重难点01 二次函数的各种代数考点（9大题型+高分技法+限时提升练）-2025年中考数学【热点·重点·难点】专练（浙江专用）

重难点01 二次函数的各种代数考点 中考数学中二次函数的各种代数考点主要考向分为三类： 一、二次函数的图象与性质（每年1~2道，3~6分） 二、二次函数与系数的关系（每年2~3题，12~15分） 三、二次函数与方程、不等式的关系（每年2~3道，6~10分） 四、二次函数的应用（每年1道，6~10分） 二次函数一直都是中考数学中的重要考点，特别是浙江省统一中考后，二次函数的各代数考点基本都是中考卷与中考模拟卷中压轴题的必考考点。当二次函数出成选择、填空题的压轴题时，常考察二次函数的性质、与不等式的关系、最值等考点；当二次函数出成第23题时，常考察二次函数与系数的关系、待定系数法求解析式、最值等综合考点。因为二次函数的各种考点又多又可变形应用，所以考生需要在熟知二次函数的各考点的基础之上，多做练习，举一反三。 考向一：二次函数图象与性质 【题型1 二次函数的性质】 1、对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象： 形状：抛物线； 对称轴：直线；顶点坐标：； 2、抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说y随x的增大而增大（或减小）是不对的，必须在确定a的正负后，附加一定的自变量x取值范围； 3、当a＞0，抛物线开口向上，函数有最小值；当a＜0，抛物线开口向下，函数有最大值；而函数的最值都是定点坐标的纵坐标。 1．（2024•临安区二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），当y＜n时，x的取值范围是t﹣3＜x＜1﹣t，且该二次函数的图象经过点M（3，m2+3），N（d，2m）两点，则d的值不可能是（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．2 D．4 【分析】依据题意，根据y＜n时，x的取值范围是t﹣3＜x＜1﹣t，可得抛物线图象开口方向及对称轴直线方程，再根据二次函数的性质进而求解． 【解答】解：由题意，∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），当y＜n时，x的取值范围是t﹣3＜x＜1﹣t， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线x1． ∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越小． ∵m2+3﹣2m＝（m﹣1）2+2＞0， ∴m2+3＞2m． ∴3﹣（﹣1）＞|d+1|． ∴﹣5＜d＜3． 故选：D． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 2．（2024•西湖区校级模拟）已知抛物线y＝ax2+bx与y＝bx2+ax的交点为A，与x轴的交点分别为B，C，点A，B，C的横坐标分别为x1，x2，x3，且x1x2x3≠0，若a+b＜0，a+2b＞0，则下列说法正确的是（　　） A．x2＜x3＜x1 B．x3＜x2＜x1 C．x2＜x1＜x3 D．x3＜x1＜x2 【分析】根据题意得到b＞0，a＜0，再联立函数解析式表示出x1，x2 x3，利用不等式性质，比较其大小，即可解题． 【解答】解：∵a+b＜0，a+2b＞0， ∴b＞0，a＜0， ∵抛物线y＝ax2+bx与y＝bx2+ax的交点为A， ∴ax2+bxy＝bx2+ax， 整理得（a﹣b）x•（x﹣1）＝0， 解得 x1＝1或x1＝0， ∵x1x2x3≠0， ∴x1＝1， ∵抛物线y＝ax2+bx与y＝bx2+ax，与x轴的交点分别为B，C， ∴ax2+bx＝0，可得 ，bx2+ax＝0 可得， ∵a+b＜0， ∴，， ∴x2＜x1＜x3， 故选：C． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象和性质以及不等式性质，利用不等式比较大小即可求解． 3．（2024•镇海区校级二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax+4（a＞0）．若A（m﹣1，y1），B（m，y2），C（m+2，y3）为抛物线上三点，且总有y1＞y3＞y2，则m的取值范围可以是（　　） A．m＜1 B． C．0＜m D．1＜m 【分析】由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，分类讨论y1＞y3与y3＞y2，由两点中点与对称轴的位置关系求解． 【解答】解：∵y＝ax2﹣2ax+4（a＞0）， ∴抛物线对称轴为直线x＝1，抛物线开口向上， ∵y1＞y3， ∴1，即1， 解得m， ∵y3＞y2， ∴1， 解得m＞0， ∴0＜m， 故选：C． 【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象与系数的关系． 4．（2025•镇海区校级模拟）已知二次函数y＝ax2+ax﹣4，其顶点纵坐标为，点Q（k，h）在该函数图象上，若在点Q右侧（不含点）的函数图象上，恰好有三个点到x轴的距离为，则k的取值范围是 　k　． 【分析】根据顶点纵坐标为求得a＝2，即可求得抛物线为y＝2x2+2x﹣4，然后令y，解方程求得x或x，令y，解方程求得x或x，根据抛物线在点Q右侧的部分（不含点Q）上，恰好有三个点到x轴的距离为，即可得k． 【解答】解：如图： ∵y＝ax2+ax﹣4＝a（x）24， ∴抛物线的顶点为（，4）， ∵顶点纵坐标为， ∴4， ∴a＝2， ∴y＝2x2+2x﹣4， 令y，则2x2+2x﹣4，解得x或x， ∴K（，），T（，） 令y，则2x2+2x﹣4，解得x或x， ∴R（，），S（，）， ∵抛物线在点Q右侧的部分（不含点Q）上，恰好有三个点到x轴的距离为， ∴Q在点K和R之间的抛物线上（包含K，不包含R）， ∴k． 故答案为：k． 【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键． 5．（2024•鹿城区校级一模）已知A（m，0），B（﹣4，0）为x轴上两点，P（x1，y1），Q（x2，y2）为二次函数y＝x2﹣mx+m+2图象上两点，当x＜1时，二次函数y随x增大而减小，若﹣2≤x1≤m+1，﹣2≤x2≤m+1时，|y1﹣y2|≤16恒成立，则A、B两点的最大距离为 　8　． 【分析】利用二次函数的图象的性质求得m的取值范围，再利用二次函数的性质求得|y1﹣y2|的最大值，最后利用已知条件求得m的最大值，则结论可求． 【解答】解：当x＝1时，y＝3， 抛物线y＝x2﹣mx+m+2的对称轴为直线x， ∵当x＜1时，二次函数y随x增大而减小， ∴1， ∴m≥2． ∴m+1＞1， 当x＝﹣2时，y＝6+3m，当x时，ym+2， ∵﹣2≤x1≤m+1，﹣2≤x2≤m+1， ∴|y1﹣y2|的最大值为6+3m﹣（m+2）2m+4， ∵|y1﹣y2|≤16恒成立， ∴2m+4≤16． ∴﹣12≤m≤4， ∵m≥2， ∴2≤m≤4， ∴m的最大值为4， ∴A、B两点的最大距离为4﹣（﹣4）＝8． 故答案为：8． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标的特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 6．（2024•金华一模）已知二次函数． （1）若点（b﹣2，c）在该函数图象上，则b的值为 　2或﹣2　． （2）若点（b﹣2，y1），（2b，y2），（2b+6，y3）都在该函数图象上，且y1＜y2＜y3，则b的取值范围为 　b＞2或﹣3＜b＜﹣2　． 【分析】（1）把点（b﹣2，c）代入即可求出b的值； （2）根据题意即可得到|b﹣2﹣b|＜|2b﹣b|＜|2b+6﹣b|，即2＜|b|＜|b+6|，解不等式求得即可． 【解答】解：（1）把点（b﹣2，c）代入，得c（b﹣2）2﹣b（b﹣2）+c， ∴b＝±2， 故答案为：2或﹣2； （2）二次函数的图象开口向上，对称轴是直线xb， ∵点（b﹣2，y1），（2b，y2），（2b+6，y3）都在该函数图象上，且y1＜y2＜y3， ∴|b﹣2﹣b|＜|2b﹣b|＜|2b+6﹣b|，即2＜|b|＜|b+6|， 当b＞0时，b＞2， 当﹣6＜b＜0时，﹣3＜b＜﹣2， 当b＜﹣6时，不合题意， ∴b＞2或﹣3＜b＜﹣2． 故答案为：b＞2或﹣3＜b＜﹣2． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象和性质，熟悉二次函数的图象和性质是解题的关键． 【题型2 二次函数图象上点的坐标特征】 牢记一句话，“点在图象上，点的坐标符合其对应解析式”，所以当条件给出“点P在抛物线图象上时”首选带入解析式，得参数字母所在的等量关系，再结合其他题目要求解决后续问题 1．（2024•钱塘区二模）已知点A（n，y1），B（n+3，y2）在函数y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣2）（a≠0，m为常数）的图象上，则下列判断正确的是（　　） A．当a＞0时，若y1＜0，则y2＜0 B．当a＞0时，若y1＞0，则y2＞0 C．当a＜0时，若y1＜0，则y2＜0 D．当a＜0时，若y1＞0，则y2＜0 【分析】依据题意，由点A（n，y1），B（n+3，y2）在函数y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣2）（a≠0，m为常数）的图象上，从而y1＝a（n﹣m）（n﹣m﹣2），y2＝a（n﹣m+3）n﹣m+1），进而根据a＞0和a＜0分别进行分析即可得解． 【解答】解：由题意，∵点A（n，y1），B（n+3，y2）在函数y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣2）（a≠0，m为常数）的图象上， ∴y1＝a（n﹣m）（n﹣m﹣2），y2＝a（n﹣m+3）n﹣m+1）． 当a＞0时， ①若y1＜0， ∴a（n﹣m）（n﹣m﹣2）＜0． ∴（n﹣m）（n﹣m﹣2）＜0． ∴0＜n﹣m＜2． ∴（n﹣m+3）n﹣m+1）＞0． ∴y2＝a（n﹣m+3）n﹣m+1）＞0，故A错误，不合题意． ②若y1＞0， ∴a（n﹣m）（n﹣m﹣2）＞0． ∴（n﹣m）（n﹣m﹣2）＞0． ∴n﹣m＜0或n﹣m＞2． ∴（n﹣m+3）n﹣m+1）的符号不确定． 故B错误，不合题意． 当a＜0时， ①若y1＜0， ∴a（n﹣m）（n﹣m﹣2）＜0． ∴（n﹣m）（n﹣m﹣2）＞0． ∴n﹣m＜0或n﹣m＞2． ∴（n﹣m+3）n﹣m+1）的符号不确定． 故C错误，不合题意． ②若y1＞0， ∴a（n﹣m）（n﹣m﹣2）＞0． ∴（n﹣m）（n﹣m﹣2）＜0． ∴0＜n﹣m＜2． ∴（n﹣m+3）（n﹣m+1）＞0． ∴y2＝a（n﹣m+3）n﹣m+1）＜0，故D正确，符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 2．（2024•拱墅区一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（其中a，b，c是常数，且a＞0）的图象过点（1，m），（2，c），（3，n）（　　） A．若c﹣m＞1，则n﹣m＞4 B．若c﹣m＞1，则n﹣m＜3 C．若c﹣m＜1，则n﹣m＜5 D．若c﹣m＜1，则n﹣m＞3 【分析】由y＝ax2+bx+c（其中a，b，c是常数，且a＞0）可知图象开口向上，与y轴的交点坐标为（0，c），利用抛物线的对称性求得1，则b＝﹣2a，根据图象上点的坐标特征得到m＝a+b+c，n＝9a+3b+c，c＝4a+2b+c，根据题意得到当c﹣m＞1时，a＞1，当c﹣m＜1时，0＜a＜1，由n﹣m＝8a+2b＝8a﹣4a＝4a即可求得n﹣m的取值范围． 【解答】解：∵a＞0，图象开口向上，与y轴的交点坐标为（0，c）， ∴抛物线的对称轴为直线x1， ∴1， ∴b＝﹣2a， ∵1＜2＜3， ∴m＜c＜n， ∵二次函数y＝ax2+bx+c（其中a，b，c是常数，且a＞0）的图象过点（1，m），（2，c），（3，n）， ∴m＝a+b+c，n＝9a+3b+c，c＝4a+2b+c， 当c﹣m＞1时， ∴3a+b＞1， ∴3a﹣2a＞1， ∴a＞1， ∴n﹣m＝8a+2b＝8a﹣4a＝4a＞4． 当c﹣m＜1时， ∴3a+b＜1， ∴3a﹣2a＜1， ∴0＜a＜1， ∴n﹣m＝8a+2b＝8a﹣4a＝4a， ∴0＜n﹣m＜4． 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，图象上点的坐标满足解析式是解题的关键． 3．（2024•西湖区一模）已知二次函数y＝a（x+m﹣4）（x﹣m）（a≠0，a，m是常数）的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2）（其中x1＜x2）（　　） A．若a＞0，x1+x2＜5，则a（y1﹣y2）＜0 B．若a＞0，x1+x2＜3，则a（y1﹣y2）＞0 C．若a＜0，x1+x2＞3，则a（y1﹣y2）＜0 D．若a＜0，x1+x2＞5，则a（y1﹣y2）＞0 【分析】由二次函数的解析式求得对称轴为直线x＝2，然后判断y1与y2的大小，即可判断每个选项正误． 【解答】解：∵y＝a（x+m﹣4）（x﹣m）（a≠0，a，m是常数）， ∴y＝0时，x1＝4﹣m，x2＝m， ∴二次函数y＝a（x+m﹣4）（x﹣m）（a≠0，a，m是常数）的对称轴为直线x2， 当a＞0时，当x1+x2＜5时， ∴2.5， 当时，y1＞y2， 则a（y1﹣y2）＞0；故A选项错误，不合题意； 当a＞0时，当x1+x2＜3时， ∴， ∴y1＞y2， ∴y1﹣y2＞0， ∴a（y1﹣y2）＞0；故B选项正确，符合题意； 当a＜0时，当x1+x2＞3时， ∴当2时，y1＜y2， 则a（y1﹣y2）＞0；故选项C错误，不合题意； 当a＜0时，当x1+x2＞5时， ∴2， ∴y1＞y2， 则a（y1﹣y2）＜0；故选项D错误，不合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，判断出y1与y2的大小是解题的关键． 4．（2024•金华三模）点M（x1，y1），N（x2，y2）在二次函数y＝x2﹣4x的图象上，若对任意的x1，x2，满足a﹣1＜x1＜a和a+1＜x2＜a+2时，都有y1≠y2，则a的取值范围是 　a≥2或a≤1　． 【分析】根据题意，先求出x1与x2连线的中垂线x，在aa+1范围之外确定范围即可． 【解答】解：二次函数y＝x2﹣4x的对称轴为直线x2，若a﹣1＜x1＜a和a+1＜x2＜a+2时，都有y1≠y2， x表示x1与x2连线的中垂线，根据题意则有aa+1， ∴要使y1≠y2，则对称轴不在可取范围内， 即a≥2或a+1≤2， 解得a≥2或a≤1． 故答案为：a≥2或a≤1． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是关键． 5．（2024•浙江一模）已知点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）均在二次函数y＝3（x+1）2﹣7的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是 　y3＞y1＞y2　.（用“＞”连接） 【分析】先确定抛物线的开口向上和对称轴x＝﹣1，再根据距离对称轴越大函数值就越大比较即可． 【解答】解：二次函数y＝3（x+1）2﹣7的图象开口向上，对称轴是直线x＝﹣1， 点B（﹣1，y2）在对称轴上， ∴y2最小， 点A（﹣2，y1）距离对称轴有﹣1﹣（﹣2）＝1个单位， C（1，y3）距离对称轴有1﹣（﹣1）＝2个单位， ∴y3＞y1＞y2． 故答案为：y3＞y1＞y2． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，开口向上距离对称轴越大函数值就越大． 考向二：二次函数与系数的关系 【题型3 二次函数与系数的关系】 1、二次函数图象与系数a、b、c的关系 a的特征与作用 b的特征与作用(a与b“左同右异”） c的特征与作用 2、二次函数图象题符号判断类问题大致分为以下几种基本情形∶ ①a、b、c单个字母的判断，a 由开口判断，b由对称轴判断（左同右异），c由图象与y轴交点判断; ②含有a、b两个字母时，考虑对称轴; ③含有a、b、c三个字母，且a 和b系数是平方关系，给x取值，结合图像判断， 例如∶二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）， 当x=1时，y=a+b+c， 当x=-1时，y=a-b+c， 当x=2时，y=4a+2b+c 当x=-2 时，y=4a-2b+c; 另：含有 a、b、c 三个字母，a和b系数不是平方关系，想办法消掉一到两个字母再判断∶ ④含有b2和 4ac，考虑顶点坐标，或考虑△. ⑤其他类型，可考虑给x取特殊值，联立方程进行判断;也可结合函数最值，图像增减性进行判断。 