黄金卷04（湖南长沙专用）-【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷

【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B D B D C B D C A 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11． 12．丁 13．80 14． 15． 且 16. 三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.解：原式．（6分） 18.解： (3分) 原式.（3分） 19．（1）解：房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线，， ，，， 在中，，， ，， 米； 答：屋顶到横梁的距离约为米；（3分） （2）过作于， 设， 在中，，， ， =， 在中，，， ， =， 米， ， 解得：(米)， (米)， 答：房屋的高约为米．（3分） 20、（1）；（3分） （2）解： （人）， 所以估计该校喜欢阅读“A”类图书的学生约有1224人；（2分） （3）解：画树状图为： 共有6种等可能的结果数，其中被选送的两名参赛者为一男一女的结果数为4， 所以被选送的两名参赛者为一男一女的概率．（3分） 21（1）证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴；（4分） （2）解：∵，， ∴，， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴．（4分） 22、（1）解：设种纪念品的单价为元，则种纪念品的单价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ， 答：种纪念品的单价为元，则种纪念品的单价为元；（4分） （2）设该商家最购进种纪念品个， 根据题意得：， 解得：， 答：该商家最少购进种纪念品个．（4分） 23．（1）证明：∵D是的中点， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形AECF是菱形．（4分） （2）如图，过点作于， 则是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ， 即， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ， ∵， ， ∴， ，即， 解得： ， ， ， ∴．（5分） 24.解：（1）∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴；（4分） （2）①∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴；（3分） ②所在直线与所在直线之间的夹角不发生变化，为，理由如下： 如图，延长交于，交于， ∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ∴，，，即， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴．（3分） 25.（1）解：将点代入， 得， 对称轴为直线， ， ， ， ， ， 抛物线的解析式为；（3分） （2）解：四边形是平行四边形 令，则， ， 令，则， 或， ，， 设直线的解析式为， ， ， ， 设，则， ， 当时，的长度最大， ，， ，， ， 平行于 四边形是平行四边形；（3分） （3）解：①过点作轴的垂线，过点作轴交于点，过点作轴的垂线， ∵轴， ， ， ， ，是的中点， ， ， ， ， 设， ， 解得（舍）或， ； ②存在点，使得为等腰三角形，理由如下： ∵， ∴， 设， 当时，， ， 或； 当时，， 此时无解； 当时，的中点， ， ， ， 综上所述：点的坐标为或或．（4分） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（本题3分）我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”．如粮库把运进30吨粮食记为“”，则“”表示（   ） A．运出20吨粮食 B．亏损20吨粮食 C．卖掉20吨粮食 D．吃掉20吨粮食 【答案】A 【分析】此题考查了相反意义的量．根据粮库把运进30吨粮食记为“”，即可得到答案． 【详解】解：粮库把运进30吨粮食记为“”，则“”表示运出20吨粮食， 故选：A 2．（本题3分）由开发的人工智能助手在全球范围内掀起了一股热潮，据国内产品榜统计数据，这款推理型AI聊天机器人在上线仅20天后，其日活跃用户数达22150000．将数据22150000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据科学记数法的方法进行解题即可．本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，为正整数，确定a与n的值是解题的关键． 【详解】解：依题意，将数据22150000用科学记数法表示为， 故选：B． 3．（本题3分）下列因式分解结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据提公因式法、公式法分解因式进行判断即可． 本题考查了因式分解-提公因式法、运用公式法，熟练掌握这两种因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：A、，原结果错误，故此选项不符合题意； B、在有理数范围内不能因式分解，故此选项不符合题意； C、，原结果错误，故此选项不符合题意； D、，结果正确，故此选项符合题意： 故选：D． 