05：圆锥曲线的定直线问题重难点讲义-2024-2025学年高二上学期数学沪教版（2020）选择性必修第一册

上海高中数学2020选修第一册第2章圆锥曲线（培优课程） 专题05 圆锥曲线的定直线问题 相较于定点问题和定值问题，定线问题在“定"家族中的地位就要略低一些，定线问题考查的频率整体不及另外两位，但这并不代表定线问题不重要．定线问题以求证探究类居多，最常见的便是证明或探究两条直线的交点在定直线上，处理定线问题的核心思想，就是通过核心条件，建立目标点横纵坐标之间的关系．而这其中大部分情形，往往都是定直线与坐标轴平行或垂直，即直线方程为x＝a或y＝a. 在圆锥曲线的问题中，除了斜率之和，斜率之积，斜率之商的相关问题，还有一类斜率成等差的问题.事实上，有如下定理： Th: 过轴上右焦点的直线交椭圆于A，B两点，则在直线上任一点对弦端点及定点的连线的斜率成等差数列，即. 如果点刚好在轴，可得模型。 另外，也经常取某个特殊的点，来设置问题，这样计算会简化些。 1、 从问题的设置来看，原问题也可改为：“求证，”或“探索是否存在常数，使得”，本质相同； 2、 从方法上看，很基础的斜率运算中，韦达定理代入； 法2是在认定结果是定值，巧妙利用和积关系转化，然后进行约分，简化计算； 3、实际上，以上的斜率等差现象，不止对焦点准线位置成立，进一步有： (1)过轴上点的直线交椭圆于A，B两点，则在直线上任一点,对弦端点及定点的连线的斜率成等差数列. (2)过轴上一定点的直线交双曲线于两点，则在直线上任一点,对弦端点及定点的连线的斜率成等差数列. (3)过轴上一定点的直线交抛物线于两点，则在直线上任一点对弦端点及定点的连线的斜率成等差数列. 题型一：斜率等差交点在定直线上 【例1】已知椭圆的离心率为，长轴为4． (1)求椭圆的方程； (2)为直线上任意一点，过点右焦点且与P垂直的直线交椭圆于A，B两点．记、、的斜率分别为、、，求证：. 【例2】（2023·上海金山·统考一模）已知椭圆的左､右焦点分别为. (1)以为圆心的圆经过椭圆的左焦点和上顶点，求椭圆的离心率； (2)已知，设点是椭圆上一点，且位于轴的上方，若是等腰三角形，求点的坐标； (3)已知，过点且倾斜角为的直线与椭圆在轴上方的交点记作，若动直线也过点且与椭圆交于两点（均不同于），是否存在定直线，使得动直线与的交点满足直线的斜率总是成等差数列？若存在，求常数的值；若不存在，请说明理由. 【例3】（2024奉贤中学月考）在平面直角坐标系中，已知两定点，，M是平面内一动点，自M作MN垂直于AB，垂足N介于A和B之间，且． (1)求动点M的轨迹； (2)设过的直线交曲线于C，D两点，Q为平面上一动点，直线QC，QD，QP的斜率分别为，，，且满足．问：动点Q是否在某一定直线上？若在，求出该定直线的方程；若不在，请说明理由． 题型二：相交弦的交点在定直线上 【例4】（2024行知中学月考）已知椭圆过点，离心率为，抛物线的准线交轴于点，过点作直线交椭圆于，． （1）求椭圆的标准方程和点的坐标； （2）若是线段的中点，求直线的方程； （3）设，是直线上关于轴对称的两点，问：直线于的交点是否在一条定直线上？请说明你的理由． 【例5】已知，分别是双曲线的左，右顶点，直线（不与坐标轴垂直）过点，且与双曲线交于，两点. （1）若，求直线的方程； （2）若直线与相交于点，求证：点在定直线上. 【例6】（2023大同中学期末）已知椭圆的离心率为，椭圆的下顶点和上顶点分别为，且，过点且斜率为的直线与椭圆交于，两点． （1）求椭圆的标准方程； （2）当时，求的面积； （3）求证：直线与直线的交点恒在一条定直线上． 【例7】已知椭圆的左、右顶点分别为，，右焦点为，折线与交于，两点． （1）当时，求的值； （2）直线与交于点，证明：点在定直线上． 题型三：成调和（比例）型的点在定直线上 【例8】已知双曲线E：的中心为原点O，左、右焦点分别为，，离心率为. (1)求实数a的值. (2)若点P坐标为，过点P作动直线l与双曲线右支交于不同的两点M，N，在线段MN上取异于点M，N的点H，满足.证明：点H恒在一条定直线上. 