专题02 代数方程 阶段单元复习（十大题型）-2024-2025学年八年级数学下学期期中期末挑战满分冲刺卷（沪教版，上海专用）

专题02 代数方程 阶段单元复习（十大题型） 目录： 题型1：概念辨析 题型2：二项方程求解及求参 题型3：概念填空、要求填写 题型4：解代数方程 题型5：换元法 题型6：分式方程增根无解问题 题型7：判断有无实数根及求参 题型8：列方程（组）解应用题 题型9：新定义题 题型10：解答题 题型1：概念辨析 1．下列关于的方程中，二项方程是（    ） A． B． C． D． 2．下列方程组是二元二次方程组的是（  　  ） A． B． C． D． 3．下列关于的方程中，属于分式方程的是（   ） A． B． C． D． 4．下列方程中：、；、；、；、，属于高次方程的是 ． 5．下列说法正确的是（    ） A．是二项方程 B．是无理方程 C．是分式方程 D．是二元二次方程 6．下列说法中，正确的是（    ） A．是二项方程 B．是分式方程 C．是无理方程 D．是二元二次方程组 题型2：二项方程求解及求参 7．已知关于的方程是二项方程，那么 ． 8．已知关于的方程是二项方程，那么 ． 9．方程的解是 ．（保留三位小数）． 10．二项方程的实数解是 ． 11．关于x的方程的解是 ． 题型3：概念填空、要求填写 12．请你设计一个关于的二项方程，使其同时满足以下条件：①该方程为6次方程；②最高次项的系数为5；③在实数范围内有解，则这个方程可以是 ．（只需写出一个） 13．试写出一个二元二次方程，使该方程有一个解是，你写的这个方程是 写出一个符合条件的即可． 14．方程组 二元二次方程组（填“是”或“不是”）． 15．二元二次方程可以化为两个一次方程，它们是 ． 题型4：解代数方程 16．方程的解是 ． 17．方程组的解是 ． 18．方程的根为 ． 19．方程组的解是 ． 20．已知和是方程的两个解，则 ． 题型5：换元法 21．用换元法解分式方程时，如果设，并将原方程化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是（    ） A． B． C． D． 22．用换元法解关于x的方程，如果设，那么原方程可化为（    ） A． B． C． D． 题型6：分式方程增根无解问题 23．已知关于的分式方程有增根，那么的值是 ． 24．如果关于的方程有增根，那么 ． 25．若关于的分式方程无解，则的值为 ． 题型7：判断有无实数根及求参 26．下列方程有实数解的是（   ） A． B． C． D． 27．下列方程有实数根的是（    ） A． B． C． D． 28．下列关于x的方程中，一定有实数根的方程是（    ） A． B． C． D．（a、b均为实数） 29．如果方程无实数解，那么的取值范围是 ． 30．如果关于x的无理方程没有实数根，那么m的取值范围是 ． 31．关于x的方程有两个不相等的实数解，则k的范围为 ． 32．方程组的解有（   ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 33．写出二元二次方程的一对整数解是 ． 34．方程组有 组解． 35．关于的方程的解为负数，则的取值范围是 ． 36．二元二次方程组的解的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 37．方程组有实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 38．方程组的解只有一组，则的取值范围是 ． 题型8：列方程（组）解应用题 39．某企业的年产值从2006年的2亿元增长到2009年的7亿元，如果这三年的年平均增长率相同，均为x，那么可以列出方程为 ． 40．防汛前夕，某施工单位准备对黄浦江一段长的江堤进行加固，由于采用新的加固模式，现计划每天加固的长度比原计划增加，因而完成江堤加固工程所需天数将比原计划缩短2天，若设现在计划每天加固江堤，则得方程为 ． 41．随着绿色发展理念的倡导，新能源汽车逐渐普及，市民对充电桩的使用需求日益增强，某停车场计划购买A、B两种型号的充电桩，已知B型充电桩比A型充电桩的单价多0.4万元，且用10万元购买A型充电桩与用12万元购买B型充电桩的数量相等．设A型充电桩的单价是x万元，那么根据题意可列方程 ． 题型9：新定义题 42．定义：如果一个关于的分式方程的解是，那么我们把这样的分式方程称为和解方程．例如方程就是和解方程．已知关于的分式方程是和解方程，那么的值是 ． 43．数学的美无处不在，数学家们研究发现弹拨琴弦发出声音的音调高低取决于弦的长度，如三根弦长之比为，把它们绷得一样紧，用同样的力度弹拨，它们将分别发出很调和的乐声：，，研究15，12，10这三个数的倒数发现：，此时我们称，，为一组调和数，现有三个数：6，4，，若要组成调和数，则的值为 ． 题型10：解答题 44．（1）解方程：     （2）解方程组： 45．解方程： 46．解方程组： 47．