第二十一章 代数方程压轴训练-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学下册压轴题攻略（沪教版）

第二十一章 代数方程压轴训练 一、选择压轴 1．若关于的方程无解，则的值为（   ） A．1 B． C．0 D．1或 2．如图是函数的图象．已知函数的图象与的图象交于A、B两点，且，则满足的x的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 3．如果方程有两个不同的实数解，那么p的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．方程（      ） A．有一个实数根 B．有两个实数根 C．有三个实数根 D．无实数根 5．已知关于的分式方程的解满足，且为整数，则符合条件的所有值的乘积为（  ） A．正数 B．负数 C．零 D．无法确定 6．一个矩形内放入两个边长分别为3cm和4cm的小正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为8cm2；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为11cm2，若把两张正方形纸片按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为（   ） 一个矩形内放入两个边长分别为 3cm和4cm的小正方形 A．6cm2 B．7 cm2 C．12cm2 D．19 cm2 二、填空压轴 7．已知实数且分别满足方程和方程，则代数式的值为 ． 8．若关于x的方程存在整数解，则正整数m的所有取值的和为 ． 9．若数使关于的不等式组的解集为，使关于的分式方程的解为非负整数，则满足条件的所有整数的积为 ． 10．若分式方程有增根，则a的值是 ． 11．为美化校园，某校安排甲、乙两人种植花苗，已知甲种植40棵花苗所用时间是乙种植15棵花苗所用时间的2倍，…，求甲、乙两人每小时各种植多少棵花苗？设甲每小时种植棵花苗，则可得方程，根据此情景，题中用“…”表示的缺失的条件应为 ． ． 12．已知关于的分式方程的解为正数，关于的不等式有且仅有3个整数解，则符合条件的整数的个数为 ． 13．方程的根为 ． 14．数学的美无处不在，数学家们研究发现：弹拨琴弦发出声音的音调高低取决于琴弦的长度，如三根琴弦长度之比为，用同样的力度弹拨琴弦，它们就能发出很和谐的乐音，因此我们称15，12，10这三个数为一组调和数．现有三个数：5，3，x，若要组成一组调和数，则x的值为 ． 15．在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点在第三象限，关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的绝对值之和为 ． 16．关于，的方程的整数解有 组． 17．若关于x的一元一次不等式组至少有4个整数解，且关于y的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数a的值之和为 ． 18．随着期末考试来临，李勇同学原计划延时服务期间复习语文、数学、英语的时间为，班主任李老师提醒要学科均衡，补短板．他便将数学复习时间的分给了语文和英语，调整后语文和英语的复习时间之比为．李勇同学非常刻苦，实际复习时还挤出部分休息时间分给了三个学科，其中分给了语文，余下的分别分给数学和英语，这样语文的总复习时间与三科总复习时间比为．若李勇同学最终希望使数学与英语总复习时间比为，那么数学的总复习时间与最后三科总复习时间之比为 ． 19．若实数都是整数，且，则 ． 20．现有一列数：，，，，，，（为正整数），规定，，，，，若，则的值为 . 三、解答压轴 21．已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，且． (1)求的取值范围； (2)若取负整数，求的值． 22．请同学们观察下列解题过程，并回答提出的问题： 关于的分式方程的解是； 的解是； 的解是； (1)观察上述方程与解的特征，可猜想关于的方程的解是 ． (2)观察上述方程与解的特征，可猜想关于的方程的解是 ． (3)请你利用（2）的猜想，解关于的方程：． 23．解方程：． 24．解方程： (1)； (2)； (3) 25．已知：． (1)当时，判断与0的关系，并说明理由； (2)设． ①代入，化简得________； ②若是正整数，则整数的值为_______． 26．我们定义：方程的解为整数的方程为“完美”方程． (1)一元一次方程：为“完美”方程，求整数a的值； (2)已知关于x的方程：（，且a为整数）是“完美”方程，且其中整数a使关于y的不等式组有解且至多有3个整数解，求符合条件的所有整数a的和； (3)已知关于x的方程：是“完美”方程，求满足条件的所有实数k的值． 27．