4．（本题3分）已知点和点关于原点对称，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征、代数式求值，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，由此可得，的值，进而可得答案． 【详解】解：点和点关于原点对称， ，， ， 故选：B． 5．（本题3分）如图，，直线分别截，于，，已知，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设的对顶角为，则，根据两直线平行，同旁内角互补列式解答即可． 本题考查了对顶角相等，平行线的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：设的对顶角为，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 6．（本题3分）下列命题中，是真命题的是（    ） A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B．过一点有无数条直线与已知直线平行 C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 D．直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离 【答案】C 【分析】本题主要考查了命题与定理、平行线的判定、点到直线的距离等知识点，掌握相关的性质定理是判断命题的真假关键． 根据平行线的性质、平行公理的推论、平行线的判定、点到直线的距离的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故本选项命题是假命题，不符合题意； B、过一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项命题是假命题，不符合题意； C、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，是真命题，符合题意； D、直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到直线的距离，故本选项命题是假命题，不符合题意． 故选：C． 7．（本题3分）为增强学校之间的友谊，某市举办联合篮球比赛，下表是A校篮球队员的身高： 身高 176 178 180 181 182 185 人数 1 2 3 2 1 1 下列说法正确的是（   ） A．篮球队员身高的众数是 B．篮球队员的平均身高是 C．篮球队员身高的中位数是 D．篮球队员身高的方差是 【答案】B 【分析】本题考查了平均数、中位数、众数、方差的意义，根据平均数、中位数、众数、方差的计算方法逐项分析即可． 【详解】A． ∵出现的次数最多， ∴众数是，故不正确； B． 平均数，正确； C． ∵从小到大排列后排在第5和第6位的是， ∴中位数是，故不正确； D． ，故不正确． 故选B． 8．（本题3分）如表是代数式的值的情况，根据表格中的数据，可知方程的根是（   ） …… …… …… …… A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解，二次函数的性质，根据表中的对应值得到当时，；的对称轴为直线，进而可得当时，，则根据一元二次方程解的定义可得到方程的解．． 【详解】解∶由表中数据得当时，； 二次函数的对称轴为直线， ∴当时， 所以方程的解为，． 故选：D 9．（本题3分）如图，在四边形中，，连接，，，点是边上的点，连接，，，那么下列结论中：①；②；③；④，正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，圆的相关性质，平行线的性质，解决本题的关键是证明．根据相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、圆的相关性质、平行线的性质进行逐一判断即可． 【详解】，， 点是边上的点， ，故②错误； ，， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ，在以为直径的圆上， ，，故④正确； ， ，故①正确； ， ， ，故③正确． 故选C． 10．（本题3分）如图，在菱形中，，．动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线运动到点，同时动点从点出发，以相同速度沿折线运动到点，当一个点停止运动时，另一点也随之停止．设的面积为，运动时间为秒．则下列图象能大致反映与之间函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查动点问题的函数图象，解题关键在于分情况讨论：当P，Q分别在，上运动时，，当P，Q分别在，上运动时，同理可得：，即可求解． 【详解】解：（1）当P，Q分别在，上运动时， ∵是菱形，，则为边长为2的等边三角形，过点作于点， ，， 函数最大值为，符合条件的A，B，C，D， （2）当P，Q分别在，上运动时： 同理可得：， 符合条件的有A， 故选A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（本题3分）下列说法中正确的结论有 ．