解方程： (1) (2) 48．（1）解方程：． （2）解方程组：． 49．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为万元． (1)要使一年的总运费与总存储费用之和不超过200万元，则每次购买量应控制在什么范围？ (2)要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次应购买多少吨? 50．前年甲厂全年的产值比乙厂多12万元，在其后的两年内，两个厂的产值都有所增加：甲厂每年的产值比上一年递增10万元，而乙厂每年的产值比上一年增加相同的百分数．去年甲厂全年的产值仍比乙厂多6万元，而今年甲厂全年产值反而比乙厂少3.2万元．前年甲乙两车全年的产值分别是多少？乙厂每年的产值递增的百分数是多少？ 51．今年本市蜜桔大丰收，某水果商销售一种蜜桔，成本价为10元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量（千克）与销售价（元/千克）之间的函数关系如图所示： （1）求与之间的函数关系式； （2）该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？ ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 代数方程 阶段单元复习（十大题型） 目录： 题型1：概念辨析 题型2：二项方程求解及求参 题型3：概念填空、要求填写 题型4：解代数方程 题型5：换元法 题型6：分式方程增根无解问题 题型7：判断有无实数根及求参 题型8：列方程（组）解应用题 题型9：新定义题 题型10：解答题 题型1：概念辨析 1．下列关于的方程中，二项方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二项方程的概念：如果一元n次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程，关于x的一元n次二项方程的一般形式为：（是正整数）；根据此定义进行判断即可． 【解析】解：A、方程左边含有未知数的两个项，缺少非零的常数项，且右边不为零，故不符合二项方程的定义； B、方程左边含有未知数的两个项，缺少非零的常数项，故不符合二项方程的定义； C、方程左边只含有未知数的一项，缺少非零的常数项，故不符合二项方程的定义； D、符合二项方程的定义； 故选：D． 2．下列方程组是二元二次方程组的是（  　  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元二次方程组的定义，掌握二元二次方程组的概念是解决本题的关键．根据二元二次方程组的定义，逐个判断得结论． 【解析】解：．此方程组为二元一次方程组，不是二元二次方程组，故A错误； B．含分式方程，不是二元二次方程组，故B错误； C．是二元二次方程组，故C正确； D．含无理方程，不是二元二次方程组，故D错误． 故选：C． 3．下列关于的方程中，属于分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了分式方程的定义，掌握分式方程的定义：分母中含有未知数的有理方程是解本题的关键．根据分式方程的定义，判断即可得到结果． 【解析】解：、分母中不含未知数，故本选项不符合题意； 、分母中不含未知数，故本选项不符合题意； 、是无理方程，故本选项不符合题意； 、是分式方程，故本选项符合题意； 故选：． 4．下列方程中：、；、；、；、，属于高次方程的是 ． 【答案】 【分析】本题考查高次方程的定义，高次方程是指次数大于次的方程，根据定义即可判断． 【解析】解： 是四次方程； 不是高次方程； 不是高次方程； 是二次方程，不是高次方程． 故答案为: ． 5．下列说法正确的是（    ） A．是二项方程 B．是无理方程 C．是分式方程 D．是二元二次方程 【答案】D 【分析】根据二项方程的定义，无理方程的定义，二元二次方程的定义，分式方程的定义逐个判断即可． 【解析】解：A．方程的左边两项都含未知数，故本选项不符合题意； B．根号内没有未知数，不是无理方程，故本选项不符合题意； C．分母中不能未知数，不是分式方程，故本选项不符合题意； D．方程是二元二次方程，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了二项方程、无理方程、二元二次方程、分式方程的定义等知识点，注意：根号内含有未知数的方程，叫无理方程，分母中含有未知数的方程，叫分式方程． 6．下列说法中，正确的是（    ） A．是二项方程 B．是分式方程 C．是无理方程 D．是二元二次方程组 【答案】D 【分析】根据二项方程、分式方程、无理方程、二元二次方程组的定义，逐项分析判断即可求解． 【解析】A. 不是二项方程，故该选项不正确，不符合题意；     B. 不是分式方程，故该选项不正确，不符合题意； C. 