通常把脏衣服用洗衣液清洗后会进行拧干，但由于不可能拧净衣服上的全部污水，所以还需要用清水进行多次漂洗，不断降低衣服中污水的含量．某小组研究了如何用清水漂洗衣服效果更好，部分内容如下，请补充完整：实验研究：先准备几件相同的洗过一次并拧干（存留一些污水）的衣服，把每件衣服分别用一定量的清水浸泡，经过充分搓洗，使清水与衣服上存留的污水混合均匀，然后拧干，视为一次漂洗，称重、记录每次漂洗后衣服上存留的污水重量和比例，如：把一件存留1斤污水的衣服用10斤清水漂洗后，拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的，在多次实验后，通过对收集的数据进行分析，该小组决定使用20斤清水，采用三种不同的方案，对每件衣服分别进行漂洗，并假设每次拧干后的衣服上都存留约1斤的污水． 数据计算：对三种漂洗方案进行计算、比较． 方案一：采用一次漂洗的方式．将20斤清水一次用掉，漂洗后衣服中存有的污物是原来的________； 方案二：采用两次漂洗的方式，且两次用水量不同．如第一次用12斤清水，第二次用8斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原来的________； 方案三：采用两次漂洗的方式，且两次用水量相同，每次用10斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原来的________． 实验结论：对比可知，在这三种方案中，方案________的漂洗效果最好（填“一”“二”或“三”）． 推广证明：将脏衣服用洗衣液清洗后，再用清水进行漂洗，假设每次拧干后还存留（）斤污水，现用（）斤清水漂洗（方案二中第一次用水量为斤），请比较并证明方案二与方案三的漂洗效果． 2 / 17学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十一章 代数方程压轴训练 一、选择压轴 1．若关于的方程无解，则的值为（   ） A．1 B． C．0 D．1或 【答案】A 【详解】解：关于x的分式方程化为整式方程为 解得， 由于原方程无解，即或， ∴分式方程有增根或， ∴或 ∴， 故选：A． 2．如图是函数的图象．已知函数的图象与的图象交于A、B两点，且，则满足的x的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【详解】解：如图， 联立，解得：， ∴B(2,2)， 由图象可得：当时，-1<x<2， 故选：C． 【点睛】本题考查两直线交点问题，利用图象法求不等式的解集，熟练掌握利用图象法求不等式的解集是解题的关键． 3．如果方程有两个不同的实数解，那么p的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴，， ∵方程有两个不同的实数解， ∴， 解得：． 又∵方程的两根， ∴，即， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查无理方程，一元二次方程根的判别式，根与系数关系．需注意本题中容易忽略由一个数的算术平方根是非负数，得出，从而根据根与系数关系得出． 4．方程（      ） A．有一个实数根 B．有两个实数根 C．有三个实数根 D．无实数根 【答案】A 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴或 当时x=-1； 当时，方程无解. 综上所述，方程只有一个实数根. 故选A. 【点睛】本题考查了高次方程的解法，用因式分解法进行降次是关键，这里用的是分组分解法，拆项分组是关键. 5．已知关于的分式方程的解满足，且为整数，则符合条件的所有值的乘积为（  ） A．正数 B．负数 C．零 D．无法确定 【答案】A 【详解】解：解关于的分式方程， 去分母得：， 移项得：， 提公因式得：， 去括号、合并同类项得：， 整理得:， ， ， ， ， ， 又， 和， 和， 为整数且， 和， 中符合条件的值共有个负数和个正数， 符合条件的所有值的乘积为正数． 故选：A． 6．一个矩形内放入两个边长分别为3cm和4cm的小正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为8cm2；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为11cm2，若把两张正方形纸片按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为（   ） 一个矩形内放入两个边长分别为 3cm和4cm的小正方形 A．6cm2 B．7 cm2 C．12cm2 D．19 cm2 【答案】B 【详解】解：设矩形的长为xcm，宽为ycm， 依题意，得：， （②-①）÷3，得：y-x+1=0， ∴x=y+1③． 