【例9】在平面直角坐标系中，已知双曲线Ｃ的中心为坐标原点，对称轴是坐标轴，右支与x轴的交点为，其中一条渐近线的倾斜角为. (1)求C的标准方程； (2)过点作直线l与双曲线C的左右两支分别交于A，B两点，在线段上取一点E满足，证明：点E在一条定直线上. 题型四：交点在定直线上 【例10】（2022虹口区二模）已知抛物线焦点为F，准线为l，记准线l与x轴的交点为A，过A作直线交抛物线C于，两点． （1）若，求的值； （2）若M是线段AN的中点，求直线的方程； （3）若P，Q是准线l上关于x轴对称的两点，问直线PM与QN的交点是否在一条定直线上？请说明理由． 【例11】已知曲线上的点到的距离比它到轴的距离大1. （1）求曲线的方程； （2）过作斜率为的直线交曲线于､两点； ①若，求直线的方程； ②过､两点分别作曲线的切线､，求证：､的交点恒在一条定直线上. 【例12】如图，在中，，若以所在直线为轴，以的中垂线为轴，建立平面直角坐标系.设动顶点. (1)求顶点A的轨迹方程； (2)记第（1）问中所求轨迹曲线为，设，过点作动直线与曲线交于两点（点在轴下方）.求证：直线与直线的交点在一条定直线上. 题型五：三角形的内心在定直线上 【例13】已知是圆：上的动点，点，直线与圆的另一个交点为，点在直线上，，动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)若过点的直线与曲线相交于，两点，且，都在轴上方，问：在轴上是否存在定点，使得的内心在一条定直线上?请你给出结论并证明. 【例14】已知椭圆过点，且离心率为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线与椭圆C交y轴右侧于不同的两点A，B，试问：的内心是否在一条定直线上？若是，请求出该直线方程；若不是，请说明理由． 题型六：存在型问题 【例15】已知中心在原点的椭圆的一个焦点为，点，为椭圆上一点，的面积为． （1）求椭圆的方程； （2）是否存在平行于的直线，使得直线与椭圆相交于、两点，且以线段为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出的方程，若不存在，说明理由． 题型七：点在定圆上 【例16】在平面直角坐标系Oxy中，点F(1，0)，D为直线l:x=-1上的动点，过D作l的垂线，该垂线与线段DF的垂直平分线交于点M，记M的轨迹为C. （1）求C的方程； （2）若过点F的直线与曲线C交于P，Q两点，直线OP，OQ与直线x=1分别交于A，B两点，试判断以AB为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由. 【例17】在平面直角坐标系中，O为坐标原点，动点与定点的距离和D到定直线的距离的比是常数2，设动点D的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)已知定点，，过点P作垂直于x轴的直线，过点P作斜率大于0的直线与曲线C交于点G，H，其中点G在x轴上方，点H在x轴下方．曲线C与x轴负半轴交于点A，直线，与直线分别交于点M，N，若A，O，M，N四点共圆，求t的值． 题型八：点在定曲线上 【例18】已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过作一条渐近线的垂线交C于点B，垂足为A，，. (1)求双曲线C的方程； (2)已知点P是双曲线C的右支上异于右顶点D的任意一点，点Q在直线上，且（为坐标原点），M为PD的中点，求证：直线OM与直线的交点在某定曲线上. 【例19】椭圆C：（）的左右焦点分别为，，上顶点为A，且，． (1)求C的方程； (2)若椭圆E：（且），则称E为C的倍相似椭圆，如图，已知E是C的3倍相似椭圆，直线l：与两椭圆C，E交于4点（依次为M，N，P，Q，如图）．且，证明：点T（k，m）在定曲线上． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学重难点讲与练（培优课程） 专题05 圆锥曲线的定直线问题 相较于定点问题和定值问题，定线问题在“定"家族中的地位就要略低一些，定线问题考查的频率整体不及另外两位，但这并不代表定线问题不重要．