不是无理方程，故该选项不正确，不符合题意；     D. 是二元二次方程组，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了二项方程、分式方程、无理方程、二元二次方程组的定义，如果一元次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程，分母含有未知数的方程是分式方程，根号内含有未知数的方程是无理方程，掌握以上知识是解题的关键． 题型2：二项方程求解及求参 7．已知关于的方程是二项方程，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查高次方程，利用方程的项数得出方程不含一次项是解题的关键． 根据二项方程可得不含这一项解题即可． 【解析】解：∵方程是二项方程， ∴，即， 故答案为：． 8．已知关于的方程是二项方程，那么 ． 【答案】1 【分析】本题考查了高次方程．利用方程的项数得出方程不含一次项，列式计算可得答案． 【解析】解：由题意，得： ． 故答案为：1． 9．方程的解是 ．（保留三位小数）． 【答案】 【分析】先求出，再利用计算器求出即可． 【解析】解：， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解高次方程和近似数和有效数字，能求出是解此题的关键． 10．二项方程的实数解是 ． 【答案】 【分析】本题考查高次方程的解法，关键在于降次，利用开平方降次是关键．先求的解，再求实数解即可． 【解析】解：， ， ， （负值舍去）， ， 故答案为：． 11．关于x的方程的解是 ． 【答案】 【分析】由，在方程两边都除以即可得到方程的解. 【解析】解：∵， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查的是含参数的一元一次方程的解法，掌握解参数方程的方法是解题的关键. 题型3：概念填空、要求填写 12．请你设计一个关于的二项方程，使其同时满足以下条件：①该方程为6次方程；②最高次项的系数为5；③在实数范围内有解，则这个方程可以是 ．（只需写出一个） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题意，写出方程，即可求解． 【解析】解：根据题意得：这个方程可以是． 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】本题主要考查了二项方程，根据题意，写出方程是解题的关键． 13．试写出一个二元二次方程，使该方程有一个解是，你写的这个方程是 写出一个符合条件的即可． 【答案】（答案不唯一） 【分析】二元二次方程指含有两个未知数，含未知数的项的次数最高是2，由此写出一个符合题意的方程即可； 【解析】解：， ， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了方程中元和次数概念：在方程中“元”是指未知数的个数；次数是指含有未知数的项（单项式）的最高次数；掌握相关概念是解题关键． 14．方程组 二元二次方程组（填“是”或“不是”）． 【答案】是 【分析】本题考查二元二次方程的定义，根据两个整式方程，共含有2个未知数，含未知数的项的最高次数为2，组成的方程组叫做二元二次方程组，进行判断即可． 【解析】解：方程组是二元二次方程组； 故答案为：是． 15．二元二次方程可以化为两个一次方程，它们是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，把看成常量，把看成常量，方程就是关于的一元二次方程，利用因式分解法化为两个一次方程即可，方程看成关于的一元二次方程是解决本题的关键． 【解析】解：， ， ，． 故答案为：，． 题型4：解代数方程 16．方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，特别注意解分式方程时必须进行检验． 根据解分式方程的步骤解方程即可． 【解析】解：原方程两边同乘得：， 整理得：， 因式分解得：， 解得：， 将代入中可得； 将代入中可得； 则是原方程的增根， 故原分式方程的解为：． 故答案为：． 17．方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了加减法解分式方程组；两式相减即可求得y，再求出x的值即可． 【解析】解： 得：， 解得； 把代入①得：， 解得：， 故； 经检验是原方程组的解． 18．方程的根为 ． 【答案】 【分析】本题考查解无理方程，根据几个式子的积为0，则必有一个因式为0，进行求解即可． 【解析】解：∵， ∴或或， ∴或或， 检验：当或时，，无意义，当时，满足题意； ∴方程的根为：． 故答案为： 19．方程组的解是 ． 【答案】或 【分析】本题考查解二元二次方程组，一元二次方程，代入消元法，将方程组先转化为一元二次方程，再进行求解即可． 