精品解析：新疆乌鲁木齐市第二十三中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试卷

2024-2025学年度乌鲁木齐市23中学高二数学3月月考试卷 考试时间：120分钟 第I卷（选择题） 一､单选题 1. 已知某质点的位移（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，则当时，该质点的瞬时速度为（ ） A 10 B. 9 C. 8 D. 7 2. 已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如下图所示，则该函数的大致图象是（    ） A. B. C. D. 3. 函数在区间上的最大值为（ ） A 1 B. C. D. 4. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 若函数与函数有相等的极小值，则实数（ ） A. B. C. 2 D. 6. 把一个周长为6的长方形铁皮围成一个无盖无底的圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的底面半径和高的比值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 7. 已知曲线与曲线只有一个公共点，则（ ） A. B. 1 C. e D. 8. 已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是（     ） A. B. C. D. 二､多选题 9. 下列求导运算正确的是（ ） A B. C. D. 10. 直线与曲线在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，由函数与的部分图象可得一条封闭曲线，则（ ） A. 函数和的图象对称 B. 上任意一点到原点的距离 C. 函数有两个零点，且 D. 直线被截得弦长的最大值为 第II卷（非选择题） 三､填空题 12. 定义在上的可导函数满足：且，则的解集为__________. 13. 已知实数，记．若函数在区间上的最小值为，则的值为________． 14. 若函数在上存在极值,则的取值范围为______. 四､解答题 15. 已知函数. （1）若为的极大值点，求实数的值； （2）若，求在区间上的最值； 16. 已知函数. （1）试讨论的单调性； （2）当时，求的单调区间. 17. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）已知函数，求的单调区间； （3）若对于任意，都有（为自然对数的底数），求实数的取值范围． 18 已知函数. （1）求函数的极值，并在坐标系中画出函数的简图（要含有必要的说明和体现必要的图象特征）； （2）讨论方程实数解的个数. （3）证明：. 19. 设函数. （1）若在区间上单调递增，求的取值范围； （2）当时，求曲线在点处的切线方程； （3）当时，，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度乌鲁木齐市23中学高二数学3月月考试卷 考试时间：120分钟 第I卷（选择题） 一､单选题 1. 已知某质点的位移（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，则当时，该质点的瞬时速度为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】即求函数在时的导数值. 【详解】，则. 故选：A. 2. 已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如下图所示，则该函数的大致图象是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数与函数的单调性之间的关系及导数的几何意义即可做出判断. 【详解】因为的图像经过与两点，即，， 由导数的几何意义可知在与处的切线的斜率为，故选项AD错误； 由的图象知，在上恒成立，故在上单调递增， 又在上越来越大，在上越来越小， 所以在上增长速度越来越快，在上增长速度越来越慢，故选项C错误，因此选项B正确. 故选：B. 3. 函数在区间上的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过导函数在给定区间上的正负判断原函数的单调性，计算即得函数最大值. 【详解】由，求导得， 当时，，当时， 即在上单调递增， 在上单调递减， 故． 故选：C. 4. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题设可得在上恒成立，分离参数后利用基本不等式可求实数的取值范围. 【详解】因为函数，则， 因为在上单调递增，故在上恒成立， 即在上恒成立，即，即， 设，，， 当且仅当，即时等号成立， 所以. 故选：D. 5. 若函数与函数有相等的极小值，则实数（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由对勾函数可知：的极小值，对求导，利用导数判断的单调性和极值，运算求解即可. 【详解】由对勾函数可知：在时取到极小值， 对于，则有： 当时，在定义域内单调递减，无极值，不合题意； 当时，， 令，解得；令，解得； 则在上单调递减，在上单调递增， 所以的极小值为，解得. 故选：B. 6. 把一个周长为6的长方形铁皮围成一个无盖无底的圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的底面半径和高的比值为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】设圆柱的底面半径为，高为，表示出体积关于高的函数，求导分析即可； 【详解】设圆柱的底面半径为，高为， 由题意可得，即， 圆柱的体积，， ， 令，解得或， 所以当时，，为增函数；当时，，为减函数； 当时，取得极大值，也是最大值， 此时高为1，半径为，底面半径和高的比值为， 故选：B. 7. 已知曲线与曲线只有一个公共点，则（ ） A. B. 1 C. e D. 