1．（2024•温州模拟）对于一个函数：当自变量x取a时，其函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．若二次函数y＝x2+2x+c（c为常数）有两个不相等且都小于1的不动点，则c的取值范围是（　　） A．c＜﹣3 B．﹣3＜c＜﹣2 C．﹣2＜c D．c 【分析】由函数的不动点概念得出x1、x2是方程x2+2x+c＝x的两个实数根，由Δ＞0且x＝1时y＞0，即可求解． 【解答】解：由题意知二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2是方程x2+2x+c＝x的两个不相等实数根，且x1、x2都小于1， 整理，得：x2+x+c＝0， 由x2+x+c＝0有两个不相等的实数根知：Δ＞0，即1﹣4c＞0①， 令y＝x2+x+c，画出该二次函数的草图如下： 而x1、x2（设x2在x1的右侧）都小于1，即当x＝1时，y＝x2+x+c＝2+c＞0②， 联立①②并解得：﹣2＜c； 故选：C． 【点评】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是理解并掌握不动点的概念，并据此得出关于c的不等式． 2．（2024•青田县校级模拟）已知二次函数y＝﹣x2+2cx+c的图象经过点A（a，c），B（b，c），且满足0＜a+b＜2．当﹣1≤x≤1时，该函数的最大值m和最小值n之间满足的关系式是（　　） A．n＝﹣3m﹣4 B．m＝﹣3n﹣4 C．n＝m﹣m2 D．m＝n2+n 【分析】由二次函数y＝x2+2cx+c的图象经过点A（a，c），B（b，c）两点，得出对称轴为直线，即可得出对称轴在0＜c＜1之间，根据函数的最大值是x＝c时所对应的函数值，函数的最小值是x＝﹣1时所对应的函数值，求解即可． 【解答】解：∵二次函数y＝x2+2cx+c的图象与x轴交于A（a，c），B（b，c）两点， ∴图象开口向上，对称轴为直线， ∵0＜a+b＜2， ∴0＜c＜1， ∴当﹣1≤x≤1时，函数的最大值是x＝c时所对应的函数值，函数的最小值是x＝﹣1时所对应的函数值， ∴m＝﹣c2+2c2+c＝c2+c，n＝﹣1﹣2c+c＝﹣c﹣1， ∴m＝n2+n 故选：D． 【点评】本题主要考查了抛物线的图象与性质，判断对称轴在0～1之间、确定函数的最大值是x＝c时所对应的函数值，函数的最小值是x＝﹣1时所对应的函数值是解题的关键． 3．（2024•嘉兴二模）已知直线y＝﹣x﹣3与抛物线y＝（x﹣m）2﹣4对称轴左侧部分的图象有且只有一个交点，则m的取值范围是（　　） A． B．或 C．m≤1 D．m≤1或 【分析】依据题意，当直线y＝﹣x﹣3与抛物线y＝（x﹣m）2﹣4相切时符合题意，则﹣x﹣3＝（x﹣m）2﹣4，即x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣1＝0，从而Δ＝（2m﹣1）2﹣4（m2﹣1）＝0，可得m的值；又当抛物线过（0，﹣3），且对称轴在y轴右侧，则m2﹣4＝﹣3（m＞0）． 出m＝1，此时刚好在对称轴左侧有一个交点，又继续向左平移符合题意，故m≤1，进而可以判断得解． 【解答】解：由题意，当直线y＝﹣x﹣3与抛物线y＝（x﹣m）2﹣4相切时符合题意， ∴﹣x﹣3＝（x﹣m）2﹣4，即x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣1＝0． ∴Δ＝（2m﹣1）2﹣4（m2﹣1）＝0． ∴m． 又当抛物线过（0，﹣3），且对称轴在y轴右侧， ∴m2﹣4＝﹣3（m＞0）． ∴m＝1，此时刚好在对称轴左侧有一个交点． 又继续向左平移符合题意， ∴m≤1． 综上，m≤1或m． 故选：D． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 4．（2024•长兴县模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），对称轴为直线x＝1，下列结论中：①a﹣b+c＞0；②若点（﹣3，y1），（2，y2），（6，y3）均在该二次函数图象上，则y1＜y3＜y2；③方程ax2+bx+c+1＝0的两个实数根为x1，x2，且x1＜x2，则x1＜﹣2，x2＞4；④若m为任意实数，则am2+bm+c≤﹣9a．正确结论的序号为（　　） A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①③ 【分析】依据题意，由抛物线经过（﹣2，0），再结合二次函数的性质可判断①，由各点到抛物线对称轴的距离大小可判断从而判断②，由抛物线的对称性可得抛物线与x轴交点坐标，从而判断③，由x＝1时y取最大值可判断④． 【解答】解：由题意，∵对称轴是直线x＝1，a＜0， ∴当x＜1时，y随x的增大而增大． ∵﹣2＜﹣1，抛物线过点（﹣2，0）， ∴当x＝﹣1时y＝a﹣b+c＞0，故①正确． ∵a＜0， ∴抛物线开口向下． 又点（﹣3，y1），（2，y2），（6，y3）均在该二次函数图象上，且点（6，y3）到对称轴的距离最大，点（2，y2）到对称轴的距离最小， ∴y3＜y1＜y2，②错误． ∵方程ax2+bx+c+1＝0的两实数根为x1，x2， ∴抛物线与直线y＝﹣1的交点的横坐标为x1，x2． 由抛物线对称性可得抛物线与x轴另一交点坐标为（4，0）， ∴抛物线与x轴交点坐标为（﹣2，0），（4，0）， ∵抛物线开口向下，x1＜x2， ∴x1＜﹣2，x2＞4，故③正确． ∵1， ∴b＝﹣2a． ∵4a﹣2b+c＝0， ∴c＝2b﹣4a＝﹣8a， ∵抛物线的最大值为a+b+c， ∴若m为任意实数，则am2+bm+c⩽a+b+c＝a﹣2a﹣8a＝﹣9a， ∴am2+bm+c⩽﹣9a，故④正确． 故选：B． 【点评】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系． 5．（2025•浙江一模）抛物线y＝ax2+bx+c经过A（0，4）和B（2，0）两点． （1）求c的值及a，b满足的关系式； （2）抛物线同时经过两个不同的点M（k，m）和N（﹣2﹣k，m），求b的值； （3）若抛物线在A和B两点间y随x的增大而减少，求a的取值范围． 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）利用两点是纵坐标相同，可求得抛物线的对称轴，再利用（1）的结论即可求解； （3）利用分类讨论的方法分a＞0和a＜0两种情况，结合图象列出不等式，解不等式即可求解． 【解答】解：（1）抛物线y＝ax2+bx+c经过A（0，4）， ∴c＝4； ∵抛物线y＝ax2+bx+c经过B（2，0）， ∴4a+2b+c＝0． ∴4a+2b＝﹣4． ∴a，b满足的关系式为：2a+b＝﹣2； （2）∵抛物线同时经过两个不同的点M（k，m）和N（﹣2﹣k，m）， ∴抛物线的对称轴为直线x1． ∴1． ∴b＝2a． ∴b+b＝﹣2． ∴b＝﹣1． （3）∵2a+b＝﹣2，c＝4， ∴抛物线解析式为y＝ax2+（﹣2﹣2a）x+4＝0． ∴抛物线的对称轴为：x． 当a＞0时， ∵抛物线在A和B两点间y随x的增大而减少， ∴抛物线的对称轴经过点B或在点B的右侧． ∴2． ∴0＜a≤1． 当a＜0时， ∵抛物线在A和B两点间y随x的增大而减少， ∴抛物线的对称轴经过点A或在点A的左侧． ∴0． ∴﹣1≤a＜0． 综上，若抛物线在A和B两点间y随x的增大而减少，a的取值范围为0＜a≤1或﹣1≤a＜0． 【点评】本题主要考查了待定系数法，数形结合法，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 6．（2025•浙江一模）在平面直角坐标系中，设二次函数y＝x2+bx+c（b，c是常数）． （1）若c＝2，当x＝﹣1时，y＝4，求y的函数表达式． （2）当c＝b﹣2时，判断函数y＝x2+bx+c与x轴的交点个数，并说明理由． （3）当m≤x≤2时，该函数图象顶点为，最大值与最小值差为5，求m的值． 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）求出根的判别式即可判断； （3）分3种情况求解：当时；当时；当m≤﹣3时． 【解答】解：（1）把c＝2代入得，y＝x2+bx+2， ∵当x＝﹣1时，y＝4， ∴4＝1﹣b+2， ∴b＝﹣1， ∴二次函数的关系式为y＝x2﹣x+2； （2）∵c＝b﹣2， ∴Δ＝b2﹣4c ＝b2﹣4（b﹣2） ＝b2﹣4b+8＝（b﹣2）2+4＞0， ∴函数y＝x2+bx+c的图象与x轴有两个交点； （3）∵的对称轴为直线：， 当时， ∴函数最大值为：y＝22+2+2＝8， 函数最小值为y＝m2+m+2， ∴8﹣m2﹣m﹣2＝5，即m2+m﹣1＝0， 解得：（舍去）， ∴； 当时， ∴函数最大值为：y＝22+2+2＝8， 函数最小值为， ∴，不符合题意； 当m≤﹣3时， ∴函数最大值为：y＝m2+m+2， 函数最小值为， ∴，即， ∴（两个都不符合题意，舍去）； ∴m的值为． 【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数的图象与性质，掌握以上性质是解题的关键． 【题型4 二次函数与最值】 含参数的二次函数区间范围内最值问题： 1．（2024•鹿城区校级三模）已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣a（a≠0），当﹣1≤x≤4时，y的最小值为﹣4，则a的值为（　　） A．或4 B．4或 C．或4 D．或 【分析】分两种情况讨论：当a＞0时，﹣a＝﹣4，解得a＝4；当a＜0时，在﹣1≤x≤4，9a﹣a＝﹣4，解得a． 【解答】解：y＝a（x﹣1）2﹣a的对称轴为直线x＝1， 顶点坐标为（1，﹣a）， 当a＞0时，在﹣1≤x≤4，函数有最小值﹣a， ∵y的最小值为﹣4， ∴﹣a＝﹣4， ∴a＝4； 当a＜0时，在﹣1≤x≤4，当x＝4时，函数有最小值， ∴9a﹣a＝﹣4， 解得a； 综上所述：a的值为4或， 故选：B． 【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据二次函数的性质，在指定的范围内准确求出函数的最小值是解题的关键． 2．（2024•路桥区二模）已知二次函数，（m，n为常数，n≠0）的最小值分别为p，q，（　　） A．若p+q＝0，则p＝q＝0 B．若p﹣q＝0，则p＝q＝0 C．若p+q＝1，则p＝q＝0.5 D．若p﹣q＝1，则p＝1，q＝0 【分析】根据对称轴公式求出y1和y2的对称轴，再依据二次函数，（m，n为常数，n≠0）都有最小值可知，两抛物线开口都是向上，进而得出pn，q1，结合条件得出p+q＝0，列出方程求解即可． 【解答】解：由两函数表达式可知， 函数y1的对称轴 为x， 函数y2的对称轴为直线x， ∵二次函数，（m，n为常数，n≠0）的最小值分别为p，q，（ ∴两函数图象均开口向上，两函数均在对称轴上取到最小值， 则有pn，q1， 若p+q＝0，则有n10， 解得：8n＝m2或n＝﹣1（舍去）， 将m2＝8n代入p，q得：p＝q＝0， 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，解题的关键是熟练掌握二次函数的对称轴及二次函数最大（小）值的求法． 3．（2024•滨江区二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（﹣4，k﹣2），B（﹣2，k），C（2，k）．当0≤m≤x≤m+1时，该函数有最大值p和最小值q，则p﹣q（　　） A．有最大值 B．无最大值 C．有最小值 D．无最小值 【分析】由题意可知对称轴为y轴，则函数为y＝ax2+c，利用待定系数法求得yx2+c，由当0≤m≤x≤m+1时，该函数有最大值p和最小值q，即可得出pm2+c，q（m+1）2+c，进一步求得p﹣qm2（m+1）2m，得到p﹣q无最大值． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（﹣4，k﹣2），B（﹣2，k），C（2，k）， ∴对称轴为直线x0， ∴0， ∴b＝0． ∴y＝ax2+c． 把点A、B的坐标代入得， 解得a， ∴yx2+c， ∵当0≤m≤x≤m+1时，该函数有最大值p和最小值q， ∴pm2+c，q（m+1）2+c， ∴p﹣qm2（m+1）2m， ∵0≤m， ∴p﹣q无最大值． 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的最值，二次函数图象上点的坐标特征，求得抛物线开口向下，对称轴为y轴是解题的关键． 4．（2024•瓯海区校级三模）已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+2，当m≤x≤m+2时，函数y的最大值是3，则m的取值范围是（　　） A．m≥﹣1 B．m≤2 C．﹣3≤m≤﹣1 D．0≤m≤2 【分析】依据题意，由y＝﹣x2﹣2x+2＝﹣（x+1）2+3，可得当x＝﹣1时，y取最大值是3，又当m≤x≤m+2时，函数y的最大值是3，故m≤﹣1≤m+2，进而计算可以得解． 【解答】解：由题意，∵y＝﹣x2﹣2x+2＝﹣（x+1）2+3， ∴当x＝﹣1时，y取最大值是3． 又当m≤x≤m+2时，函数y的最大值是3， ∴m≤﹣1≤m+2． ∴﹣3≤m≤﹣1． 故选：C． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 5．（2024•仙居县二模）已知二次函数y＝（x﹣m）2（m为常数），当x1≤x≤x2时，y1≤y≤y2，若m≤x1，且y2﹣y1＝2，则x2﹣x1的最大值等于 　　． 【分析】依据题意，由二次函数y＝（x﹣m）2，且抛物线开口向上，故当x≥m时，y随x的增大而增大．，结合y2﹣y1＝2，则（x2﹣m）2﹣（x1﹣m）22（x2﹣x1）m＝2，从而x2﹣x1，故要使得x2﹣x1的最大值，只要x2+x1最小，即x1＝m，则y1＝0，从而y2＝y1+2＝2，求出m后即可判断得解． 【解答】解：由题意，∵二次函数y＝（x﹣m）2， 又抛物线开口向上， ∴当x≥m时，y随x的增大而增大． ∵m≤x1≤x≤x2， ∴0≤y1≤y2． ∵y2﹣y1＝2， ∴（x2﹣m）2﹣（x1﹣m）22（x2﹣x1）m＝2． ∴x2﹣x1． 要使得x2﹣x1的最大值， ∴x2+x1最小． ∴x1＝m，则y1＝0． ∴y2＝y1+2＝2． ∴（x2﹣m）2＝2． ∴x2＝m或x2＝m（舍去）． ∴x2﹣x1＝mm． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 6．（2024•婺城区校级模拟）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣2，点O为平面直角坐标系原点，点A坐标为（4，2）． （1）抛物线必经过的定点是 　（0，﹣2）　，　（2，﹣2）　． （2）若抛物线过点A，当0≤x≤3时函数的最大值为p，最小值为q，求p+q的值． （3）若抛物线与线段OA只有一个交点，求a的取值范围． 【分析】（1）由题意得y＝ax2﹣2ax﹣2＝ax（x﹣2）﹣2，在根据当x＝0或x＝2时，ax（x﹣2）＝0，即可求解； （2）利用待定系数法求得解析式为，再根据二次函数的性质即可求解； （3）根据题意得OA的解析式为，y＝ax2﹣2ax﹣2＝a（x﹣1）2﹣2﹣a，顶点为（1，﹣2﹣a），分两种情况：当a＞0时，原点在（0，﹣2）上方，顶点（1，﹣2﹣a）在线段OA下方，当a＜0时，原点在（0，﹣2）上方，（4，8a﹣2）在A（4，2）下方，根据抛物线与线段OA只有一个交点分别讨论即可求解． 【解答】解：（1）∵y＝ax2﹣2ax﹣2＝ax（x﹣2）﹣2， ∴当x＝0时，y＝﹣2，当x＝2时，y＝﹣2， ∴抛物线必经过定点（0，﹣2）和（2，﹣2）， 故答案为：（0，﹣2），（2，﹣2）； （2）将A（4，2）代入y＝ax2﹣2ax﹣2，得16a﹣8a﹣2＝2，解得， 即：抛物线的解析式为：， 当0≤x≤1时，y随x增大而减小，当1＜x≤3时，y随x增大而增大， 当x＝3时，，当x＝0时，y＝﹣2， 则当0≤x≤3时函数的最大值为，最小值为，即：，， ∴； （3）∵点A坐标为（4，2）， ∴OA的解析式为， y＝ax2﹣2ax﹣2＝a（x﹣1）2﹣2﹣a，则顶点为（1，﹣2﹣a）， 若x＝0，则y＝﹣2，若x＝4，则y＝8a﹣2， 当a＞0时，原点在（0，﹣2）上方，顶点（1，﹣2﹣a）在线段OA下方， 要使抛物线与线段OA只有一个交点，需使得（4，8a﹣2）在A（4，2）上方， ∴8a﹣2＞2，解得； 当a＜0时，原点在（0，﹣2）上方，（4，8a﹣2）在A（4，2）下方， 要使抛物线与线段OA只有一个交点，只需要使得有两个相等的解， 即：有两个相等的解，且该解x1＝x2在0到4之间， ∴， 解得：， 又∵，则， ∴， ∴； 综上，抛物线与线段OA只有一个交点时，或． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，二次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，函数与方程的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的根据． 考向三：二次函数与方程、不等式的关系 【题型5 待定系数法求抛物线的解析式】 待定系数法求解抛物线的解析式通常都是解答题的第1问，求解的基本步骤是：①设解析式，②代入点的坐标，③解对应方程（组），④得到对应解析式。 1．（2024•钱塘区三模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象经过点（﹣1，0），且对任意x的值，始终成立，则该二次函数的解析式为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据当x＝1时，y1，y≥x，得出当x＝1时y＝1，再根据图象经过点（﹣1，0），得出b，ca，再根据对任意实数x，恒有y≥x，即ax2+（b﹣1）x+c≥0恒成立，整理得ax2x+c≥0，然后由判别式Δ≤0求出a的值，从而得出结论． 【解答】解：由已知可知，当x＝1时，y1， ∵y≥x， ∴当x＝1时，y≥1， 即1≤y≤1， ∴x＝1时，y＝1； 当x＝1时，y＝1，当x＝﹣1时，y＝0， 即a+b+c＝1，a﹣b+c＝0， 解得：b，ca， ∵对任意实数x，恒有y≥x， ∴ax2+（b﹣1）x+c≥0恒成立，即ax2x+c≥0， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（）2﹣4a（a）≤0，即（a）2≤0， 解得：a， 此时c， 故抛物线的表达式为：yx2x． 故选：D． 【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，关键是利用二次函数与x轴的位置关系和不等式的性质解答． 2．（2024•上城区校级模拟）把一块含30°角的三角尺放在平面直角坐标系中，使斜边与x轴重合，直角顶点落在y轴上，若三角尺的最短边长为2，则经过该三角尺三个顶点的抛物线的解析式为 　yx2x或yx2x或yx2x或yx2x　． 【分析】设AC＝2，∠B＝30°，∠ACB＝90°，分点A在x轴负半轴，点A在x轴正半轴，直角顶点C在y轴正半轴和直角顶点C在y轴负半轴四种情况讨论即可． 【解答】解：①设AC＝2，∠B＝30°，∠ACB＝90°，点A在x轴负半轴， 当直角顶点C在y轴正半轴时，如图所示： ∴AB＝4，BC＝2， ∵OC⊥AB，∠B＝30°， ∴OC，OB＝3， ∴OA＝1， ∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，）， 设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3）， 把C点坐标代入抛物线解析式得：﹣3a， 解得a， ∴抛物线解析式为y（x+1）（x﹣3）x2x； 当点C在y轴负半轴时，此时的抛物线与yx2x关于x轴对称， ∴抛物线解析式为yx2x； ②设AC＝2，∠B＝30°，∠ACB＝90°，点A在x轴正半轴， 当直角顶点C在y轴正半轴时，如图所示： 同①得，A（1，0），B（﹣3，0），C（0，）， 设抛物线解析式为y＝m（x﹣1）（x+3）， 把C点坐标代入抛物线解析式得：﹣3m， 解得m， 抛物线解析式为y（x﹣1）（x+3）x2x； 当点C在y轴负半轴时，此时的抛物线与yx2x关于x轴对称， ∴抛物线解析式为yx2x； 综上抛物线解析式为yx2x或yx2x或yx2x或yx2x， 故答案为：yx2x或yx2x或yx2x或yx2x． 【点评】本题考查了定点系数法求函数解析式和含30度角的三角形，关键是分情况讨论，求出A，B，C坐标． 3．（2024•瑞安市校级模拟）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），（0，3）． （1）求这个二次函数的表达式． （2）当﹣2≤x≤t时，函数的最大值为m，最小值为n，若m﹣n＝9，求t的取值范围． 【分析】（1）依据题意，抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），（0，3），从而可得a+2a+c＝0，且c＝3，可得a的值，进而可得函数的表达式； （2）依据题意，由y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，故当x＝1时，y取最大值为4，再结合t≤1和t＞1分别进行讨论，同时结合m﹣n＝9即可判断得解． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），（0，3）， ∴a+2a+c＝0，且c＝3． ∴a＝﹣1． ∴所求二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+3． （2）由题意，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴当x＝1时，y取最大值为4． ①当t≤1时， 又﹣2≤x≤t， ∴当x＝t时，y取最大值为﹣t2+2t+3＝m； 当x＝﹣2时，y取最小值为﹣4﹣4+3＝n． 又m﹣n＝9， ∴﹣t2+2t+3﹣（﹣5）＝9． ∴t2﹣2t+1＝0． ∴t＝1． ②当t＞1时， 若t﹣1≤1﹣（﹣2），即t≤4， ∴1＜t≤4． ∴当x＝1时，y取最大值为﹣12+2+3＝4＝m； 当x＝﹣2时，y取最小值为﹣4﹣4+3＝﹣5＝n，此时m﹣n＝9，符合题意． 若t﹣1＞1﹣（﹣2），即t＞4， ∴当x＝1时，y取最大值为﹣12+2+3＝4＝m； 当x＝t时，y取最小值为﹣t2+2t+3＝n． 又m﹣n＝9， ∴n＝﹣5． ∴﹣t2+2t+3＝﹣5． ∴t＝﹣2或t＝4，不合题意． 综上，1≤t≤4． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 4．（2024•丽水一模）设二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0，b是常数），已知函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示： x … ﹣1 0 1 2 3 … y … m 1 n 1 p … （1）若m＝0时，求二次函数的表达式； （2）当﹣1≤x≤3时，y有最小值为，求a的值； （3）若a＜﹣3，求证：n﹣m﹣p＞20． 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）利用抛物线的对称性得出抛物线的对称轴为直线x＝1，利用二次函数的性质得到当x＝1时，函数y取得最小值，再利用待定系数法解答即可； （3）利用抛物线的对称轴为直线x＝1，得到b＝﹣2a，则y＝ax2﹣2ax+1，利用表格求得m，np的值，并计算出n﹣m﹣p＝﹣7a﹣1，再利用不等式的性质解答即可得出结论． 【解答】（1）解：当m＝0时，抛物线y＝ax2+bx+1经过（﹣1，0），（0，1），（2，1）三点， ∴， ∴， ∴二次函数的表达式为yx+1； （2）解：∵抛物线y＝ax2+bx+1经过（0，1），（2，1）两点， ∴当x＝0或x＝2时，y＝1， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴y＝ax2﹣2ax+1， ∵当﹣1≤x≤3时，y有最小值为， ∴如果a＞0，当x＝1时，函数y取得最小值， ∴， ∴． ∴a的值为； 如果a＜0，则x＝﹣1或x＝3时，函数y取得最小值， ∴a×（﹣1）2﹣2a×（﹣1）+1， ∴a． 综上，a的值为或． （3）证明：由（2）知：抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴1， ∴b＝﹣2a． ∴y＝ax2﹣2ax+1， ∴m＝a×（﹣1）2﹣2a×（﹣1）+1＝3a+1，n＝a﹣2a+1＝﹣a+1，p＝m＝3a+1， ∴n﹣m﹣p＝﹣a+1﹣（3a+1）﹣（3a+1）＝﹣7a﹣1． ∵a＜﹣3， ∴﹣7a＞21， ∴﹣7a﹣1＞20． 即：n﹣m﹣p＞20． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质，待定系数法，抛物线上点的坐标的特征，二次函数的极值，熟练掌握二次函数的性质和待定系数法是解题的关键． 5．（2024•浙江）已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（﹣2，5），对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若点B（1，7）向上平移2个单位长度，向左平移m（m＞0）个单位长度后，恰好落在y＝x2+bx+c的图象上，求m的值； （3）当﹣2≤x≤n时，二次函数y＝x2+bx+c的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 【分析】（1）依据题意，由二次函数为y＝x2+bx+c，可得抛物线为直线x，可得b的值，再由图象经过点A（﹣2，5），求出c的值，进而可以得解； （2）依据题意，由点B（1，7）向上平移2个单位长度，向左平移m个单位长度（m＞0），进而可得平移后的点为（1﹣m，9），结合（1﹣m，9）在y＝x2+x+3图象上，可得9＝（1﹣m）2+（1﹣m）+3，进而计算可以得解； （3）依据题意，由y＝x2+x+3＝（x）2，可得当x时，y取最小值，最小值为，再根据n、n≤1和n＞1进行分类讨论，即可计算得解． 【解答】解：（1）由题意，∵二次函数为y＝x2+bx+c， ∴抛物线的对称轴为直线x． ∴b＝1． ∴抛物线为y＝x2+x+c． 又图象经过点A（﹣2，5）， ∴4﹣2+c＝5． ∴c＝3． ∴抛物线为y＝x2+x+3． （2）由题意，∵点B（1，7）向上平移2个单位长度，向左平移m个单位长度（m＞0）， ∴平移后的点为（1﹣m，9）． 又（1﹣m，9）在y＝x2+x+3， ∴9＝（1﹣m）2+（1﹣m）+3． ∴m＝4或m＝﹣1（舍去）． ∴m＝4． （3）由题意，当 时， ∴最大值与最小值的差为． ∴，不符合题意，舍去． 当n≤1 时， ∴最大值与最小值的差为，符合题意． 当n＞1时，最大值与最小值的差为 ，解得 n1＝1 或 n2＝﹣2，不符合题意． 综上所述，n的取值范围为n≤1． 【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值、坐标与图形变化﹣平移，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 【题型6 抛物线与x轴交点问题】 1、求抛物线与x轴的交点，就是让抛物线解析式的y=0，就得到了一元二次方程，而①一元二次方程的解法、②根的判别式、③根与系数的关系等性质也就分别对应①抛物线与x轴交点横坐标、②交点个数、③交点横坐标与其对称轴的关系的考点； 2、求抛物线与直线的交点时，联立抛物线与直线的解析式，得新的一元二次方程时，上述结论与用法大多依然适用，使用时注意联想和甄别。 1．（2024•拱墅区校级模拟）已知抛物线y＝x2+bx+c的图象与x轴的两交点的横坐标分别α，β（α＜β），而x2+bx+c﹣2＝0的两根为M、N（M＜N），则α、β、M、N的大小顺序为（　　） A．α＜β＜M＜N B．M＜α＜β＜N C．α＜M＜β＜N D．M＜α＜N＜β 【分析】依题意画出函数y＝（x﹣α）（x﹣β）和y＝2的图象草图，根据二次函数的图象可直接求解． 【解答】解：依题意，画出函y＝（x﹣α）（x﹣β）的图象，如图所示． 函数图象为抛物线，开口向上，与x轴两个交点的横坐标分别为α，β（α＜β）， 方程x2+bx+c﹣2＝0的两根是抛物线y＝（x﹣α）（x﹣β）与直线y＝2的两个交点． 由M＜N，可知对称轴左侧交点横坐标为M，右侧为N． 由图象可知，M＜α＜β＜N， 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，考查了数形结合的数学思想．解题时，画出函数草图，由函数图象直观形象地得出结论，避免了繁琐复杂的计算． 2．（2024•浙江模拟）已知二次函数y＝ax2﹣x﹣c，当y＞0时，﹣2＜x＜1，则二次函数y＝ax2+x﹣c的图象可能为（　　） A． B． C． D． 【分析】依据题意，由二次函数y＝ax2﹣x﹣c，当y＞0时，﹣2＜x＜1，从而可得a＜0，﹣2+11，﹣2×12，进而可以判断得解． 【解答】解：由题意，∵二次函数y＝ax2﹣x﹣c，当y＞0时，﹣2＜x＜1， ∴a＜0，﹣2+11，﹣2×12． ∴二次函数y＝ax2+x﹣c的开口向下，且1，2． 故选：D． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要能熟练掌握并能灵活运用根与系数的关系是关键． 3．（2024•拱墅区二模）二次函数a，b为实数，a＜0）的图象对称轴为直线x＝2，且经过点（m，n）．若二次函数的图象经过点（m﹣2，n），则关于x的方程a（x﹣2）2+b（x﹣2）＝n的解是（　　） A．x1＝2，x2＝4 B．x1＝0，x2＝2 C．x1＝0，x2＝4 D．x1＝2，x2＝6 【分析】依据题意，二次函数的图象是由二次函数a，b为实数，a＜0）的图象向右平移2个单位得到，从而可得当点（m，n）在y1上时，有（m+2，n）在y2上，且平移后对称轴是直线x＝4，又点（m﹣2，n）在y2上，则的对称轴是直线m＝4，故点（2，n），（6，n）在的图象，进而可以判断得解． 【解答】解：由题意，二次函数的图象是由二次函数a，b为实数，a＜0）的图象向右平移2个单位得到， ∴当点（m，n）在y1上时，有（m+2，n）在y2上，且平移后对称轴是直线x＝4． ∵点（m﹣2，n）在y2上， ∴的对称轴是直线m＝4． ∴点（2，n），（6，n）在的图象上． ∴方程a（x﹣2）2+b（x﹣2）＝n的解是x1＝2，x2＝6． 故选：D． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 4．（2024•义乌市二模）如图，抛物线y＝x2+bx﹣3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，且OA＝1． （1）b＝　2　． （2）已知点P为该抛物线上一点且设其横坐标为t（t＜0），记该抛物线在点B与点P之间（包含点B和点P）这部分图象的最高点和最低点到x轴的距离分别为d1，d2．若|d1﹣d2|＝1，则t的取值范围为 　﹣2≤t≤﹣1或t＝﹣4或t1　． 【分析】（1）根据OA＝1得出点A坐标，然后把点A坐标代入解析式求出b即可； （2）结合函数图象和题意分类讨论即可． 【解答】解：（1）∵OA＝1， ∴A（1，0）， 把A（1，0）代入解析式得：1+b﹣3＝0， 解得b＝2， 故答案为：2； （2）由（1）知，抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4， ∴对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（﹣1，﹣4）， 令x＝0，则y＝﹣3， ∴B（0，﹣3）， ∴与点B相同纵坐标的点D（﹣2，﹣3）， ①当﹣1＜t＜0时，由图象知|d1﹣d2|＜1，不合题意； ②当﹣2≤t≤﹣1时，最低点是顶点（﹣1，﹣4），最高点是P点或B点， 满足|d1﹣d2|＝1； ③当t＜﹣2时，最高点时点P，最低点是顶点（﹣1，﹣4），d2＝4， ∵|d1﹣d2|＝1， ∴d1＝3或d1＝5， 当d1＝3时，纵坐标为3，则t2+2t﹣3＝3， 解得t1或t1（舍去）， 此时t1； ④当d1＝5时，纵坐标为5，则t2+2t﹣3＝5， 解得t＝﹣4或t＝2（舍去）， 此时t＝﹣4． 综上所述，t的取值范围为﹣2≤t≤﹣1或t＝﹣4或t1， 故答案为：﹣2≤t≤﹣1或t＝﹣4或t1． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的最值以及二次函数图象上点的坐标特征，关键是结合函数图象分类讨论． 