【解析】解： 由②得：③； 把③代入①，得：，解得：， ∴， ∴方程组的解为：或； 故答案为：或 20．已知和是方程的两个解，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了方程的解的定义，理解方程解的定义是解题的关键．将，代入方程，求出的值即可求解． 【解析】将，代入方程得， ，解得， ． 故答案为：3． 题型5：换元法 21．用换元法解分式方程时，如果设，并将原方程化为关于y的整式方程，那么这个整式方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了分式方程，把原方程变为，把代入后整理即可得到答案. 【解析】解： 由得，， 设， 可化为，， ∴ ∴ 故选：D 22．用换元法解关于x的方程，如果设，那么原方程可化为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了如何用换元法解分式方程，解题时要注意对方程进行化简． 先把代入方程，在进行化简即可求出结果． 【解析】解：如果设， 则关于x的方程可化为：， 可化为：， 故选：A． 题型6：分式方程增根无解问题 23．已知关于的分式方程有增根，那么的值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了分式方程的增根，解分式方程，先根据解分式方程的方法求出，再根据分式方程有增根，得出，则，即可得出关于a的方程，解方程即可． 【解析】解：， 即， ∴， ∴， 解得：， ∵分式方程有增根， ∴， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：3． 24．如果关于的方程有增根，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．将方程化为整式方程得：，再将增根代入即可得到答案． 【解析】解：将方程化为整式方程得：， 原方程有增根， ，即， 把代入得： ， 解得； 故答案为：． 25．若关于的分式方程无解，则的值为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了分式方程的解及解分式方程．根据分式的性质化简，再根据解分式方程的方法求解，由分式方程无解（分式的分母为零，或解是分式，其分母为零）即可判定的值，掌握解分式方程的方法是解题的关键． 【解析】解： ， ， 等式两边同时乘以得， ， 去括号得，， 移项得， ， 合并同类项得，， 系数化为得，， ∵分式方程无解，即或或， 即或或， ∴，解得，， ，解得，， 综上所述，的值为或或， 故答案为： 或或． 题型7：判断有无实数根及求参 26．下列方程有实数解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查无理方程和分式方程，根据二次根式的性质，解无理方程和分式方程的步骤，逐一进行计算并判断即可． 【解析】解：A、方程可变为， ∵， ∴无实数根；不符合题意； B、， ∵，解得：， ∴不等式组无解， ∴方程无实数根；不符合题意； C、， 两边平方，得：，解得：或， 经检验，是原方程的根，是原方程的增根，舍去； ∴方程有实数解，符合题意； D、 方程去分母，得：， 移项，得：，此方程无实数根， ∴原方程无实数根，不符合题意； 故选C． 27．下列方程有实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，乘方的意义，算术平方根的意义，分式方程有意义的条件，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．根据一元二次方程根的判别式、偶次方的意义、算术平方根的意义、以及分式方程的解逐项分析即可． 【解析】解：A、， ∵， ∴一元二次方程有两边不相等的实数根，故A符合题意； B、∵， ∴， ∵， ∴无实数根，故B不符合题意； C、∵，， ∴方程无实数根，故C不符合题意； D、， 去分母得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解，故D不符合题意． 故选：A． 28．下列关于x的方程中，一定有实数根的方程是（    ） A． B． C． D．（a、b均为实数） 【答案】A 【分析】本题考查了无理方程，通过立方根可判断A，通过平方的非负性可判断B，通过二次根式的非负性可判断C，令可判断D． 【解析】解：A，，移项得，解得，一定有实数根，符合题意； B，，移项得，由平方的非负性可知该方程没有实数根，不合题意； C，，移项得，由二次根式的非负性可知该方程没有实数根，不合题意； D，（a、b均为实数），当时，该方程没有实数根，不合题意； 故选A． 29．如果方程无实数解，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解无理方程和解一元一次不等式，能根据算术平方根的非负性得出是解此题的关键．