精品解析：山东省禹城市2024-2025学年上学期期末考试九年级数学试题

2024~2025学年第一学期期末教学质量检测 九年级数学试题 （满分150分 时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请将选择题答案用2B铅笔填涂在答题卡指定题号里；将非选择题的答案用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷上无效． 3．考生必须保持答题卡的整洁． 一、选择题（每小题4分，共48分） 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．本题主要考查了中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故A选项不合题意； B．不是中心对称图形，故B选项不合题意； C．不是中心对称图形，故C选项不合题意； D．是中心对称图形，故D选项合题意； 故选：D． 2. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 对称轴为 B. 顶点坐标为 C. 函数最大值是－3 D. 函数的最小值是－3 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的图象及性质进行判断即可． 【详解】二次函数的对称轴为，顶点坐标为 ∵ ∴二次函数图象开口向下，函数有最大值，为 ∴A、B、D选项错误，C选项正确 故选：C 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键． 3. 下列事件是必然事件的是（　　） A. 四边形内角和是 B. 校园排球比赛，九年级一班获得冠军 C. 掷一枚硬币时，正面朝上 D. 车辆随机到达路口，遇到绿灯 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了随机事件．根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、四边形内角和是，是必然事件，本选项符合题意； B、校园排球比赛，九年级一班获得冠军，是随机事件，本选项不符合题意； C、掷一枚硬币时，正面朝上，是随机事件，本选项不符合题意； D、车辆随机到达路口，遇到绿灯，是随机事件，本选项不符合题意， 故选：A． 4. 临近春节的三个月，某干果店迎来了销售旺季，第一个月的销售额为8万元，第三个月的销售额为11.52万元，设这两个月销售额的月平均增长率为x，则根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设这两个月销售额的月平均增长率为x，则第二个月的销售额是万元，第三个月的销售额为万元，即可得． 【详解】解：设这两个月销售额的月平均增长率为x，则第二个月的销售额是万元，第三个月的销售额为万元， ∴ 故选C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是能够求出第二个月的销售额和第三个月的销售额． 5. 已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：)是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为时，电流为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设该反比函数解析式为，根据当时，，可得该反比函数解析式为，再把代入，即可求出电流I． 【详解】解：设该反比函数解析式为， 由题意可知，当时，， ， 解得：， 设该反比函数解析式为， 当时，， 即电流为， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，求出反比例函数解析式是解题关键． 6. 如图，是的直径，若，则的度数等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直径所对的圆周角为直角，同弧或等弧所对的圆周角相等．根据直径所对的圆周角为直角得到，同弧或等弧所对的圆周角相等得到，进一步计算即可解答． 【详解】解：是的直径， ， ， ， ， 故选：A． 7. 习近平总书记强调，中华优秀传统文化是中华民族的根和魂，乐陵市某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇．如图，，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角，现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，熟知扇形面积的计算公式是解题的关键． 将山水画所在纸面的面积转化为大小两个扇形的面积之差即可解决问题． 【详解】解：由题意得：，， ∴山水画所在纸面的面积为， 故选：． 8. 如图，将绕点A逆时针旋转到，旋转角为，点B的对应点D恰好落在边上，若，则旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出，再利用旋转的性质求出，，然后利用等边对等角求出，最后利用三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：如图， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵旋转， ∴，， ∴， ∴， 即旋转角的度数是． 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等，掌握等边对等角是解题的关键． 9. 