07：圆锥曲线的最值与范围问题重难点讲义-2024-2025学年高二上学期数学沪教版（2020）选择性必修第一册

2024-2025学年高二数学重难点讲与练（培优课程） 专题07 圆锥曲线的最值与范围问题 1. 圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑： ①利用判别式来构造不等关系，从而确定取值范围； ②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出取值范围； ③利用基本不等式求出取值范围； ④利用函数的值域的求法，确定取值范围 2.解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围； (5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围． 题型1：长度或距离的最值与范围 【方法点拨】与距离或线段长度有关的最值与范围问题通常是把相关距离或线段长度表示成一个变量的函数，利用函数性质求最值与范围。 【例1】 (2025届长宁区一模)已知椭圆的左、右焦点分别为，，且经过点． （1）求该椭圆离心率； （2）点Q为椭圆上一点，且位于第三象限，若的面积为3，求点Q的坐标； （3）A，B，C，D是椭圆上不重合的四个点，AB与CD相交于点，且，求的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意列式求出椭圆方程，即可求解离心率； （2）根据的面积为3，可得边上的高为，过做的平行线，可得直线的解析式，联立方程组即可求解； （3）分或垂直于轴和和不垂直于轴两种情况，设直线的解析式为，点，，联立方程组由韦达定理和弦长公式可得，利用基本不等式即可求解. 【小问1详解】 设椭圆的标准方程为，，，由已知可得， 因为点在椭圆上，所以， 又，所以，， 所以椭圆方程为， 所以； 【小问2详解】 ①，直线的解析式为， 因为的面积为3，所以边上的高为， 过做的平行线，则直线的解析式为， 联立方程组， 解得：或， 所以点的坐标为或； 【小问3详解】 ①若或垂直于轴，则， ②若和不垂直于轴， 设直线的解析式为，点，， 联立方程组，得， 从而，， ， 同理， ， 因为，所以， 综上，的取值范围是. 最值与范围问题 【例2】已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，短轴长为2． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点，若kOM·kON＝，求原点O到直线l的距离的取值范围． 1．解析　(1)由题知e＝＝，2b＝2，又a2＝b2＋c2，∴b＝1，a＝2， ∴椭圆C的标准方程为＋y2＝1． (2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立方程得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0， 依题意，Δ＝(8km)2－4(4k2＋1)(4m2－4)>0，化简得m2<4k2＋1，① x1＋x2＝－，x1x2＝，y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2． 若kOM·kON＝，则＝，即4y1y2＝5x1x2， ∴(4k2－5)x1x2＋4km(x1＋x2)＋4m2＝0，∴(4k2－5)·＋4km·＋4m2＝0， 即(4k2－5)(m2－1)－8k2m2＋m2(4k2＋1)＝0，化简得m2＋k2＝，②，由①②得0≤m2<，<k2≤． ∵原点O到直线l的距离d＝，∴d2＝＝＝－1＋， 又<k2≤，∴0≤d2<，∴原点O到直线l的距离的取值范围是． 【例3】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知等轴双曲线的左顶点A，过右焦点F且垂直于x轴的直线与E交于B，C两点，若的面积为． （1）求双曲线E的方程； （2）若直线与双曲线E的左，右两支分别交于M，N两点，与双曲线E的两条渐近线分别交于P，Q两点，求的取值范围． 【解析】（1）因为双曲线为等轴双曲线， 所以，设双曲线的焦距为2c，，故，即． 因为BC过右焦点F，且垂直于x轴， 将代入，可得，故．将的面积为， 所以，即， 所以，，故双曲线E的方程为． （2）依题意，直线与双曲线E的左，右两支分别交于M，N两点， 联立方程组消去y可得，， 所以解得，且 所以 ． 联立方程组得，同理， 所以． 所以，其中，所以． 【例4】（2023七宝中学12月月考）已知抛物线的焦点是，如图，过点作抛物线的两条切线，切点分别是和，线段的中点为． （1）求抛物线的标准方程； （2）求证：直线轴； （3）以线段为直径作圆，交直线于，求 的取值范围． 【分析】（1）设抛物线的方程为，由题意可得求得抛物线方程； （2），设，求出直线、的方程，求出点坐标和点坐标，由可得答案： （3）根据已知条件求出、圆心坐标、直线方程，且与椭圆方程联立，利用韦达定理求出，圆心到直线的距离为，半径，得到，令，代入利用单调性可得答案． 【解析】（1）设抛物线的方程为， 由题意可得，所以，所以抛物线方程. （2）由（1），因为，设， 直线的方程为，直线的方程为， 联立上述两直线方程，得点坐标， 又因为点为线段的中点，所以点坐标， 因为，所以直线轴： （3）因为点，所以，则，圆心， 直线的斜率为，直线方程为， ，得，，， 圆心到直线的距离为，半径， ，令， 在时单调递减，． 【例5】已知抛物线的焦点到准线的距离为.过点作直线交抛物线与两点(在第一象限内). (1)若与焦点重合,且.求直线的方程; (2)设关于轴的对称点为.直线交轴于. 且.求点到直线的距离的取值范围. (2)可求.故为等腰直角三角形,设 . 即. 设 ∴ 从而, 即, 又. ∴. 点到直线的距离为 ∴ 【点评】函数法是我们探求解析几何最值问题的首选方法，其中所涉及到的函数最常见的有二次函数等，值得注意的是函数自变量取值范围的考察不能被忽视. 学科@网 题型2：斜率的最值与范围 与斜率有关的最值与范围问题的思路一是设出动点。是利用斜率定义表示出斜率，然后利用函数或不等式知识求解，二是设出直线的点斜式或斜截式方程，利用根与系数之间的关系或题中条件整理关于斜率的等式或不等式求解。 【例6】（2024敬业中学期中）已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F(－c，0)，离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直 线FM被圆x2＋y2＝截得的线段的长为c，|FM|＝． (1)求直线FM的斜率； (2)求椭圆的方程； (3)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围． 解析　(1)由已知，有＝，又由a2＝b2＋c2，可得a2＝3c2，b2＝2c2． 设直线FM的斜率为k(k＞0)，F(－c，0)，则直线FM的方程为y＝k(x＋c)． 由已知，有＋＝，解得k＝． (2)由(1)得椭圆方程为＋＝1，直线FM的方程为y＝(x＋c)， 两个方程联立，消去y，整理得3x2＋2cx－5c2＝0，解得x＝－c，或x＝c． 因为点M在第一象限，可得M的坐标为． 由|FM|＝＝，解得c＝1，所以椭圆的方程为＋＝1． (3)设点P的坐标为(x，y)，直线FP的斜率为t，得t＝，即y＝t(x＋1)(x≠－1)，与椭圆方程联立 消去y，整理得2x2＋3t2(x＋1)2＝6， 又由已知，得t＝＞，解得－＜x＜－1，或－1＜x＜0． 设直线OP的斜率为m，得m＝，即y＝mx(x≠0)，与椭圆方程联立，整理得m2＝－． ①当x∈时，有y＝t(x＋1)＜0，因此m＞0，于是m＝，得m∈． ②当x∈(－1，0)时，有y＝t(x＋1)＞0，因此m＜0，于是m＝－，得m∈． 综上，直线OP的斜率的取值范围是∪． 【例7】 设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(b>0)的左、右焦点，若P是该椭圆上的一个动点，且·的最大值为1． (1)求椭圆E的方程； (2)设直线l：x＝ky－1与椭圆E交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角(O为坐标原点)，求k的取值范围． [规范解答]　(1)易知a＝2，c＝，b2<4，所以F1(－，0)，F2(，0)， 设P(x，y)，则·＝(－－x，－y)·(－x，－y) ＝x2＋y2－4＋b2＝x2＋b2－－4＋b2＝x2＋2b2－4． 因为x∈[－2，2]，故当x＝±2，即点P为椭圆长轴端点时，·有最大值1， 即1＝×4＋2b2－4，解得b2＝1．故所求椭圆E的方程为＋y2＝1． (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得 (k2＋4)y2－2ky－3＝0，Δ＝(－2k)2＋12(4＋k2)＝16k2＋48>0，故y1＋y2＝，y1·y2＝． 又∠AOB为锐角，故·＝x1x2＋y1y2>0，又x1x2＝(ky1－1)(ky2－1)＝k2y1y2－k(y1＋y2)＋1， 所以x1x2＋y1y2＝(1＋k2)y1y2－k(y1＋y2)＋1＝(1＋k2)·－＋1 ＝＝>0，所以k2<，解得－<k<， 故k的取值范围是． 【例8】已知C为圆(x＋1)2＋y2＝8的圆心，P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP上，且有点A(1，0)和AP上的点M，满足·＝0，＝2． (1)当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程； (2)若斜率为k的直线l与圆x2＋y2＝1相切，与(1)中所求点Q的轨迹交于不同的两点F，H，O是坐标原点，且≤·≤，求k的取值范围． [规范解答]　(1)由题意知MQ是线段AP的垂直平分线， 所以|CP|＝|QC|＋|QP|＝|QC|＋|QA|＝2>|CA|＝2， 所以点Q的轨迹是以点C，A为焦点，焦距为2，长轴长为2的椭圆， 所以a＝，c＝1，b＝＝1，故点Q的轨迹方程是＋y2＝1． (2)设直线l：y＝kx＋t，F(x1，y1)，H(x2，y2)，直线l与圆x2＋y2＝1相切⇒＝1⇒t2＝k2＋1． 