移项后得出，根据算术平方根的非负性得出，求出此时，再求出的取值范围即可． 【解析】解：， ， ， 若方程无实数解，必须， ， 故答案为：． 30．如果关于x的无理方程没有实数根，那么m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据关于x的无理方程没有实数根，可知，从而可以求得k的取值范围． 【解析】由可得，， ∵关于x的无理方程没有实数根， ∴没有实数根， 解得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查无理方程，解题的关键是明确无理方程的解答方法，无实数根应满足什么条件． 31．关于x的方程有两个不相等的实数解，则k的范围为 ． 【答案】 【分析】利用平方法将原方程转化为一元二次方程，然后根据判别式的意义，一元二次方程根与系数的关系，列出不等式，解不等式即可． 【解析】解：， ， ∴， ∵关于x的方程有两个不相等的实数解， ∴， 解得， 又∵，原方程有两个不相等的实数解， 设， ∴， ∴，即 解得： 故答案为：． 【点睛】此题考查了一元二次方程的根的判别式：当0，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． 32．方程组的解有（   ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】A 【分析】本题考查解二元二次方程组，根据多项式乘多项式的积为0，则每一个多项式均为0，求出的值，结合，求出方程组的解，即可． 【解析】解：由，得： 或， ∴或， 把代入，得：， 把代入，得：，此方程无解， ∴原方程组的解为：，只有1组； 故选A． 33．写出二元二次方程的一对整数解是 ． 【答案】（任意写一组即可） 【分析】根据整数解的条件先确定正整数解，再确定负整数解及其他即可． 【解析】解：∵， ∴其整数解为或或或 或或或或； 故答案为：（任意写一组即可） 【点睛】本题考查的是二元二次方程的整数解，熟练的求解二元二次方程的整数解是解本题的关键． 34．方程组有 组解． 【答案】3 【分析】由可得或，再分当时和当时，分别进行计算即可得到答案． 【解析】解：， 或， 或， 当时，， ， 当时，， 解得：或， 或， 方程组的解为：或或，共有3组解， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了解二元二次方程组，由得出或是解题的关键． 35．关于的方程的解为负数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查分式方程的解，分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解为负数，求出a的范围即可．解题的关键是注意分式的分母不能为0． 【解析】解：， 去分母，得， 移项，合并同类项，得， 解得， 由解为负数得， 解得， ， ， 解得， 的取值范围是且， 故答案为：且． 36．二元二次方程组的解的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由①得x-y=0或x+2y=0，原方程组可变为：或，然后用代入消元法求解即可． 【解析】， 由①得 (x-y)(x+2y)=0， ∴x-y=0或x+2y=0， ∴原方程组可变为： 或， 由③得 x=y， 把x=y代入④得 y2+4y=-2， 解得 y=-2±， ∴，； 由⑤得 x=-2y， 把x=-2y代入⑥得 4y2+4y+2=0，即2y2+2y+1=0， ∆=4-8=-4＜0， ∴此时方程无实数根， 综上可知，方程组有两组解：，． 故选B． 【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法，熟练掌握代入消元法是解答本题的关键． 37．方程组有实数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】①②得出，求出，根据方程组有实数解得出，再求出k的取值范围即可． 【解析】解：， ①②，得，即， ∵方程组有实数解， ∴一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了解高次方程组和一元二次方程根的判别式，方程组消元转化成一元二次方程是解此题的关键． 38．方程组的解只有一组，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据条件表示方程组的解，再求的范围． 【解析】解：， 由，得或， ，． 当时，代入得：， 原方程组的一组解为：， 当时，代入得：， 原方程只有一组解， 无解， ． ． 故答案为：． 【点睛】本题考查二元二次方程组的解，根据第一个方程，求得，是解题的关键． 题型8：列方程（组）解应用题 39．某企业的年产值从2006年的2亿元增长到2009年的7亿元，如果这三年的年平均增长率相同，均为x，那么可以列出方程为 ． 