第21章 代数方程（单元测试）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（沪教版） 

第21章 代数方程 章末复习巩固卷 （时间：90分钟，满分100分） 一、单选题（每题2分，共12分） 1．下列说法中，正确的是（    ） A．是二项方程 B．是分式方程 C．是无理方程 D．是二元二次方程组 【答案】D 【分析】根据二项方程、分式方程、无理方程、二元二次方程组的定义，逐项分析判断即可求解． 【详解】A. 不是二项方程，故该选项不正确，不符合题意；     B. 不是分式方程，故该选项不正确，不符合题意； C. 不是无理方程，故该选项不正确，不符合题意；     D. 是二元二次方程组，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了二项方程、分式方程、无理方程、二元二次方程组的定义，如果一元次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程，分母含有未知数的方程是分式方程，根号内含有未知数的方程是无理方程，掌握以上知识是解题的关键． 2．下列方程有实数解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查无理方程和分式方程，根据二次根式的性质，解无理方程和分式方程的步骤，逐一进行计算并判断即可． 【详解】解：A、方程可变为， ∵， ∴无实数根；不符合题意； B、， ∵，解得：， ∴不等式组无解， ∴方程无实数根；不符合题意； C、， 两边平方，得：，解得：或， 经检验，是原方程的根，是原方程的增根，舍去； ∴方程有实数解，符合题意； D、 方程去分母，得：， 移项，得：，此方程无实数根， ∴原方程无实数根，不符合题意； 故选C． 3．下列方程中，有一个根是的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解方程再检验，或把x=2代入选项中的每个方程，再逐个判断． 【详解】A.解方程， 方程两边都乘以x-2，得x=2， 检验：当x=2时，x-2=0，所以x=2是增根， 即x=2不是原方程的解，故A选项不符合题意； B.当x=2时，分母不等于0， 方程的左边=， 右边=0， 即左边=右边， 所以x=2是原方程的解，故本选项符合题意； C．当x=2时，中x-3＜0， 所以x=2不是方程的解，故本选项不符合题意； D．当x=2时，中x-6＜0， 所以x=2不是方程的解，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了解分式方程和解无理方程，注意：解分式方程和解无理方程的过程中都必须进行检验． 4．下列方程没有实数根的个数是（    ） （1），（2），（3），（4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据算术平方根的含义可判断A，通过解方程可判断B，根据未知数的取值范围可判断C，通过解方程可判断D，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴由算术平方根的含义可得方程无解； ∵， ∴， ∴， 解得：，经检验是原方程的解； ∵， 由，解得：， ∴不等式组无解， ∴原方程无解； ∵， ∴，经检验是增根， ∴原方程无解． ∴方程没有实数根的个数有3个， 故选C 【点睛】本题考查的是分式方程，无理方程有无解问题，选择合适的方法进行判断是解本题的关键． 5．已知，，均为整数且满足，则该方程组的解有（    ） A．2组 B．4组 C．8组 D．16组 【答案】D 【分析】本题考查求二元二次方程组的整数解，熟练掌握解二元二次方程组的方法是解题关键．两方程相加可得，关键，，均为整数得出，或，或，或，，即可得答案． 【详解】解： ①+②得：， ∴， ∵，，均为整数， ∴，或，或，或，， ∴该方程组的解有组， 故选：D． 6．《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是，且四周边衬的宽度相等，则边衬的宽度应是多少米？设边衬的宽度为米，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，根据题意找到等量关系，列出方程即可； 【详解】解：由题意可知：装裱后的宽度（单位：米）为：， 装裱后的长度（单位：米）为：， ∵装裱后，整幅图画宽与长的比是， ∴， 故选：D 二、填空题（每题3分，共36分） 7．请你设计一个关于的二项方程，使其同时满足以下条件：①该方程为6次方程；②最高次项的系数为5；③在实数范围内有解，则这个方程可以是 ．（只需写出一个） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题意，写出方程，即可求解． 【详解】解：根据题意得：这个方程可以是． 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】本题主要考查了二项方程，根据题意，写出方程是解题的关键． 8．方程的根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解特殊的高次方程，熟练掌握解法是解决本题的关键． 本题中移项，得，将问题转化为求一个已知数的n次方根的问题． 【详解】解：， ， 故答案为： 9．方程实数根的个数有 个． 【答案】2 【分析】利用移项两边平方转化为一元二次方程求解即可. 【详解】由 得 两边平方，得： ， 经检验：把，代入方程，都是原方程的解． 实数根的个数有个. 故答案为 【点睛】本题考查了无理方程的求解,选择合适的办法把无理方程转化为一元二次方程是解题的关键. 10．把方程化为两个二元一次方程，它们是 和 ． 