联立⇒(1＋2k2)x2＋4ktx＋2t2－2＝0， 则Δ＝16k2t2－4(1＋2k2)(2t2－2)＝8(2k2－t2＋1)＝8k2>0⇒k≠0，x1＋x2＝，x1x2＝， 所以·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋kt(x1＋x2)＋t2＝＋kt＋t2 ＝－＋k2＋1＝， 所以≤≤⇒≤k2≤⇒≤|k|≤，所以－≤k≤－或≤k≤． 故k的取值范围是∪． 【例9】已知圆的圆心为，点是圆上的动点，点是抛物线的焦点，点在线段上，且满足. （1）求点的轨迹的方程； （2）不过原点的直线与（1）中轨迹交于两点，若线段的中点在抛物线上，求直线的斜率的取值范围. 【分析】（1）依题意，根据椭圆的定义可得到轨迹为椭圆，再由几何关系得到相应的参数值即可得到椭圆方程；（2）设出直线方程并且和椭圆联立，根据韦达定理得到中点坐标，将点Q坐标代入抛物线方程得到，将此式代入得到，解不等式即可. 【解析】（1） 易知点是抛物线的焦点，， 依题意， 所以点轨迹是一个椭圆，其焦点分别为，长轴长为4， 设该椭圆的方程为， 则， ， 故点的轨迹的方程为. （2）易知直线1的斜率存在， 设直线1：， 由得：， ， 即①又， 故，将，代， 得：， 将②代入①，得：， 即， 即，即， 且， 即的取值范围为或. 【例10】已知双曲线的两个焦点分别为，，动点满足. （1）求动点的轨迹的方程； （2）若轨迹上存在两点，满足（，分别为直线，的斜率），求直线的斜率的取值范围. 【分析】（1）由题设知：，结合椭圆的定义写出轨迹的方程； （2）设：，，联立椭圆方程并应用韦达定理可得，，根据可得，由有，即可求直线的斜率的取值范围. 【解析】（1）由题设，若， ∴，即动点的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆， ∴动点的轨迹的方程为. （2）由题设，设直线：，， ∴. 联立轨迹可得：，则， ∴，， ，则，即， ∵，且， ∴且，可得或. 【例11】已知椭圆过点，以四个顶点围成的四边形面积为． （I）求椭圆的标准方程； （II）过点的直线斜率为，交椭圆于不同的两点，直线交于点，若，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据椭圆所过的点及四个顶点围成的四边形的面积可求，从而可求椭圆的标准方程；（2）设，求出直线的方程后可得的横坐标，从而可得，联立直线的方程和椭圆的方程，结合韦达定理化简，从而可求的范围，注意判别式的要求． 【解析】（1）∵椭圆过，故，∵四个顶点围成的四边形的面积为，故，即，故椭圆的标准方程为：． （2）设，∵直线的斜率存在，故，故直线，令，则，同理． 直线，由可得，故，解得或．又，故，∴， 又 故即．综上，或． 【例12】（2023大同中学高三模拟）如图，已知椭圆：的左、右焦点为、，左、右顶点分别为、，离心率，为椭圆上动点，直线交y轴正半轴于点A，直线交y轴正半轴于点B（当M为椭圆短轴上端点时，A，B，M重合）. (1)求椭圆的方程； (2)若，求直线的方程； (3)设直线、的斜率分别为、，求的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【解析】 【分析】 （1）根据离心率可求，从而可得椭圆方程. （2）设，则可以用的坐标表示，再根据可求，从而可求的坐标，故可求直线的方程. （3）结合（2）可得，利用在椭圆上可化简前者，利用其纵坐标的范围可求最大值. (1) 因为椭圆的离心率为，故即， 故，所以椭圆的方程为：. (2) 设，因为直线交y轴正半轴于点A，则，， 又，故， ，故， 因为，故，所以，所以， 故即. (3) 由（2）可得，而， 故， 因为，故，故的最大值为. 【例13】（2023·上海黄浦·统考一模）已知椭圆的离心率为，以其四个顶点为顶点的四边形的面积等于.动直线、都过点，斜率分别为k、，与椭圆C交于点A、P，与椭圆C交于点B、Q，点P、Q分别在第一、四象限且轴. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线与x轴交于点N，求证：； (3)求直线AB的斜率的最小值，并求直线AB的斜率取最小值时的直线的方程. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)， 【分析】（1）根据已知条件，分别求出a、b、c的值即可. （2）根据两个斜率的关系式求得，由两点间距离公式求得、即可. （3）联立直线与椭圆方程解得、，代入直线AB的斜率公式再应用基本不等式可求得结果. 【解析】（1）设椭圆C的焦距为2c，则由，且， 可得，，所以椭圆C的方程为. （2）设，，则，， 可得，解得， 又，，所以. （3）设，，直线，的方程分别为，， 由（2）知，所以，又m，均大于0，可知， 由可得， 所以，即，同理可得， 直线AB的斜率为 （当且仅当时取等号）. 当时，，此时在椭圆C上， 所以，又，可得， 所以直线AB的斜率的最小值为，且当直线AB的斜率取最小值时的直线的方程为. 【例14】【黄浦2023一模20】已知椭圆的离心率为，以其四个顶点为顶点的四边形的面积等于. 动直线、都过点，斜率分别为、，与椭圆交于点、，与椭圆交于点、，点、分别在第一、四象限且轴. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若直线与轴交于点，求证：； （3）求直线的斜率的最小值，并求直线的斜率取最小值时的直线的方程. 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）， 【解析】（1）设椭圆的焦距为， 则由且 ……………2 分 可得， 所以椭圆的方程为. ……………4 分 （第20题图） （2）设， 则 ……………6 分 可得 ，解得……………8 分 又所以……………10 分 (另法：根据 三点共线与纵坐标关系，用向量或中点坐标公式来证明) （3）设，直线的方程分别为 由（2）知 ，又均大于0，可知 ……………11 分 由可得，所以，即 同理可得 ………13 分 直线的斜率为 (当且仅当时取等号). …………16 分 当时，，此时 在椭圆上， 所以 又，可得 ，所以直线的斜率的最小值为 且当直线的斜率取最小值时的直线的方程为. ……………18 分 【例15】（2023复旦附中高三月考）已知直线（）交抛物线（）于、两点，是线段的中点，过作轴的垂线交抛物线于点. (1)若直线过抛物线的焦点，且垂直于抛物线的对称轴，试用表示； (2)求过点且与平行的直线与抛物线的公共点的个数； (3)是否存在实数，使成立？若存在，求出的所有的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)直线和抛物线只有一个公共点. (3)所以当时，存在实数；当时，不存在实数. 【分析】(1由条件确定直线的方程，联立求点的坐标，由此可求； (2)由条件求点的坐标，再求直线的方程，联立直线与抛物线方程求其解的个数即可； (3)利用设而不求法结合可得，解方程求. 【解析】（1）抛物线的焦点是，对称轴为， 因为直线过抛物线的焦点，且垂直于抛物线的对称轴， 所以的方程为，与方程联立可得， 所以， （2）将代入得， 因为，所以方程的判别式， 设，则， 设， 所以，将代入得， 所以，又直线与平行， 所以可设的方程为， 代入得， 方程的判别式， 所以直线和抛物线只有一个公共点； （3），， 由，得， 所以， 即， 由(2)得，代入整理得 ，即， 由于， 所以当时，存在实数； 当时，不存在实数. 【点睛】关键点点睛：直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系. 【例16】（2020奉贤区二模）直线上的动点P到点T1（9，0）的距离是它到点T（1，0）的距离的3倍． （1）求点P的坐标； （2）设双曲线的右焦点是F，双曲线经过动点P，且，求双曲线的方程； （3）点T（1，0）关于直线x+y＝0的对称点为Q，试问能否找到一条斜率为k（k≠0）的直线L与（2）中的双曲线交于不同的两点M、N，且满足|QM|＝|QN|，若存在，求出斜率k的取值范围，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）设动点P（x，y），由两点的距离公式，结合条件可得P的坐标； （2）求得F的坐标，结合P满足双曲线的方程，解方程可得a，b，进而得到双曲线的方程； （3）设直线l的方程为y＝kx+m，联立双曲线的方程，运用韦达定理和中点坐标公式，以及两直线垂直的条件，解不等式可得所求范围． 【解答】解：（1）设动点P（x，y），则，解得P（，）； （2）设F（c，0），由，可得（c﹣，﹣）•（8，0）＝8（c﹣）＝0，解得c＝， F（，0），，解得a2＝b2＝3，则双曲线的方程为﹣＝1； （3）设直线l的方程为y＝kx+m，联立双曲线的方程x2﹣y2＝3， 可得（1﹣k2）x2﹣2kmx﹣m2﹣3＝0，（k≠±1），△＝4k2m2﹣4（1﹣k2）（﹣m2﹣3）＞0，即3+m2﹣3k2＞0（*）， 设M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点为P0（x0，y0），则，可得P0（，）， 易得Q（0，﹣1），设过Q垂直于l的直线l1为y＝﹣x﹣1， 则l1过P0，即＝﹣•﹣1，可得m＝代入（*）可得（）2+3（1﹣k2）＞0，解得|k|＞或|k|＜1， 则k的范围是． 【点评】本题考查直线和双曲线的综合，考查直线方程和双曲线方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，同时考查运算能力，属于中档题． 【例17】（2024普陀区一模）设双曲线：（），点是的左焦点，点为坐标原点. （1）若的离心率为，求双曲线的焦距； （2）过点且一个法向量为的直线与的一条渐近线相交于点，若，求双曲线的方程； （3）若，直线：（，）与交于，两点，，求直线的斜率的取值范围. 