定线问题以求证探究类居多，最常见的便是证明或探究两条直线的交点在定直线上，处理定线问题的核心思想，就是通过核心条件，建立目标点横纵坐标之间的关系．而这其中大部分情形，往往都是定直线与坐标轴平行或垂直，即直线方程为x＝a或y＝a. 在圆锥曲线的问题中，除了斜率之和，斜率之积，斜率之商的相关问题，还有一类斜率成等差的问题.事实上，有如下定理： Th: 过轴上右焦点的直线交椭圆于A，B两点，则在直线上任一点对弦端点及定点的连线的斜率成等差数列，即. 如果点刚好在轴，可得模型。 另外，也经常取某个特殊的点，来设置问题，这样计算会简化些。 1、 从问题的设置来看，原问题也可改为：“求证，”或“探索是否存在常数，使得”，本质相同； 2、 从方法上看，很基础的斜率运算中，韦达定理代入； 法2是在认定结果是定值，巧妙利用和积关系转化，然后进行约分，简化计算； 3、实际上，以上的斜率等差现象，不止对焦点准线位置成立，进一步有： (1)过轴上点的直线交椭圆于A，B两点，则在直线上任一点,对弦端点及定点的连线的斜率成等差数列. (2)过轴上一定点的直线交双曲线于两点，则在直线上任一点,对弦端点及定点的连线的斜率成等差数列. (3)过轴上一定点的直线交抛物线于两点，则在直线上任一点对弦端点及定点的连线的斜率成等差数列. 题型一：斜率等差交点在定直线上 【例1】已知椭圆的离心率为，长轴为4． (1)求椭圆的方程； (2)为直线上任意一点，过点右焦点且与P垂直的直线交椭圆于A，B两点．记、、的斜率分别为、、，求证：. 解：(1)椭圆的方程为. (2) 法1：直接计算 设直线AB的方程为，其中， 联立， 得， ， 设、，得，， 依题得直线的方程为： ，得 故有，，， ， , ， 法2：和积代换 最后一行运算转化 , ， 【例2】（2023·上海金山·统考一模）已知椭圆的左､右焦点分别为. (1)以为圆心的圆经过椭圆的左焦点和上顶点，求椭圆的离心率； (2)已知，设点是椭圆上一点，且位于轴的上方，若是等腰三角形，求点的坐标； (3)已知，过点且倾斜角为的直线与椭圆在轴上方的交点记作，若动直线也过点且与椭圆交于两点（均不同于），是否存在定直线，使得动直线与的交点满足直线的斜率总是成等差数列？若存在，求常数的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)存在，，理由见解析 【分析】（1）由题意知，即可知离心率； （2）分，和三种讨论即可； （3）设直线，联立椭圆方程得到韦达定理式，计算，将韦达定理式整体代入，再计算，得到方程即可. 【详解】（1）由题意得即，所以离心率. （2）由题意得椭圆 ①当时，由对称性得. ②当时，，故，设， 由得， 两式作差得， 代入椭圆方程，得（负舍），故 ③当时，根据椭圆对称性可知. （3）由题意得椭圆. 设直线， 由得. 设，则， ， ， 由，得. 【点睛】关键点睛：对于第三问，我们通常选择设线法，设直线，从而将其与椭圆方程联立得到两根之和与之积式，然后再计算出的值，再将韦达定理式整体代入，当然本题也可引入，设直线. 【例3】（2024奉贤中学月考）在平面直角坐标系中，已知两定点，，M是平面内一动点，自M作MN垂直于AB，垂足N介于A和B之间，且． (1)求动点M的轨迹； (2)设过的直线交曲线于C，D两点，Q为平面上一动点，直线QC，QD，QP的斜率分别为，，，且满足．问：动点Q是否在某一定直线上？若在，求出该定直线的方程；若不在，请说明理由． 【答案】(1) (2)在定直线y＝8（x≠0）上． 【详解】（1）设，则，由题意知－4＜x＜4． ∵，∴，即，故动点M的轨迹为． （2）存在满足题意的Q，在定直线y＝8（x≠0）上．理由如下： 当直线CD的斜率存在时，设直线CD的方程为y＝kx＋1． 设，，，则，，，由此知． 将y＝kx＋1代入，得，于是 ，．① 条件即，也即． 将，代入得． 显然不在直线y＝kx＋1上，∴，从而得，即． 将，代入得．将式①代入得 ，解得． 当直线CD的斜率不存在时，经检验符合题意． 