（填序号） 若，互为相反数，则； 在数轴上表示的点与表示的点距离为个单位长度； 在数轴上原点及原点右边的点表示的数是非负数； －定是负数； 【答案】 【分析】本题主要考查了相反数，数轴，有理数的分类，根据相反数定义，数轴，有理数的分类逐一判断即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：若，互为相反数，则，故正确； 在数轴上表示的点与表示的点距离为个单位长度，故正确； 在数轴上原点及原点右边的点表示的数是非负数，故正确； 可能是正数，负数和零，故错误； 故答案为：． 12．（本题3分）生物学研究表明，植物光合作用速率越高，单位时间内合成的有机物越多．为了解甲、乙、丙、丁四个品种大豆的光合作用速率，科研人员从这四个品种的大豆中各选五株，在同等实验条件下，测量它们的光合作用速率（单位：），统计结果如表： 品种 甲 乙 丙 丁 速率平均数 24 25 23 25 方差 7.6 15.6 6.8 4 则这四个大豆品种中光合作用速率又快又稳定的是 ． 【答案】丁 【分析】本题主要考查了平均数和方差的应用，熟练掌握相关定义和性质是解题关键．根据平均数和方差的定义，结合表中数据即可获得答案． 【详解】解：根据表中数据可知，乙、丁两品种大豆光合作用速率平均数为25，大于甲和丙两品种大豆光合作用速率， 而乙品种大豆光合作用速率的方差为15.6，大于丁品种大豆光合作用速率的方差，即丁品种大豆光合作用速率的稳定性强， ∴这四个大豆品种中光合作用速率又快又稳定的是丁． 故答案为：丁． 13．（本题3分）2025年春晚吉祥物“巳（sì）升升”，是从中华传统文化中寻找的灵感，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，其形象既憨态可掬，又富有古意．某商店销售A，B两款“巳升升”吉祥物，已知A款吉祥物的单价比B款吉祥物的单价高20元．若顾客花800元购买A款吉祥物的数量与花600元购买B款吉祥物的数量相同，则A款吉祥物的单价为 元． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设A款吉祥物的单价为元，则款吉祥物的单价为元，根据“顾客花800元购买A款吉祥物的数量与花600元购买B款吉祥物的数量相同”列出分式方程，解方程即可得解． 【详解】解：设A款吉祥物的单价为元，则款吉祥物的单价为元， 由题意可得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 故答案为：． 14．（本题3分）如图是由6个形状、大小完全相同的菱形组成的网格，菱形的顶点称为格点，已知菱形的一个角，点都在格点上，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，三角函数、特殊三角形边角关系等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形解决问题． 如图，连接，，证明，、C、B共线，再根据解题即可． 【详解】解：如图，连接，， 设菱形的边长为，由题意得，，，， 则， ∴， ∵， ∴， ∴、、共线， 在中， ． 故答案为：． 15．（本题3分）若关于x的方程的解是非负数，则m的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题考查解分式方程及分式方程的解、解不等式，根据方程的解得出不等式是解题的关键，易忽略分式方程的增根的情况，根据方程的解为负数且不能使分母为0，可得关于m的不等式，解不等式可得． 【详解】解：， 两边都乘以，得 ， 解得， ∵解是非负数， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴且． 故答案为：且． 16．（本题3分）如图，已知平行四边形，，E、F分别为、上的点，连接，若于点E，且平分平行四边形的面积，过E作于点P，连接，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查配方法的应用，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，求正弦，设、交于点，过作于，设，，则，先证明，得到，再由平分平行四边形的面积，得到，利用勾股定理得到，则，利用配方得到当时，最小，此时最大． 【详解】解：设、交于点，过作于， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 设，， ∴，， ∴， ∵平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∵平分平行四边形的面积， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴中，， ∴， ∵， ∴当时，最小，此时最大， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本题6分）计算：． 【答案】3 【分析】本题主要考查零指数幂，绝对值，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式． 18．（本题6分）先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查分式的化简求值．先把原式括号里的式子通分，然后根据约分的方法和分式的性质进行化简，最后代入计算． 【详解】解： 原式. 19．（本题6分）脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋顶的仰角为，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋檐点的仰角为房屋的顶层横梁，，交于点(点，，在同一水平线上)．(参考数据：，，，，，) (1)求屋顶到横梁的距离； (2)求房屋的高(结果精确到)． 