【答案】 【分析】先把方程左边分解得到，则原方程可转化为或． 【详解】解：∵， ∴， ∴或． 故答案为：；． 【点睛】本题考查了解一元二次方程的因式分解法，解题的关键是通常利用换元法或因式分解法把高次方程化为一元二次方程求解． 11．方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解高次方程，先将方程①整理得，根据可得． 【详解】解： 由①得， 把② 代入上式得， ∴， ∵ ∴ ∴， 故答案为：． 12．如果关于x的无理方程没有实数根，那么m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据关于x的无理方程没有实数根，可知，从而可以求得k的取值范围． 【详解】由可得，， ∵关于x的无理方程没有实数根， ∴没有实数根， 解得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查无理方程，解题的关键是明确无理方程的解答方法，无实数根应满足什么条件． 13．用换元法解方程时，如果设，那么原方程可化为关于y的整式方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解法—换元法，换元法的一般步骤为：设元，换元，解元，还原． 根据换元法的步骤进行化简即可． 【详解】解：设， 则原方程可化为： 整理，得 故答案为：． 14．由于商品乙比商品甲每件贵4元，所以花24元买甲商品的件数比买乙商品的件数多1件，如果设甲商品每件x元，那么可列出方程： ． 【答案】 【分析】如果设甲商品每件x元，那么商品乙每件元，根据“花24元买甲商品的件数比买乙商品的件数多1件”，列出方程即可求解． 【详解】解：设甲商品每件x元，那么商品乙每件元，根据题意得， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了列分式方程，根据题意列出方程是解题的关键． 15．已知和是方程的两个解，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了方程的解的定义，理解方程解的定义是解题的关键．将，代入方程，求出的值即可求解． 【详解】将，代入方程得， ，解得， ． 故答案为：3． 16．方程组有两组相等的实数解，则的值为 ． 【答案】 【分析】将方程②变形为，代入①式中，根据一元二次方程有2个相等实根进行求解即可 【详解】 由②得③， 将③代入①得：， 整理得：， 原方程组有两组相等的实数解， 则， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元二次方程有相等实数解，转化为一元二次方程有相等实数解是解题的关键． 17．两个工程队开凿一条隧道，甲队先独立施工1周完成总工程的，这时乙队加入施工，两队又共同施工了5天，隧道被挖通．记总工程量为1． （1）甲队单独施工1天完成总工程的 ； （2）设乙队单独施工挖通隧道需要x天，根据题意，列出方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． （1）根据甲队先独立施工1周完成总工程的求出甲队单独施工1天完成总工程的分数即可； （2）将整个工程量看作单位1，用甲队完成的量乙队完全的量列出方程即可． 【详解】解：（1）∵甲队先独立施工1周完成总工程的， ∴甲队单独施工1天完成总工程的； 故答案为：； （2）设乙队单独施工挖通隧道需要x天，根据题意得： ． 故答案为：． 18．对于两个不相等的有理数我们规定符号表示中的较大值，如：，按照这个规定，方程的解为 ． 【答案】或 【分析】分类讨论与的大小情况，利用题中的新定义得出对应方程，求解即可． 【详解】解：（1）当时，方程整理得：， 去分母得：， 解得：， 经检验是分式方程的解； （2）当时，方程整理得：， 去分母到：， 解得：， 经检验是分式方程的解． 故答案为：或． 【点睛】此题考查了解分式方程，关键在于理解把新定义方程转化为对应的分式方程，分情况讨论注意要验根，避免增根． 三、解答题 19．（6分）解方程： 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 【详解】解：原方程变形得：， 两边同乘得：， 整理得：， 即， 解得：， 经检验，是原分式方程的解． 20．（6分）解方程： 【答案】 【分析】本题考查了无理方程的解法． 先把移到等号的右边，再两边进行平方，得到，解一元二次方程从而得出x的值，再进行检验即可. 【详解】解：将原方程移项得， 两边平方得， 化简得， 移项、合并同类项得， 解得或， ∵ ∴不是原方程的解， ∴原方程的解为. 21．（6分）解方程组：． 【答案】或或或 【分析】本题考查了解二元二次方程组，利用因式分解法解方程是解题的关键．利用因式分解法对每个方程进行化简，再联立化简后的方程即可求解． 【详解】解：， 由①得，， 解得：或， 由②得，， 解得：或， 当，时，解得； 当，时，解得； 当，时，解得； 当，时，解得； 综上所述，方程组的解为或或或． 22．（8分）解方程组：． 【答案】或 【分析】本题主要考查了解二元二次方程组，解分式方程，先把方程①左边通分，再把方程②代入方程③中求出x、y的关系式，再代入②中解方程即可得到答案． 【详解】解： 由①得 ， 把②代入③得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 当时，，当时，， 经检验，和都是原方程的解，且符合题意， ∴原方程的解为或． 23．（8分）若关于x的方程有且只有一个实数根，求实数k的所有可能值． 【答案】或 或或 【分析】先去分母，将该分式方程化为整式方程，再分为方程是一次方程、方程为有两个相等的实数根的二次方程、方程有两个不相等的实数根但其中一个为增根三种情况进行讨论即可． 