数单调性，可知在上单调递减，在上单调递增，根据最小值和单调区间，即可求出结果. 【详解】由，则， 因为在上有两个不同的极值点， 则在上有两个不同的根， 令， 令，则， 在上单调递减，在上单调递增 且，，， 所以函数在上有两个不同的极值点， 即在上有两个交点，则实数的取值范围为. 故选：D. 6. 为庆祝中国共产主义青年团成立101周年，某学校5月份组织部分学生参与“地图上的青运史”打卡活动，计划一天内参观完①山东省建团纪念馆、②王尽美邓恩铭雕像纪念广场、③“四五”烈士纪念碑、④泺口九烈士纪念碑、⑤中共济南乡师党史陈列室、⑥山东省团校这6个地方．结合实际对参观路线顺序的规划如下：去②⑤参观的顺序相邻且去①参观在去③和⑥参观的前面（不一定相邻），则不同的参观安排种数是（ ） A. 60 B. 80 C. 120 D. 240 【答案】B 【解析】 【分析】将②和⑤视为一个组合体，此时问题转化为排列5个元素，组合体、①、③、④、⑥的排列问题，利用分步计数原理计算即可得出结果. 【详解】将②和⑤视为一个组合体， 此时问题转化为排列5个元素，组合体、①、③、④、⑥的排列问题， 从5个位置中选3个给①、③、⑥，方式为 种方法， ①固定在所选第一个位置，剩余两个位置由③和⑥排列，有 种方式， 剩余两个位置由组合体和④排列，有 种方式. 组合体内部排列有种方式. 总排列数：. 故选：B. 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，，根据函数的单调性得到，构造函数，根据单调性得到，从而得到. 【详解】设，则， 当时，，所以在上单调递增， 又因为，所以当时，，所以， 所以， 设，则， 当时，，所以在上单调递减， 又因为，所以当时，，所以， 所以， 所以， 设，则， 当时，，所以在上单调递增， 又因为，所以当时，，所以， 所以， 所以， 故选：B. 8. 定义在函数的导函数为，已知且，则下列结论正确的是（ ） A. 在单调递增 B. 在单调递减 C. 在上有极小值 D. 在上有极大值 【答案】C 【解析】 【分析】令并求导，结合已知可得，再应用导数研究的性质判断各项的正误. 【详解】令，则，即且为常数， 又，则，故， 所以，则， 当时，即在上单调递减， 当时，即在上单调递增， 所以处取极小值. 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数则（ ） A. 有两个极值点 B. 有3个零点 C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线 【答案】AC 【解析】 【分析】利用极值点的定义可判断A，结合的单调性、极值可判断B，利用奇函数的对称性和平移可判断C；利用导数的几何意义判断D. 【详解】由题，，令得或， 令得， 所以在，上单调递增，上单调递减， 所以是极值点，故A正确； 因，，， 所以，函数在上有一个零点， 当时，，即函数在上无零点， 综上所述，函数有一个零点，故B错误； 令，该函数的定义域为， ， 则是奇函数，是的对称中心， 将的图象向上移动6个单位得到的图象， 所以点是曲线的对称中心，故C正确； 令，可得，又， 当切点为时，切线方程为， 当切点为时，切线方程为，故D错误. 故选：AC. 10. 排列数和组合数都有丰富的性质和实际应用，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用组合数的定义和排列数的定义可A、B；利用组合数的递推关系式​可证明C正确；从组合数的意义角度看，都表示是两个各有个元素的集合  和 中选取总共 个元素的方式数，由此得D正确. 【详解】对于A，因为，故A不正确； 对于B，因为，故B正确； 对于C，因为，故C正确； 对于D，考虑从两个各有个元素集合  和 中选取总共 个元素的方式数，总的选取方式数是.另一方面，我们可以将选取过程分为不同的情况，即从集合 中选取个元素，从集合中选取个元素，其中  从0 到，对于每个，选取的方式数是.由于 ​，所以每种情况的方式数是，因此，总的选取方式数可以表示为：，由于这两种方法计算的是同一个选取过程的方式数，所以它们相等：，故D正确. 故选：BCD. 11. 