5．（2024•吴兴区二模）已知二次函数y＝x2﹣ax+b在x＝﹣1和x＝5时的函数值相等． （1）求二次函数y＝x2﹣ax+b图象的对称轴； （2）若二次函数y＝x2﹣ax+b的图象与x轴只有一个交点，求b的值． 【分析】（1）依据题意，由二次函数y＝x2﹣ax+b在x＝﹣1和x＝5函数值相等，从而可得对称轴为直线x2，即可得解； （2）依据题意，由（1）得，对称轴是直线x＝2，从而可得a＝4，即得抛物线为y＝x2﹣4x+b，又因为二次函数y＝x2﹣ax+b的图象与x轴只有一个交点，故Δ＝16﹣4b＝0，进而可以得解． 【解答】解：（1）由题意，∵二次函数y＝x2﹣ax+b在x＝﹣1和x＝5函数值相等， ∴对称轴为直线x2． （2）由（1）得，对称轴是直线x＝2， ∴a＝4． ∴抛物线为y＝x2﹣4x+b． 又因为二次函数y＝x2﹣ax+b的图象与x轴只有一个交点， ∴Δ＝16﹣4b＝0． ∴b＝4． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 5．（2024•宁波模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（5，0）． （1）求抛物线解析式； （2）若抛物线y＝x2+bx+c﹣2mx，当2m﹣1≤x≤2m+3时，y有最大值12，求m的值； （3）若将抛物线y＝x2+bx+c平移得到新抛物线y＝x2+bx+c+n，当﹣2＜x＜3时，新抛物线与直线y＝1有且只有一个公共点，直接写出n的取值范围． 【分析】（1）把点A，B坐标代入抛物线用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据函数的性质，当x＝2m﹣1或x＝2m+3时y有最大值12，代入求值即可； （3）根据数形结合求m取值范围即可． 【解答】解：（1）把点A（﹣1，0），B（5，0）代入抛物线y＝x2+bx+c得， ， 解得：， ∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x﹣5； （2）由（1）知，抛物线y＝x2﹣4x﹣5﹣2mx＝x2﹣（4+2m）x﹣5，当2m﹣1≤x≤2m+3时，y有最大值12 ∵抛物线开口向上， ∴最大值只能在x＝2m﹣1或x＝2m+3时取得， 当x＝2m﹣1时，12＝（2m﹣1）2﹣（4+2m）（2m﹣1）﹣5， 解得：m； 当m＝2m+3时，12＝（2m+3）2﹣（4+2m）（2m+3）﹣5， 解得：m＝﹣10（不合题意）， ∴m； （3）由题意得，新抛物线为y＝x2﹣4x﹣5+n是把抛物线y＝x2﹣4x﹣5平移|n|个单位得到的，如图所示： ①当﹣2＜x＜3时，新抛物线与直线y＝1相交且有一个交点时， 则， 解得：﹣6＜n≤9， ②当抛物线与直线y＝1相切时， 就是把抛物线y＝x2﹣4x﹣5＝（x﹣2）2﹣9向上平移10个单位， 即n＝10， ∴n的取值范围为﹣6＜n≤9或n＝10． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，关键是利用分类讨论思想进行解答． 【题型7 二次函数与不等式】 1、当抛物线与x轴相交、与直线相交时，只要有交点，就可以接着考察两图象的上下关系，进而得不等式，根据图象直接写出不等式的解集。 2、由函数图象直接写出不等式解集的方法归纳：①根据图象找出交点横坐标，②不等式中不等号开口朝向的一方，图象在上方，对应交点的左边或右边符合，则x取对应一边的范围。 1．（2025•浙江一模）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+b交于点A（﹣4，p），B（2，q），则关于x的不等式ax2+c＜﹣kx+b的解集是（　　） A．﹣4＜x＜2 B．x＜﹣4或x＞2 C．﹣2＜x＜4 D．x＜﹣2或x＞4 【分析】根据二次函数和一次函数的图象和性质即可求解． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+b交于点A（﹣4，p），B（2，q）， ∴抛物线y＝ax2+c与直线y＝﹣kx+b交于点横坐标为﹣2和4， 如图所示， ∴不等式ax2+c＜﹣kx+b的解集是x＜﹣2或x＞4， 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数和不等式、二次函数与一次函数的交点，解决本题的关键是数形结合，利用图象解决问题． 2．（2024•拱墅区一模）设二次函数y＝ax2+c（a，c为实数，a≠0，c＞0）的图象过点（﹣3，y1），（﹣1，y2），（2，y3），（4，y4），（　　） A．若y1y4＞0，y2+y3＞0，则a＞0 B．若y1y4＞0，y2+y3＜0，则a＞0 C．若y1y4＜0，y2+y3＞0，则a＜0 D．若y1y4＜0，y2+y3＜0，则a＜0 【分析】将三个点的坐标代入解析式，根据每个选项解不等式即可解答． 【解答】解：由题意知： A．y1＝9a+c，y2＝a+c，y3＝4a+c，y4＝16a+c， ∵y1y4＞0，则 （9a+c）（16a+c）＞0，即 ， ∴a＞0或 ，故选项A错误； B．∵y1y4＞0，则 ， ∴，故选项B错误； C．∵y2+y3＞0，则a+c+4a+c＞0，即 5a+2c＞0， ∴，故选项C正确； D．∵y1y4＜0，则（a）（a）＜0， ∴，故选项D错误； 故选：C． 【点评】本题考查二次函数的图象与性质，单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 3．（2024•桐乡市一模）已知二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）的函数值y和自变量x的部分对应值如下表所示： x … ﹣1 0 1 2 3 4 5 … y … y1 3 y2 y3 y4 3 y5 … （1）若y1＝8， ①求二次函数的表达式． ②求不等式ax2+bx+3＜0的解． （2）若在y3，y4，y5中只有一个为负数，求a的取值范围． 【分析】（1）①依据题意，根据表格数据可得对称轴是直线x＝2，设二次函数的表达式为y＝a（x﹣2）2+k，又过（﹣1，8），（0，3），求出a，k的值，进而可以得解； ②依据题意，由①令y＝0，从而（x﹣2）2﹣1＝0，进而可得抛物线与x轴交于（1，0），（3，0），又抛物线开口向上，从而不等式ax2+bx+3＜0的解就是函数y＝ax2+bx+3的图象在y轴下方对应的自变量取值范围，进而可以判断得解； （2）依据题意，由对称轴是直线x＝2，故可分①当a＞0时②当a＜0时分别进行分析即可得解． 【解答】解：（1）根据表格数据可得对称轴是直线x2． ①由题意，设二次函数的表达式为y＝a（x﹣2）2+k， 又过（﹣1，8），（0，3）， ∴． ∴a＝1，k＝﹣1． ∴二次函数的表达式为y＝（x﹣2）2﹣1． ②由①令y＝0， ∴（x﹣2）2﹣1＝0． ∴x＝3或x＝1． ∴抛物线与x轴交于（1，0），（3，0）． 又抛物线开口向上， ∴不等式ax2+bx+3＜0的解就是函数y＝ax2+bx+3的图象在y轴下方对应的自变量取值范围． ∴不等式ax2+bx+3＜0的解是1＜x＜3． （2）由题意，∵对称轴是直线x＝2， ∴①当a＞0时，当x≥2时，y随x的增大而增大． 又2＜3＜5， ∴y3＜y4＜y5． ∵y3，y4，y5中只有一个为负数， ∴y3＜0，且y4≥0． ∴4a+2b+3＜0，且9a+3b+3≥0． 又对称轴是直线x2，即b＝﹣4a， ∴4a﹣8a+3＜0，且9a﹣12a+3≥0． ∴a≤1． ②当a＜0时，当x≥2时，y随x的增大而减小． 又2＜3＜5， ∴y3＞y4＞y5． ∵y3，y4，y5中只有一个为负数， ∴y5＜0，且y4≥0． ∴25a+5b+3＜0，且9a﹣12a+3≥0． 又对称轴是直线x2，即b＝﹣4a， ∴25a﹣20a+3＜0，且9a﹣12a+3≥0． ∴a． 综上，a或a≤1． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 4．（2024•温岭市一模）已知，关于x的二次函数． （1）若函数经过点A（4，﹣3），求抛物线的对称轴． （2）若点P（t﹣2，p），Q（t+3，q）均在抛物线上，则p 　＜　q（填“＞”，“＜”或“＝”）． （3）记y2＝4x2+2x﹣1，当﹣2≤x≤2时，y2＞y1始终成立，求t的取值范围． 【分析】（1）依据题意，由经过点A（4，﹣3），可得t＝2，再由对称轴是直线xt，进而可以判断得解； （2）依据题意，抛物线的对称轴是直线xt，结合y1＝2x2﹣4tx﹣3的开口向上，从而抛物线上点离对称轴越近函数值就越小，又|t﹣2﹣t|＜|t+3﹣t|，故可判断得解； （3）依据题意，令y＝y2﹣y1＝2x2+（2+4t）x+2，又当﹣2≤x≤2时，y2＞y1始终成立，即当﹣2≤x≤2时，y＞0恒成立，再结合抛物线的对称轴为直线xt，进行分类讨论即可判断得解． 【解答】解：（1）由题意，∵经过点A（4，﹣3）， ∴32﹣16t﹣3＝﹣3． ∴t＝2． ∴抛物线的对称轴是直线xt＝2． （2）由题意，抛物线的对称轴是直线xt． ∵y1＝2x2﹣4tx﹣3的开口向上， ∴抛物线上点离对称轴越近函数值就越小． ∵|t﹣2﹣t|＜|t+3﹣t|， ∴p＜q． 故答案为：＜． （3）由题意，令y＝y2﹣y1＝4x2+2x﹣1﹣（2x2﹣4tx﹣3）＝2x2+（2+4t）x+2， 又当﹣2≤x≤2时，y2＞y1始终成立， ∴当﹣2≤x≤2时，y＞0恒成立． 又抛物线的对称轴为直线xt， ∴可分以下情形讨论． ①当2t时，即t． ∵a＝2＞0， ∴当﹣2≤x≤2时，y随x的增大而减小． ∴当x＝2时，y＝8+2（2+4t）+2＞0． ∴t． ∴此时无解． ②当﹣2t≤2时，即t． ∵a＝2＞0， ∴Δ＜0． ∴（2+4t）2﹣16＜0． ∴t． ∴此时t． ③当t≤﹣2时，即t． ∵a＝2＞0， ∴当﹣2≤x≤2时，y随x的增大而增大． ∴当x＝﹣2时，y＝8﹣2（2+4t）+2＞0． ∴t． 故此时无解． 综上，t． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 考向四：二次函数的应用 【题型8 二次函数的简单应用】 1、利用二次函数解决销售中最大利润问题一般步骤如下： ①设自变量，用含自变量的代数式表示销售单价或销售量及销售收入 ②用含自变量的代数式表示销售商品成本 ③用含自变量的关系式分别表示销售利润，根据销售利润=单件利润×销售量，得到函数表达式 ④根据函数表达式求出最值及取得最值时的自变量的值 2、利润最大化问题与二次函数模型 牢记两公式：①单位利润=售价-进价； ②总利润=单件利润×销量； 谨记两转化：①销量转化为售价的一次函数； ②总利润转化为售价的二次函数； 函数性质的应用：常利用二次函数的性质求出在自变量取值范围内的函数最值； 3、“任务型”二次函数的应用问题一般题干较多，所以审题是解决这类题的重点，然后将问题转化为二次函数模型思考。 1．（2024•滨江区二模）如图，一建筑物外墙上嵌有一排一模一样的垂直于墙壁的钢管，这些钢管的下面有一个一边靠墙的长方体水池，水从钢管流出的水都成抛物线，若以钢管的出水口点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，且抛物线的函数表达式都为．若露在墙壁外面的钢管的长度OA＝0.2米（钢管的直径长度忽略不计），钢管离水池水面的高度AB＝1米．要使钢管中流出的水都落在水池里，那水池宽至少是 　2.2　米． 【分析】依据题意，令y＝﹣1，则yx2＝﹣1，求出x后即可判断得解． 【解答】解：由题意，∵令y＝﹣1，则yx2＝﹣1， ∴x2＝4． ∴x＝﹣2或x＝2（舍去）． ∴水池宽至少是2+0.2＝2.2（米）． 故答案为：2.2． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 2．（2024•桐乡市校级一模）某电脑商城准备购进A，B两种型号的电脑，已知每台电脑的进价B型比A型多500元，用16万元购进A型电脑和用18万购进B型电脑的数量相同． （1）A，B两种型号电脑每台进价各是多少？ （2）随着技术的更新，A型号电脑升级为A1型号，该商城计划一次性购进A1，B两种型号电脑共100台，B型号电脑的每台售价5200元．经市场调研发现，销售A1型号电脑所获利润P（万元）与A1销售量m（台）（0≤m≤80）成函数关系，如图所示，AB为线段，BC为抛物线一部分（40＜m≤80）．若这两种电脑全部售出，则该商城如何进货利润最大？（利润＝销售总价﹣总进价） 【分析】（1）设A型电脑每台进价x元，则B型电脑每台进价（x+500）元，根据“用16万元购进A型电脑和用18万购进B型电脑的数量相同”列出方程，解方程即可； （2）A1型电脑总共购进m台，B型电脑总共购进（100﹣m）台，总利润w万元，先求出销售B型电脑的利润，然后分两种情况用待定系数法求出销售A1型号电脑所获利润P的函数解析式，再求出 总利润w关于m的解析式，由函数的性质求出最值． 【解答】解：（1）设A型电脑每台进价x元，则B型电脑每台进价（x+500）元， 根据题意得：， 解得x＝4000， 经检验，x＝4000是原方程的解， 此时x+500＝4500， 答：A型电脑每台进价4000元，则B型电脑每台进价4500元； （2）∵A1销售量m台， ∴A1型电脑总共购进m台， ∴B型电脑总共购进（100﹣m）台，总利润w万元， 则B型电脑的利润为：（5200﹣4500）×（100﹣m）＝70000﹣700m＝（7m）万元； 由图形可知，当0≤m≤40时，P与m的函数解析式为P＝km（k≠0）， 把（40，4）代入解析式得：k， ∴Pm， 再将（40，4）代入Pm2m+c得c， ∴P， ∴当0≤m≤40时，总利润wm+7mm+7； ∵k0， ∴w随m的增大而增大， ∴当m＝40时，w有最大值，最大值为w40+7（万元）； 当40＜m≤80时，总利润wm2m7mm2m（m﹣50）2， ∵a0，对称轴为直线m＝50， ∴当m＝80时，w有最大值，最大值为202（万元）， ∵， ∴A1型电脑总共购进80台，B型电脑总共购进20台时，利润最大． 【点评】本题考查分式方程的应用，二次函数的应用，关键是根据等量关系列出方程和函数解析式． 3．（2024•义乌市二模） 草莓种植大棚的设计 生活背景 草莓种植大棚是一种具有保温性能的框架结构．如图示，一般使用钢结构作为骨架，上面覆上一层或多层塑料膜，这样就形成了一个温室空间．大棚的设计要保证通风性且利于采光． 建立模型 （1）如图1，已知某草莓园的种植大棚横截面可以看作抛物线OPN，其中点P为抛物线的顶点，大棚高PE＝4m，宽ON＝12m．现以点O为坐标原点，ON所在直线为x轴，过点O且垂直于ON的直线为y轴建立平面直角坐标系．求此抛物线的解析式． 解决问题 （2）如图2，为方便进出，在大棚横截面中间开了两扇正方形的门，其中AB＝BE＝EC＝CD．求门高AB的值． （3）若在某一时刻，太阳光线（假设太阳光线为平行线）透过A点恰好照射到N点，此时大棚横截面在地面上的阴影为线段OQ，求此时OQ的长． 【分析】（1）依据题意得，抛物线的顶点为（6，4），从而可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣6）2+4，又抛物线过（0，0），求出a即可得解； （2）依据题意，设AB＝BE＝EC＝CD＝x，又A（6﹣m，m）在抛物线，求出m后即可得解； （3）依据题意，由A（3，3），N（12，0），可得直线AN为，再结合PQ∥AN，可设PQ为，进而可得，根据直线与抛物线相切Δ＝225﹣36b＝0，求出b后即可得直线PQ，最后可以判断得解． 【解答】解：（1）由题意得，抛物线的顶点为（6，4）， ∴可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣6）2+4． 又抛物线过（0，0）， ∴0＝36a+4． ∴． ∴抛物线的解析式为； （2）由题意，设AB＝BE＝EC＝CD＝m， ∴A（6﹣m，m）． 又A在抛物线， ∴． ∴m＝3或m＝﹣12（舍去）． ∴AB＝3； 答：门高AB为3m； （3）由题意，∵A（3，3），N（12，0）， ∴直线AN为． 又∵MQ∥AN， ∴可设MQ为． ∴． ∴x2﹣15x+9b＝0． ∴Δ＝225﹣36b＝0． ∴． ∴直线MQ为． 令y＝0， ∴．即， 答：此时OQ的长为． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 4．（2024•滨江区二模）如图1是一个含有两个斜坡截面的轴对称图形，两个斜坡材质等各方面都一样．一个黑球从左斜坡顶端由静止滚下后沿水平木板AB直线运动，其中AB＝118cm．