因此存在满足题意的Q，在定直线y＝8（x≠0）上． 【反思】由于关于椭圆的极线是直线y＝8，若恒成立，由命题5知点Q在极线y＝8上，因此存在满足题意的Q，其轨迹为y＝8（x≠0）．本题实质是命题5的逆向应用 题型二：相交弦的交点在定直线上 【例4】（2024行知中学月考）已知椭圆过点，离心率为，抛物线的准线交轴于点，过点作直线交椭圆于，． （1）求椭圆的标准方程和点的坐标； （2）若是线段的中点，求直线的方程； （3）设，是直线上关于轴对称的两点，问：直线于的交点是否在一条定直线上？请说明你的理由． 【解答】解：（1）由题意知且， 解得，， 所以椭圆方程为， 由抛物线方程易知准线为，所以； （2）设，，则， 依题意有，解得，， 所以； （3）设，，，，，，， 联立，得， ， 直线，， 交点横坐标，又， 解得， 与的交点恒在直线上． 【例5】已知，分别是双曲线的左，右顶点，直线（不与坐标轴垂直）过点，且与双曲线交于，两点. （1）若，求直线的方程； （2）若直线与相交于点，求证：点在定直线上. 【解析】设直线的方程为，设，，把直线与双曲线 联立方程组，，可得， 则， （1），，由，可得， 即①，②， 把①式代入②式，可得，解得，， 即直线的方程为或． （2）直线的方程为，直线的方程为， 直线与的交点为，故，即， 进而得到，又， 故，解得 故点在定直线上． 【例6】（2023大同中学期末）已知椭圆的离心率为，椭圆的下顶点和上顶点分别为，且，过点且斜率为的直线与椭圆交于，两点． （1）求椭圆的标准方程； （2）当时，求的面积； （3）求证：直线与直线的交点恒在一条定直线上． 【解答】解：（1）由题意可得，解得：，， 所以椭圆的方程为：； （2）由题意可得直线的方程为：，设，，，， 联立，整理可得：， ，， 所以弦长， 到直线的距离， 所以； （3）证明：设直线的方程为：，设，，，， 联立，整理可得：， 所以△，可得：， 且，， 由（1）可得，，设， 由，，三点共线，所以，① 由，，三点共线：，② 由①②可得：， 所以可得，解得：， 所以点恒在直线上． 【例7】已知椭圆的左、右顶点分别为，，右焦点为，折线与交于，两点． （1）当时，求的值； （2）直线与交于点，证明：点在定直线上． 【解答】解：折线为，不妨设在的右侧，在的左侧， 设，，，，则，关于轴的对称点分别为，，，， 联立，得， 所以，，， （1）， 当时，． （2）由题意知，，， 则直线的方程为， 又因为在的右侧，所以折线方程为， 所以直线的方程为①， 由题知，，，则直线的方程为， 又因为， 所以直线的方程为②， 得，， 所以，， 所以， 所以， 所以， 解得， 所以定点在直线上． 题型三：成调和（比例）型的点在定直线上 【例8】已知双曲线E：的中心为原点O，左、右焦点分别为，，离心率为. (1)求实数a的值. (2)若点P坐标为，过点P作动直线l与双曲线右支交于不同的两点M，N，在线段MN上取异于点M，N的点H，满足.证明：点H恒在一条定直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据、双曲线的离心率以及列方程来求得. （2）设出直线的方程并与双曲线方程联立，化简写出根与系数关系，由进行化简，从而得出点恒在一条定直线上. 【详解】（1）依题意得，，，因为，所以，. （2）如图所示，直接根据极点极线的定义， 得到点H恒在点关于双曲线E的极线上. 因为点P坐标为，且过点P的动直线l与双曲线右支交于不同的两点M，N， 所以可设直线l的方程为， 点M，N，H的坐标依次为，，， 则点M，N的坐标满足，所以， 由韦达定理得， 因为，所以， 同理，，， 因为，所以， 所以， 所以 ， 所以点H恒在直线上. 【例9】在平面直角坐标系中，已知双曲线Ｃ的中心为坐标原点，对称轴是坐标轴，右支与x轴的交点为，其中一条渐近线的倾斜角为. (1)求C的标准方程； (2)过点作直线l与双曲线C的左右两支分别交于A，B两点，在线段上取一点E满足，证明：点E在一条定直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意可得双曲线焦点在轴上，且，，即可求得双曲线方程； （2）根据双曲线对称性以及交点特征，设出直线方程并与双曲线联立，利用韦达定理根据题目中的表达式代入整理可知点E在定直线上. 