帕德近似是法国数学家亨利・帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数，，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，，，注：，，，，则下列结论正确的是（ ） A. 若函数在处的阶帕德近似为，则，， B. 函数在处的阶帕德近似 C. D. 函数在处的阶帕德近似为，当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】，，根据题意可判断A；设，根据，，求解，判断B；根据，可得，判断C；令，利用导数判断的最小值，即可判断D. 【详解】根据题意，，， 则，，，A正确； ∵，则，， 设，则，，， 由题意得：， ∴，解得：， 所以，B错误； 由B可知，函数在处的阶帕德近似， 令，则， 所以，C正确； 令， 则， 所以在内为增函数，又， 时，； 所以时，，D正确. 故选：ACD 【点睛】方法点睛：比较大小常用的方法 （1）利用基本函数的单调性，根据函数的单调性判断， （2）利用中间值“1”或“0”进行比较， （3）构造函数利用函数导数及函数单调性进行判断. 三、填空题：本题共3小题，共15分 12. 《哪吒2》9天登顶中国影史票房榜，之后持续狂飙，上映16天票房突破100亿；21天登顶全球动画电影票房榜，电影中哪吒需要从风、火、水、雷、土五种灵珠中选出四个，按顺序排列成法阵对抗敌人，已知风灵珠和火灵珠不能相邻，问共有多少种法阵组合方式_____．（用数字作答） 【答案】84 【解析】 【分析】根据已知条件，分两种情况进行排列组合即可. 详解】由题知共分两种情况： 第一种情况：风、火灵珠选出一个，水、雷、土三种灵珠均被选出， 共有种法阵组合； 第二种情况：风、火灵珠均被选出，水、雷、土三种灵珠选出两个， 先从水、雷、土三种灵珠中选出两个进行排列，共有种方法， 再将风、火灵珠进行插空，共有种方法， 则共有种法阵组合， 所以共有种法阵组合. 故答案为：84 13. 过可作的2条切线，那么的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由题设，若切点为，导数几何意义求切线方程，再由切点在切线、上得到，问题化为且，有两个零点，应用导数研究的性质求参数范围. 【详解】由题设，若切点为，则， 所以切线方程为， 又，则， 令且，，则， 当时，则在上单调递增， 当时，则在上单调递减， ，， 过可作的2条切线，所以，只需，故. 综上，. 故答案为： 14. 如果存在函数（，为常数），使得对函数在区间内任意的都有成立，那么为函数的一个“覆盖函数”．已知，，若为函数在区间上的一个“覆盖函数”，则实数的取值范围_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意知，令，求出即可. 【详解】由题意可知对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 从而得对任意的恒成立， 设，， 则， 令，则的分子可化为. 对于二次函数， 由，解得或（舍去）. 当，即时，，，单调递减； 当，即时，，，单调递增. 所以在处取得最小值，. 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知． （1）若，且在处取得极值，求，的值； （2）当时，若在上单调递增，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导根据和解方程即可求出，的值，注意检验，的值,函数是否在处取得极值即可得出结论； （2）原题等价于在时恒成立，利用二次函数性质计算即可得出结果. 【小问1详解】 由，得，即，解得或. 求导，因是极值点，故，即，化简为. 当时，，解得, 此时，恒成立，无极值点，舍. 当时，，解得， 此时，，在处取得极值， 综上， 【小问2详解】 当时，，, 因在单调递增，故在恒成立. 开口向上，对称轴, 若（即），在最小值为，解得​； 若（即），在处取最小值，解得，与无交集. 综上，的取值范围是. 16. 宇树科技机器人亮相春晚，春晚舞蹈《秧BOT》火爆全球，某学校为提高学生的动手能力，培养创新型人才，购买了标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，9共9种型号的零件若干让同学们进行随意拼装． （1）甲同学从这9种型号的零件中任选两种型号的零件，选择的两种型号的数字之差的绝对值不超过3（不计两个数字的顺序），则甲有多少种选择？ （2）现将9种型号的零件全部分给甲乙丙三个小组对零件进行测试，每组至少2种类型的零件，一共有多少种分配方法？ （注：要写出算式，结果用数字表示） 【答案】（1）21 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意有，根据两数均为正整数分类讨论即可； （2）将9种零件分给甲乙丙三组，每组至少2种，需要满足，且，则可能的分法为，和，利用先分组再分配即可求解. 【小问1详解】 要求从数字1到9中任选两种型号，使得两数之差的绝对值不超过3，由于两数均为正整数， 所以， 当时，共有种情况， 当时，共有钟情况， 当时，共有种情况， 所以共有，所以甲有21种选择； 【小问2详解】 将9种零件分给甲乙丙三组，每组至少2种，需要满足，且，所以可能的整数划分为： 第一类为分配方法数为：， 第二类为分配方法数为：， 第三类为分配方法数为：， 根据分类加法计数原理共有：. 17. 已知函数（为常数）． （1）若有3个零点，求的范围； （2）证明：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）分类讨论结合分离参数，构造新函数，利用导数研究函数的单调性及图象趋势即可； （2）对不等式恒等变形，通过同型构造转化为证明，利用换元法设，结合导数研究其单调性与最值，并由导数证明即可. 【小问1详解】 易知不是函数的一个零点， 所以当，则， 设，即两函数图象有三个交点， 易得， 所以时，，即此时单调递减， 或时，，此时单调递增， 又时，，且时，， 时，，时，，， 作出函数大致图象如下，所以要满足题意需， 【小问2详解】 要证，即证， 即证， 令，易知， 所以在上单调递减，在上单调递增， 即， 令，则， 所以在上单调递增，即， 则，则， 得证. 【点睛】思路点睛：第一问零点个数问题，通常分离参数转化为函数交点个数问题；第二问不等式恒成立，遇见指数与对数式混合，有时可通过同构结合常用的切线放缩处理. 18. 已知函数，． （1）讨论函数的单调性； （2），求的值； （3）对于任意的，求证：． 【答案】（1）答案见解析； （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，讨论、研究导数的符号，即可确定单调性； （2）根据题设得且，利用导数研究左侧的最值，即可得参数值； （3）根据（2）的结论有，则，应用累加即可证结论. 【小问1详解】 由题设且， 当时，，即在上单调递增； 当时，令，则， 若，则，即在上单调递减， 若，则，即在上单调递增； 【小问2详解】 由且的定义域为， 由（1）知，在上单调递增，即上有，不符合； 所以，结合此时的性质，只需， 令，故， 当时，即在上单调递增， 当时，即在上单调递减， 所以，即， 所以，只需，满足. 【小问3详解】 由（2）知，在上，则， 令，则， 所以，得证. 19. 已知函数． （1）函数与函数在处的切线互相垂直，求实数的值； （2）若，求函数的单调增区间； （3）若，函数有两个不同的零点，设为的一个零点，为的极值点，且，证明：. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数求出斜率，根据垂直得斜率之积为即可求解； （2）根据导数求解单调区间即可； （3）首先证明时，，再利用零点和极值点列方程组，根据，可得；再假设，求出与已知不符，得到，进而求解 【小问1详解】 由得的定义域为， ，， 由得，，则， 因为与函数在处的切线互相垂直， 所以，解得； 【小问2详解】 当时，由（1）得，， 令，， 则， 所以在单调递减，又， 所以当时，，即，所以在单调递增； 当时，，即，所以在单调递减， 所以函数的单调增区间为； 【小问3详解】 先证时，： 令，则， 则在单调递减，所以， 即，所以时，. 由（1）知，， 因为为的一个零点，为的极值点， 所以，所以， 因为，即，所以， 所以， 所以，即， 由知，， 若，则，，则，与不符， 所以，所以， 则， 即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$