【答案】B 【解析】 【分析】方法一：把两曲线与有一个公共点，转化为方程只有一个实数解，通过分离常数求出值； 方法二：把两曲线与有一个公共点，转化成两曲线只有一个公切点，再利用几何意义求解； 方法三：利用原函数和反函数图像关于对称，且两函数图像都与相切于点，巧妙求出值. 【详解】方法一：由已知曲线与曲线只有一个公共点， 方程只有一个实数解，而，则只考虑， 即，令，则， 而在单调递增，且， 所以时，单调递减， 时，单调递增， 而时，；时，， 所以． 方法二：由已知曲线与曲线只有一个公共点， 则曲线与曲线只有一个公切点，设其坐标为， 根据函数的图像与函数的图像之间的关系， 所以有， 即，所以， 设，则在单调递减，而， 所以，所以． 方法三：由于函数的反函数为，两函数关于对称， 由于，令，则，即函数与函数相切于点， 同理，，令，即函数． 与函数也相切于点， 于是函数与函数相切于点，由选项可知，． 故选：B. 8. 已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将已知不等式变形为，构造函数，其中，分析函数的单调性，可得出，进而可得，由参变量分离法得出，利用导数求出函数在上的最小值，即可得出实数的取值范围. 【详解】由题意可知，，，由， 可得，可得， 令，其中，则， 所以，函数在上为增函数， 由可得，则，可得， 令，其中，则， 当时，，即函数在上递减， 当时，，即函数在上递增， 所以，，即实数的取值范围是. 故选：D. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 二､多选题 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据导数的运算对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】因为为常数，所以0，A错误； 因为，B正确； 因为，C正确； 因为 ，D正确. 故选：BCD 10. 直线与曲线在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定的解析式，结合各选项的图象特征，逐一分析判断. 【详解】对于A，直线过原点，则，此时曲线过点，则， 直线与曲线，符合要求，A可能； 对于B，直线过点，且，则，此时曲线， 又曲线过点，则，解得与矛盾，B不可能； 对于C，直线过点，且，则，此时曲线， 求导得，当或时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，符合要求，C可能； 对于D，直线过点，且，则，此时曲线， 求导得，当或时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，符合要求，D可能. 故选：ACD 【点睛】思路点睛：由各选项中直线确定参数，由此得曲线方程，并分析其图象与对应选项图象一致即可能. 11. 如图，由函数与的部分图象可得一条封闭曲线，则（ ） A. 函数和的图象对称 B. 上任意一点到原点的距离 C. 函数有两个零点，且 D. 直线被截得弦长的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】求得的反函数判断A；求得的零点计算可判断B，C，D. 【详解】对于A，由，所以，所以， 所以的反函数为， 所以函数和的图象关于对称，故A正确； 对于B，由，可得， 令，所以， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 所以在内有一个零点，另一个零点为1， 所以到原点的距离，故B错误； 对于C，因为与互为反函数， 所以函数的零点即为的零点， 由B选项可知有两个零点，且一个零点，另一个零点为1， 所以有两个零点，且，故C正确； 对于D，因为与对称轴垂直， 所以直线被截得弦长是到的距离的2倍， 由B可知，即， 到直线的距离为， 所以直线被截得弦长的最大值为，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：关键在于利用对称性，求函数的零点转化为求的零点，减少运算量. 第II卷（非选择题） 三､填空题 12. 定义在上可导函数满足：且，则的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，求导后得到的单调性，结合得到的解集，进而得到的解集. 【详解】令，则， 因为在上有，所以，所以， 所以在上单调递减，因为，所以， 所以时，，此时， 时，，此时， 所以的解集为. 故答案为： 13. 已知实数，记．若函数在区间上的最小值为，则的值为________． 【答案】3 【解析】 【分析】先对函数求导，结合导数与单调性及最值关系即可求解． 【详解】当时，，， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 故时，取得最小值， 解得，． 故答案为：3． 14. 若函数在上存在极值,则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】在上存在极值,即在上存在变号零点,构造新函数,求导求单调性,判断函数性质后使函数的最小值小于零即可. 【详解】解:由题知在上存在极值, 即在上存在变号零点, 所以, 设函数, 即在上存在变号零点, 则, 当时,,单调递减; 当时,,单调递增. 因为时,, 故只需即可, 即. 故答案为:. 【点睛】思路点睛:此题考查函数与导数综合问题,属于难题,关于函数极值点的存在问题的思路有: (1)对原函数进行求导; (2)令导函数为新的函数,使新的函数有变号零点; (3)对新函数求导求单调性,判断函数性质,建立不等式,计算结果. 四､解答题 15. 已知函数. （1）若为的极大值点，求实数的值； （2）若，求在区间上的最值； 【答案】（1） （2）最大值为1，最小值为 【解析】 【分析】（1）求导，然后利用求出，代入的值验证即可；（2）代入，然后求导，确定单调性，进而可得最值. 【小问1详解】 由已知，因为为的极值点， 令，解得或， 当时，， 令，解得或，令，解得， 即函数在上单调递减，在和上单调递增，为的极小值点， 当时，， 令，得或，令，得， 即函数在上单调递减，在和上单调递增，为的极大值点. 