【详解】（1）根据题意，设双曲线的方程为， 由题知，，可得； 所以双曲线方程为. （2）易知为双曲线的右焦点，如下图所示：    由题知直线l斜率存在， 根据对称性，不妨设斜率为，故直线的方程为， 代入双曲线方程得， 设，， 由韦达定理有，， 且，， 设，点E在线段上，所以 由可得 化简得， 代入和并化简可得， 即存在点E满足条件，并且在定直线上. 题型四：交点在定直线上 【例10】（2022虹口区二模）已知抛物线焦点为F，准线为l，记准线l与x轴的交点为A，过A作直线交抛物线C于，两点． （1）若，求的值； （2）若M是线段AN的中点，求直线的方程； （3）若P，Q是准线l上关于x轴对称的两点，问直线PM与QN的交点是否在一条定直线上？请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）在定直线上，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据焦半径公式即可求出； （2）设直线MN的方程，与抛物线联立即可利用M是线段AN的中点求出m，从而求出直线的方程； （3）设，即可求出直线PM与QN的方程，联立即可解出交点，从而可以判断交点在定直线上． 【小问1详解】 根据题意，得 因为抛物线，所以准线为， 所以； 【小问2详解】 由题意可知，直线的斜率不为0，故设直线的方程， 联立，消去，可得， 所以，即，，， 而M是线段AN的中点，所以，故， 解得，故，解得， 所以直线MN的方程为，即； 【小问3详解】 直线MN的方程，设， 则，， 联立消去可得：，即，整理得：， 将，代入得，故，， 所以直线PM与QN的交点在定直线上． 【例4】已知椭圆的右焦点为，且过点． （1）求的方程； （2）点、分别在和直线上，，为的中点，求证：直线与直线的交点在某定曲线上． 【解答】解：（1）由题意可知：为椭圆的左顶点，故， 又为的右焦点，所以，于是， 故椭圆的方程为：； （2）证明：设，，则， 直线的斜率， 又，所以直线的方程为， 令得，，， 所以， 又在椭圆上，所以，代入得： ，所以， 故直线与的交点在以为直径的圆上，且该圆的方程为：， 即直线与直线的交点在某定曲线上． 【例11】已知曲线上的点到的距离比它到轴的距离大1. （1）求曲线的方程； （2）过作斜率为的直线交曲线于､两点； ①若，求直线的方程； ②过､两点分别作曲线的切线､，求证：､的交点恒在一条定直线上. 【解析】（1）设曲线上的点， 由题可知到的距离与到直线的距离相等， 所以，点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 的方程为：. （2）设：过的斜率为的直线方程为：， ①由消可得.令，， ，，由题可知：若，即， 即得，消去，得：，， 所求直线的方程为：. 证明②由题知：，，令，，设与相交于点. 方程为：，方程为：， 相减得：，代入相加得： ，，，， ､的交点恒在一条定直线上. 【例12】如图，在中，，若以所在直线为轴，以的中垂线为轴，建立平面直角坐标系.设动顶点. (1)求顶点A的轨迹方程； (2)记第（1）问中所求轨迹曲线为，设，过点作动直线与曲线交于两点（点在轴下方）.求证：直线与直线的交点在一条定直线上. 【答案】(1) (2)证明见详解 【分析】（1）根据椭圆的定义，求得椭圆的的值，可得答案； （2）根据联立直线与椭圆写出的韦达定理，表示出直线的直线方程，联立整理方程，可得答案. 【详解】（1）由，则A的轨迹为以为焦点的椭圆，且，； 由，则，，即， 故A的轨迹方程为. （2）直线方程可设为， 联立可得，消去可得：， 显然成立， 设，则，即， 设，， 联立上述两方程，消去可得， ，， ，， 由，则， ，解得； 综上所述，动点的轨迹方程为直线. 【点睛】方法点睛：过定点问题的两大类型及解法 （1）动直线l过定点问题．解法：设动直线方程(斜率存在)为，由题设条件将t用k表示为，得，故动直线过定点； （2）动曲线C过定点问题．