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用； （1）根据轴对称的性质可得，，再利用平行线的性质可求出的度数，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答； （2）过点作，垂足为，根据题意可得，先设设，在中，利用锐角三角函数定义表示出的长，从而在中，利用锐角三角函数的定义表示出，根据列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线，， ，，， 在中，，， ，， 米； 答：屋顶到横梁的距离约为米； （2）过作于， 设， 在中，，， ， =， 在中，，， ， =， 米， ， 解得：(米)， (米)， 答：房屋的高约为米． 20．（本题8分）为了提高学生的阅读能力，我市某校开展了“读好书，助成长”的活动，购书前，对学生喜欢阅读的图书类型进行了抽样调查，如图所示，请根据统计图回答下列问题： 调查问卷（单项选择） 你最喜欢阅读的图书类型是（ ） A．文学名著 B．名人传记 C．科学技术 D．其他 (1)本次调查共抽取了_____名学生，两幅统计图中的_____，____． (2)已知该校共有3600名学生，请你估计该校喜欢阅读“A”类图书的学生约有多少人？ (3)学校将举办读书知识竞赛，九年级1班要在本班3名优胜者（2男1女）中随机选送2人参赛，求被选送的两名参赛者为一男一女的概率． 【答案】(1) (2)该校喜欢阅读“A”类图书的学生约有1224人 (3) 【分析】此题考查了列表法与树状图法；利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件A或B的结果数目，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．同时也考查了统计图． （1）用喜欢阅读“A”类图书的学生数除以它所占的百分比得到调查的总人数；用喜欢阅读“B”类图书的学生数所占的百分比乘以调查的总人数得到的值，然后用30除以调查的总人数可以得到的值； （2）用3600乘以样本中喜欢阅读“A”类图书的学生数所占的百分比即可； （3）画树状图展示所有6种等可能的结果数，找出被选送的两名参赛者为一男一女的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】（1）解：（人）， 所以本次调查共抽取了200名学生， ， ，即， 故此题答案为：； （2）解： （人）， 所以估计该校喜欢阅读“A”类图书的学生约有1224人； （3）解：画树状图为： 共有6种等可能的结果数，其中被选送的两名参赛者为一男一女的结果数为4， 所以被选送的两名参赛者为一男一女的概率． 21．（本题8分）如图，在中，延长至点，使，过点作，且，连接交于点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质等知识，熟练运用全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）结合平行线的性质求出，，，利用即可证明； （2）由三角形中位线定理推出，根据全等三角形的性质求出，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 22．（本题9分）在众多的旅游城市中，历史悠久的南昌仿佛一夜之间绽放了它的独特魅力，吸引了无数游客的目光．万寿宫景点内的某商家为了抓住这一商机，购进，两种有关南昌城市景点的纪念品进行销售．已知种纪念品购进时的单价比种纪念品购进时的单价高元，用元购进种纪念品的数量是用元购进种纪念品的数量的两倍． (1)求，两种纪念品购进时各自的单价． (2)该商家决定购进，两种纪念品共个，若每个种纪念品的售价为元，每个种纪念品的售价为元，销售完这个纪念品所获得的利润不低于元，则该商家最少购进种纪念品多少个？ 【答案】(1)种纪念品的单价为元，则种纪念品的单价为元 (2)该商家最少购进种纪念品个 【分析】本题考查了分式方程的应用，不等式的应用，解题的关键是正确找出等量关系． （1）设种纪念品的单价为元，则种纪念品的单价为元，根据题意列出分式方程即可求解； （2）设该商家最购进种纪念品个，根据利润的关系列不等式即可求解． 【详解】（1）解：设种纪念品的单价为元，则种纪念品的单价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ， 答：种纪念品的单价为元，则种纪念品的单价为元； （2）设该商家最购进种纪念品个， 根据题意得：， 解得：， 答：该商家最少购进种纪念品个． 23．（本题9分）如图，在中，D是的中点，过点D作的垂线交于点E，延长到点F，使得，连接，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． （1）先证四边形是平行四边形，再由菱形的判定即可得出结论； （2）过点作于， 则是等腰直角三角形， 得，由含角的直角三角形的性质得，再证 得，则，然后由勾股定理得，则，即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵D是的中点， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形AECF是菱形． （2）如图，过点作于， 则是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ， 即， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ， ∵， ， ∴， ，即， 解得： ， ， ， ∴． 24．