【答案】 【分析】设这三年的年平均增长率为，根据题意列出一元三次方程即可求解． 【解析】解：设这三年的年平均增长率为，根据题意可得， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元三次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 40．防汛前夕，某施工单位准备对黄浦江一段长的江堤进行加固，由于采用新的加固模式，现计划每天加固的长度比原计划增加，因而完成江堤加固工程所需天数将比原计划缩短2天，若设现在计划每天加固江堤，则得方程为 ． 【答案】 【分析】解：设现在计划每天加固江堤，则原计划每天加固江堤，根据“现在完成江堤加固工程所需天数将比原计划缩短2天”即可列出方程． 【解析】解：设现在计划每天加固江堤，则原计划每天加固江堤， 根据题意得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 41．随着绿色发展理念的倡导，新能源汽车逐渐普及，市民对充电桩的使用需求日益增强，某停车场计划购买A、B两种型号的充电桩，已知B型充电桩比A型充电桩的单价多0.4万元，且用10万元购买A型充电桩与用12万元购买B型充电桩的数量相等．设A型充电桩的单价是x万元，那么根据题意可列方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 根据“10万元购买A型充电桩与用12万元购买B型充电桩的数量相等”列方程即可． 【解析】解：设A型充电桩的单价是x万元，则B型充电桩的单价为万元， 根据题意得， 故答案为：． 42．定义：如果一个关于的分式方程的解是，那么我们把这样的分式方程称为和解方程．例如方程就是和解方程．已知关于的分式方程是和解方程，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了方程的解，解分式方程，先求出分式方程的解，再根据和解方程的定义列出关于的分式方程，解方程即可求解，理解和解方程的定义是解题的关键． 【解析】解：解分式方程得，， ∵关于的分式方程是和解方程， ∴， ∴， 故答案为：． 题型9：新定义题 43．数学的美无处不在，数学家们研究发现弹拨琴弦发出声音的音调高低取决于弦的长度，如三根弦长之比为，把它们绷得一样紧，用同样的力度弹拨，它们将分别发出很调和的乐声：，，研究15，12，10这三个数的倒数发现：，此时我们称，，为一组调和数，现有三个数：6，4，，若要组成调和数，则的值为 ． 【答案】或 【分析】根据新定义分类讨论列式求解即可得到答案； 【解析】解：由题意可得， ①当时， 解得：， 经检验，是原分式方程的解； ②当时， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 故答案为：或； 【点睛】本题考查新定义的运算，解分式方程，解题的关键是读懂新运算列式求解． 题型10：解答题 44．（1）解方程：     （2）解方程组： 【答案】（1）（2）或 【分析】本题考查了解二元二次方程组和换元法解一元二次方程，熟练掌握解二元二次方程组和换元法解一元二次方程是本题的关键． （1）设，原方程化为，解一元二次方程求解即可； （2）先把方程组化为或，再解方程组即可． 【解析】（1）解：将原方程变形为：， 设， 原方程化为， 解得：， 当时，，解得， 当时，无解， 检验：把代入原方程，适合， 原方程的解是； （2）解：， ， ， 或， 解得：或． 45．解方程： 【答案】 【分析】本题考查解无理方程，设，则：方程变为：，移项后，利用平方法解方程求出的值，再根据，求出的值即可，注意要进行检验． 【解析】解：设，方程变为：， ∴， ∴，解得：， 将方程两边平方，得：， 移项，得：， 解得：，（舍掉）； ∴， 解得：， 经检验：是原方程的根， ∴原方程的解为：． 46．解方程组： 【答案】或或或 【分析】本题考查了解无理方程，解一元二次方程等知识，先把原方程组变形为，然后令，，则原方程组转化为，解方程组求出m、n，则得出或，然后分别求解即可． 【解析】解∶ ∵， ∴方程②变形为， 令，， ∴原方程组转化为， 由③得，， 把代入④，得， 解得，， 当时，； 当时，， ∴或， 解方程组， ∵，即， ∴， ∴， 联立方程组或 解得或； 解方程组， ∵，即， ∴， ∴， 联立方程组或 解得或； 综上，方程组的解为或或或． 47．解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将分式方程去分母整理成一元二次方程求解即可； （2）两边同时平方整理成一元二次方程求解即可． 【解析】（1）解： ， 两边同乘得：， 整理得：， 解得：，， 经检验，，是该分式方程的解： （2）解：由题意得：， 两边同时平方得：， 两边再平方整理得：， 解得：或， 经检验，不符合题意，舍， ∴； 【点睛】本题考查了可化为一元二次方程的分式方程与无理方程，把分式方程与无理方程转化为整式方程是关键． 