从黑球运动到A点处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在木板上的运动时间t（单位：s）、运动速度v（单位：cm/s）、滑行距离y（单位：cm）的数据．记录的数据如表： 运动时间t/s 0 2 4 6 8 10 … 运动速度v/（cm/s） 12 10 8 6 4 2 … 运动距离y/cm 0 22 40 54 64 70 … （1）根据表格中的数值分别在图2、图3的平面直角坐标系中画出v关于t，y关于t的函数图象，并分别求出v关于t，y关于t的函数表达式． （2）①求黑球在水平木板AB上滚动的最大距离． ②黑球从左斜坡顶端由静止滚下到A点开始计时，运动到2秒的同时，有一个除颜色外其余与黑球完全相同的白球，从右斜坡顶端由静止滚下到点B处，两球会在水平木板AB的某个位置相遇吗？若能相遇，请求出相遇点P到A点的距离；若不能相遇，请说明理由． 【分析】（1）描点，连线得到相关图形；猜测v是t的一次函数，y是t的二次函数，用待定系数法设出函数解析式后，把表格中的点代入可得所求的函数解析式，任意再选其他数值代入，可得所求的函数解析式符合题意； （2）①由图2判断出t的取值范围，进而根据y与t的函数解析式，判断出y的最大值； ②假设两球能相遇，白球的运动路程也符合（1）得到的函数解析式，进而根据两球在AB上的运动路程的和为118列出方程即可求得相应的时间，代入（1）中得到的函数解析式可得相遇点P到A点的距离． 【解答】解：（1）描点，连线． 由图象猜测v是t的一次函数． 设v＝kt+b（k≠0）． ∵经过点（0，12），（2，10）， ∴． 解得：． ∴v＝﹣t+12； 猜测y是t的二次函数． 设y＝at2+bt（a≠0）． ∵经过点（2，22），（4，40）， ∴． 解得：． ∴yt2+12t． ∵把其他的点代入上述两个函数解析式也适合， ∴v＝﹣t+12，yt2+12t； （2）①由图2得：∵v≥0， ∴0≤t≤12． ∵yt2+12t， ∴二次函数开口向下，t12时，y有最大值． ∴y最大122+12×12＝72． 答：黑球在水平木板AB上滚动的最大距离为72cm； ②设黑球运动t秒时，两球相遇． t2+12t+[（t﹣2）2+12（t﹣2）]＝118． 整理得：t2﹣26t+144＝0． 解得：t1＝8，t2＝18（不合题意，舍去）． 当t＝8时，y82+12×8＝64． 答：两球会在水平木板AB的某个位置相遇，相遇点P到A点的距离为64cm． 【点评】本题考查二次函数的应用．理解白球在木板上的滑行距离与时间t的关系与黑球在木板上的滑行距离与时间t的关系相同是解决本题的难点；易错点是根据黑球在木板上的滑行时间为t秒判断白球在木板上的滑行时间为（t﹣2）秒． 【题型9 二次函数的代数综合应用】 二次函数的代数综合应用题，需要将二次函数的各种代数考点根据题目要求来灵活应用。 1．（2025•乐清市校级模拟）已知二次函数的解析式为y＝x2﹣2x+c． （1）若点（t，c）在该二次函数的图象上，求t的值； （2）若该二次函数图象的顶点在x轴上，求该二次函数的解析式； （3）当﹣1≤x≤2时，函数有最大值m和最小值n，求证：mn≥﹣4． 【分析】（1）（t，c）代入y＝x2﹣2x+c，求解一元二次方程即可； （2）先得出顶点式，求出顶点坐标，当顶点坐标的纵坐标为零时即在x轴上，求解即可； （3）先利用二次函数的增减性求出最大值和最小值，再利用配方法判定即可． 【解答】（1）解：已知二次函数的解析式为y＝x2﹣2x+c．点（t，c）在该二次函数的图象上，将（t，c）代入得： c＝t2﹣2t+c， 解得：t＝0或2； （2）解：∵y＝x2﹣2x+c＝（x﹣1）2+c﹣1， ∴二次函数的顶点坐标为（1，c﹣1）， ∵该二次函数图象的顶点在x轴上， ∴c﹣1＝0， 解得：c＝1， ∴该二次函数的解析式为y＝x2﹣2x+1； （3）证明：∵y＝x2﹣2x+c＝（x﹣1）2+c﹣1， 其中1＞0，对称轴为直线x＝1， ∴在﹣1≤x≤1时，y随x的增大而减小；在1＜x≤2时，y随x的增大而增大； ∴当x＝1时函数取得最小值n＝c﹣1； 当x＝﹣1时函数取得最大值m＝1+2+c＝c+3； ∴mn＝（c﹣1）（c+3）＝c2+2c﹣3＝（c+1）2﹣4≥﹣4， 即mn≥﹣4． 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数的图象与性质，配方法的应用，解一元二次方程，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 2．（2024•莲都区二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）． （1）当a＝2时， ①若该函数图象的对称轴为直线x＝1，且过点（0，3），求该函数的表达式； ②若方程ax2+bx+c＝0有两个相等的实数根，求证：2b+8c≥﹣1； （2）若a，已知点M（2，2），点N（4，2）在平面直角坐标系中，当二次函数y＝ax2+bx+c的图象与线段MN有交点时，求a的取值范围． 【分析】（1）①当a＝2时，y＝2x2+bx+c，根据函数图象的对称轴为直线x＝1，且过点（0，3），得，即可解得函数的表达式为y＝2x2﹣4x+3； ②由方程2x2+bx+c＝0有两个相等的实数根，知b2﹣8c＝0，得b2＝8c，故2b+8c＝2b+b2＝（b+1）2﹣1，即可得2b+8c≥﹣1； （2）求出y＝ax2﹣4ax+3a＝a（x﹣2）2﹣a，知抛物线顶点为（2，﹣a），与x轴交点为（1，0），（3，0），当抛物线y＝ax2﹣4ax+3a过点M（2，2）时得a，画出图象可知当a时，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与线段MN有交点；当抛物线y＝ax2﹣4ax+3a过点M（4，2）时，a，可得当a时，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与线段MN有交点． 【解答】（1）①解：当a＝2时，y＝2x2+bx+c， ∵函数图象的对称轴为直线x＝1，且过点（0，3）， ∴， 解得， ∴函数的表达式为y＝2x2﹣4x+3； ②证明：∵方程2x2+bx+c＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝0，即b2﹣8c＝0， ∴b2＝8c， ∴2b+8c＝2b+b2＝（b+1）2﹣1， ∵（b+1）2≥0， ∴（b+1）2﹣1≥﹣1， ∴2b+8c≥﹣1； （2）解：∵a， ∴b＝﹣4a，c＝3a， ∴y＝ax2﹣4ax+3a＝a（x﹣2）2﹣a， ∴抛物线顶点为（2，﹣a）， 在y＝ax2﹣4ax+3a中，令y＝0得x＝1或x＝3， ∴抛物线与x轴交点为（1，0），（3，0）， 当抛物线y＝ax2﹣4ax+3a过点M（2，2）时，2＝4a﹣8a+3a， 解得a， 如图： 根据|a|越大，抛物线y＝ax2+bx+c的开口越小及由图可知，当a时，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与线段MN有交点； 当抛物线y＝ax2﹣4ax+3a过点M（4，2）时，2＝16a﹣16a+3a， 解得a， 如图： 由图可知，当a时，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与线段MN有交点； 综上所述，当a或a时，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与线段MN有交点． 【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，二次函数与一元二次方程的关系，函数图象上点坐标的特征等，解题的关键是数形结合思想的应用． 3．（2024•镇海区校级三模）【背景介绍】 烽火台是古代军情报警的一种措施，若敌人白天侵犯就燃烟，夜间来犯就点火以可见的烟气和光亮向各方与上级报警．古时期人们用火种点燃箭头，然后准确地射向烽火台以点燃烟或点火． 【问题情境】 距离此处70米远，有一个20米高的烽火台，烽火台上面的点火区域是一个边长为4米的正方形．这只箭飞行的轨迹可以看作是抛物线的一部分，记这只箭飞行的水平距离为d（单位：m）．距地面的竖直高度为h（单位：m），获得数据如表： d/m 0 10 20 30 40 50 60 70 h/m 0.5 9.5 16.5 21.5 24.5 25.5 24.5 k 【探究过程】 小勇根据学习函数的经验，对函数h随自变量d的变化而变化的规律进行了研究．下面是小勇的探究过程，请补充完整； （1）k的值为 　21.5　， （2）在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连结． （3）请结合函数图象分析，士兵射出的箭是否掉进了烽火台里？ （4）烽火台较小，士兵将火种箭射进台内较为困难．于是，利用烽火台的上空的可燃气体，只要士兵射出的箭能够进入烽火台上方离4米的范围内，都可以顺利点燃烽火台．小勇在研究这个问题的过程中还发现．如果射箭的初始角度和力量不变的情况下，射手还可以通过调整与烽火台的距离米改变这只箭的飞行轨迹，如果保证烽火台被点燃，请结合函数图象分析，射手向后移动的最大距离与向前移动的最大距离分别为多少？ 【分析】（1）根据抛物线的对称性结合表格数据可知当d＝70与d＝30时的函数值相等，据此即可求解； （2）先根据表格中的数据在直角坐标系中描点，然后用光滑的曲线连接即可； （3）先求得抛物线的解析式，再求出当d＝70.5时所对应的h的值，再和20作比较即可； （4）利用已求得抛物线的解析式，根据题意，先求得正方形左下角的点A的坐标和右上角的点B的坐标，再根据抛物线的平移列出方程，求得平移的距离，即可求解． 【解答】解：（1）∵这只箭飞行的轨迹可以看作是抛物线的一部分， 根据表格数据和二次函数图象的对称的性质可得：对称轴为直线d＝50， ∴d＝70与d＝30时的函数值相等， ∵当d＝30时，h＝21.5， ∴当d＝70时，k＝21.5． 故答案为：21.5； （2）先根据表格中的数据在直角坐标系中描点，然后用光滑的曲线连接如图： ； （3）设二次函数的解析式为：h＝a（d﹣50）2+25.5， 当d＝40时，h＝24.5， ∴a（40﹣50）2+25.5＝24.5， 解得：a＝﹣0.01， ∴二次函数的解析式为h＝﹣0.01（d﹣50）2+25.5， ∵烽火台上面的点火区域是一个边长为4米的正方形， ∴正方形的边长为4米， ∴士兵距离烽火台外侧的最远距离为：704＝72（米）， 当d＝72时， h＝﹣0.01×（72﹣50）2+25.5＝﹣4.84+25.5＝20.66＞20， ∴士兵射出的箭没有掉进圣火台里； （4）由（3）可知：二次函数的解析式为h＝﹣0.01（d﹣50）2+25.5， ∵圣火台上方高4米的范围内，都可以顺利点燃主火炬，且射箭的初始角度和力量不变的情况下，射手可以通过调整与火炬塔的距离来改变这只箭的飞行轨迹，即相当于将图象左右平移可以保证圣火被点燃， 依题意，正方形左下角的点A的坐标为（69.5，20），右上角的点B的坐标为（70.5，24）， 设后退m（m＞0）米，即抛物线向左平移m米，当抛物线经过正方形的左下角的点A（69.5，20）时， ∴20＝﹣0.01（69.5﹣50+m）2+25.5， 解得：，（不合题意，舍去）； 设前进n（n＞0）米，即抛物线向右平移n米，当抛物线经过正方形的右上角的点（70.5，24）时， ∴24＝﹣0.01（70.5﹣50﹣n）2+25.5， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴射手向后移动的最大距离为，向前移动的最大距离为． 【点评】本题考查二次函数的实际应用，考查抛物线的对称性，描点法画函数图象，二次函数图象的平移．根据函数图象获取信息解题的关键． 4．（2024•金东区二模）设二次函数yx2+bx+c（b，c是常数）． （1）若b＝1时，求二次函数y的顶点坐标．（用含c的代数式表示） （2）若c＝﹣1时，求二次函数yx2+bx﹣1（﹣1≤x≤2）的最大值．（用含b的代数式表示） （3）若b＝c＝0时，如图，直线y＝x+1与此函数图象交于A，B两点，点P不在二次函数图象上，线段PA，PB分别交二次函数图象于点C，D，且CD∥AB，CD＜AB，求点P的纵坐标的取值范围． 【分析】（1）把b＝1代入函数解析式，利用配方法即可求得顶点坐标； （2）把c＝﹣1代入函数解析式，求得函数的对称轴，然后根据对称轴的位置以及函数的增减性即可求得最大值； （3）当b＝c＝0时，二次函数的表达式为，联立方程组，求得点A、B坐标，设过点P的直线表达式为y＝kx+t，分别求出直线PA和PB与抛物线有且只有一个交点时的函数表达式，进而联立方程组求得点P坐标为（2，﹣1），根据CD∥AB得到点P在直线x＝2运动，求出点C与D重合时的点P坐标为（2，1），结合图象即可求得点P的纵坐标的取值范围． 【解答】解：（1）∵b＝1， ∴， ∴顶点坐标为（﹣2，c﹣1）； （2）二次函数的对称轴为直线x＝﹣2b， ∵，﹣1≤x≤2， ∴当，即时，x＝2时，y取最大值； 当，即时，x＝1 时，y取最大值； （3）当b＝c＝0时，二次函数的表达式为， 联立方程组， 解得或， ∴，， 设过点P的直线表达式为y＝kx+t， 联立方程组， 得x2﹣4kx﹣4t＝0， 当直线PA与抛物线有且只有一个交点A时， 根据一元二次方程根与系数关系得， 解得， ∴直线PA的函数表达式为； 同理可得当直线PB与抛物线有且只有一个交点时的函数表达式为， 联立方程组， 解得， 此时CD与AB重合，点P坐标为（2，﹣1）； ∵CD∥AB， ∴点P在直线x＝2运动， ∴当点C与D重合时，点P和点C、D重合，即点P在抛物线上，此时点P坐标为（2，1）， ∵CD＜AB， ∴由图可知，点P的纵坐标的取值范围为﹣1＜y＜1． 【点评】本题考查二次函数的综合应用，主要考查二次函数的图象与性质、二次函数与一次函数的交点问题，理解题意，熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键． （建议用时：45分钟） 1．（2024•西湖区一模）在平面直角坐标系中，已知一次函数y＝ax+b（a≠0，a，b是常数）的图象经过点P（﹣2，0），且与y轴正半轴相交，则二次函数y＝ax2+bx+1的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】由一次函数y＝ax+b（a≠0，a，b是常数）的图象经过点P（﹣2，0），且与y轴正半轴相交，可知a＞0，2a＝b，即可求得抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，据此判断即可． 【解答】解：∵一次函数y＝ax+b（a≠0，a，b是常数）的图象经过点P（﹣2，0），且与y轴正半轴相交， ∴a＞0，﹣2a+b＝0， ∴1， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1， 故选：A． 【点评】本题考查了一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象和性质，根据题意得出a＞0，2a＝b是解题的关键． 2．（2024•浙江模拟）已知点A（2，6），B（6，4），C（3，m）均在抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上，且6≤m≤7，点（n，y1）和（n+1，y2）也在此抛物线上，则下列说法正确的是（　　） A．若y1＜y2恒成立，则n＜2 B．若y1＜y2恒成立，则n＞2 C．若y1＞y2恒成立，则n＞2 D．若y1＞y2恒成立，则n＜2 【分析】首先确定抛物线开口向下，对称轴一定在A的右侧，在C的左侧，然后根据二次函数的性质即可判断． 【解答】解：由点A（2，6），B（6，4），C（3，m）均在抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上，且6≤m≤7可知抛物线开口向下，3.5， ∴若y1＜y2恒成立，则n＜2，若y1＞y2恒成立，则n＞5， 故选项A正确， 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，明确抛物线开口向下，对称轴一定在A的右侧，在B的左侧是解题的关键． 3．（2024•婺城区模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），当y≥t时，x≤﹣m﹣2或x≥﹣m+4．若A（﹣m﹣3，p），B（2m，q）是抛物线y＝ax2+bx+c上的两点，且p＞q，则m的取值范围为（　　） A． B．m＜﹣1或 C． D．或m＞1 【分析】依据题意，由y≥t时，x≤﹣m﹣2或x≥﹣m+4，从而可得抛物线开口向上，且对称轴是直线x＝﹣m+1，故当抛物线上的点离对称轴越近函数值就越小，再结合A（﹣m﹣3，p），B（2m，q）是抛物线y＝ax2+bx+c上的两点，且p＞q，可得﹣m+1﹣（﹣m﹣3）＞|﹣m+1﹣2m|，最后计算可以得解． 