（本题10分）综合与实践 数学课上，白老师提出如下问题：如图和均为等腰直角三角形，点分别在线段上，且．若为的中点，求的值． 数学思考： （1）解答白老师的问题． 深入探究： （2）白老师让同学们绕点逆时针旋转，旋转角度为，并让同学们提出新的问题． ①“善思小组”提出问题：如图2，研究发现点在以点为圆心，的长为半径的圆上运动，当与相切时，求的值． ②“智慧小组”提出问题：如图3，当绕点旋转时，所在直线与所在直线之间的夹角是否发生变化？若不变，请直接写出该夹角（锐角）的度数；若变化，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）所在直线与所在直线之间的夹角不发生变化，为； 【分析】（1）证明，，可得； （2）①由是的切线，可得，可得，再进一步可得答案； ②如图，延长交于，交于，证明，，可得，再进一步解答即可． 【详解】解：（1）∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）①∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②所在直线与所在直线之间的夹角不发生变化，为，理由如下： 如图，延长交于，交于， ∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ∴，，，即， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴． 【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，切线的性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 25．（本题10分）如图，已知抛物线与x轴交于点和，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点是线段上的一个动点（不与点，重合），过点作轴的平行线交抛物线于点，连接，当线段长度最大时，判断四边形的形状并说明理由； (3)如图2，在（2）的条件下，是的中点，过点的直线交抛物线于点，且． ①求点E的坐标． ②在轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)四边形是平行四边形；理由见解析 (3)①；②点的坐标为或或． 【分析】（1）将点代入，再由对称轴可得，分别求出、的值即可求解； （2）求出直线的解析式，设，则，则，求出，，即可判断四边形是平行四边形； （3）过点作轴的垂线，过点作轴交于点，过点作轴的垂线，可得，再由，设，则，求出，，设，分三种情况讨论：当时，由，求出或；当时，，此时无解；当时，的中点，由，求出． 【详解】（1）解：将点代入， 得， 对称轴为直线， ， ， ， ， ， 抛物线的解析式为； （2）解：四边形是平行四边形 令，则， ， 令，则， 或， ，， 设直线的解析式为， ， ， ， 设，则， ， 当时，的长度最大， ，， ，， ， 平行于 四边形是平行四边形； （3）解：①过点作轴的垂线，过点作轴交于点，过点作轴的垂线， ∵轴， ， ， ， ，是的中点， ， ， ， ， 设， ， 解得（舍）或， ； ②存在点，使得为等腰三角形，理由如下： ∵， ∴， 设， 当时，， ， 或； 当时，， 此时无解； 当时，的中点， ， ， ， 综上所述：点的坐标为或或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，平行四边形的性质是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（本题3分）我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”．如粮库把运进30吨粮食记为“”，则“”表示（   ） A．运出20吨粮食 B．亏损20吨粮食 C．卖掉20吨粮食 D．吃掉20吨粮食 2．（本题3分）由开发的人工智能助手在全球范围内掀起了一股热潮，据国内产品榜统计数据，这款推理型AI聊天机器人在上线仅20天后，其日活跃用户数达22150000．将数据22150000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 3．（本题3分）下列因式分解结果正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（本题3分）已知点和点关于原点对称，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．（本题3分）如图，，直线分别截，于，，已知，则（　　） A． B． C． D． 6．（本题3分）下列命题中，是真命题的是（    ） A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B．过一点有无数条直线与已知直线平行 C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 D．直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离 7．（本题3分）为增强学校之间的友谊，某市举办联合篮球比赛，下表是A校篮球队员的身高： 身高 176 178 180 181 182 185 人数 1 2 3 2 1 1 下列说法正确的是（   ） A．篮球队员身高的众数是 B．篮球队员的平均身高是 C．篮球队员身高的中位数是 D．篮球队员身高的方差是 8．（本题3分）如表是代数式的值的情况，根据表格中的数据，可知方程的根是（   ） …… …… …… …… A．， B．， C．， D．， 9．