48．（1）解方程：． （2）解方程组：． 【答案】（1）；（2）； 【分析】此题主要考查了解分式方程和解二元二次方程组，解答（1）得关键是熟练掌握利用去分母把分式方程转化为整式方程得方法与技巧，由于去分母把分式方程转化为整式方程，扩大了未知数得取值范围，因此会产生增根，所以必须验根，这也是解答此类问题的易错点之一；解答（2）得关键是熟练掌握把二元二次方程组转化为两个二元一次方程组的方法与技巧． （1）首先把原方程转化为，再去分母，将方程两边同时乘以得，然后解这个整式方程求出，最后再验根即可得出原方程的解； （2）先将转化为，进而得，据此可将原方程中转化为①，②，然后解这两个二元一次方程组即可得出原方程中的解． 【解析】解：（1）原方程可转化为， 去分母，方程两边同时乘以，得：， 整理得：， 解得：，， 检验：当时，， 当时，， 是增根， 原方程的解为：； （2）由，得：， ， 原方程中可转化为①，②， 解①得：； 解②得：． 原方程组的解为：；． 49．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为万元． (1)要使一年的总运费与总存储费用之和不超过200万元，则每次购买量应控制在什么范围？ (2)要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次应购买多少吨? 【答案】(1) (2)20 【分析】（1）根据一年的总运费与总存储费用之和不超过200万元，可建立不等式，从而可求每次购买量的范围； （2）设某公司每次都购买x吨，由于一年购买某种货物400吨，可求出购买的次数，从而求得一年的总运费与总存储费用之和，利用配方法可得答案． 【解析】（1）解：根据题意得：， 解得， ∴每次购买量在大于或等于10吨，小于或等于40吨的范围内； （2）一年的总运费与总存储费用之和为 ∵， ∴，即， 即：时，一年的总运费与总存储费用之和最小． 解得：时， ∴每次购买20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小．最小为万元． 【点睛】本小题主要考查函数模型的选择与应用、基本不等式求最值，属于基础题．解决实际问题的关键是选择好分式函数模型． 50．前年甲厂全年的产值比乙厂多12万元，在其后的两年内，两个厂的产值都有所增加：甲厂每年的产值比上一年递增10万元，而乙厂每年的产值比上一年增加相同的百分数．去年甲厂全年的产值仍比乙厂多6万元，而今年甲厂全年产值反而比乙厂少3.2万元．前年甲乙两车全年的产值分别是多少？乙厂每年的产值递增的百分数是多少？ 【答案】前年甲厂全年的产值为92万元，乙厂全年的产值为80万元，乙厂每年的产值递增的百分数是20%． 【分析】根据题意，设前年乙厂全年的产值为x万元，乙厂每年比上一年递增的百分数为y，则甲厂前年的产值为（x+12）万元，利用甲厂和乙厂的产值关系列出二元二次方程组，解得即可． 【解析】设前年乙厂全年的产值为x万元，乙厂每年比上一年递增的百分数为y，根据题意得 解得 80+12=92（万元）， 答：前年甲厂全年的产值为92万元，乙厂全年的产值为80万元，乙厂每年的产值递增的百分数是20%， 故答案为：92，80，20%． 【点睛】本题考查了方程组的列式求解问题，二元二次方程组的求解，根据等量关系列出方程组是解题的关键． 51．今年本市蜜桔大丰收，某水果商销售一种蜜桔，成本价为10元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量（千克）与销售价（元/千克）之间的函数关系如图所示： （1）求与之间的函数关系式； （2）该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？ 【答案】（1）；（2）该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为15元. 【分析】（1）观察函数图象找出点的坐标，再利用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式； （2）根据总利润＝每千克的销售利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取符合题意值即可得出结论． 【解析】（1）设与之间的函数关系式， 把，代入得：，解得：， ∴与之间的函数关系式； （2）根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）. 答：该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为15元. 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准点的坐标，利用待定系数法求出函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$