关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的定义．根据一元二次方程的根的情况来确定根的判别式且，通过解不等式来求k的取值范围． 【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴且， 解得且， 故选：B． 10. 如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据镜面反射性质，可求出，再利用垂直求，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案. 【详解】解：如图所示， 由图可知，，， . 根据镜面的反射性质， ∴， ∴， ， ， . 小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为， ，，. . . 故选：B. 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于熟练掌握镜面反射的基本性质和相似三角形的性质. 11. 已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表， x … 0 3 5 … y … 0 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ 　　 ） A. 图象的开口向上 B. 当时，y的值随x的值增大而增大 C. 图象经过第二、三、四象限 D. 图象的对称轴是直线 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质．先利用待定系数法求得二次函数解析式，再根据二次函数的性质逐一判断即可． 详解】解：由题意得，解得， ∴二次函数的解析式为， ∵， ∴图象的开口向下，故选项A不符合题意； 图象的对称轴是直线，故选项D符合题意； 当时，y的值随x的值增大而增大，当时，y的值随x的值增大而减小，故选项B不符合题意； ∵顶点坐标为且经过原点，图象的开口向下， ∴图象经过第一、三、四象限，故选项C不符合题意； 故选：D． 12. 定义：在平面直角坐标系中，若点满足横，纵坐标都为整数，则把点叫做“整点”，如：，都是“整点”．抛物线（是常数，且）与轴交于点，两点，若该抛物线在，之间的部分与线段所围成的区域（包括边界）恰有6个“整点”，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，数形结合思想的应用是解决本题的关键．首先将二次函数的表达式化为顶点式，可以直接得到点，，，必在所要求的区域内，然后向外扩充2个“整点”，通过图象经过点，点判断区域内“整点”个数，进而求出的取值范围． 【详解】解：由已知可得， 函数的顶点是， ， 点，，，四点必在抛物线在，之间部分与线段所围成的区域（包括边界）内， 当点在边界上时，，由抛物线的对称性可知，图象过，此时区域内有6个“整点”， 当点在边界上时，，由抛物线对称性可知，图象过，此时区域内有8个“整点”，不符合题意， 当时，该抛物线在，之间的部分与线段所围成的区域（包括边界）恰有6个“整点”． 故选：D． 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 13. 已知方程的一个根为，则方程的另一个根为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系．设方程的另一个根为m，根据两根之和等于，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设方程的另一个根为m， ∵方程有一个根为， ∴， 解得：． 故答案为：4． 14. 若点，都在反比例函数的图象上，且，则______．（填“>”“<”或“=”） 【答案】＜ 【解析】 【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，根据函数解析式可得反比例函数图象经过第一、三象限，再由可得． 【详解】解：∵反比例函数解析式为，， ∴反比例函数图象经过第一、三象限， ∵， ∴， 故答案为：． 15. 如图，一个底部呈球形的烧瓶，瓶内液体的最大深度，截面圆中弦长为，那么球的半径长为_______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，解题关键根据垂径定理得出，再设，根据勾股定理列出方程即可求解． 【详解】解：设， ∵瓶内液体的最大深度， ∴，垂足为C， ∴， 设，则， 解得，， 故答案为：5． 16. 如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是．若实心球落地点为M，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，设抛物线为，把点，代入即可求出解析式；当时，求得x的值，即为实心球被推出的水平距离． 【详解】解：以点O为坐标原点，射线方向为x轴正半轴，射线方向为y轴正半轴，建立平面直角坐标系， ∵出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是． 设抛物线解析式为：， 把点代入得：， 解得：， ∴抛物线解析式为：； 当时，， 解得，（舍去），， 即此次实心球被推出的水平距离为． 故答案为： 17. 如图，在中，，，点P从点A出发沿边向点B以2的速度移动，点Q从点B出发沿边向点C以4的速度移动，如果P、Q同时出发，经过________秒后和相似？ 【答案】或2 【解析】 【分析】设经过秒两三角形相似，分别表示出、的长度，再分①与边是对应边，②与边是对应边两种情况，根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可．