【答案】20. 21. 见解析 22. 【解析】 【分析】（1）由题意得，，离心率，从而求解； （2）求出直线的斜率为，然后求出直线方程后与渐近线联立后求出点，从而求解； （3）将直线与双曲线联立后，利用根与系数的关系并结合基本不等式，从而可求解. 【小问1详解】 由题意得：，，，解得， 所以曲线的焦距为：. 【小问2详解】 由题意可得，所以，且渐近线为， 由过点的直线的一个法向量，则得直线的斜率为， 所以直线的方程为， 当直线与渐近线交于点，即，解得, 因为，解得， 所以曲线的方程为； 当直线与渐近线交于点，即， 解得, ，所以， 利用计算器可得近似值为0.54. 【小问3详解】 由,得曲线的方程为，将直线:与曲线联立得： ，化简得， 由题意知直线与曲线交于两点，设，， 则，解得：，且， 由根与系数关系得：，， 设线段中点为， 由，因为，所以，得， 所以得，即， 化简得，所以， 整理得，所以或， 所以得或， 故的取值范围为. 【点睛】关键点睛：（3）问中将直线与双曲线联立后，利用根与系数的关系并结合基本不等式，从而可求解. 题型3：参数的最值与范围 该类问题求解的基本思路一是把该参数用另一个量（如点的横坐标、纵坐标，直线的斜率等），把求参数最值与转化为求函数值域，二是由题中条件整理出关于该参数的不等式，求过解不等式求最值与范围 【例18】（2024闵行区一模）已知，曲线、的方程分别为和，与在第一象限内相交于点． （1）若，求的值； （2）若，定点的坐标为，动点在直线上，动点在曲线上，求的最小值； （3）已知点、在曲线上，点、关于直线的对称点分别为、，设的最大值为，的最大值为，若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）联立两曲线的方程，求出点的坐标，根据以及两点间的距离公式可求得的值； （2）分析可知，曲线、关于直线对称，则点关于直线的对称点在曲线上，则，当且仅当、、三点共线时，取最小值，设点，利用平面内两点间的距离公式结合二次函数的基本性质可求得的最小值； （3）设点、，则点、，求、关于的等式，结合可求出的取值范围. 【小问1详解】 解：联立，可得，即点， 所以，，解得. 【小问2详解】 解：由可得， 所以，函数的反函数为， 即， 所以，曲线、关于直线对称，则点关于直线的对称点在曲线上， 所以，，则， 当且仅当、、三点共线时，取最小值， 当时，曲线的方程为， 设点，则， 即，即当时，即当时，取最小值. 【小问3详解】 解：设点、，则点、， 其中，， ，其中， 当时，即当时，取最大值，即， 此时，， 因为函数在上单调递增，此时，， 函数在上为增函数， 故函数在上为增函数， 当时，取最大值，即， 所以，，所以，. 【点睛】方法点睛：抛物线定义的两种应用： （1）实现距离转化，根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线的定义可以实现点与点之间的距离与点到准线的距离的相互转化，从而简化某些问题； （2）解决最值问题，在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题. 【例19】已知椭圆，，分别为椭圆的右顶点、上顶点，为椭圆的右焦点，椭圆的离心率为，的面积为． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作直线交椭圆于，两点，若，求实数的取值范围． 【分析】（1）根据椭圆离心率、三角形的面积求得，由此求得椭圆的标准方程. （2）根据直线的斜率是否为进行分类讨论，结合根与系数关系以及列方程，求得关于的不等式，由此求得的取值范围. 【解析】（1）由题意得，则，． 的面积为，则． 将，代入上式，得，则，， 故椭圆的标准方程为． （2）由（1）知，当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，，， 将代入椭圆方程得，化简得， 则，所以①，②． 由得，即， 则． 得，所以， 即，易知， 故，易知恒成立，由，得， 解得． 当直线的斜率等于0时， ，或，，则或． 综上，实数的取值范围为． 【例20】已知分别为椭圆的上、下焦点,是抛物线的焦点,点是与在第二象限的交点, 且 （1）求椭圆的方程; （2）与圆相切的直线交椭于,若椭圆上一点满足,求实数的取值范围. F1 O x M F2 y B XXX A 【反馈检测2答案】（1） ；（2） 【反馈检测2详细解析】（1）由题知,所以, 又由抛物线定义可知,得, 于是易知,从而, 由椭圆定义知,得,故, 从而椭圆的方程为 （2）设,则由知, ,且, ① 又直线与圆相切,所以有, 由,可得 ② 【例211】已知动点与双曲线的两个焦点的距离之和为定值，且的最小值为． （1）求动点的轨迹方程； （2）若已知，在动点的轨迹上且，求实数的取值范围． 解得，，∴，故所求的轨迹方程为. 【方法点评】本题就是利用了椭圆的几何性质来构造不等式求参数的取值范围. 【例22】（2024奉贤中学高三模拟）已知椭圆的右焦点为，且点在椭圆上，为坐标原点． （1）求椭圆的标准方程； （2）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且为锐角，求直线的斜率的取值范围； （3）过椭圆上异于其顶点的任一点，作圆的两条切线，切点分别为（不在坐标轴上），若直线在轴、轴上的截距分别为、，证明：为定值． 【反馈检测1答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）或;（Ⅲ）详见解析 【反馈检测1详细解析】（Ⅰ）由题意得： 所以 又因为点在椭圆上，所以，可解得 所以椭圆标准方程为． （Ⅲ）由题意：设点，，, 因为不在坐标轴上，所以 直线的方程为 化简得： ④ 同理可得直线的方程为 ⑤ 【例23】已知椭圆的离心率为，过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为1，过点的直线与椭圆相交于不同的两点，． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设为椭圆上一点，且满足为坐标原点），试求实数的取值范围． 【解析】解：（Ⅰ）椭圆的离心率为， 过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为1， ， 又， 解得， 椭圆方程为． （Ⅱ）设，，，，， 设， 联立得， △， 解得， ， ， ， ， 由点在椭圆上得， 整理可得， 即， ，， 据此可得实数的取值范围是． 【例24】（2021·上海普陀·一模）已知点与定点的距离是点到直线距离的倍，设点的轨迹为曲线，直线与交于、两点，点是线段的中点，、是上关于原点对称的两点，且. (1)求曲线的方程； (2)当时，求直线的方程； (3)当四边形的面积时，求的值. 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）根据已知条件列等式，可求得曲线的方程； （2）设点、，联立直线与曲线的方程，列出韦达定理，求出点的坐标，进一步可求得点的坐标，再将点的坐标代入曲线的方程，求出的值，即可得出直线的方程； （3）求得点、，将点的坐标代入曲线的方程，可得，求出、两点到直线的距离以及，利用三角形的面积公式可得出关于的等式，结合已知条件可求得的值. (1)解：由题意可得，化简可得， 因此，曲线的方程为. (2)解：设点、，联立，可得， ， 由韦达定理可得，， 则，， 所以点的坐标为， 因为，可得点， 将点的坐标代入曲线的方程得，解得， 因此，直线的方程为. (3)解：由（2）可得，则点， 则点， 因为点在曲线上，则，可得，因为，则， 点到直线的距离为， 点到直线的距离为， ， 所以，， 因为，解得. 【例25】（2021秋·上海浦东新·高三校考阶段练习）设抛物线的焦点为，过且垂直于轴的直线与抛物线交于，两点，已知. (1)求抛物线的方程； (2)过点作方向向量为的直线与曲线相交于，两点，求的面积并求其值域； (3)设，过点作直线与曲线相交于，两点，问是否存在实数使为钝角？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)，值域为 (3)存在，的取值范围为 【分析】（1）由抛物线通径的长，可求的值，得抛物线方程； （2）用点和方向向量表示出直线，与抛物线联立方程组，由结合韦达定理求解. （3）设出直线方程代入抛物线方程，因为为钝角，所以，结合韦达定理列出不等式，由不等式恒成立，由此可得m的取值范围． 【解析】（1）抛物线的焦点为，不妨设点在x轴上方， 由题意可得，得，所以抛物线的方程为； （2）直线方程为，由，得， △恒成立. 设，则，由（1）知，，所以， ， 所以. ，， 所以的值域为. （3）设所作直线的方向向量为，则直线方程为 由，得， 设，则，. 又，则， 因为为钝角，所以，所以， 即， 所以，该不等式对任意实数恒成立， 因此，所以. 又点与焦点不重合，有，因此，当时满足条件，即的取值范围为. 【例26】（2022秋·上海浦东新·高三上海市洋泾中学校考阶段练习）已知、分别是椭圆的左右顶点，为坐标原点，，点在椭圆上．过点，且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于、两个不同的点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若点落在以线段为直径的圆的外部，求直线的斜率的取值范围； (3)当直线的倾斜角为锐角时，设直线、分别交轴于点、，记，，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据长轴长求出，再代入，求出，得到椭圆方程； （2）设出直线的方程，联立椭圆方程，先根据根的判别式求出的取值范围， 再根据点落在以线段为直径的圆的外部，则，列出不等式，求出的取值范围； （3）先设出直线的方程，求出点S坐标，同理求出点T为，根据向量关系得到，结合的范围求出的范围. 