将③代入②，得：y（y+1）=16+3（y-4）+11， 整理，得：y2-2y-15=0， 解得：y1=5，y2=-3（舍去）， ∴x=6． ∴按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为：（x-4）（y-3）+ （x-3）（y-4）=2×2+3×1=7． 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组及一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 二、填空压轴 7．已知实数且分别满足方程和方程，则代数式的值为 ． 【答案】/ 【详解】解：由题意得，将方程两边同时除以得， ∵， ∴， ∴a和为一元二次方程的两根， ∴，， ∴． 8．若关于x的方程存在整数解，则正整数m的所有取值的和为 ． 【答案】15 【详解】解：由题意，令，则， ∴， ∵m是正整数，且整数， ∴时，， 时，， ∴正整数m的所有取值的和为15， 故答案为：15． 9．若数使关于的不等式组的解集为，使关于的分式方程的解为非负整数，则满足条件的所有整数的积为 ． 【答案】12 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得：， ∵整数a使关于x的一元一次不等式组的解集是， ∴， 解分式方程得：，且， 即 ∵分式方程的解是非负整数，为整数， ∴是非负整数， ∴，6 ∴符合条件的所有整数a的值的积为． 故答案为：12． 10．若分式方程有增根，则a的值是 ． 【答案】2 【详解】解：， 方程两边乘得：， ∴， ∵方程有增根， ∴，即， ∴， ∴． 故答案为：2． 11．为美化校园，某校安排甲、乙两人种植花苗，已知甲种植40棵花苗所用时间是乙种植15棵花苗所用时间的2倍，…，求甲、乙两人每小时各种植多少棵花苗？设甲每小时种植棵花苗，则可得方程，根据此情景，题中用“…”表示的缺失的条件应为 ． ． 【答案】 两人每小时共种植7颗花苗 4 【详解】解：乙每小时种植颗花苗，则和为， 故应该加上：两人每小时共种植7颗花苗； 解分式方程：， 解得，， 线检验，是原方程的解， 故答案为：两人每小时共种植7颗花苗；4． 12．已知关于的分式方程的解为正数，关于的不等式有且仅有3个整数解，则符合条件的整数的个数为 ． 【答案】1/1个 【详解】解：解分式方程，去分母，得：， 解得， 方程的解为正数， ∴ 解得：， 当时是方程的增根， ， 解得， 且； 解不等式组，由， 解得， 由， 解得， 此不等式组有且仅有3个整数解， ， ， 综上，； 所有符合条件的整数的值为5，共1个 故答案为：1． 13．方程的根为 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴或或， ∴或或， 检验：当或时，，无意义，当时，满足题意； ∴方程的根为：． 故答案为： 14．数学的美无处不在，数学家们研究发现：弹拨琴弦发出声音的音调高低取决于琴弦的长度，如三根琴弦长度之比为，用同样的力度弹拨琴弦，它们就能发出很和谐的乐音，因此我们称15，12，10这三个数为一组调和数．现有三个数：5，3，x，若要组成一组调和数，则x的值为 ． 【答案】15或或 【详解】解：分三种情况： 当时，x，5，3这三个数为一组调和数， ， 解得， 经检验，是原方程的根； 当时，5，x，3这三个数为一组调和数， ， 解得， 经检验，是原方程的根； 当时，5，3，x这三个数为一组调和数， ， 解得， 经检验，是原方程的根； 综上所述，或或， 故答案为：15或或． 15．在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点在第三象限，关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的绝对值之和为 ． 【答案】9 【详解】解：∵点关于轴的对称点在第三象限， ∴对称点的坐标为， ∴， 解不等式①得：； 解不等式②得， ∴不等式组的解集为， ∵， 解得， ∵方程有非负数整数解， ∴， ∴， ∵时，是方程的增根， 此时，无意义，舍去， ∴且 ∴符合题意的整数a的值为， ∴符合的解是非负整数解的有， ∴符合条件的所有整数a的绝对值和是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标的对称，不等式组的解集、分式方程的解，绝对值的计算，解决本题的关键是根据不等式组的解集及分式方程的解确定a的取值范围． 16．关于，的方程的整数解有 组． 【答案】4. 【详解】， ， ， 即， ， ，. 为整数，. 当时，， ，， 或1. 当时，， ， 找不到这样的整数. 同理可知：当时，均找不到这样的整数． 当时，， ， . 或. 综上所述，共有4组解. 【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，以及分类讨论的数学思想，把变形为是解答本题的关键. 17．