本题考查了相似三角形对应边成比例的性质，表示出边、的长是解题的关键，需要注意分情况讨论，避免漏解而导致出错． 【详解】解：设经过秒后和相似． 则，， ，， ， ①与边是对应边，则， 即， 解得， ②与边是对应边，则， 即， 解得． 综上所述，经过秒或2秒后和相似． 故答案为：或2． 18. 如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形AOB，，直角边AO在x轴上，且．将绕原点O逆时针旋转90°得到等腰直角三角形，且，再将绕原点O逆时针旋转90°得到等腰直角三角形，且依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了点的坐标变化规律．根据题意得出点坐标变化规律，进而得出点的坐标位置，进而得出答案． 【详解】解：是等腰直角三角形，， ， ， 将绕原点逆时针旋转得到等腰直角三角形，且， 再将绕原点逆时针旋转得到等腰三角形，且， ， 依此规律， ∴每4次循环一周， ， ， ∴点与、、同在一个象限内， 、、的横坐标分别为、、，纵坐标分别为、、， ∴点， 故答案为：． 三、解答题（本题共7小题，共78分） 19. 解方程 （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）用因式分解法解方程即可； （2）用公式法解方程即可． 【小问1详解】 解： ， ， 或， ∴，， 【小问2详解】 ， ∵，，， ∴， 则方程有两个不相等实数根， ∴， ∴，， 【点睛】此题考查了解一元二次方程，解题的关键在于灵活选取适当的方法解方程． 20. 某校组织学生观看“天宫课堂”第二课直播，跟着空间站的翟志刚、王亚平、叶光富三位宇航员学习科学知识，他们相互配合，生动演示了四个实验：（A）微重力环境下的太空“冰雪”实验，（B）液桥演示实验，（C）水油分离实验，（D）太空抛物实验．观看完后，该校对部分学生对四个实验的喜爱情况作了抽样调查，将调查情况制成了如下的条形统计图和扇形统计图． 请根据图中信息，回答下列问题： （1）共调查了_________名学生，图2中A所对应的圆心角度数为_________； （2）请补全条形统计图； （3）若从两名男生、两名女生中随机抽取2人参加学校组织的“我爱科学”演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求抽到的学生恰好是一男一女的概率． 【答案】（1）50，； （2）详见解析； （3），详见解析． 【解析】 【分析】本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识， （1）由的人数除以所占百分比得出共调查的学生人数，即可解决问题； （2）求出的人数，即可解决问题； （3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中抽到的学生恰好是一男一女的结果有8种，再由概率公式求解即可． 从统计图中获取数量和数量之间的关系，列举出所有可能出现的结果数，是解决问题的关键． 【小问1详解】 共调查的学生人数为：（名）， ∴图2中A所对应的圆心角度数为：， 故答案为：； 【小问2详解】 （2）由图知，D的人数为：（人）， ∴C的人数为：（人）， 补全条形统计图如下： 【小问3详解】 （3）画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中抽到的学生恰好是一男一女的结果有8种， ∴抽到的学生恰好是一男一女的概率为． 21. 如图，直线为常数与双曲线（为常数）相交于，两点． （1）求直线的解析式； （2）在双曲线上任取两点和，若，试确定和的大小关系，并写出判断过程； （3）请直接写出关于的不等式的解集． 【答案】（1） （2）当或时，；当时， （3）或 【解析】 【分析】（1）将点代入反比例函数，求得，将点代入，得出，进而待定系数法求解析式即可求解； （2）根据反比例函数的性质，反比例函数在第二四象限，在每个象限内，随的增大而增大，进而分类讨论即可求解； （3）根据函数图象即可求解． 【小问1详解】 解：将点代入反比例函数， ∴， ∴ 将点代入 ∴， 将，代入，得 解得：， ∴ 【小问2详解】 ∵，， ∴反比例函数在第二四象限，在每个象限内，随的增大而增大， ∴当或时，， 当时，根据图象可得， 综上所述，当或时，；当时，， 小问3详解】 根据图象可知，，，当时， 或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，一次函数与反比例函数交点问题，待定系数法求一次函数的解析式，反比例函数图象的性质，熟练掌握反比例函数图象的性质是解题的关键． 22. 如图，四边形是的内接四边形，是直径，是的中点，过点作交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析； （2），． 【解析】 【分析】（1）根据“连半径，证垂直”即可， （2）先由“直径所对的圆周角是直角”，证是直角三角形，用勾股定理求出长，再通过三角形相似即可求解． 【小问1详解】 连接 ∵为的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，为半径， ∴为的切线， 【小问2详解】 ∵为直径， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得： ． 【点睛】此题考查切线的判定，圆周角定理，勾股定理定理的应用，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键． 