【解答】解：由题意，∵当y≥t时，x≤﹣m﹣2或x≥﹣m+4， ∴抛物线开口向上，且对称轴是直线xm+1． ∴当抛物线上的点离对称轴越近函数值就越小． ∵﹣m﹣3＜﹣m+1， 又A（﹣m﹣3，p），B（2m，q）是抛物线y＝ax2+bx+c上的两点，且p＞q， ∴﹣m+1﹣（﹣m﹣3）＞|﹣m+1﹣2m|． ∴|3m﹣1|＜4． ∴﹣4＜3m﹣1＜4． ∴﹣1＜m． 故选：A． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 4．（2024•镇海区校级模拟）新定义：若一个点的横纵坐标之和为6，则称这个点为“和谐点”，若二次函数y＝x2﹣2x+c（c为常数）在﹣1＜x＜3的图象上存在两个“和谐点”，则c的取值范围是（　　） A． B． C．﹣1＜c＜1 D． 【分析】由一个点的横纵坐标之和为6可得“和谐点”在直线y＝﹣x+6上，由﹣1＜x＜3可得“和谐点”所在线段AB的端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段的交点求解． 【解答】解：由题意可得“和谐点”所在直线为y＝﹣x+6， 将x＝﹣1代入y＝﹣x+6得y＝7， 将x＝3代入y＝﹣x+6得y＝3， 设A（﹣1，7），B（3，3），如图， 联立y＝﹣x+6与y＝x2﹣2x+c，得方程x2﹣2x+c＝﹣x+6， 即x2﹣x+c﹣6＝0， ∵抛物线与直线y＝﹣x+6有两个交点， ∴Δ＝（﹣1）2﹣4（c﹣6）＞0， 解得c， 当直线x＝﹣1和直线x＝3与抛物线交点在点A，B上方时，抛物线与线段AB有两个交点， 把x＝﹣1代入y＝x2﹣2x+c，得y＝3+c， 把x＝3代入y＝x2﹣2x+c得y＝3+c， ∴， 解得c＞4， ∴4＜c． 故选：B． 【点评】本题考查二次函数图象与一次函数图象的交点问题，解题关键掌握函数与方程及不等式的关系，将代数问题转化为图形问题求解． 5．（2024•普陀区二模）二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象经过点（6，c），向左平移t（t＞0）个单位长度后得到新抛物线，直线y＝px+q（p＞0）与新抛物线有两个交点P（2t，y1），Q（2t+2，y2），则t的取值范围为（　　） A．0＜t＜2 B．0＜t＜3 C． D． 【分析】依据题意，由当x＝0时，y＝ax2+bx+c＝c，故图象过（0，c），又过（6，c），可得抛物线的对称轴是直线x3，再向左平移t（t＞0）个单位长度后得到新抛物线的对称轴是直线x＝3﹣t．，又直线y＝px+q（p＞0）与新抛物线有两个交点P（2t，y1），Q（2t+2，y2），可得y2＞y1，结合抛物线开口向下， 则抛物线上的点离对称轴越近函数值越大，从而P的离新抛物线的对称轴比Q离新抛物线的对称轴远，即PQ的中点在对称轴的左侧，进而可得3﹣t，最后计算即可得解． 【解答】解：由题意，∵当x＝0时，y＝ax2+bx+c＝c， ∴二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象过（0，c）． 又二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象过（6，c）， ∴抛物线的对称轴是直线x3． ∴向左平移t（t＞0）个单位长度后得到新抛物线的对称轴是直线x＝3﹣t． ∵直线y＝px+q（p＞0）与新抛物线有两个交点P（2t，y1），Q（2t+2，y2）， ∴y1＝2tp+q，y2＝（2t+2）p+q， ∴y2﹣y1＝（2t+2）p+q﹣2tp﹣q＝2p＞0． ∴y2＞y1． 又抛物线开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越大． ∴P的离新抛物线的对称轴比Q离新抛物线的对称轴远． ∴PQ的中点在对称轴的左侧． ∴3﹣t． ∴t． 又t＞0， ∴0＜t． 故选：D． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 6．（2024•舟山一模）已知一次函数y＝kx+3（k≠0），当k≤x≤m时，a≤y≤b，若a+b的最小值为2，则m的值为（　　） A．±2 B．2 C．±4 D．4 【分析】先分析k＞0和k＜0时导出a+b＝km+k2+6，根据最小值可得km+k2最小值为﹣4，通过配方得到y＝km+k2＝（k）2，再根据k≤x≤m确定m的取值． 【解答】解：当k＞0时，x＝k，y＝kx+3＝k2+3＝a，当x＝m，y＝km+3＝b， ∴a+b＝km+k2+6， 当k＜0时，x＝k，y＝kx+3＝k2+3＝b，当x＝m，y＝km+3＝a， ∴a+b＝km+k2+6， ∵a+b的最小值为2， ∴km+k2最小值为﹣4， ∴y＝km+k2＝（k）2， 当k时，y取得最小值﹣4，即， ∴m＝±4， 由题意知k≤x≤m，所以k≤m， 当m＝﹣4时，k＝2，k＞m，不符合题意舍去， 当m＝4时，k＝﹣2，满足题意， 故选：D． 【点评】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数性质是解答本题的关键． 7．（2024•浙江一模）已知在二次函数y＝ax2+bx+c中，函数值y与自变量x的部分对应值如表： x ⋯ ﹣1 0 1 2 3 ⋯ y ⋯ 8 3 0 ﹣1 0 ⋯ 则满足方程ax2+bx+c＝3的解是 　x1＝0，x2＝4　． 【分析】通过表格数据求出a、b、c然后代入方程ax2+bx+c＝3即可求解． 【解答】解：由表格可知抛物线经过（0，3）；（3，0）；（1，0）， 抛物线解析式为：y＝ax2+bx+c， 将（0，3）；（3，0）；（1，0）代入y＝ax2+bx+c可得： ， 解得：， ∴x2﹣4x+3＝3， 移项可得：x2﹣4x＝0， 因式分解可得：x（x﹣4）＝0， 解得：x1＝0，x2＝4． 【点评】本题考查了求抛物线解析式，一元二次方程的解，解题的关键是灵活应用抛物线的性质解决问题． 8．（2024•苍南县校级自主招生）二次函数y＝x2﹣2ax+a在0≤x≤2上有最小值﹣6，则a的值为 　﹣6或　． 【分析】分0≤x对称轴≤2，x对称轴＜0及x对称轴＞2讨论即可得到答案；． 【解答】解：①当0≤x对称轴≤2， ∵二次函数y＝x2﹣2ax+a在0≤x≤2上有最小值﹣6， ∴﹣6＝a2﹣2a•a+a， 解得：a1＝﹣2，a2＝3，不符合题意， ②当x对称轴＜0，函数在0≤x≤2上y随x增大而增大， ∵二次函数y＝x2﹣2ax+a在0≤x≤2上有最小值﹣6， ∴﹣6＝02﹣2a×0+a， 解得：a＝﹣6， ③当x对称轴＞2，函数在0≤x≤2上y随x增大而减小， ∵二次函数y＝x2﹣2ax+a在0≤x≤2上有最小值﹣6， ∴﹣6＝22﹣2a×2+a， ， 故答案为：﹣6或． 【点评】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 9．（2024•江干区校级二模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c交y轴于点（0，5），对称轴为直线x＝﹣2，若y≥5，则x的取值范围是 　﹣4≤x≤0　． 【分析】根据图象的对称性可知图象过点（﹣4，5），再根据图象开口向下，即可得当y≥5时，x的取值范围． 【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+bx+c交y轴于点（0，5），对称轴为直线x＝﹣2， ∴图象过点（﹣4，5）， ∵图象开口向下， ∴当y≥5时，x的取值范围是﹣4≤x≤0． 故答案为：﹣4≤x≤0． 【点评】此题考查二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 10．（2024•江北区一模）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P为抛物线y＝﹣ax2﹣2ax+3a（a＞0）上任意一点，过点P分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别为M，N．设点P的横坐标为t，若抛物线在矩形PMON内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，则t的取值范围为 　﹣3＜t＜0或t＞1　． 【分析】分四种情况：当点P在x轴的下边，y轴的左侧时，当点P在x轴的上边，y轴左边时，当点P在BB′上方时，当点P在BB′下方，y轴右边时，分别画出图象，结合图象即可求得答案． 【解答】解：∵抛物线y＝﹣ax2﹣2ax+3a（a＞0）的对称轴为直线x＝﹣1，B（0，3a）， ∴点B的对称点为B′（﹣2，3a）， 令y＝0，得﹣ax2﹣2ax+3a＝0， 解得：x1＝﹣3，x2＝1， ∴C（﹣3，0），A（1，0）， 根据题意可知，需要分类讨论： 当点P在x轴的下边，如图1，不合题意 当点P在x轴的上边，y轴左边时，抛物线在矩形PMON内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，如图2， 此时﹣2＜t＜0； 当点P在BB′上方，y轴右边时，如图3，不合题意； 当点P在BB′下方，y轴右边时，如图4，抛物线在矩形PMON内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小， 此时t＞1； 综上所述，当抛物线在矩形PMON内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，﹣2＜t＜0或t＞1． 故答案为：﹣2＜t＜0或t＞1． 【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用数形结合的思想解决问题，属于中考压轴题． 11．（2024•萧山区一模）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2﹣2mx+m2+1的图象与y轴交于点A，点B（x1，y1）是该函数图象上任意一点，且不与点A重合，直线y＝kx+b（k≠0）经过A，B两点．若x1＜﹣3时，总有k＜0，则m的取值范围为 　m　． 【分析】先求得点A（0，m2+1），代入y＝kx+b确定出b＝m2+1，得出直线AB的解析式为y＝kx+m2+1，再联立抛物线解析式，化简得x[x﹣（2m+k）]＝0，最后利用对于x1＜﹣3时，总有k＜0，即可求出答案． 【解答】解：对于抛物线y＝x2﹣2mx+m2+1①， 令x＝0，则y＝m2+1， ∴A（0，m2+1）， ∵点A在直线y＝kx+b（k≠0）上， ∴b＝m2+1， ∴直线AB的解析式为y＝kx+m2+1②， 联立①②整理得，x2﹣2mx+m2+1＝kx+m2+1， ∴x[x﹣（2m+k）]＝0， ∵y＝x2﹣2mx+m2+1＝（x﹣m）2+1， ∵点B（x1，y1）是抛物线上的任意一点，且不与点A重合， ∴x1≠0， ∴x1＝2m+k， ∵对于x1＜﹣3时，总有k＜0， ∴2m+k＜﹣3，总有k＜0， ∴k＜﹣2m﹣3，总有k＜0， ∴﹣2m﹣3≤0， ∴m． 故答案为：m． 【点评】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，解不等式，求出x1＝2m+k是解本题的关键． 12．（2024•浙江一模）图1是一个瓷碗，图2是其截面图，碗体DEC呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽CD＝12cm，此时面汤最大深度EG＝8cm． （1）当面汤的深度ET为4cm时，汤面的直径PQ长为 　6　； （2）如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，当∠ABM＝45°时停止，此时碗中液面宽度CH＝　　． 【分析】（1）设点E的坐标为：（0，c），则抛物线的表达式为：y＝ax2+c，则点C的坐标为：（6，8+c），点Q（x，4+c），再用待定系数法即可求解； （2）确定直线CH的表达式为：y＝x﹣6+8+c＝x+2+c，求出x1+x2，x1x2＝﹣9，进而求解． 【解答】解：（1）以F为原点，直线AB为x轴，直线EF为y轴，建立平面直角坐标系，如图： 设点E的坐标为：（0，c），则抛物线的表达式为：y＝ax2+c， 则点C的坐标为：（6，8+c），点Q（x，4+c）， 将点C、Q的坐标代入抛物线表达式得： ，解得：， 即抛物线的表达式为：yx2+c①， PQ＝2xQ＝6， 故答案为：6； （2）将瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，当∠ABK＝45°时停止，所以旋转前CH与水平方向的夹角为45°， 设直线CH的解析式为y＝x+b， 将点C的坐标代入上式的：直线CH的表达式为：y＝x﹣6+8+c＝x+2+c②， 联立①②并整理得：2x2﹣9x﹣18＝0， 则x1+x2，x1x2＝﹣9， 则（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2， 则|x1﹣x2|， 由CH的表达式知，其和x轴的夹角为45°， 则CH|x1﹣x2|， 故答案为：． 也可采取以下方法： 设过点C（6，8）的直线和x轴的夹角为45°， 故设该直线的表达式为：y＝x+b， 将点C的坐标代入上式得：8＝6+b， 解得：b＝2， 则直线的表达式为：y＝x+2， 由（1）知，抛物线的表达式为：yx2， 联立上述两式得：x2＝x+2， 解得：x＝6或﹣1.5， 则|x1﹣x2|＝|6+1.5|＝7.5， 则CH＝7.5． 【点评】本题考查了二次函数，一次函数以及直角三角形在实际生活中的应用，建立合适的直角坐标系和待定系数法求解析式是解题的关键． 13．（2025•宁波模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝（x﹣m）2+k的图象经过点A（m+1，0）． （1）求k的值； （2）图象上有两点（t，y1），（t+2，y2）． ①若y1﹣y2＝﹣4，求y1+y2的值； ②探究：y1+y2是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①先由已知求得t﹣m＝0，再代入求得y1+y2＝2； ②由于，利用二次函数的性质求解即可． 【解答】解：（1）由二次函数的图象经过点A（m+1，0）， ∴（m+1﹣m）2+k＝0， 解得k＝﹣1． （2）①由题意，y1﹣y2＝（t﹣m）2﹣1﹣（t+2﹣m）2+1 ＝﹣4（t﹣m+1） ＝﹣4， ∴t﹣m＝0． ∴y1+y2＝（t﹣m）2﹣1+（t+2﹣m）2﹣1＝2， ②y1+y2存在最小值． 由， 得y1+y2存在最小值为0． 【点评】本题考查待定系数法、二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键． 14．（2024•瓯海区校级三模）二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0）且x1≠x2． （1）当x1＝2，且b+c＝﹣6时， ①求b，c的值； ②当﹣2≤x≤t时，二次函数y＝x2+bx+c的最大值与最小值的差为4，求t的值； （2）若x1＝3x2，求证：． 【分析】（1）①由待定系数法求出函数表达式，即可求解； ②当﹣2＜t＜﹣1时，y随x的增大而减小，当x＝﹣2时，y＝（x+1）2﹣9＝﹣8，当x＝t时，y＝t2+2t﹣8，则t2+2t﹣8﹣（﹣8）＝4，即可求解；当t＞﹣1时，同理可解； （2）x1、x2是一元二次方程x2+bx+c＝0的两个根，x1+x2＝﹣b，3x2+x2＝﹣b，则x2b，即（b）2+b•（b）+c＝0，即可求解． 【解答】（1）解：①当x1＝2，则抛物线y＝x2+bx+c经过点A（2，0），且b+c＝﹣6， 则，解得： 即b、c的值分别为2、﹣8； ②y＝x2+2x﹣8＝（x+1）2﹣9， 当﹣2＜t＜﹣1时，y随x的增大而减小， 当x＝﹣2时，y＝（x+1）2﹣9＝﹣8，当x＝t时，y＝t2+2t﹣8， 则t2+2t﹣8﹣（﹣8）＝4， 方程无解； 当t＞﹣1时，y的最小值为﹣9，最大值为t2+2t﹣8， 则t2+2t﹣8﹣（﹣9）＝4， 解得：t＝﹣3（舍去）或1； （2）证明：∵x1＝3x2，且x1≠x2， ∴3x2≠x2， ∴x2≠0， ∵x1、x2是一元二次方程x2+bx+c＝0的两个根， ∴x1+x2＝﹣b， ∴3x2+x2＝﹣b， ∴x2b， ∴（b）2+b•（b）+c＝0， ∴cb2， ∴b﹣cbb2（b﹣4）2+3≤3， ∴． 