【解析】（1）因为，所以； 又点在图像上即，所以， 所以椭圆的方程为； （2）由（1）可得 设直线，设、， 由得， 解得或① ∵点在以线段为直径的圆的外部，则， 又② 解得或     由①②得 （3）设直线，又直线的倾斜角为锐角，由（2）可知， 记、，所以直线的方程是：，直线的方程是：. 令，解得，所以点S坐标为；同理点T为. 所以，，. 由，，可得：，， 所以， 由（2）得，， 所以    ， 因为，所以，， 故的范围是. 【点睛】对于直线与圆锥曲线结合，求解取值范围问题，通常思路为设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，再根据题干条件列出方程，求出答案. 【例27】【奉贤2023一模20】已知椭圆的中心在原点，且它的一个焦点为.点分别是椭圆的左､右顶点，点为椭圆的上顶点，的面积为.点是椭圆上在第一象限内的一个动点. （1）求椭圆的标准方程； （2）若把直线的斜率分别记作，若，求点的坐标； （3）设直线与轴交于点，直线与轴交于点.令，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】（1），所以椭圆标准方程为 4分 （2），设 则 或 （舍）或，得 5分 （3）设直线的方程为，则 1分 设直线的方程为，则 1分 2分 2分 1分 设， 则在上严格减 1分 1分 【例28】（2024·上海虹口·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，右顶点为，上顶点为，设为上的一点． (1)当时，求的值； (2)若点坐标为，则在上是否存在点使的面积为，若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)已知点坐标为，过点和点的直线与椭圆交于另一点，当直线与轴和轴均不平行时，有，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)存在；或 (3) 【分析】（1）求出点坐标后，根据椭圆定义可求得结果； （2）根据三角形面积可求得点到直线的距离为，利用平行直线间距离公式可求得到直线的距离为的直线方程，与椭圆方程联立可求得点坐标； （3）将问题转化为，结合韦达定理可表示出之间的关系，结合可构造出关于的不等式，解不等式可求得的取值范围. 【详解】（1）由椭圆方程知：，，，则， 设，，解得：，即， 由椭圆定义知：. （2）由（1）知：， ，； 若存在点，使的面积为， 则点到直线的距离， ，直线方程为：，即， 设平行于直线且到直线的距离为的直线方程为， ，解得：或； 当时，直线方程为， 由得：，解得：或， 或，点或； 当时，直线方程为， 由得：，方程无解， 即直线与椭圆无交点，此时不存在满足题意的点； 综上所述：存在满足条件的点，点坐标为或. （3）由题意可设直线，，， 由得：， ，即，，， 设线段中点为，则，， ，又为中点，， ，，即，， 直线与轴和轴均不平行，，， ，整理可得：， ，，解得：， 即实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的三角形面积、参数取值范围的求解问题；本题求解参数范围的关键是能够根据向量数量积关系，将问题转化为，从而利用两点间距离公式和韦达定理化简该等量关系. 【例29】（23-24高三下·上海浦东新·二模）已知椭圆，点、分别为椭圆的左、右焦点. (1)若椭圆上点满足，求的值； (2)点为椭圆的右顶点，定点在轴上，若点为椭圆上一动点，当取得最小值时点恰与点重合，求实数的取值范围； (3)已知为常数，过点且法向量为的直线交椭圆于、两点，若椭圆上存在点满足（），求的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设点，然后代入椭圆方程，即可求出，再根据椭圆定义求； （2）设，求出，根据二次函数在给定区间上的最值要求列不等式求解； （3）设直线的方程为，与椭圆联立，写出韦达定理，再根据求出的坐标，代入椭圆方程，利用韦达定理计算，利用基本不等式求最值. 【详解】（1）因为，所以设点， 则，所以，即， 所以； ； （2）设，则，， 则， 所以，， 要时取最小值，则必有， 所以； （3）设过点且法向量为的直线的方程为，， 联立，消去得， 则， 则， ， 又， 又点在椭圆上，则， 所以， 即， 所以， 所以， 所以， 即的最大值为. 题型4：坐标或截距最值与范围 【例30】（2022届上海市青浦区高三一模）已知抛物线. （1）过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，求的值（其中为坐标原点）； （2）过抛物线上一点，分别作两条直线交抛物线于另外两点､，交直线于两点，求证：为常数 （3）已知点，在抛物线上是否存在异于点的两个不同点，使得若存在，求点纵坐标的取值范围，若不存在，请说明理由. 【解析】（1）由题知，直线斜率不为0，故可设过焦点的直线为，联立得 ，，设， 则； （2）由题可设过点的一条直线交抛物线于，交直线于，另一条直线交抛物线于，交直线于，则，，直线方程可表示为：，直线方程可表示为：，联立直线与抛物线方程可得 ，故，即，同理联立直线和抛物线方程化简可得，故，，即 （3） 假设存在点满足， 设，， 则，易知， 化简得，即， 当时，，当且仅当时取到等号，故； 当时，，当且仅当时取到等号，因为，故，令，则，但能取到，此时，故； 故。 【例31】（2024松江二中期中）在平面直角坐标系内，已知双曲线：()， （1）若的一条渐近线方程为，求的方程； （2）设、是的两个焦点，为上一点，且，△的面积为，求的值； （3）若直线与交于、两点，且坐标原点O始终在以AB为直径的圆内，求的取值范围. 【解析】（1）由双曲线：()可得其渐近线方程为， 而的一条渐近线方程为，故即的方程为：. （2）不妨设在第一象限，、分别为左右焦点， 则，， 而，所以， 所以，故的面积为，所以，因为，故. （3）设，因为坐标原点O始终在以AB为直径的圆内， 故为钝角，所以即， 故即. 由可得，所以， 又，故，故且. 又可化简为， 该不等式对任意的且恒成立.故且. 【例32】（2022届衡水金卷高三一轮复习摸底测试）已知椭圆的上顶点为，过点且与轴垂直的直线被截得的线段长为. （1）求椭圆的标准方程﹔ （2）设直线交椭圆于异于点的两点，以为直径的圆经过点线段的中垂线与轴的交点为，求的取值范围. 【解析】（1）由已知条件得：，令，得， 由题意知：，解得， ∴椭圆的标准方程为， （2）①当直线的斜率不存在时，显然不合题意； ②当直线斜率存在时，设， 当时，此时关于y轴对称，令， ∴且，则，又， ∴，解得或(舍)，则符合题设. ∴此时有； 当时，则，得，， 设，则，得，， 且， 由，即， ∴，整理得，解得（舍去）， 代入得：， ∴为，得：， 则线段的中垂线为， ∴在轴上截距，而， ∴且， 综合①②:线段的中垂线在轴上的截距的取值范围是. 题型5：向量数量积的最值与范围 【例33】已知圆心为H的圆x2＋y2＋2x－15＝0和定点A(1，0)，B是圆上任意一点，线段AB的中垂线l和直线BH相交于点M，当点B在圆上运动时，点M的轨迹记为曲线C． (1)求C的方程； (2)过点A作两条相互垂直的直线分别与曲线C相交于P，Q和E，F，求·的取值范围． [规范解答]　(1)由x2＋y2＋2x－15＝0，得(x＋1)2＋y2＝16，所以圆心为H(－1，0)，半径为4． 连接MA，由l是线段AB的中垂线，得|MA|＝|MB|， 所以|MA|＋|MH|＝|MB|＋|MH|＝|BH|＝4，又|AH|＝2<4． 根据椭圆的定义可知，点M的轨迹是以A，H为焦点，4为长轴长的椭圆， 所以a2＝4，c2＝1，b2＝3，所求曲线C的方程为＋＝1． (2)由直线EF与直线PQ垂直，可得·＝·＝0， 于是·＝(－)·(－)＝·＋·． ①当直线PQ的斜率不存在时，直线EF的斜率为零， 此时可不妨取P，Q，E(2，0)，F(－2，0)， 所以·＝·＝－3－＝－． ②当直线PQ的斜率为零时，直线EF的斜率不存在，同理可得·＝－． ③当直线PQ的斜率存在且不为零时，直线EF的斜率也存在，于是可设直线PQ的方程为 y＝k(x－1)，P(xP，yP)，Q(xQ，yQ)，＝(xP－1，yP)，＝(xQ－1，yQ)， 则直线EF的方程为y＝－(x－1)． 将直线PQ的方程代入曲线C的方程，并整理得，(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0， 所以xP＋xQ＝，xP·xQ＝． 于是·＝(xP－1)(xQ－1)＋yP·yQ＝(1＋k2)[xPxQ－(xP＋xQ)＋1] ＝(1＋k2)＝－． 将上面的k换成－，可得·＝－， 所以·＝·＋·＝－9(1＋k2)． 令1＋k2＝t，则t>1，于是上式化简整理可得， ·＝－9t＝－＝－． 由t>1，得0<<1，所以－<·≤－． 综合①②③可知，·的取值范围为． 【例34】已知椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)与抛物线C2：x2＝2py(p＞0)有一个公共焦点，抛物线C2的准线l与椭圆C1有一交点坐标是(，－2)． (1)求椭圆C1与抛物线C2的方程； (2)若点P是直线l上的动点，过点P作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，直线AB与椭圆C1分别交于点E，F，求·的取值范围． [规范解答]　(1)抛物线C2的准线方程是y＝－2，所以－＝－2，即p＝4， 所以抛物线C2的方程为x2＝8y． 椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)的焦点坐标分别是(0，－2)，(0，2)，所以c＝2． 2a＝＋＝4， 解得a＝2，则b＝2，所以椭圆C1的方程为＋＝1． (2)设点P(t，－2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，E(x3，y3)，F(x4，y4)， 抛物线方程可化为y＝x2，求导得y′＝x，所以AP的方程为y－y1＝x1(x－x1)， 将P(t，－2)代入，得－2－y1＝x1t－2y1，即y1＝tx1＋2． 同理，BP的方程为y2＝tx2＋2，所以直线AB的方程为y＝tx＋2． 