综上所述：若为的极大值点，； 【小问2详解】 若，则，则， 因为，所以令，得或，令，得， 即函数在上单调递减，在和上单调递增， 又 所以在区间上的最大值为1，最小值为. 16. 已知函数. （1）试讨论的单调性； （2）当时，求的单调区间. 【答案】（1）答案见解析 （2）单调增区间 【解析】 【分析】（1）求出导函数，按不同取值分类讨论的符号即可； （2）利用导数的符号判断单调区间即可. 【小问1详解】 由可得 ，， 令，解得或， ①当时，在小于0，即，单调递减， 在大于0，即，单调递增， ②当时，在，大于0，即，单调递增， 在小于0，即，单调递减， ③当时，在恒成立，即恒成立，当且仅当时等号成立， 所以在单调递增， ④当时，在，大于0，即，单调递增， 在小于0，即，单调递减， 综上所述，当时，在单调递减，在单调递增， 当时，在单调递减，在，单调递增， 当时，在单调递增， 当时，在单调递减，在，单调递增. 【小问2详解】 当时， ，，， 令，则， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 又因为，所以当时恒成立，即恒成立， 所以在上单调递增， 所以的单调增区间为. 17. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）已知函数，求的单调区间； （3）若对于任意，都有（为自然对数的底数），求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）的单调减区间为，单调增区间为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数运算及导数的几何意义求解即可； （2）根据导数的正负求解的单调区间； （3）分离参数，然后根据导数求解函数最大值，即可得出的取值范围． 【小问1详解】 由得，，，， 所以在点处的切线方程为； 【小问2详解】 ，， ，令，解得， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以的单调减区间为，单调增区间为； 【小问3详解】 由题可知，， 所以，， 设，， 则，令，解得， 当时，，所以在单调递减， 当时，，所以在单调递增， 又，即， 所以. 18. 已知函数. （1）求函数的极值，并在坐标系中画出函数的简图（要含有必要的说明和体现必要的图象特征）； （2）讨论方程的实数解的个数. （3）证明：. 【答案】（1）极小值为，无极大值，作图见解析 （2）答案见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，解不等式和即可； （2）讨论函数的图象与的交点个数 （3）构造函数，证明其最小值大于零即可. 【小问1详解】 因为函数定义域为， 又恒成立，当时，；当时，； 所以，的单调递减区间为，单调递增区间为， 则极小值为，无极大值. 当时，，则恒成立，且有唯一零点， 则图象如下： 【小问2详解】 方程的根的个数等价于函数图象与的交点个数； 结合（1）中图象可知： 当时，与有且仅有一个交点； 当时，与有两个不同交点； 当时，与有且仅有一个交点； 当时，与无交点； 综上所述：当时，方程有唯一的实数根； 当时，方程有两个不同的实数根； 当时，方程无实数根. 【小问3详解】 令， 则， 令，则， 所以在上单调递增， 又， 所以存在，使得， 即，即， 所以当时，，则， 当时，，则， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 因为，所以，所以， 所以， 即. 19. 设函数. （1）若在区间上单调递增，求的取值范围； （2）当时，求曲线在点处的切线方程； （3）当时，，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由条件转化为恒成立.再转化为导函数的最小值大于等于0，即可求解； （2）利用导数的几何意义，即可求解； （3）方法一：首先将不等式整理为，再参变分离为，转化为求函数的最小值；方法二：根据（2）的结果，由的值，讨论的取值，判断不等式是否成立，即可求解；方法三：从命题成立的必要条件入手，再证明命题成立的充分条件，即可求解的取值范围. 【小问1详解】 ， 由题意得，恒成立. 令，则，且在单调递增， 令，解得， 所以当时，，故单调递减； 当时，，故单调递增； 所以， 又，当且仅当，故 【小问2详解】 当时，，则， 则曲线在点处切线斜率为，又， 所以曲线在点处的切线方程为. 【小问3详解】 解法一：因为，所以题意等价于当时，. 即， 整理，得， 因为，所以，故题意等价于. 设， 的导函数， 化简得， 考察函数，其导函数为， 当单调递减；当单调递增； 故在时，取到最小值，即， 即， 所以， 所以当单调递减； 当单调递增； 所以的最小值为， 故. 解法二：先考察，由（2）分析可得， 情况1：当，即， 此时在区间单调递增， 故，即，符合题意； 情况2：若，则， 注意到，且，故对进一步讨论 ①当时，即 且由②分析知：当单调递减， 故当，即单调递减， 故恒有，不符合题意，舍去； ②当时， 注意到在区间单调递减，且，又， 故在区间存在唯一的满足； 同理在区间单调递增，且， 故在区间存在唯一的满足；故可得 + 0 - 0 + 极大值 极小值 所以当，符合题意； 故题意等价于，即. 又因为，即，化简，得 所以，整理得. 注意到，所以， 故解得， 由之前分析得即 考察函数，其导函数为， 当单调递减； 当单调递增； 故在时，取到最小值，即， 即，所以恒成立， 故，又注意到情况（2）讨论范围为， 所以也符合题意. 综上①②本题所求的取值范围为. 方法三：先探究必要性，由题意知当时，是的最小值， 则由必要性，即得到必要条件为； 下证的充分性，即证：当时，. 证明：由（2）可知当时，在单调递增， 故的最小值为，符合题意； 故只需要证明时，. 由（2）分析知时， + 0 - 0 + 极大值 极小值 其中. 注意到，据此可得更精确的范围是； 所以等价于证明， 又因为，即，可得， 只需证明， 等价于证明， 注意到，即， 故若（1）当，此时显然成立； 若（2）当，只要证明， 此时，且 所以，故得证. 综上必要性，充分性的分析，所求的取值范围为. 【点睛】方法点睛：本题第三问给了三种方法，第一种参变分离比较简单实用. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$