若关于x的一元一次不等式组至少有4个整数解，且关于y的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数a的值之和为 ． 【答案】8 【详解】解：， 解①得，， 解②得，， ∴， ∵不等式组至少有4个整数解，即，0，1，2， ∴， 解得：， 根据分式方程解得：， ∵分式方程解为非负数， ∴且， 解得：且， ∴a的范围是且， 则整数解为，0，2，3，4, 整数a的值之和为． 故答案为：8． 【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，分式方程的解，解一元一次不等式，熟练掌握各自的解法是解本题的关键． 18．随着期末考试来临，李勇同学原计划延时服务期间复习语文、数学、英语的时间为，班主任李老师提醒要学科均衡，补短板．他便将数学复习时间的分给了语文和英语，调整后语文和英语的复习时间之比为．李勇同学非常刻苦，实际复习时还挤出部分休息时间分给了三个学科，其中分给了语文，余下的分别分给数学和英语，这样语文的总复习时间与三科总复习时间比为．若李勇同学最终希望使数学与英语总复习时间比为，那么数学的总复习时间与最后三科总复习时间之比为 ． 【答案】/． 【详解】解：设李勇同学原计划延时服务期间复习语文、数学、英语的时间分别为， 依题意： 他分给语文和英语的复习时间和为，剩余数学时间为， 设他分给语文的时间为，则分给英语的时间为， 此时语文时间为：， 英语时间为：， 依题意得：， 解得：， 故第一次调整后语文时间为：， 数学时间为：， 英语时间为：， 设挤出的休息时间为， 则第二次调整后语文时间为：， 依题意得：， 解得， 则总学习时间为：， 设此时他的数学时间为，则英语， 依题意得， 解得：， 故数学的总复习时间与最后三科总复习时间之比为： ， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了分式的实际应用；解题的关键是用代数式准确表示出每次调整后各学科的时间，依据比例列方程求解． 19．若实数都是整数，且，则 ． 【答案】8 【详解】解：当时，， ， 不是整数，与题设矛盾， ， 令， 由题设m、n为正整数， 设， 由①得， 代入②，整理得， 是正整数， 或2或3， 又， 或， 当时， 由①②解得，（不合题意，舍去）， 当时， 由①②解得，， ． 故答案为：8. 20．现有一列数：，，，，，，（为正整数），规定，，，，，若，则的值为 . 【答案】 【详解】解：∵，，，，， ∴以上各式左右两边分别相加得， ， ∴， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 经检验，是原分式方程的解， ∴， 故答案为：． 三、解答压轴 21．已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，且． (1)求的取值范围； (2)若取负整数，求的值． 【答案】(1) (2)8或 【详解】（1）整理方程得， 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得 ， 的取值范围是； （2），且取负整数， 或， 当时，原方程可化为， 解得 ，， ， 当时，原方程可化为， 解得 ，， ， 综上所述，的值为8或． 22．请同学们观察下列解题过程，并回答提出的问题： 关于的分式方程的解是； 的解是； 的解是； (1)观察上述方程与解的特征，可猜想关于的方程的解是 ． (2)观察上述方程与解的特征，可猜想关于的方程的解是 ． (3)请你利用（2）的猜想，解关于的方程：． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：∵关于的分式方程的解是， ∴关于的方程的解是， 故答案为：； （2）解：根据上述计算可得，关于的方程的解是：， 故答案为：； （3）解：根据题意，将关于的方程：变形得， ∴或， 解得，． 23．解方程：． 【答案】 【详解】解： 24．解方程： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2)，； (3)，，，． 【详解】（1） 解：移项得，， 两边平方得，， 合并同类项得，， ∴， 两边平方得，， 整理得，， ∴， 解得：，， 经检验，，不是原方程的解， ∴原方程的解为：． （2） 解：方程两边同时乘以得， 整理得，， 解得，， ∴，， 经检验，，时，， ∴原方程的根为：，． （3） 解： 令，代入原方程得，， ∴， 解得：，， 当时，，即： ， ∴，解得：，， 当时，，即： ， ∴，解得：，， 经检验都为原方程的解 ∴原方程的解为：，，，． 【点睛】本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键；还考查了解分式方程，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，（2）解分式方程一定注意要验根． 25．