由消去y，整理得(t2＋32)x2＋16tx－64＝0， 则Δ＝256t2＋256(t2＋32)＞0，且x3＋x4＝，x3x4＝． 所以·＝x3x4＋y3y4＝(1＋)x3x4＋(x3＋x4)＋4＝＝－8． 因为0＜≤10，所以·的取值范围是(－8，2]． 【例35】已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A，B，且长轴长为8，T为椭圆上任意一点，直线TA，TB的斜率之积为－． (1)求椭圆C的方程； (2)设O为坐标原点，过点M(0，2)的动直线与椭圆C交于P，Q两点，求·＋·的取值范围． [规范解答]　(1)设T(x，y)，由题意知A(－4，0)，B(4，0)， 设直线TA的斜率为k1，直线TB的斜率为k2，则k1＝，k2＝， 由k1k2＝－，得·＝－，整理得＋＝1． 故椭圆C的方程为＋＝1． (2)当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y＝kx＋2，点P，Q的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 联立方程消去y，得(4k2＋3)x2＋16kx－32＝0． 所以x1＋x2＝－，x1x2＝－． 从而，·＋·＝x1x2＋y1y2＋[x1x2＋(y1－2)(y2－2)]＝2(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4 ＝＝－20＋，所以－20＜·＋· ≤－． 当直线PQ的斜率不存在时，·＋·的值为－20． 综上，·＋·的取值范围为． 题型6：面积有关的最值与范围 求圆锥曲线中三角形面积的最值的关键 (1)公式意识，把求三角形的面积转化为求距离、求角等； (2)方程思想，即引入参数，寻找关于参数的方程； (3)不等式意识，寻找关于参数的不等式，利用基本不等式等求最值. 【例36】已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)与双曲线－y2＝1的离心率互为倒数，且直线x－y－2＝0经过椭圆的右顶点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设不过原点O的直线与椭圆C交于M，N两点，且直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，求△OMN面积的取值范围． [规范解答]　(1)∵双曲线的离心率为，∴椭圆的离心率e＝＝． 又∵直线x－y－2＝0经过椭圆的右顶点，∴右顶点为点(2，0)，即a＝2，c＝，b＝1， ∴椭圆方程为＋y2＝1． (2)由题意可设直线的方程为y＝kx＋m(k≠0，m≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)． 联立消去y，并整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0， 则x1＋x2＝－，x1x2＝，于是y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2． 又直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，故·＝＝k2， 则－＋m2＝0，由m≠0得k2＝，解得k＝±． 又由Δ＝64k2m2－16(1＋4k2)(m2－1)＝16(4k2－m2＋1)＞0，得0＜m2＜2， 显然m2≠1(否则x1x2＝0，x1，x2中至少有一个为0，直线OM，ON中至少有一个斜率不存在，与已知矛盾)． 设原点O到直线的距离为d，则 S△OMN＝|MN|d＝··|x1－x2|·＝|m|＝． 故由m的取值范围可得△OMN面积的取值范围为(0，1)． 【例37】在平面直角坐标系中，椭圆的离心率，且点在椭圆上. （1）求椭圆的方程; （2）若点都在椭圆上，且中点在线段(不包括端点)上.求面积的最大值. 【分析】（1）根据题意，由离心率，且点在椭圆上，列出方程，计算的值，则椭圆方程可求； （2）应用点差法求直线的斜率，进而设直线并与椭圆方程联立，由弦长公式求得弦长，再由点到直线的距离公式求出原点到直线的距离，代入三角形面积公式，利用基本不等式求得最值. 【解析】（1）离心率，将代入椭圆方程，可得，又 ， ∴联立上述方程，可得：， ， ∴椭圆方程为； （2）设可得：， 相减可得：， 由题意，，即， ∴直线的斜率， 故可设直线为，代入椭圆方程可得：， 由，解得， ∴， ， 又到的距离为， ∴面积为， 当且仅当，即时，取得最大值. 【例38】已知椭圆的离心率为，且直线与圆相切． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设直线与椭圆相交于不同的两点、，为线段的中点，为坐标原点，射线与椭圆相交于点，且点在以为直径的圆上，记、的面积分别为、，求的取值范围． 【解析】解：（Ⅰ）因为椭圆的离心率为，所以为半焦距）， 因为直线与圆相切，所以， 又因为，所以，， 所以椭圆的方程为． （Ⅱ）因为为线段的中点，所以， 当直线的斜率不存在时，由及椭圆的对称性， 不妨设所在直线方程为，得， 则，，所以， 当直线的斜率存在时，设直线，，，，， 由消去，得， 所以△，即， 所以，， 因为点在以为直径的圆上，所以，即， 所以， 所以， 化简得，经检验满足△成立， 所以线段的中点，， 当时，，此时， 当时，射线所在直线方程为， 由，消去，得，， 所以， 所以， 所以，． 综上，的取值范围为，． 【例39】 已知椭圆的左焦点为，其四个顶点围成的四边形面积为． （Ⅰ）求曲线的方程； （Ⅱ）过点的直线与曲线交于，两点，设的中点为，、两点为曲线上关于原点对称的两点，且，求四边形面积的取值范围． 【解析】解：（Ⅰ）根据题意得，所以，又因为，解得，， 所以的方程为； （Ⅱ）①当直线的斜率为0时，点与重合，不满足，故斜率不为0； ②当直线斜率不为0时，设，代入得， 整理得， 设，，，则，， 所以， ， 所以，， 因为，所以，， 又因为在曲线上，代入得， 整理得， 因为点到直线的距离， 设四边形面积为，的面积为， 则， 所以， 将代入得， 因为，所以当时取最小值为4，所以 故四边形的取值范围为，． 【例40】（2022·上海宝山·一模）如图，已知､是椭圆的左､右焦点，､是其顶点，直线与相交于，两点. (1)求△的面积； (2)若，点，重合，求点的坐标； (3)设直线，的斜率分别为､，记以，为直径的圆的面积分别为､，的面积为，若､､恰好构成等比数列，求的最大值. 【答案】(1)；(2)；(3)最大值为. 【分析】（1）由题可得，利用面积公式即求； （2）由题可得直线方程，联立椭圆方程利用韦达定理即得； （3）由，得，利用韦达定理及三角形面积公式及条件可得，又利用条件可求，再利用基本不等式即得. (1)∵， ∴， ∴△的面积. (2)∵，又，点A，重合， ∴，直线方程为， 由，得， 则， ∴，， ∴点的坐标为. (3)由，得， 设， ∴，即， ， 又，，恰好构成等比数列， ∴，即， ∴，又， ∴，可得，， ∵点O到直线AB的距离为， ∴， 又， ∴ ， ∴， 当且仅当即时等号成立， ∴的最大值为. 【例41】（2022秋·上海浦东新·高三上海市洋泾中学校考阶段练习）已知椭圆的离心率为，椭圆截直线所得线段的长度为．过作互相垂直的两条直线、，直线与椭圆交于、两点，直线与椭圆交于、两点，、的中点分别为、． (1)求椭圆的方程； (2)证明：直线恒过定点，并求出定点坐标； (3)求四边形面积的最小值． 【答案】(1) (2)证明见解析，， (3) 【分析】（1）根据题意得椭圆过点、离心率和计算可得答案； （2）分直线、斜率均存在且不为0、直线、斜率一个不存在一个为0时，设，，，，联立直线和椭圆方程利用韦达定理和中点坐标公式可得点坐标，再分、求直线方程可得直线过定点； （3）分直线或斜率一个不存在一个为0、直线、斜率均存在且不为0时，利用弦长公式可得，可得，再利用基本不等式求解即可. 【解析】（1）由题意得椭圆过点， ， 解得，，， ； （2）当直线、斜率均存在且不为0时， 设，， 则，，， 由，， 得，， ， 由，， 得，， 可得， ① 当时， 直线的斜率为， 直线的方程为， 化简得，过定点， ② 当时， 直线的方程为，过点， 当直线、斜率一个不存在一个为0时，、的中点坐标分别为、时．直线的方程为，过点， 综上，直线恒过定点； （3）当直线或斜率一个不存在一个为0时，， 当直线、斜率均存在时且不为0时， 由（2）得 ， ， ， 当且仅当即时等号成立， 综上，四边形面积的最小值为. 【点睛】思路点睛：第二问中，设直线方程为， ， 利用韦达定理求出中点坐标公式，再求直线方程然后求定点，第三问中求出， 求出面积表达式，然后利用基本不等式求最值.解题时要认真审题，注意直线方程、韦达定理和基本不等式等知识点的合理运用，考查了学生的计算能力. 【例42】（2025届普陀区一模）设，，、分别是双曲线的左、右焦点，直线经过点与的右支交于、两点，点是坐标原点． （1）若点是上的一点，，求的值； （2）设、，点在直线上，若点、、、满足：，，求点的坐标； （3）设的延长线与交于点，若向量与满足：，求△的面积的取值范围． 【解答】解：（1）直线经过点， 令，则，即， 因为，所以点在左支， 所以； （2）点、、、满足，， 所以四边形为平行四边形，因为双曲线， 由，得， 所以，， 所以， ， 的中点，即中点与中点相同， 所以，所以； （3）设，，，，，， ，所以，所以， 所以， 令，， 因为在单调递减，在单调递增，所以在时取得最小值为12， 所以，． 【例43】已知点是抛物线：的焦点，为坐标原点，过点的直线交抛物线与，两点. (1)求抛物线的方程； (2)求的值； (3)如图，过点的直线交抛物线于，两点（点，在轴的同侧，），且，直线与直线的交点为，记，的面积分别为，，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意得到，从而得到抛物线：. （2）首先设直线的方程为，与抛物线联立得，再利用韦达定理求解. （3）设，，，，再利用韦达定理和求解即可. 