【点评】此题重点考查二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、一元二次方程根与系数的关系、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 15．（2024•鄞州区一模）请阅读信息，并解决问题： 问题 琴桥检修后需要更换吊杆及相关装饰品 查询信息 宁波有许多桥，有一座横跨鄞州和海曙的桥，因其外形酷似竖琴称为“琴桥”．琴桥的桥拱固定在桥面上，拱的两侧安装了17对吊杆（俗称“琴弦”）琴桥全长120米，拱高25米． 处理信息 如图是琴桥的主视图，A，B分别表示是桥的起点和终点，桥拱可看成抛物线，拱的两端C，D位于线段AB上，且AC＝BD．一根琴弦固定在拱的对称轴OH处，其余16根琴弦对称固定在OH两侧，每侧各8根．记离拱端C最近的一根为第1根，从左往右，依次记为第2根，第3根，…OH为第9根，… 测量数据 测得上桥起点A与拱端C水平距离为20米，最靠近拱端C的“琴弦”EF高9米，EF与OH之间设置7根“琴弦”，各琴弦的水平距离相等，记为m米． 解决问题 任务1：建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式； 任务2：求琴弦EF与拱端C的水平距离CE及m的值． 任务3：若需要在琴弦EF与OH之间垂直安装一个如图所示高为17m的高音谱号艺术品，艺术品底部在桥面AB上，顶部恰好扣在拱桥上边缘，问该艺术品顶部应该安装在哪两根琴弦之间？ 【分析】任务1：以桥所在的直线为x轴，以OH所在的直线为y轴建立直角坐标系，则点H为原点，令抛物线的解析式为y＝ax2+25，将点C（﹣40，0）代入y＝ax2+25中即可得出答案； 任务2：将y＝9代入yx2+25即可得出EH的长度，再根据线段的和差即可得出CE的长度，进而求出m的值； 任务3：将y＝17代入yx2+25出x的值，再进行判断该艺术品顶部应该安装在哪两根琴弦之间． 【解答】解：任务1： 如图，以桥所在的直线为x轴，以OH所在的直线为y轴建立直角坐标系， 则点H为原点， 由题意得，O（0，25），CH＝120÷2﹣20＝40， 则点C的坐标为（﹣40，0）， 令抛物线的解析式为y＝ax2+25， 将点C（﹣40，0）代入y＝ax2+25中得， 1600a2+25＝0（a≠0）， 解得：a， 则抛物线的解析式为yx2+25． 任务2：∵EF＝9（米）， ∴将y＝9代入yx2+25得， x1＝﹣32，x2＝32（舍）， ∴EH＝32（米）， ∴CE＝40﹣32＝8（米），m＝32÷8＝4（米）， ∴琴弦EF与拱端C的水平距离CE为8米，m的值为4米． 任务3：将y＝17代入yx2+25得， x1＝﹣16，x2＝16（舍）， ∵﹣24＜﹣1620， ∴该艺术品顶部应该安装在第3根和第4根琴弦之间． 【点评】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的表达式及性质是解题的关键． 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点01 二次函数的各种代数考点 中考数学中二次函数的各种代数考点主要考向分为三类： 一、二次函数的图象与性质（每年1~2道，3~6分） 二、二次函数与系数的关系（每年2~3题，12~15分） 三、二次函数与方程、不等式的关系（每年2~3道，6~10分） 四、二次函数的应用（每年1道，6~10分） 二次函数一直都是中考数学中的重要考点，特别是浙江省统一中考后，二次函数的各代数考点基本都是中考卷与中考模拟卷中压轴题的必考考点。当二次函数出成选择、填空题的压轴题时，常考察二次函数的性质、与不等式的关系、最值等考点；当二次函数出成第23题时，常考察二次函数与系数的关系、待定系数法求解析式、最值等综合考点。因为二次函数的各种考点又多又可变形应用，所以考生需要在熟知二次函数的各考点的基础之上，多做练习，举一反三。 考向一：二次函数图象与性质 【题型1 二次函数的性质】 1、对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象： 形状：抛物线； 对称轴：直线；顶点坐标：； 2、抛物线的增减性问题，由a的正负和对称轴同时确定，单一的直接说y随x的增大而增大（或减小）是不对的，必须在确定a的正负后，附加一定的自变量x取值范围； 3、当a＞0，抛物线开口向上，函数有最小值；当a＜0，抛物线开口向下，函数有最大值；而函数的最值都是定点坐标的纵坐标。 1．（2024•临安区二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），当y＜n时，x的取值范围是t﹣3＜x＜1﹣t，且该二次函数的图象经过点M（3，m2+3），N（d，2m）两点，则d的值不可能是（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．2 D．4 2．（2024•西湖区校级模拟）已知抛物线y＝ax2+bx与y＝bx2+ax的交点为A，与x轴的交点分别为B，C，点A，B，C的横坐标分别为x1，x2，x3，且x1x2x3≠0，若a+b＜0，a+2b＞0，则下列说法正确的是（　　） A．x2＜x3＜x1 B．x3＜x2＜x1 C．x2＜x1＜x3 D．x3＜x1＜x2 3．（2024•镇海区校级二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax+4（a＞0）．若A（m﹣1，y1），B（m，y2），C（m+2，y3）为抛物线上三点，且总有y1＞y3＞y2，则m的取值范围可以是（　　） A．m＜1 B． C．0＜m D．1＜m 4．（2025•镇海区校级模拟）已知二次函数y＝ax2+ax﹣4，其顶点纵坐标为，点Q（k，h）在该函数图象上，若在点Q右侧（不含点）的函数图象上，恰好有三个点到x轴的距离为，则k的取值范围是 　 　． 5．（2024•鹿城区校级一模）已知A（m，0），B（﹣4，0）为x轴上两点，P（x1，y1），Q（x2，y2）为二次函数y＝x2﹣mx+m+2图象上两点，当x＜1时，二次函数y随x增大而减小，若﹣2≤x1≤m+1，﹣2≤x2≤m+1时，|y1﹣y2|≤16恒成立，则A、B两点的最大距离为 　 　． 6．（2024•金华一模）已知二次函数． （1）若点（b﹣2，c）在该函数图象上，则b的值为 　 　． （2）若点（b﹣2，y1），（2b，y2），（2b+6，y3）都在该函数图象上，且y1＜y2＜y3，则b的取值范围为 　 　． 【题型2 二次函数图象上点的坐标特征】 牢记一句话，“点在图象上，点的坐标符合其对应解析式”，所以当条件给出“点P在抛物线图象上时”首选带入解析式，得参数字母所在的等量关系，再结合其他题目要求解决后续问题 1．（2024•钱塘区二模）已知点A（n，y1），B（n+3，y2）在函数y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣2）（a≠0，m为常数）的图象上，则下列判断正确的是（　　） A．当a＞0时，若y1＜0，则y2＜0 B．当a＞0时，若y1＞0，则y2＞0 C．当a＜0时，若y1＜0，则y2＜0 D．当a＜0时，若y1＞0，则y2＜0 2．（2024•拱墅区一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（其中a，b，c是常数，且a＞0）的图象过点（1，m），（2，c），（3，n）（　　） A．若c﹣m＞1，则n﹣m＞4 B．若c﹣m＞1，则n﹣m＜3 C．若c﹣m＜1，则n﹣m＜5 D．若c﹣m＜1，则n﹣m＞3 3．（2024•西湖区一模）已知二次函数y＝a（x+m﹣4）（x﹣m）（a≠0，a，m是常数）的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2）（其中x1＜x2）（　　） A．若a＞0，x1+x2＜5，则a（y1﹣y2）＜0 B．若a＞0，x1+x2＜3，则a（y1﹣y2）＞0 C．若a＜0，x1+x2＞3，则a（y1﹣y2）＜0 D．若a＜0，x1+x2＞5，则a（y1﹣y2）＞0 4．（2024•金华三模）点M（x1，y1），N（x2，y2）在二次函数y＝x2﹣4x的图象上，若对任意的x1，x2，满足a﹣1＜x1＜a和a+1＜x2＜a+2时，都有y1≠y2，则a的取值范围是 　 　． 5．（2024•浙江一模）已知点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）均在二次函数y＝3（x+1）2﹣7的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是 　 　.（用“＞”连接） 考向二：二次函数与系数的关系 【题型3 二次函数与系数的关系】 1、二次函数图象与系数a、b、c的关系 a的特征与作用 b的特征与作用(a与b“左同右异”） c的特征与作用 2、二次函数图象题符号判断类问题大致分为以下几种基本情形∶ ①a、b、c单个字母的判断，a 由开口判断，b由对称轴判断（左同右异），c由图象与y轴交点判断; ②含有a、b两个字母时，考虑对称轴; ③含有a、b、c三个字母，且a 和b系数是平方关系，给x取值，结合图像判断， 例如∶二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）， 当x=1时，y=a+b+c， 当x=-1时，y=a-b+c， 当x=2时，y=4a+2b+c 当x=-2 时，y=4a-2b+c; 另：含有 a、b、c 三个字母，a和b系数不是平方关系，想办法消掉一到两个字母再判断∶ ④含有b2和 4ac，考虑顶点坐标，或考虑△. ⑤其他类型，可考虑给x取特殊值，联立方程进行判断;也可结合函数最值，图像增减性进行判断。 1．（2024•温州模拟）对于一个函数：当自变量x取a时，其函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．若二次函数y＝x2+2x+c（c为常数）有两个不相等且都小于1的不动点，则c的取值范围是（　　） A．c＜﹣3 B．﹣3＜c＜﹣2 C．﹣2＜c D．c 2．（2024•青田县校级模拟）已知二次函数y＝﹣x2+2cx+c的图象经过点A（a，c），B（b，c），且满足0＜a+b＜2．当﹣1≤x≤1时，该函数的最大值m和最小值n之间满足的关系式是（　　） A．n＝﹣3m﹣4 B．m＝﹣3n﹣4 C．n＝m﹣m2 D．m＝n2+n 3．（2024•嘉兴二模）已知直线y＝﹣x﹣3与抛物线y＝（x﹣m）2﹣4对称轴左侧部分的图象有且只有一个交点，则m的取值范围是（　　） A． B．或 C．m≤1 D．m≤1或 4．（2024•长兴县模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），对称轴为直线x＝1，下列结论中：①a﹣b+c＞0；②若点（﹣3，y1），（2，y2），（6，y3）均在该二次函数图象上，则y1＜y3＜y2；③方程ax2+bx+c+1＝0的两个实数根为x1，x2，且x1＜x2，则x1＜﹣2，x2＞4；④若m为任意实数，则am2+bm+c≤﹣9a．正确结论的序号为（　　） A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①③ 5．（2025•浙江一模）抛物线y＝ax2+bx+c经过A（0，4）和B（2，0）两点． （1）求c的值及a，b满足的关系式； （2）抛物线同时经过两个不同的点M（k，m）和N（﹣2﹣k，m），求b的值； （3）若抛物线在A和B两点间y随x的增大而减少，求a的取值范围． 6．（2025•浙江一模）在平面直角坐标系中，设二次函数y＝x2+bx+c（b，c是常数）． （1）若c＝2，当x＝﹣1时，y＝4，求y的函数表达式． （2）当c＝b﹣2时，判断函数y＝x2+bx+c与x轴的交点个数，并说明理由． （3）当m≤x≤2时，该函数图象顶点为，最大值与最小值差为5，求m的值． 【题型4 二次函数与最值】 含参数的二次函数区间范围内最值问题： 1．（2024•鹿城区校级三模）已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣a（a≠0），当﹣1≤x≤4时，y的最小值为﹣4，则a的值为（　　） A．或4 B．4或 C．或4 D．或 2．（2024•路桥区二模）已知二次函数，（m，n为常数，n≠0）的最小值分别为p，q，（　　） A．若p+q＝0，则p＝q＝0 B．若p﹣q＝0，则p＝q＝0 C．若p+q＝1，则p＝q＝0.5 D．若p﹣q＝1，则p＝1，q＝0 3．（2024•滨江区二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（﹣4，k﹣2），B（﹣2，k），C（2，k）．当0≤m≤x≤m+1时，该函数有最大值p和最小值q，则p﹣q（　　） A．有最大值 B．无最大值 C．有最小值 D．无最小值 4．（2024•瓯海区校级三模）已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+2，当m≤x≤m+2时，函数y的最大值是3，则m的取值范围是（　　） A．m≥﹣1 B．m≤2 C．﹣3≤m≤﹣1 D．0≤m≤2 5．（2024•仙居县二模）已知二次函数y＝（x﹣m）2（m为常数），当x1≤x≤x2时，y1≤y≤y2，若m≤x1，且y2﹣y1＝2，则x2﹣x1的最大值等于 　 　． 6．（2024•婺城区校级模拟）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣2，点O为平面直角坐标系原点，点A坐标为（4，2）． （1）抛物线必经过的定点是 　 　，　 　． （2）若抛物线过点A，当0≤x≤3时函数的最大值为p，最小值为q，求p+q的值． （3）若抛物线与线段OA只有一个交点，求a的取值范围． 考向三：二次函数与方程、不等式的关系 【题型5 待定系数法求抛物线的解析式】 待定系数法求解抛物线的解析式通常都是解答题的第1问，求解的基本步骤是：①设解析式，②代入点的坐标，③解对应方程（组），④得到对应解析式。 1．（2024•钱塘区三模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象经过点（﹣1，0），且对任意x的值，始终成立，则该二次函数的解析式为（　　） A． B． C． D． 2．（2024•上城区校级模拟）把一块含30°角的三角尺放在平面直角坐标系中，使斜边与x轴重合，直角顶点落在y轴上，若三角尺的最短边长为2，则经过该三角尺三个顶点的抛物线的解析式为 　 　． 3．（2024•瑞安市校级模拟）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），（0，3）． （1）求这个二次函数的表达式． （2）当﹣2≤x≤t时，函数的最大值为m，最小值为n，若m﹣n＝9，求t的取值范围． 4．（2024•丽水一模）设二次函数y＝ax2+bx+1（a≠0，b是常数），已知函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示： x … ﹣1 0 1 2 3 … y … m 1 n 1 p … （1）若m＝0时，求二次函数的表达式； （2）当﹣1≤x≤3时，y有最小值为，求a的值； （3）若a＜﹣3，求证：n﹣m﹣p＞20． 5．（2024•浙江）已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（﹣2，5），对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若点B（1，7）向上平移2个单位长度，向左平移m（m＞0）个单位长度后，恰好落在y＝x2+bx+c的图象上，求m的值； （3）当﹣2≤x≤n时，二次函数y＝x2+bx+c的最大值与最小值的差为，求n的取值范围． 【题型6 抛物线与x轴交点问题】 1、求抛物线与x轴的交点，就是让抛物线解析式的y=0，就得到了一元二次方程，而①一元二次方程的解法、②根的判别式、③根与系数的关系等性质也就分别对应①抛物线与x轴交点横坐标、②交点个数、③交点横坐标与其对称轴的关系的考点； 2、求抛物线与直线的交点时，联立抛物线与直线的解析式，得新的一元二次方程时，上述结论与用法大多依然适用，使用时注意联想和甄别。 1．（2024•拱墅区校级模拟）已知抛物线y＝x2+bx+c的图象与x轴的两交点的横坐标分别α，β（α＜β），而x2+bx+c﹣2＝0的两根为M、N（M＜N），则α、β、M、N的大小顺序为（　　） A．α＜β＜M＜N B．M＜α＜β＜N C．α＜M＜β＜N D．M＜α＜N＜β 2．（2024•浙江模拟）已知二次函数y＝ax2﹣x﹣c，当y＞0时，﹣2＜x＜1，则二次函数y＝ax2+x﹣c的图象可能为（　　） A． B． C． D． 