解法：引入参变量建立曲线 C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． 题型五：三角形的内心在定直线上 【例13】已知是圆：上的动点，点，直线与圆的另一个交点为，点在直线上，，动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)若过点的直线与曲线相交于，两点，且，都在轴上方，问：在轴上是否存在定点，使得的内心在一条定直线上?请你给出结论并证明. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由题意可得点在以，为焦点，为实轴长的双曲线上，且焦距为，从而可求出曲线的方程； （2）由条件可设：，代入双曲线方程化简，再利用根与系数的关系，当时，可求得，则的平分线为定直线，从而可得结论. 【详解】（1）圆的圆心为，半径， 因为，所以，又因为， 所以， 所以， 所以点在以，为焦点，为实轴长的双曲线上， 设双曲线的方程为， 则，. 所以，， 又不可能在轴上，所以曲线的方程为.    （2）在轴上存在定点，使得的内心在一条定直线上. 证明如下：由条件可设：.代入， 得， 设，，则 ，得， 所以 所以， 取， 则 又，都在轴上方，所以的平分线为定直线， 所以在轴上存在定点，使得的内心在定直线上. 【点睛】关键点点睛：此题考查直线与双曲线的位置关系，考查双曲线方程的求解，第（2）问解题的关键是取，通过计算，可得定直线为，考查数学计算能力，属于较难题. 【例14】已知椭圆过点，且离心率为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线与椭圆C交y轴右侧于不同的两点A，B，试问：的内心是否在一条定直线上？若是，请求出该直线方程；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)的内心在定直线上 【分析】（1）根据题意建立关于，的方程组，再求解即可得到椭圆C的标准方程； （2）设，，联立直线和椭圆C的标准方程，得到关于的一元二次方程，再根据韦达定理证明，进而即可得出结论． 【详解】（1）依题意有，解得， 所以椭圆C的标准方程为． （2）设，， 联立，消整理得， 则，，所以， 所以， 所以， 又， 所以恒成立，则的平分线总垂直于x轴， 所以的内心在定直线上． 【点睛】关键点点睛：在解答小问（2）时，关键在于利用韦达定理得到，进而得到的内心在定直线上． 题型六：存在型问题 【例15】已知中心在原点的椭圆的一个焦点为，点，为椭圆上一点，的面积为． （1）求椭圆的方程； （2）是否存在平行于的直线，使得直线与椭圆相交于、两点，且以线段为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出的方程，若不存在，说明理由． 【解答】解：（1）由的面积为，则，得，所以， 又点在椭圆上，① 因为是椭圆的焦点，所以② 由①②解得：，， 所以椭圆的方程为：； （2）假设存在直线满足题意， 因为的斜率，设的方程为， 联立方程组，整理得， △，解得， 设，两点的坐标为，，，，则，， 以为直径的圆的方程为， 该圆经过原点，所以， 又， 所以， 解得，经检验满足题意， 所以存在直线满足题意，此时直线的方程为． 题型七：点在定圆上 【例16】在平面直角坐标系Oxy中，点F(1，0)，D为直线l:x=-1上的动点，过D作l的垂线，该垂线与线段DF的垂直平分线交于点M，记M的轨迹为C. （1）求C的方程； （2）若过点F的直线与曲线C交于P，Q两点，直线OP，OQ与直线x=1分别交于A，B两点，试判断以AB为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由. 【解析】（1）连接，则，则根据抛物线的定义， 点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线． 则点的轨迹的方程为． （2）设直线的方程为，，，，， 联立,整理得，， ，，直线的方程为， 同理：直线的方程为，令得，，， 设中点的坐标为，，则，， 所以．． 