【解析】（1）因为抛物线：，焦点， 所以，解得，所以抛物线：. （2）设直线的方程为， 与抛物线联立得：， 由韦达定理得，， 所以， 所以 （3）设，，，， 因为， 所以直线：，即。 同理：直线：。 联立，解得。 设直线的方程为：，，， 联立。 因为，解得，，， 因为， 所以 ，化简得：。 所以。 因为， ， 所以 【例44】如图，在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率是，曲线是抛物线在椭圆内的一部分，抛物线的焦点F在椭圆上. (1)求椭圆的方程； (2)设P是上的动点，且位于第一象限，在点Р处的切线l与交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过且垂直于x轴的直线交于点M. （i）求证：点M在定直线上； （ii）直线l与y轴交于点G，记的面积为，的面积为，求的最大值及取得最大值时点的坐标. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析（ii）的最大值为，此时点的坐标为 【分析】（1）根据题意得，再根据抛物线的焦点得，进而得答案； （2）（i）设，结合导数求得直线l方程.设，，，进而联立方程组结合韦达定理得，，故直线的方程为，最后与联立可得点在定直线上； （ii）结合（i），，，，进而，，再令，结合二次函数的最值求解即可. （1） 解：由题意知：，解得. 因为抛物线的焦点为， 所以，， 所以椭圆的方程为. （2） 解：（i）证明：设，由，可得， 所以直线l的斜率为m，其直线方程为，即. 设，，，联立方程组 消去y并整理可得， 故由其判别式，可得， 故， 代入，可得. 因为，所以直线的方程为. 联立可得点的纵坐标为，即点在定直线上. （ii）由（i）知直线的方程为， 令得，所以， 又，，， 所以，， 所以， 令，则. 因此当，即时，最大，其最大值为，此时满足， 所以点的坐标为，在椭圆的内部， 因此的最大值为，此时点的坐标为. 【例45】（2024虹口区一模）已知点在抛物线：上，点F为的焦点，且．过点F的直线l与及圆依次相交于点A，B，C，D，如图． （1）求抛物线的方程及点M的坐标； （2）证明：为定值； （3）过A，B两点分别作的切线，，且与相交于点P，求与的面积之和的最小值． 【答案】（1）；或 （2）证明过程见解析 （3）2 【解析】 【分析】（1）根据抛物线定义直接求解即可； （2）求出抛物线的焦点的坐标，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，并列出韦达定理，利用抛物线的定义并结合韦达定理证明出是定值； （3）利用导数求出切线、的方程，并将两切线方程联立得出交点的坐标，并计算出点到直线的距离，可计算出和的面积和，换元，利用导数法求出和的面积和的最小值 【小问1详解】 因为点在抛物线：上，点F为的焦点，且， 所以点到抛物线准线的距离，得， 则抛物线的方程为， 代入，得， 所以，所以或； 【小问2详解】 抛物线的焦点与的圆心重合，即为， 显然，直线斜率存在，所以设直线方程为，点、， 将直线的方程与抛物线的方程联立，消去并整理得， ，由韦达定理得，. 由抛物线的定义可知，，，. ，即为定值； 【小问3详解】 ，， 所以切线的方程为，即， 同理可得，切线的方程为， 联立两切线方程，解得，即点， 所以点到直线的距离为． 设， ， 令，则，， 所以在上是增函数， 当时，即当时，，即与的面积之和的最小值为 【点睛】思路点睛：本题考查抛物线的方程的求解、抛物线中弦长的计算以及三角形面积和的最值问题，常用的思路就是将直线方程与圆锥曲线方程联立，利用韦达定理设而不求法求解，在求最值时，则需建立某个变量的函数来求解，难点在于计算量大，容易出错. 【例46】（2024浦东新区一模）已知双曲线，点、分别为双曲线的左、右焦点，、为双曲线上的点. （1）求右焦点到双曲线的渐近线的距离； （2）若，求直线的方程； （3）若，其中A、B两点均在x轴上方，且分别位于双曲线的左、右两支，求四边形的面积的取值范围. 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）由题意，求出点的坐标和渐近线方程，根据点到直线的距离公式计算即可求解； （2）易知直线不与x轴重合，设其方程为，联立双曲线方程，利用韦达定理表示，结合计算求得即可； （3）如图，由（2），利用弦长公式求出，利用平行线之间的距离公式求出平行线与之间的距离，进而表示，结合换元法计算即可求解. 【小问1详解】 由题，右焦点，渐近线方程为， 因此焦点到渐近线的距离为. 【小问2详解】 显然，直线不与x轴重合，设直线方程为， 由，得， 由，得， 其中，恒成立， ，， 代入，消元得，， 即，解得， 所以，直线的方程为. 小问3详解】 延长交双曲线于点P，延长交双曲线于点Q.则由对称性得， 四边形为平行四边形，且面积为四边形面积的2倍. 由题，设，直线程为，直线方程， 由第（2）问，易得， 因为，得，因而， 平行线与之间的距离为， 因此，. 令，则， 得在上是严格增函数， 故（等号当且仅当时成立）， 所以，四边形面积的取值范围为. 【例47】在平面直角坐标系中，已知椭圆和抛物线，椭圆的左，右焦点分别为，，且椭圆上有一点满足，抛物线的焦点为． （1）求椭圆的方程； （2）过作两条互相垂直的直线和，其中直线交椭圆于，两点，直线交抛物线于，两点，求四边形面积的最小值． 【解析】解：（1）由题意可知，抛物线的焦点为， 因为抛物线的焦点为，所以椭圆的半焦距， 又椭圆有一点满足， 所以椭圆的离心率，所以，， 则求得椭圆的方程是． （2）当直线的斜率不存在时，直线即为轴，与抛物线只有一个交点，不满足条件； 当直线的斜率为0时，，为椭圆长轴两端点， 直线轴，，四边形的面积； 当直线的斜率时，设直线的方程为，，，，， 联立直线与椭圆，消去可得， 则，． 则弦长 ， 设，，，，联立直线与抛物线， 消去可得，则， 由抛物线的定义，弦长， 由于，则四边形的面积， 令，则， 即，令，则， 可知时，，则单调递增，则（3）， 综上，当直线斜率时，四边形面积有最小值8． 【例48】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：(a>b>0)的离心率为， 椭圆C截直线y=1所得线段的长度为． （1）求椭圆C的方程； （2）动直线l：y=kx+m(m≠0)交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M．点N是M关于O的对称点，⊙N的半径为|NO|． 设D为AB的中点，DE，DF与⊙N分别相切于点E，F，求EDF的最小值． 【解析】（1）由椭圆的离心率为，得， 又当时，，得， ∴，因此椭圆方程为． （2）设，联立方程， 得， 由得．（*） 且，因此， ∴， 又，∴，整理得 ， ∵，∴． 令，故， ∴ ． 令，∴． 当时，，从而在上单调递增， 因此，等号当且仅当时成立，此时， ∴，由（*）得 且．故， 设，则 ，∴的最小值为， 从而的最小值为，此时直线的斜率是． 综上所述：当，时，取到最小值． 【例49】（2022上海·格致中学高三期中）椭圆：的焦点，是等轴双曲线：的顶点，若椭圆与双曲线的一个交点是P，的周长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）点M是双曲线上任意不同于其顶点的动点，设直线、的斜率分别为，，求证，的乘积为定值； （3）过点任作一动直线l交椭圆与A，B两点，记，若在直线AB上取一点R，使得，试判断当直线l运动是，点R是否在某一定直线上运动？若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）是，． 【分析】（1）根据双曲线与椭圆的关系，求得，可得结果． （2）假设点，直接表示斜率，然后根据双曲线方程化简即可． （3）设直线方程并与椭圆联立，结合韦达定理，然后根据，求得，最后计算即可． 【解析】（1）有由题可知：，由的周长为，∴，即，∴，∴椭圆的方程为． （2）设，由，∴， ∴，又，则，∴． （3）依题可知：直线的斜率存在，设方程为，， ∴， ∴，， 由， 设，由， ∴，∴． 【点睛】关键点点睛：本题第（3）问，第一，假设直线方程；第二，联立椭圆方程并使用韦达定理；第三，根据条件求得；第四，计算． 【例50】（2022上海·华师大二附中高三月考）已知椭圆M：的左、右焦点分别为、，，点在椭圆M上． （1）求椭圆M的方程； （2）过的直线l与椭圆M交于P、Q两点，且，求直线l的方程； （3）如图，四边形ABCD是矩形，AB与椭圆M相切于点F，AD与椭圆M相切于点E，BC与椭圆M相切于点G，CD与椭圆M相切于点H，求矩形ABCD面积的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）根据椭圆离心率、点的坐标求得，从而求得椭圆的方程． （2）利用弦长公式列方程，结合根与系数关系求得直线的斜率，进而求得直线的方程． （3）根据的斜率是否存在进行分类讨论，结合判别式、点到直线距离公式求得，求得矩形面积的表达式，结合二次函数的性质求得面积的取值范围． 【解析】（1）由已知可得：，解得，，，∴椭圆的方程为． （2）∵，，∴直线l的斜率存在， 设直线l的方程为：，，，联立方程，消去y整理可得： ，∴，， ∴， 化简可得：，∴，则直线l的方程为：． （3）当直线AD的斜率不存在或为0时，矩形ABCD的面积为， 当直线AD的斜率存在且不为0时，设直线AD的方程为， 联立方程消去y整理可得：， ∴，解得， ∴，同理可得， ∴矩形ABCD的面积， 令，∴，又，∴，则， 当，即时，取得最大值为，∴，∴， 综上，矩形ABCD的面积的取值范围为． 1 / 27 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 M O x y N M E O x y A F P Q A O x y B E P F Q O x y P M M M O x y N M O x y P F B A y O x H y O x F $$ 2024-2025学年高二数学重难点讲与练（培优课程） 专题07 圆锥曲线的最值与范围问题 1. 圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑： ①利用判别式来构造不等关系，从而确定取值范围； ②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出取值范围； ③利用基本不等式求出取值范围； ④利用函数的值域的求法，确定取值范围 2.