23. 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？ （2）羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈； （2）不能，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）设矩形的边，则边，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解； （2）同（1）的方法建立方程，根据方程无实根即可求解． 【小问1详解】 解：设矩形的边，则边． 根据题意，得． 化简，得． 解得，． 当时，； 当时，． 答：当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈． 【小问2详解】 解：不能，理由如下： 由题意，得． 化简，得． ∵， ∴一元二次方程没有实数根． ∴羊圈的面积不能达到． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程是解题的关键． 24. 如图1，已知为等腰直角三角形，，点D是的中点，作正方形，使点，分别在边和上，连接，． （1）探索线段与的数量关系，直接写出你的结论______； （2）将正方形绕点D按逆时针方向旋转一定角度（旋转角大于，小于或等于）时（如图2），（1）的结论是否仍然成立？说明理由； （3）已知，，在（2）的旋转过程中，当为最大值时，求的值． 【答案】（1） （2）成立，理由见解析 （3）5 【解析】 【分析】（1）根据等腰直角三角形和正方形的性质推出条件判定，根据全等三角形的性质即可推出线段与的数量关系； （2）连接，判定，根据全等三角形的性质即可推出（1）中的结论仍然成立； （3）当旋转角是时，、、三点共线，取得最大值，根据的最大值，用勾股定理即可求出的值． 【小问1详解】 解：是等腰直角三角形，点是的中点， ∴，， 是等腰直角三角形，， ， 四边形是正方形， ， ， ． 故答案为：； 【小问2详解】 如图2，连接， 由（1）得：， 根据旋转可得：， ， 又，， ， ． 即（1）中的结论仍然成立； 【小问3详解】 如图3， 当、、三点共线，，取得最大值， ， ， 又， ， 在中，，， ， 当为最大值时，的值为5． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查正方形的性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质和全等三角形的判定和性质等知识点，深入理解题意是解决问题的关键． 25. 已知二次函数的图像经过，两点，其中a，b，c为常数，且． （1）求a，c的值； （2）若该二次函数的最小值是，且它的图像与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． ①求该二次函数的解析式，并直接写出点A，B的坐标； ②如图，在y轴左侧该二次函数的图像上有一动点P，过点P作x轴的垂线，垂足为D，与直线交于点E，连接，，．是否存在点P，使？若存在，求此时点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）①该二次函数的解析式为：；， ②存在，P点横坐标为：或或 【解析】 【分析】（1）先求得，则可得和关于对称轴对称，由此可得，进而可求得； （2）①根据抛物线顶点坐标公式得，由此可求得，进而可得抛物线的表达式为，进而可得，； ②分两种情况进行讨论：当点P在点A右侧时，当点P在点A左侧时，分别画出图形，求出点P的坐标即可． 【小问1详解】 解：∵的图像经过， ∴， ∴和关于对称轴对称， ∴， ， ， ∴，． 【小问2详解】 解：①∵，， ∴， ∵， ∵解得， ∵，且， ∴， ∴， ∴该二次函数的解析式为：， 当时，， 解得，， ∴， ． ②设直线的表达式为：， 则， 解得， ∴直线的表达式为：， 当点P在点A右侧时，作于F，如图所示： 设，则，， 则， , ， ∵，，， ∴ ， ∵， ， 解得：，， ∴点P横坐标为或； 当点P在点A左侧时，作于F，如图所示： 设，则，， 则， , ， ∵，，， ∴ ， ∵， ， 解得：，（舍去）， ∴点P横坐标为， 综上所述，P点横坐标为：或或． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数综合，二次函数与几何综合，利用待定系数法求二次函数和一次函数的表达式．熟练掌握“三角形面积水平宽铅锤高”是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年第一学期期末教学质量检测 九年级数学试题 （满分150分 时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请将选择题答案用2B铅笔填涂在答题卡指定题号里；将非选择题的答案用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷上无效． 3．考生必须保持答题卡的整洁． 一、选择题（每小题4分，共48分） 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 对称轴为 B. 顶点坐标为 C. 函数的最大值是－3 D. 函数的最小值是－3 3. 下列事件是必然事件的是（　　） A. 四边形内角和是 B. 校园排球比赛，九年级一班获得冠军 C. 掷一枚硬币时，正面朝上 D. 车辆随机到达路口，遇到绿灯 4. 