（本题3分）如图，在四边形中，，连接，，，点是边上的点，连接，，，那么下列结论中：①；②；③；④，正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．（本题3分）如图，在菱形中，，．动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线运动到点，同时动点从点出发，以相同速度沿折线运动到点，当一个点停止运动时，另一点也随之停止．设的面积为，运动时间为秒．则下列图象能大致反映与之间函数关系的是（   ） A．B．C．D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（本题3分）下列说法中正确的结论有 ．（填序号） 若，互为相反数，则； 在数轴上表示的点与表示的点距离为个单位长度； 在数轴上原点及原点右边的点表示的数是非负数； －定是负数； 12．（本题3分）生物学研究表明，植物光合作用速率越高，单位时间内合成的有机物越多．为了解甲、乙、丙、丁四个品种大豆的光合作用速率，科研人员从这四个品种的大豆中各选五株，在同等实验条件下，测量它们的光合作用速率（单位：），统计结果如表： 品种 甲 乙 丙 丁 速率平均数 24 25 23 25 方差 7.6 15.6 6.8 4 则这四个大豆品种中光合作用速率又快又稳定的是 ． 13．（本题3分）2025年春晚吉祥物“巳（sì）升升”，是从中华传统文化中寻找的灵感，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，其形象既憨态可掬，又富有古意．某商店销售A，B两款“巳升升”吉祥物，已知A款吉祥物的单价比B款吉祥物的单价高20元．若顾客花800元购买A款吉祥物的数量与花600元购买B款吉祥物的数量相同，则A款吉祥物的单价为 元． 14．（本题3分）如图是由6个形状、大小完全相同的菱形组成的网格，菱形的顶点称为格点，已知菱形的一个角，点都在格点上，则的值是 ． 15．（本题3分）若关于x的方程的解是非负数，则m的取值范围为 ． 16．（本题3分）如图，已知平行四边形，，E、F分别为、上的点，连接，若于点E，且平分平行四边形的面积，过E作于点P，连接，则的最大值为 ． 三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本题6分）计算： 18．（本题6分）先化简，再求代数式的值，其中．． 19．（本题6分）脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋顶的仰角为，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋檐点的仰角为房屋的顶层横梁，，交于点(点，，在同一水平线上)．(参考数据：，，，，，) (1)求屋顶到横梁的距离； (2)求房屋的高(结果精确到)． 20．（本题8分）为了提高学生的阅读能力，我市某校开展了“读好书，助成长”的活动，购书前，对学生喜欢阅读的图书类型进行了抽样调查，如图所示，请根据统计图回答下列问题： 调查问卷（单项选择） 你最喜欢阅读的图书类型是（ ） A．文学名著 B．名人传记 C．科学技术 D．其他 (1)本次调查共抽取了_____名学生，两幅统计图中的_____，____． (2)已知该校共有3600名学生，请你估计该校喜欢阅读“A”类图书的学生约有多少人？ (3)学校将举办读书知识竞赛，九年级1班要在本班3名优胜者（2男1女）中随机选送2人参赛，求被选送的两名参赛者为一男一女的概率． 21．（本题8分）如图，在中，延长至点，使，过点作，且，连接交于点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 22．（本题9分）在众多的旅游城市中，历史悠久的南昌仿佛一夜之间绽放了它的独特魅力，吸引了无数游客的目光．万寿宫景点内的某商家为了抓住这一商机，购进，两种有关南昌城市景点的纪念品进行销售．已知种纪念品购进时的单价比种纪念品购进时的单价高元，用元购进种纪念品的数量是用元购进种纪念品的数量的两倍． (1)求，两种纪念品购进时各自的单价． (2)该商家决定购进，两种纪念品共个，若每个种纪念品的售价为元，每个种纪念品的售价为元，销售完这个纪念品所获得的利润不低于元，则该商家最少购进种纪念品多少个？ 23．（本题9分）如图，在中，D是的中点，过点D作的垂线交于点E，延长到点F，使得，连接，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的值． 24．（本题10分）综合与实践 数学课上，白老师提出如下问题：如图和均为等腰直角三角形，点分别在线段上，且．若为的中点，求的值． 数学思考： （1）解答白老师的问题． 深入探究： （2）白老师让同学们绕点逆时针旋转，旋转角度为，并让同学们提出新的问题． ①“善思小组”提出问题：如图2，研究发现点在以点为圆心，的长为半径的圆上运动，当与相切时，求的值． ②“智慧小组”提出问题：如图3，当绕点旋转时，所在直线与所在直线之间的夹角是否发生变化？若不变，请直接写出该夹角（锐角）的度数；若变化，请说明理由． 25．（本题10分）如图，已知抛物线与x轴交于点和，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点是线段上的一个动点（不与点，重合），过点作轴的平行线交抛物线于点，连接，当线段长度最大时，判断四边形的形状并说明理由； (3)如图2，在（2）的条件下，是的中点，过点的直线交抛物线于点，且． ①求点E的坐标． ②在轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$