3．（2024•拱墅区二模）二次函数a，b为实数，a＜0）的图象对称轴为直线x＝2，且经过点（m，n）．若二次函数的图象经过点（m﹣2，n），则关于x的方程a（x﹣2）2+b（x﹣2）＝n的解是（　　） A．x1＝2，x2＝4 B．x1＝0，x2＝2 C．x1＝0，x2＝4 D．x1＝2，x2＝6 4．（2024•义乌市二模）如图，抛物线y＝x2+bx﹣3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，且OA＝1． （1）b＝　 　． （2）已知点P为该抛物线上一点且设其横坐标为t（t＜0），记该抛物线在点B与点P之间（包含点B和点P）这部分图象的最高点和最低点到x轴的距离分别为d1，d2．若|d1﹣d2|＝1，则t的取值范围为 　 　． 5．（2024•吴兴区二模）已知二次函数y＝x2﹣ax+b在x＝﹣1和x＝5时的函数值相等． （1）求二次函数y＝x2﹣ax+b图象的对称轴； （2）若二次函数y＝x2﹣ax+b的图象与x轴只有一个交点，求b的值． 6．（2024•宁波模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（5，0）． （1）求抛物线解析式； （2）若抛物线y＝x2+bx+c﹣2mx，当2m﹣1≤x≤2m+3时，y有最大值12，求m的值； （3）若将抛物线y＝x2+bx+c平移得到新抛物线y＝x2+bx+c+n，当﹣2＜x＜3时，新抛物线与直线y＝1有且只有一个公共点，直接写出n的取值范围． 【题型7 二次函数与不等式】 1、当抛物线与x轴相交、与直线相交时，只要有交点，就可以接着考察两图象的上下关系，进而得不等式，根据图象直接写出不等式的解集。 2、由函数图象直接写出不等式解集的方法归纳：①根据图象找出交点横坐标，②不等式中不等号开口朝向的一方，图象在上方，对应交点的左边或右边符合，则x取对应一边的范围。 1．（2025•浙江一模）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+b交于点A（﹣4，p），B（2，q），则关于x的不等式ax2+c＜﹣kx+b的解集是（　　） A．﹣4＜x＜2 B．x＜﹣4或x＞2 C．﹣2＜x＜4 D．x＜﹣2或x＞4 2．（2024•拱墅区一模）设二次函数y＝ax2+c（a，c为实数，a≠0，c＞0）的图象过点（﹣3，y1），（﹣1，y2），（2，y3），（4，y4），（　　） A．若y1y4＞0，y2+y3＞0，则a＞0 B．若y1y4＞0，y2+y3＜0，则a＞0 C．若y1y4＜0，y2+y3＞0，则a＜0 D．若y1y4＜0，y2+y3＜0，则a＜0 3．（2024•桐乡市一模）已知二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）的函数值y和自变量x的部分对应值如下表所示： x … ﹣1 0 1 2 3 4 5 … y … y1 3 y2 y3 y4 3 y5 … （1）若y1＝8， ①求二次函数的表达式． ②求不等式ax2+bx+3＜0的解． （2）若在y3，y4，y5中只有一个为负数，求a的取值范围． 4．（2024•温岭市一模）已知，关于x的二次函数． （1）若函数经过点A（4，﹣3），求抛物线的对称轴． （2）若点P（t﹣2，p），Q（t+3，q）均在抛物线上，则p 　 　q（填“＞”，“＜”或“＝”）． （3）记y2＝4x2+2x﹣1，当﹣2≤x≤2时，y2＞y1始终成立，求t的取值范围． 考向四：二次函数的应用 【题型8 二次函数的简单应用】 1、利用二次函数解决销售中最大利润问题一般步骤如下： ①设自变量，用含自变量的代数式表示销售单价或销售量及销售收入 ②用含自变量的代数式表示销售商品成本 ③用含自变量的关系式分别表示销售利润，根据销售利润=单件利润×销售量，得到函数表达式 ④根据函数表达式求出最值及取得最值时的自变量的值 2、利润最大化问题与二次函数模型 牢记两公式：①单位利润=售价-进价； ②总利润=单件利润×销量； 谨记两转化：①销量转化为售价的一次函数； ②总利润转化为售价的二次函数； 函数性质的应用：常利用二次函数的性质求出在自变量取值范围内的函数最值； 3、“任务型”二次函数的应用问题一般题干较多，所以审题是解决这类题的重点，然后将问题转化为二次函数模型思考。 1．（2024•滨江区二模）如图，一建筑物外墙上嵌有一排一模一样的垂直于墙壁的钢管，这些钢管的下面有一个一边靠墙的长方体水池，水从钢管流出的水都成抛物线，若以钢管的出水口点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，且抛物线的函数表达式都为．若露在墙壁外面的钢管的长度OA＝0.2米（钢管的直径长度忽略不计），钢管离水池水面的高度AB＝1米．要使钢管中流出的水都落在水池里，那水池宽至少是 　 　米． 2．（2024•桐乡市校级一模）某电脑商城准备购进A，B两种型号的电脑，已知每台电脑的进价B型比A型多500元，用16万元购进A型电脑和用18万购进B型电脑的数量相同． （1）A，B两种型号电脑每台进价各是多少？ （2）随着技术的更新，A型号电脑升级为A1型号，该商城计划一次性购进A1，B两种型号电脑共100台，B型号电脑的每台售价5200元．经市场调研发现，销售A1型号电脑所获利润P（万元）与A1销售量m（台）（0≤m≤80）成函数关系，如图所示，AB为线段，BC为抛物线一部分（40＜m≤80）．若这两种电脑全部售出，则该商城如何进货利润最大？（利润＝销售总价﹣总进价） 3．（2024•义乌市二模） 草莓种植大棚的设计 生活背景 草莓种植大棚是一种具有保温性能的框架结构．如图示，一般使用钢结构作为骨架，上面覆上一层或多层塑料膜，这样就形成了一个温室空间．大棚的设计要保证通风性且利于采光． 建立模型 （1）如图1，已知某草莓园的种植大棚横截面可以看作抛物线OPN，其中点P为抛物线的顶点，大棚高PE＝4m，宽ON＝12m．现以点O为坐标原点，ON所在直线为x轴，过点O且垂直于ON的直线为y轴建立平面直角坐标系．求此抛物线的解析式． 解决问题 （2）如图2，为方便进出，在大棚横截面中间开了两扇正方形的门，其中AB＝BE＝EC＝CD．求门高AB的值． （3）若在某一时刻，太阳光线（假设太阳光线为平行线）透过A点恰好照射到N点，此时大棚横截面在地面上的阴影为线段OQ，求此时OQ的长． 4．（2024•滨江区二模）如图1是一个含有两个斜坡截面的轴对称图形，两个斜坡材质等各方面都一样．一个黑球从左斜坡顶端由静止滚下后沿水平木板AB直线运动，其中AB＝118cm．从黑球运动到A点处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在木板上的运动时间t（单位：s）、运动速度v（单位：cm/s）、滑行距离y（单位：cm）的数据．记录的数据如表： 运动时间t/s 0 2 4 6 8 10 … 运动速度v/（cm/s） 12 10 8 6 4 2 … 运动距离y/cm 0 22 40 54 64 70 … （1）根据表格中的数值分别在图2、图3的平面直角坐标系中画出v关于t，y关于t的函数图象，并分别求出v关于t，y关于t的函数表达式． （2）①求黑球在水平木板AB上滚动的最大距离． ②黑球从左斜坡顶端由静止滚下到A点开始计时，运动到2秒的同时，有一个除颜色外其余与黑球完全相同的白球，从右斜坡顶端由静止滚下到点B处，两球会在水平木板AB的某个位置相遇吗？若能相遇，请求出相遇点P到A点的距离；若不能相遇，请说明理由． 【题型9 二次函数的代数综合应用】 二次函数的代数综合应用题，需要将二次函数的各种代数考点根据题目要求来灵活应用。 1．（2025•乐清市校级模拟）已知二次函数的解析式为y＝x2﹣2x+c． （1）若点（t，c）在该二次函数的图象上，求t的值； （2）若该二次函数图象的顶点在x轴上，求该二次函数的解析式； （3）当﹣1≤x≤2时，函数有最大值m和最小值n，求证：mn≥﹣4． 2．（2024•莲都区二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）． （1）当a＝2时， ①若该函数图象的对称轴为直线x＝1，且过点（0，3），求该函数的表达式； ②若方程ax2+bx+c＝0有两个相等的实数根，求证：2b+8c≥﹣1； （2）若a，已知点M（2，2），点N（4，2）在平面直角坐标系中，当二次函数y＝ax2+bx+c的图象与线段MN有交点时，求a的取值范围． 3．（2024•镇海区校级三模）【背景介绍】 烽火台是古代军情报警的一种措施，若敌人白天侵犯就燃烟，夜间来犯就点火以可见的烟气和光亮向各方与上级报警．古时期人们用火种点燃箭头，然后准确地射向烽火台以点燃烟或点火． 【问题情境】 距离此处70米远，有一个20米高的烽火台，烽火台上面的点火区域是一个边长为4米的正方形．这只箭飞行的轨迹可以看作是抛物线的一部分，记这只箭飞行的水平距离为d（单位：m）．距地面的竖直高度为h（单位：m），获得数据如表： d/m 0 10 20 30 40 50 60 70 h/m 0.5 9.5 16.5 21.5 24.5 25.5 24.5 k 【探究过程】 小勇根据学习函数的经验，对函数h随自变量d的变化而变化的规律进行了研究．下面是小勇的探究过程，请补充完整； （1）k的值为 　 　， （2）在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连结． （3）请结合函数图象分析，士兵射出的箭是否掉进了烽火台里？ （4）烽火台较小，士兵将火种箭射进台内较为困难．于是，利用烽火台的上空的可燃气体，只要士兵射出的箭能够进入烽火台上方离4米的范围内，都可以顺利点燃烽火台．小勇在研究这个问题的过程中还发现．如果射箭的初始角度和力量不变的情况下，射手还可以通过调整与烽火台的距离米改变这只箭的飞行轨迹，如果保证烽火台被点燃，请结合函数图象分析，射手向后移动的最大距离与向前移动的最大距离分别为多少？ 4．（2024•金东区二模）设二次函数yx2+bx+c（b，c是常数）． （1）若b＝1时，求二次函数y的顶点坐标．（用含c的代数式表示） （2）若c＝﹣1时，求二次函数yx2+bx﹣1（﹣1≤x≤2）的最大值．（用含b的代数式表示） （3）若b＝c＝0时，如图，直线y＝x+1与此函数图象交于A，B两点，点P不在二次函数图象上，线段PA，PB分别交二次函数图象于点C，D，且CD∥AB，CD＜AB，求点P的纵坐标的取值范围． （建议用时：45分钟） 1．（2024•西湖区一模）在平面直角坐标系中，已知一次函数y＝ax+b（a≠0，a，b是常数）的图象经过点P（﹣2，0），且与y轴正半轴相交，则二次函数y＝ax2+bx+1的图象可能是（　　） A． B． C． D． 2．（2024•浙江模拟）已知点A（2，6），B（6，4），C（3，m）均在抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上，且6≤m≤7，点（n，y1）和（n+1，y2）也在此抛物线上，则下列说法正确的是（　　） A．若y1＜y2恒成立，则n＜2 B．若y1＜y2恒成立，则n＞2 C．若y1＞y2恒成立，则n＞2 D．若y1＞y2恒成立，则n＜2 3．（2024•婺城区模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），当y≥t时，x≤﹣m﹣2或x≥﹣m+4．若A（﹣m﹣3，p），B（2m，q）是抛物线y＝ax2+bx+c上的两点，且p＞q，则m的取值范围为（　　） A． B．m＜﹣1或 C． D．或m＞1 4．（2024•镇海区校级模拟）新定义：若一个点的横纵坐标之和为6，则称这个点为“和谐点”，若二次函数y＝x2﹣2x+c（c为常数）在﹣1＜x＜3的图象上存在两个“和谐点”，则c的取值范围是（　　） A． B． C．﹣1＜c＜1 D． 5．（2024•普陀区二模）二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象经过点（6，c），向左平移t（t＞0）个单位长度后得到新抛物线，直线y＝px+q（p＞0）与新抛物线有两个交点P（2t，y1），Q（2t+2，y2），则t的取值范围为（　　） A．0＜t＜2 B．0＜t＜3 C． D． 6．（2024•舟山一模）已知一次函数y＝kx+3（k≠0），当k≤x≤m时，a≤y≤b，若a+b的最小值为2，则m的值为（　　） A．±2 B．2 C．±4 D．4 7．（2024•浙江一模）已知在二次函数y＝ax2+bx+c中，函数值y与自变量x的部分对应值如表： x ⋯ ﹣1 0 1 2 3 ⋯ y ⋯ 8 3 0 ﹣1 0 ⋯ 则满足方程ax2+bx+c＝3的解是 　 　． 8．（2024•苍南县校级自主招生）二次函数y＝x2﹣2ax+a在0≤x≤2上有最小值﹣6，则a的值为 　 　． 9．（2024•江干区校级二模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c交y轴于点（0，5），对称轴为直线x＝﹣2，若y≥5，则x的取值范围是 　 　． 10．（2024•江北区一模）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P为抛物线y＝﹣ax2﹣2ax+3a（a＞0）上任意一点，过点P分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别为M，N．设点P的横坐标为t，若抛物线在矩形PMON内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，则t的取值范围为 　 　． 11．（2024•萧山区一模）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2﹣2mx+m2+1的图象与y轴交于点A，点B（x1，y1）是该函数图象上任意一点，且不与点A重合，直线y＝kx+b（k≠0）经过A，B两点．若x1＜﹣3时，总有k＜0，则m的取值范围为 　 　． 12．（2024•浙江一模）图1是一个瓷碗，图2是其截面图，碗体DEC呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽CD＝12cm，此时面汤最大深度EG＝8cm． （1）当面汤的深度ET为4cm时，汤面的直径PQ长为 　 　； （2）如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，当∠ABM＝45°时停止，此时碗中液面宽度CH＝　 　． 13．（2025•宁波模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝（x﹣m）2+k的图象经过点A（m+1，0）． （1）求k的值； （2）图象上有两点（t，y1），（t+2，y2）． ①若y1﹣y2＝﹣4，求y1+y2的值； ②探究：y1+y2是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 14．（2024•瓯海区校级三模）二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0）且x1≠x2． （1）当x1＝2，且b+c＝﹣6时， ①求b，c的值； ②当﹣2≤x≤t时，二次函数y＝x2+bx+c的最大值与最小值的差为4，求t的值； （2）若x1＝3x2，求证：． 15．（2024•鄞州区一模）请阅读信息，并解决问题： 问题 琴桥检修后需要更换吊杆及相关装饰品 查询信息 宁波有许多桥，有一座横跨鄞州和海曙的桥，因其外形酷似竖琴称为“琴桥”．琴桥的桥拱固定在桥面上，拱的两侧安装了17对吊杆（俗称“琴弦”）琴桥全长120米，拱高25米． 处理信息 如图是琴桥的主视图，A，B分别表示是桥的起点和终点，桥拱可看成抛物线，拱的两端C，D位于线段AB上，且AC＝BD．一根琴弦固定在拱的对称轴OH处，其余16根琴弦对称固定在OH两侧，每侧各8根．记离拱端C最近的一根为第1根，从左往右，依次记为第2根，第3根，…OH为第9根，… 测量数据 测得上桥起点A与拱端C水平距离为20米，最靠近拱端C的“琴弦”EF高9米，EF与OH之间设置7根“琴弦”，各琴弦的水平距离相等，记为m米． 解决问题 任务1：建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式； 任务2：求琴弦EF与拱端C的水平距离CE及m的值． 任务3：若需要在琴弦EF与OH之间垂直安装一个如图所示高为17m的高音谱号艺术品，艺术品底部在桥面AB上，顶部恰好扣在拱桥上边缘，问该艺术品顶部应该安装在哪两根琴弦之间？ 14 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$