【详解】解：左右两边同时乘以得：， 整理得：， ①当，即时， 原方程为：，解得：， ∴时，方程有且只有一个实数根； ②当且时， ， 解得：， 当时，， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解， ∴，方程有且只有一个实数根； ③当且时， ∵， ∴或； 把代入得， 解得：， 把代入得， 解得：， 检验：当时，，当时，， ∴是原分式方程的解， ∴时，方程有且只有一个实数根； 把代入得， 解得：， 把代入得， 解得：， 检验：当时，，当时，， ∴是原分式方程的解， ∴时，方程有且只有一个实数根； 综上：k的值为或 或或． 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，一元二次方程，分式方程，解题的关键是掌握根的一元二次方程判别式和分式方程有增根的情况． 24．（8分）随着人们“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，给自行车商家带来商机．某自行车行经营的一种自行车一月份的销售总额为元，二月份商家促销，该种自行车的销售单价比一月份降低50元，销售数量是一月份的2倍，销售总额能达到元，求一月份该种自行车的销售单价． 【答案】一月份该种自行车的销售单价为元 【分析】本题考查分式方程的应用，设一月份该种自行车的销售单价为元，根据该种自行车的销售单价比一月份降低元，销售数量是一月份的2倍，销售总额能达到元，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设一月份该种自行车的销售单价为元，由题意得： ， 解得：； 经检验是原方程的解； 答：一月份该种自行车的销售单价为元． 25．（12分）某个周末，兄弟两人跑步锻炼，从A地出发，沿相同路线跑步2160米到达B地，已知哥哥的跑步速度是弟弟的倍，所以哥哥让弟弟先跑6分钟，然后从后面追赶，最后两人同时到达终点．求哥哥和弟弟平均每分钟跑多少米？ 【答案】哥哥平均每分钟跑180米，弟弟平均每分钟跑120米 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据哥哥让弟弟先跑6分钟列方程求解，然后检验即可． 【详解】解：设弟弟每分钟跑x米，则哥哥每分钟跑米， 由题意，得：， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 所以哥哥每分钟跑（米）； 答：哥哥平均每分钟跑180米，弟弟平均每分钟跑120米． 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第21章 代数方程 章末复习巩固卷 （时间：90分钟，满分100分） 一、单选题（每题2分，共12分） 1．下列说法中，正确的是（    ） A．是二项方程 B．是分式方程 C．是无理方程 D．是二元二次方程组 2．下列方程有实数解的是（   ） A． B． C． D． 3．下列方程中，有一个根是的方程是（    ） A． B． C． D． 4．下列方程没有实数根的个数是（    ） （1），（2），（3），（4） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．已知，，均为整数且满足，则该方程组的解有（    ） A．2组 B．4组 C．8组 D．16组 6．《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是，且四周边衬的宽度相等，则边衬的宽度应是多少米？设边衬的宽度为米，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（每题3分，共36分） 7．请你设计一个关于的二项方程，使其同时满足以下条件：①该方程为6次方程；②最高次项的系数为5；③在实数范围内有解，则这个方程可以是 ．（只需写出一个） 8．方程的根是 ． 9．方程实数根的个数有 个． 10．把方程化为两个二元一次方程，它们是 和 ． 11．方程组的解是 ． 12．如果关于x的无理方程没有实数根，那么m的取值范围是 ． 13．用换元法解方程时，如果设，那么原方程可化为关于y的整式方程是 ． 14．由于商品乙比商品甲每件贵4元，所以花24元买甲商品的件数比买乙商品的件数多1件，如果设甲商品每件x元，那么可列出方程： ． 15．已知和是方程的两个解，则 ． 16．方程组有两组相等的实数解，则的值为 ． 17．两个工程队开凿一条隧道，甲队先独立施工1周完成总工程的，这时乙队加入施工，两队又共同施工了5天，隧道被挖通．记总工程量为1． （1）甲队单独施工1天完成总工程的 ； （2）设乙队单独施工挖通隧道需要x天，根据题意，列出方程为 ． 18．对于两个不相等的有理数我们规定符号表示中的较大值，如：，按照这个规定，方程的解为 ． 三、解答题 19．（6分）解方程： 20．（6分）解方程： 21．（6分）解方程组：． 22．（8分）解方程组：． 23．（8分）若关于x的方程有且只有一个实数根，求实数k的所有可能值． 24．（8分）随着人们“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，给自行车商家带来商机．某自行车行经营的一种自行车一月份的销售总额为元，二月份商家促销，该种自行车的销售单价比一月份降低50元，销售数量是一月份的2倍，销售总额能达到元，求一月份该种自行车的销售单价． 25．（12分）某个周末，兄弟两人跑步锻炼，从A地出发，沿相同路线跑步2160米到达B地，已知哥哥的跑步速度是弟弟的倍，所以哥哥让弟弟先跑6分钟，然后从后面追赶，最后两人同时到达终点．求哥哥和弟弟平均每分钟跑多少米？ 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$