圆的半径为． 所以为直径的圆的方程为． 展开可得，， 令，可得，解得或． 所以以为直径的圆经过定点和． 【例17】在平面直角坐标系中，O为坐标原点，动点与定点的距离和D到定直线的距离的比是常数2，设动点D的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)已知定点，，过点P作垂直于x轴的直线，过点P作斜率大于0的直线与曲线C交于点G，H，其中点G在x轴上方，点H在x轴下方．曲线C与x轴负半轴交于点A，直线，与直线分别交于点M，N，若A，O，M，N四点共圆，求t的值． 【答案】(1) (2)． 【分析】(1）根据两点间距离和点到直线距离列式化简可得曲线方程； （2）先设直线，再联立方程得韦达定理求出M，N坐标，再应用A，O，M，N四点共圆得出，最后结合韦达定理求参即可. 【详解】（1）由已知得：，两边平分并化简得：即为曲线的方程． （2）   设点，． 直线与双曲线C的方程联立， 消去y得． 由韦达定理：，． 由条件，直线AG的方程为，直线AH的方程为， 于是可得，． 因为A，O，M，N四点共圆，所以， 所以，于是．    即，化简得 又，，代入整理得：． 将韦达定理代入化简得：． 【点睛】关键点点睛：A，O，M，N四点共圆的应用，关键是转化为，从而建立M，N的坐标关系，引进韦达定理. 题型八：点在定曲线上 【例18】已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过作一条渐近线的垂线交C于点B，垂足为A，，. (1)求双曲线C的方程； (2)已知点P是双曲线C的右支上异于右顶点D的任意一点，点Q在直线上，且（为坐标原点），M为PD的中点，求证：直线OM与直线的交点在某定曲线上. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据双曲线的定义及渐近线可求得，即可得解； （2）设，直线OM与直线的交点为，设直线的方程为，联立方程利用韦达定理可求得点的坐标，再根据，可求得点的坐标，列出方程组，消参即可得出结论. 【详解】（1）解：因为，所以，即， 由题意可得，又，所以， 所以双曲线C的方程为； （2）证明：， 设，直线OM与直线的交点为， 设直线的方程为， 联立，消得， 则，所以， 那么， 故， 由于M为PD的中点，所以， 因为，所以， 又，所以，即， 因为直线OM与直线的交点为， 根据斜率相等可得， 代入的坐标得， 化简得， 将两式相乘得，即， 所以点的轨迹为圆， 即直线OM与直线的交点在某定曲线上. 【点睛】本题关键利用三点共线构造等量关系 【例19】椭圆C：（）的左右焦点分别为，，上顶点为A，且，． (1)求C的方程； (2)若椭圆E：（且），则称E为C的倍相似椭圆，如图，已知E是C的3倍相似椭圆，直线l：与两椭圆C，E交于4点（依次为M，N，P，Q，如图）．且，证明：点T（k，m）在定曲线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】对于（1），设，其中.由可得，结合，可得. 对于（2），分别将l：与两椭圆方程联立，设，，，，注意到，结合题目条件得，后可证明结论. 【详解】（1）设，其中.由题意知半焦距， 因为， 所以， 所以， 所以C的方程为 （2）证明：椭圆C的3倍相似椭圆E的方程为，即． 联立l与C的方程，得，消去y并整理，得， 则，即， 设，，由韦达定理有：，， 所以． 联立l与E的方程，得，消去y并整理，得， 则，即， 设，，由韦达定理有：，， 所以， 注意到，. 所以线段NP，MQ的中点相同， 所以．又，得. 又， 所以，即， 化简，得．满足， 所以，即点T（k，m）在定双曲线上． 【点睛】关键点点睛：本题涉及求椭圆方程，及结合椭圆中的新定义解题. （1）问较为基础，解决（2）关键为发现线段NP，MQ的中点相同，继而得到，后由韦达定理可得结论. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$