解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围； (5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围． 题型1：长度或距离的最值与范围 【方法点拨】与距离或线段长度有关的最值与范围问题通常是把相关距离或线段长度表示成一个变量的函数，利用函数性质求最值与范围。 【例1】 (2025届长宁区一模)已知椭圆的左、右焦点分别为，，且经过点． （1）求该椭圆离心率； （2）点Q为椭圆上一点，且位于第三象限，若的面积为3，求点Q的坐标； （3）A，B，C，D是椭圆上不重合的四个点，AB与CD相交于点，且，求的取值范围． 【例2】已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，短轴长为2． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点，若kOM·kON＝，求原点O到直线l的距离的取值范围． 【例3】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知等轴双曲线的左顶点A，过右焦点F且垂直于x轴的直线与E交于B，C两点，若的面积为． （1）求双曲线E的方程； （2）若直线与双曲线E的左，右两支分别交于M，N两点，与双曲线E的两条渐近线分别交于P，Q两点，求的取值范围． 【例4】（2023七宝中学12月月考）已知抛物线的焦点是，如图，过点作抛物线的两条切线，切点分别是和，线段的中点为． （1）求抛物线的标准方程； （2）求证：直线轴； （3）以线段为直径作圆，交直线于，求 的取值范围． 【例5】已知抛物线的焦点到准线的距离为.过点作直线交抛物线与两点(在第一象限内). (1)若与焦点重合,且.求直线的方程; (2)设关于轴的对称点为.直线交轴于. 且.求点到直线的距离的取值范围. 题型2：斜率的最值与范围 【方法点拨】与斜率有关的最值与范围问题的思路一是设出动点。是利用斜率定义表示出斜率，然后利用函数或不等式知识求解，二是设出直线的点斜式或斜截式方程，利用根与系数之间的关系或题中条件整理关于斜率的等式或不等式求解。 【例6】（2024敬业中学期中）已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F(－c，0)，离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直 线FM被圆x2＋y2＝截得的线段的长为c，|FM|＝． (1)求直线FM的斜率； (2)求椭圆的方程； (3)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围． 【例7】 设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(b>0)的左、右焦点，若P是该椭圆上的一个动点，且·的最大值为1． (1)求椭圆E的方程； (2)设直线l：x＝ky－1与椭圆E交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角(O为坐标原点)，求k的取值范围． 【例8】已知C为圆(x＋1)2＋y2＝8的圆心，P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP上，且有点A(1，0)和AP上的点M，满足·＝0，＝2． (1)当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程； (2)若斜率为k的直线l与圆x2＋y2＝1相切，与(1)中所求点Q的轨迹交于不同的两点F，H，O是坐标原点，且≤·≤，求k的取值范围． 【例9】已知圆的圆心为，点是圆上的动点，点是抛物线的焦点，点在线段上，且满足. （1）求点的轨迹的方程； （2）不过原点的直线与（1）中轨迹交于两点，若线段的中点在抛物线上，求直线的斜率的取值范围. 【例10】已知双曲线的两个焦点分别为，，动点满足. （1）求动点的轨迹的方程； （2）若轨迹上存在两点，满足（，分别为直线，的斜率），求直线的斜率的取值范围. 【例11】已知椭圆过点，以四个顶点围成的四边形面积为． （I）求椭圆的标准方程； （II）过点的直线斜率为，交椭圆于不同的两点，直线交于点，若，求的取值范围． 【例12】（2023大同中学高三模拟）如图，已知椭圆：的左、右焦点为、，左、右顶点分别为、，离心率，为椭圆上动点，直线交y轴正半轴于点A，直线交y轴正半轴于点B（当M为椭圆短轴上端点时，A，B，M重合）. (1)求椭圆的方程； (2)若，求直线的方程； (3)设直线、的斜率分别为、，求的最大值. 【例13】（2023·上海黄浦·统考一模）已知椭圆的离心率为，以其四个顶点为顶点的四边形的面积等于.动直线、都过点，斜率分别为k、，与椭圆C交于点A、P，与椭圆C交于点B、Q，点P、Q分别在第一、四象限且轴. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线与x轴交于点N，求证：； (3)求直线AB的斜率的最小值，并求直线AB的斜率取最小值时的直线的方程. 【例14】【黄浦2023一模20】已知椭圆的离心率为，以其四个顶点为顶点的四边形的面积等于. 动直线、都过点，斜率分别为、，与椭圆交于点、，与椭圆交于点、，点、分别在第一、四象限且轴. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若直线与轴交于点，求证：； （3）求直线的斜率的最小值，并求直线的斜率取最小值时的直线的方程. 【例15】（2023复旦附中高三月考）已知直线（）交抛物线（）于、两点，是线段的中点，过作轴的垂线交抛物线于点. (1)若直线过抛物线的焦点，且垂直于抛物线的对称轴，试用表示； (2)求过点且与平行的直线与抛物线的公共点的个数； (3)是否存在实数，使成立？若存在，求出的所有的值；若不存在，说明理由. 【例16】（2020奉贤区二模）直线上的动点P到点T1（9，0）的距离是它到点T（1，0）的距离的3倍． （1）求点P的坐标； （2）设双曲线的右焦点是F，双曲线经过动点P，且，求双曲线的方程； （3）点T（1，0）关于直线x+y＝0的对称点为Q，试问能否找到一条斜率为k（k≠0）的直线L与（2）中的双曲线交于不同的两点M、N，且满足|QM|＝|QN|，若存在，求出斜率k的取值范围，若不存在，请说明理由． 【例17】（2024普陀区一模）设双曲线：（），点是的左焦点，点为坐标原点. （1）若的离心率为，求双曲线的焦距； （2）过点且一个法向量为的直线与的一条渐近线相交于点，若，求双曲线的方程； （3）若，直线：（，）与交于，两点，，求直线的斜率的取值范围. 题型3：参数的最值与范围 【方法点拨】该类问题求解的基本思路一是把该参数用另一个量（如点的横坐标、纵坐标，直线的斜率等），把求参数最值与转化为求函数值域，二是由题中条件整理出关于该参数的不等式，求过解不等式求最值与范围 【例18】（2024闵行区一模）已知，曲线、的方程分别为和，与在第一象限内相交于点． （1）若，求的值； （2）若，定点的坐标为，动点在直线上，动点在曲线上，求的最小值； （3）已知点、在曲线上，点、关于直线的对称点分别为、，设的最大值为，的最大值为，若，求实数的取值范围． 【例19】已知椭圆，，分别为椭圆的右顶点、上顶点，为椭圆的右焦点，椭圆的离心率为，的面积为． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点作直线交椭圆于，两点，若，求实数的取值范围． 【例20】已知分别为椭圆的上、下焦点,是抛物线的焦点,点是与在第二象限的交点, 且 （1）求椭圆的方程; （2）与圆相切的直线交椭于,若椭圆上一点满足,求实数的取值范围. F1 O x M F2 y B XXX A 【例211】已知动点与双曲线的两个焦点的距离之和为定值，且的最小值为． （1）求动点的轨迹方程； （2）若已知，在动点的轨迹上且，求实数的取值范围． . 【例22】（2024奉贤中学高三模拟）已知椭圆的右焦点为，且点在椭圆上，为坐标原点． （1）求椭圆的标准方程； （2）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且为锐角，求直线的斜率的取值范围； （3）过椭圆上异于其顶点的任一点，作圆的两条切线，切点分别为（不在坐标轴上），若直线在轴、轴上的截距分别为、，证明：为定值． 【例23】已知椭圆的离心率为，过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为1，过点的直线与椭圆相交于不同的两点，． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设为椭圆上一点，且满足为坐标原点），试求实数的取值范围． 【例24】（2021·上海普陀·一模）已知点与定点的距离是点到直线距离的倍，设点的轨迹为曲线，直线与交于、两点，点是线段的中点，、是上关于原点对称的两点，且. (1)求曲线的方程； (2)当时，求直线的方程； (3)当四边形的面积时，求的值. 【例25】（2021秋·上海浦东新·高三校考阶段练习）设抛物线的焦点为，过且垂直于轴的直线与抛物线交于，两点，已知. (1)求抛物线的方程； (2)过点作方向向量为的直线与曲线相交于，两点，求的面积并求其值域； (3)设，过点作直线与曲线相交于，两点，问是否存在实数使为钝角？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 【例26】（2022秋·上海浦东新·高三上海市洋泾中学校考阶段练习）已知、分别是椭圆的左右顶点，为坐标原点，，点在椭圆上．