已知：． (1)当时，判断与0的关系，并说明理由； (2)设． ①代入，化简得________； ②若是正整数，则整数的值为_______． 【答案】(1)，理由见解析 (2)①；0或1或3 【详解】（1）当时，．理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴，． ∴． ∴． ∴． （2）①依题意，得：． 故答案为：． ②∵ ，且，x，y都是整数， ∴y可以取1，2，3，4． 当时，， 解得，符合； 当时，， 解得，符合 ； 当时，， 解得，不合，舍去； 当时，， 解得，符合． 综上所述：当y为正整数时，x的值是0或1或3． 故答案为：0或1或3 26．我们定义：方程的解为整数的方程为“完美”方程． (1)一元一次方程：为“完美”方程，求整数a的值； (2)已知关于x的方程：（，且a为整数）是“完美”方程，且其中整数a使关于y的不等式组有解且至多有3个整数解，求符合条件的所有整数a的和； (3)已知关于x的方程：是“完美”方程，求满足条件的所有实数k的值． 【答案】(1)或 (2) (3)满足条件的实数k的值有或或或或 【详解】（1）解：， ， 为“完美”方程， 或； （2）解：（，且a为整数）是“完美”方程， 解得：， ， ， ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， 不等式组至多有3个整数解， 当其有一个整数解时，即y取，则，解得：，将代入得：，不是整数，故不满足条件； 当其有两个整数解时，即y取、，则，解得：，为整数，故不满足条件； 当其有三个整数解时，即y取、、，则，解得：，将代入得：，是整数，满足条件； 综上，符合条件的所有整数a的和为； （3）解：①当方程为一元二次方程时， ， 或， 或， 且， 是“完美”方程， 和为整数， 又，， ， 即， 整理后得， ，为整数，且，不为， 或， 即（舍去）或或或， 或或， 满足条件的实数k的值有或或； ②当方程为一元一次方程时， ， 当时，，解得， 当时，，解得． 综上所述，满足条件的实数k的值有或或或或． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，解一元二次方程，解分式方程，解一元一次不等式组，以及分式整除的情况，平方差公式，完全平方公式，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． 27．通常把脏衣服用洗衣液清洗后会进行拧干，但由于不可能拧净衣服上的全部污水，所以还需要用清水进行多次漂洗，不断降低衣服中污水的含量．某小组研究了如何用清水漂洗衣服效果更好，部分内容如下，请补充完整：实验研究：先准备几件相同的洗过一次并拧干（存留一些污水）的衣服，把每件衣服分别用一定量的清水浸泡，经过充分搓洗，使清水与衣服上存留的污水混合均匀，然后拧干，视为一次漂洗，称重、记录每次漂洗后衣服上存留的污水重量和比例，如：把一件存留1斤污水的衣服用10斤清水漂洗后，拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的，在多次实验后，通过对收集的数据进行分析，该小组决定使用20斤清水，采用三种不同的方案，对每件衣服分别进行漂洗，并假设每次拧干后的衣服上都存留约1斤的污水． 数据计算：对三种漂洗方案进行计算、比较． 方案一：采用一次漂洗的方式．将20斤清水一次用掉，漂洗后衣服中存有的污物是原来的________； 方案二：采用两次漂洗的方式，且两次用水量不同．如第一次用12斤清水，第二次用8斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原来的________； 方案三：采用两次漂洗的方式，且两次用水量相同，每次用10斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原来的________． 实验结论：对比可知，在这三种方案中，方案________的漂洗效果最好（填“一”“二”或“三”）． 推广证明：将脏衣服用洗衣液清洗后，再用清水进行漂洗，假设每次拧干后还存留（）斤污水，现用（）斤清水漂洗（方案二中第一次用水量为斤），请比较并证明方案二与方案三的漂洗效果． 【答案】方案一：；方案二：；方案三：；实验结论：三；推广证明：见解析 【详解】解：根据题意可知： 方案一：漂洗后衣服中存有的污物是原来的； 方案二：漂洗后衣服中存有的污物是原来的； 方案三：漂洗后衣服中存有的污物是原来的． ∵， ∴方案三的漂洗效果最好， 故答案为： ；；；三； 推广证明理由如下： 方案一：漂洗后衣服中存有的污物是原来的； 方案二：漂洗后衣服中存有的污物是原来的； 方案三：漂洗后衣服中存有的污物是原来的， ∵， ∴方案三比方案一漂洗效果好； ∵， 当时，， ∴方案三比方案二效果好， 综上所述：方案三漂洗效果最好． 2 / 21学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$