临近春节的三个月，某干果店迎来了销售旺季，第一个月的销售额为8万元，第三个月的销售额为11.52万元，设这两个月销售额的月平均增长率为x，则根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：)是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为时，电流为( ) A. B. C. D. 6. 如图，是的直径，若，则的度数等于（ ） A. B. C. D. 7. 习近平总书记强调，中华优秀传统文化是中华民族根和魂，乐陵市某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇．如图，，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角，现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为（ ）． A. B. C. D. 8. 如图，将绕点A逆时针旋转到，旋转角为，点B的对应点D恰好落在边上，若，则旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ） A 且 B. 且 C. D. 10. 如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（ ） A B. C. D. 11. 已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表， x … 0 3 5 … y … 0 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ 　　 ） A. 图象的开口向上 B. 当时，y的值随x的值增大而增大 C. 图象经过第二、三、四象限 D. 图象的对称轴是直线 12. 定义：在平面直角坐标系中，若点满足横，纵坐标都为整数，则把点叫做“整点”，如：，都是“整点”．抛物线（是常数，且）与轴交于点，两点，若该抛物线在，之间的部分与线段所围成的区域（包括边界）恰有6个“整点”，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 13. 已知方程的一个根为，则方程的另一个根为______． 14. 若点，都在反比例函数的图象上，且，则______．（填“>”“<”或“=”） 15. 如图，一个底部呈球形的烧瓶，瓶内液体的最大深度，截面圆中弦长为，那么球的半径长为_______． 16. 如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是．若实心球落地点为M，则______． 17. 如图，在中，，，点P从点A出发沿边向点B以2速度移动，点Q从点B出发沿边向点C以4的速度移动，如果P、Q同时出发，经过________秒后和相似？ 18. 如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形AOB，，直角边AO在x轴上，且．将绕原点O逆时针旋转90°得到等腰直角三角形，且，再将绕原点O逆时针旋转90°得到等腰直角三角形，且依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标是______． 三、解答题（本题共7小题，共78分） 19. 解方程 （1）； （2）． 20. 某校组织学生观看“天宫课堂”第二课直播，跟着空间站的翟志刚、王亚平、叶光富三位宇航员学习科学知识，他们相互配合，生动演示了四个实验：（A）微重力环境下的太空“冰雪”实验，（B）液桥演示实验，（C）水油分离实验，（D）太空抛物实验．观看完后，该校对部分学生对四个实验的喜爱情况作了抽样调查，将调查情况制成了如下的条形统计图和扇形统计图． 请根据图中信息，回答下列问题： （1）共调查了_________名学生，图2中A所对应的圆心角度数为_________； （2）请补全条形统计图； （3）若从两名男生、两名女生中随机抽取2人参加学校组织的“我爱科学”演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求抽到的学生恰好是一男一女的概率． 21. 如图，直线为常数与双曲线（为常数）相交于，两点． （1）求直线的解析式； （2）在双曲线上任取两点和，若，试确定和的大小关系，并写出判断过程； （3）请直接写出关于的不等式的解集． 22. 如图，四边形是的内接四边形，是直径，是的中点，过点作交的延长线于点． （1）求证：是切线； （2）若，，求的长． 23. 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？ （2）羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 24. 如图1，已知为等腰直角三角形，，点D是的中点，作正方形，使点，分别在边和上，连接，． （1）探索线段与的数量关系，直接写出你的结论______； （2）将正方形绕点D按逆时针方向旋转一定角度（旋转角大于，小于或等于）时（如图2），（1）的结论是否仍然成立？说明理由； （3）已知，，在（2）的旋转过程中，当为最大值时，求的值． 25. 已知二次函数的图像经过，两点，其中a，b，c为常数，且． （1）求a，c的值； （2）若该二次函数的最小值是，且它的图像与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． ①求该二次函数的解析式，并直接写出点A，B的坐标； ②如图，在y轴左侧该二次函数的图像上有一动点P，过点P作x轴的垂线，垂足为D，与直线交于点E，连接，，．是否存在点P，使？若存在，求此时点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$