过点，且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于、两个不同的点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若点落在以线段为直径的圆的外部，求直线的斜率的取值范围； (3)当直线的倾斜角为锐角时，设直线、分别交轴于点、，记，，求的取值范围． 【例27】【奉贤2023一模20】已知椭圆的中心在原点，且它的一个焦点为.点分别是椭圆的左､右顶点，点为椭圆的上顶点，的面积为.点是椭圆上在第一象限内的一个动点. （1）求椭圆的标准方程； （2）若把直线的斜率分别记作，若，求点的坐标； （3）设直线与轴交于点，直线与轴交于点.令，求实数的取值范围. 【例28】（2024·上海虹口·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，右顶点为，上顶点为，设为上的一点． (1)当时，求的值； (2)若点坐标为，则在上是否存在点使的面积为，若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)已知点坐标为，过点和点的直线与椭圆交于另一点，当直线与轴和轴均不平行时，有，求实数的取值范围． 【例29】（23-24高三下·上海浦东新·二模）已知椭圆，点、分别为椭圆的左、右焦点. (1)若椭圆上点满足，求的值； (2)点为椭圆的右顶点，定点在轴上，若点为椭圆上一动点，当取得最小值时点恰与点重合，求实数的取值范围； (3)已知为常数，过点且法向量为的直线交椭圆于、两点，若椭圆上存在点满足（），求的最大值. 题型4：坐标或截距最值与范围 【例30】（2022届上海市青浦区高三一模）已知抛物线. （1）过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，求的值（其中为坐标原点）； （2）过抛物线上一点，分别作两条直线交抛物线于另外两点､，交直线于两点，求证：为常数 （3）已知点，在抛物线上是否存在异于点的两个不同点，使得若存在，求点纵坐标的取值范围，若不存在，请说明理由. 【例31】（2024松江二中期中）在平面直角坐标系内，已知双曲线：()， （1）若的一条渐近线方程为，求的方程； （2）设、是的两个焦点，为上一点，且，△的面积为，求的值； （3）若直线与交于、两点，且坐标原点O始终在以AB为直径的圆内，求的取值范围. 【例32】（2022届衡水金卷高三一轮复习摸底测试）已知椭圆的上顶点为，过点且与轴垂直的直线被截得的线段长为. （1）求椭圆的标准方程﹔ （2）设直线交椭圆于异于点的两点，以为直径的圆经过点线段的中垂线与轴的交点为，求的取值范围. 题型5：向量数量积的最值与范围 【例33】已知圆心为H的圆x2＋y2＋2x－15＝0和定点A(1，0)，B是圆上任意一点，线段AB的中垂线l和直线BH相交于点M，当点B在圆上运动时，点M的轨迹记为曲线C． (1)求C的方程； (2)过点A作两条相互垂直的直线分别与曲线C相交于P，Q和E，F，求·的取值范围． 【例34】已知椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)与抛物线C2：x2＝2py(p＞0)有一个公共焦点，抛物线C2的准线l与椭圆C1有一交点坐标是(，－2)． (1)求椭圆C1与抛物线C2的方程； (2)若点P是直线l上的动点，过点P作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，直线AB与椭圆C1分别交于点E，F，求·的取值范围． 【例35】已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A，B，且长轴长为8，T为椭圆上任意一点，直线TA，TB的斜率之积为－． (1)求椭圆C的方程； (2)设O为坐标原点，过点M(0，2)的动直线与椭圆C交于P，Q两点，求·＋·的取值范围． 题型6：面积有关的最值与范围 求圆锥曲线中三角形面积的最值的关键 (1)公式意识，把求三角形的面积转化为求距离、求角等； (2)方程思想，即引入参数，寻找关于参数的方程； (3)不等式意识，寻找关于参数的不等式，利用基本不等式等求最值. 【例36】已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)与双曲线－y2＝1的离心率互为倒数，且直线x－y－2＝0经过椭圆的右顶点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设不过原点O的直线与椭圆C交于M，N两点，且直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，求△OMN面积的取值范围． 【例37】在平面直角坐标系中，椭圆的离心率，且点在椭圆上. （1）求椭圆的方程; （2）若点都在椭圆上，且中点在线段(不包括端点)上.求面积的最大值. 【例38】已知椭圆的离心率为，且直线与圆相切． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设直线与椭圆相交于不同的两点、，为线段的中点，为坐标原点，射线与椭圆相交于点，且点在以为直径的圆上，记、的面积分别为、，求的取值范围． 【例39】 已知椭圆的左焦点为，其四个顶点围成的四边形面积为． （Ⅰ）求曲线的方程； （Ⅱ）过点的直线与曲线交于，两点，设的中点为，、两点为曲线上关于原点对称的两点，且，求四边形面积的取值范围． 【例40】（2022·上海宝山·一模）如图，已知､是椭圆的左､右焦点，､是其顶点，直线与相交于，两点. (1)求△的面积； (2)若，点，重合，求点的坐标； (3)设直线，的斜率分别为､，记以，为直径的圆的面积分别为､，的面积为，若､､恰好构成等比数列，求的最大值. 【例41】（2022秋·上海浦东新·高三上海市洋泾中学校考阶段练习）已知椭圆的离心率为，椭圆截直线所得线段的长度为．过作互相垂直的两条直线、，直线与椭圆交于、两点，直线与椭圆交于、两点，、的中点分别为、． (1)求椭圆的方程； (2)证明：直线恒过定点，并求出定点坐标； (3)求四边形面积的最小值． 【例42】（2025届普陀区一模）设，，、分别是双曲线的左、右焦点，直线经过点与的右支交于、两点，点是坐标原点． （1）若点是上的一点，，求的值； （2）设、，点在直线上，若点、、、满足：，，求点的坐标； （3）设的延长线与交于点，若向量与满足：，求△的面积的取值范围． 【例43】已知点是抛物线：的焦点，为坐标原点，过点的直线交抛物线与，两点. (1)求抛物线的方程； (2)求的值； (3)如图，过点的直线交抛物线于，两点（点，在轴的同侧，），且，直线与直线的交点为，记，的面积分别为，，求的取值范围. 【例44】如图，在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率是，曲线是抛物线在椭圆内的一部分，抛物线的焦点F在椭圆上. (1)求椭圆的方程； (2)设P是上的动点，且位于第一象限，在点Р处的切线l与交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过且垂直于x轴的直线交于点M. （i）求证：点M在定直线上； （ii）直线l与y轴交于点G，记的面积为，的面积为，求的最大值及取得最大值时点的坐标. 【例45】（2024虹口区一模）已知点在抛物线：上，点F为的焦点，且．过点F的直线l与及圆依次相交于点A，B，C，D，如图． （1）求抛物线的方程及点M的坐标； （2）证明：为定值； （3）过A，B两点分别作的切线，，且与相交于点P，求与的面积之和的最小值． 【例46】（2024浦东新区一模）已知双曲线，点、分别为双曲线的左、右焦点，、为双曲线上的点. （1）求右焦点到双曲线的渐近线的距离； （2）若，求直线的方程； （3）若，其中A、B两点均在x轴上方，且分别位于双曲线的左、右两支，求四边形的面积的取值范围. 【例47】在平面直角坐标系中，已知椭圆和抛物线，椭圆的左，右焦点分别为，，且椭圆上有一点满足，抛物线的焦点为． （1）求椭圆的方程； （2）过作两条互相垂直的直线和，其中直线交椭圆于，两点，直线交抛物线于，两点，求四边形面积的最小值． 【例48】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：(a>b>0)的离心率为， 椭圆C截直线y=1所得线段的长度为． （1）求椭圆C的方程； （2）动直线l：y=kx+m(m≠0)交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M．点N是M关于O的对称点，⊙N的半径 为|NO|． 设D为AB的中点，DE，DF与⊙N分别相切于点E，F，求EDF的最小值． 【例49】（2022上海·格致中学高三期中）椭圆：的焦点，是等轴双曲线：的顶点，若椭圆与双曲线的一个交点是P，的周长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）点M是双曲线上任意不同于其顶点的动点，设直线、的斜率分别为，，求证，的乘积为定值； （3）过点任作一动直线l交椭圆与A，B两点，记，若在直线AB上取一点R，使得，试判断当直线l运动是，点R是否在某一定直线上运动？若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由． 【例50】（2022上海·华师大二附中高三月考）已知椭圆M：的左、右焦点分别为、，，点在椭圆M上． （1）求椭圆M的方程； （2）过的直线l与椭圆M交于P、Q两点，且，求直线l的方程； （3）如图，四边形ABCD是矩形，AB与椭圆M相切于点F，AD与椭圆M相切于点E，BC与椭圆M相切于点G，CD与椭圆M相切于点H，求矩形ABCD面积的取值范围． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 M O x y P F B A y O x H y O x F M O x y N M E O x y A F P Q A O x y B E P F M M O x y N $$