重难点02 空间向量中的最值与范围问题 讲义-2025-2026学年高二上学期数学沪教版选择性必修第一册

2025-26学年高二数选择性必修第一册同步培优讲义【精英班课程】 重难点02 空间向量中的最值与范围问题 解决立体几何中的最值问题常用方法 1、建立函数法：很多情况下，我们都是把这类动态问题转化为目标函数，最终利用代数方法求目标函数的最值。解题途径很多，在函数建成后，可用一次函数的端点法；二次函数的配方法、公式法；有界函数界值法（如三角函数等）。 2、公理与定义法：通常以公理与定义作为依据，直接推理问题的最大值与最小值，一般的公理与定理有：两点之间以线段为最短；分居在两异面直线上的两点的连线段中，以它们的共垂线短等。如果利用函数关系求之比较困难，而运用两异面直线共垂线段最短则是解决问题的捷径。 3、解不等式法：在立体几何中同样可利用不等式的性质和一些变量的特殊不等关系求解。 如：、、最小角定理所建立的不等关系等。 4、展开图法：它可将几何体表面展开，也可将几何体内部的某些满足条件的部分面展开成平面，这样能使求解问题，变得十分只管，由难化易。 5、变量分析法：透过现象看本质，在几何体重的点、线、面，哪些在动，哪些不懂，要分析透彻，明白它们之间的相互关系，从而转化成求某些线段或角等一些量的求解最值问题的方法。 题型一、 数量积的最值范围 【例1】如图，已知正方体的棱长为，点是四边形的内切圆上一点，为四边形的中心，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用向量加法、相等向量将与分别表示为，，代入数量积运算即可. 【详解】由题意知，， 设正方形的中心为，连接、、，如图所示， 则，，，面，面， ∴， ∴，， 又∵，， ∴ ∵， ∴当时， ， ∴. 故选：C. 【跟踪训练】 1.如图所示，在棱长为1的正方形中，点P是的中点，点M，N是矩形内（包括边界）的任意两点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设正方体的中心为O，连接OP，OM，ON． 由正方体的性质可知，，， 那么， 又，所以. 当与反向，且时，有最小值， 此时； 当与同向，且时，有最大值， 此时，即的取值范围为． 故选：B 2.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在如图所示的鳖臑中，平面，，，E是BC的中点，H是内的动点（含边界），且平面，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设F，G分别为AB，BD的中点，连接FG，EF，EG，如图， 易得，，， 因为平面，平面，所以平面， 同理平面， 又因为平面，，所以平面平面. 因为平面，所以H为线段FG上的点. 由平面，平面，得， 又，则， 由平面，得平面， 因为，所以平面，，. 因为， 所以，，. 所以 . 因为，所以.故选：B. 3.已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，为圆的直径，为圆上的点，则的最大值为（ ） A．4 B． C．5 D． 【答案】A 【解析】如图所示由题意可知，， 因为为的中点，所以， 所以， 当时，取最小值， 此时取最大值， 所以的最大值为4.故选:A. 4.在四面体中，，，，若与互余，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，可得，利用空间向量数量积的定义以及辅助角公式，结合正弦函数的有界性可求得的最大值. 【详解】设，可得，则为锐角， 在四面体中，，，， 则，其中为锐角，且. ，则， 所以，当时，取得最大值. 故选：B. 【点睛】在计算向量的数量积时，要确定好基底向量，作为基底向量的向量，长度以及向量间的夹角需已知. 5.正四面体的棱长为2，是它内切球的一条弦（把球面上任意2个点之间的线段称为球的弦），为正四面体表面上的动点，当弦最长时，的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设正四面体的内切球球心为，为的中心，为的中点，连接，，则在上，连接，根据题意求出内切球的半径，当为内切球的直径时，最长，化简可求得其最大值. 【详解】设正四面体的内切球球心为，为的中心，为的中点，连接，，则在上，连接，则 因为正四面体的棱长为2，所以， 所以，设内切球的半径为，则 ，，解得， 当为内切球的直径时，最长，此时 ， 因为为正四面体表面上的动点，所以当为正四体的顶点时，最长，的最大值为， 所以的最大值为， 故选：B    题型二、模或长度的最值范围 【例2】已知是棱长为1的正四面体．若点满足，其中，则的最小值为（    ） A． B．1 C．0 D． 【答案】A 【分析】由点满足，其中，得到点是平面内的一点，再由当点与在上的射影重合时，等于正四面体的高达到最小值求解. 【详解】如图所示： 根据题意，点满足，其中 所以， 所以， 所以点是平面内的一点，又正四面体棱长为1， 所以当点与在上的射影重合时，等于正四面体的高， 此时且达到最小值． 故选：A． 【例3】在正四面体中，，点满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，延长至点，使得，得到，结合空间向量的共面定理，得到四点共面，把A到平面的距离转化为点到平面的距离的一半，结合正四棱锥的性质，即可求解. 【详解】如图所示，延长至点，使得， 所以， 又由，所以四点共面， 所以的最小值，即为点A到平面的距离， 因为点A是的中点，则点A到平面的距离是点到平面的距离的一半， 又因为，所以三棱锥为正三棱锥， 取等边的中心为，连接，可得平面， 所以即为点到平面的距离， 在等边，因为，可得， 在直角中，可得， 即点到平面的距离为，所以的最小值为. 故选：B. 【跟踪训练】 1.已知正方体的棱长为2，点E为的中点，过B，E，三点的平面截该正方体所得的截面记为，若，则线段长度的最小值为______． 【答案】 【解析】设平面与平面交于，F在上， 又平面与平面交于直线BE， 因为平面∥平面， 所以∥，同理∥， 所以四边形是平行四边形， 所以， 又E是的中点，所以F是的中点． 以点D为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向 建立空间直角坐标系，连接，如图所示， 则，，，， 所以，． 设平面的一个法向量为， 则，令，则． 又， 所 2.如图，在直三棱柱中，，已知与分别为和的中点， 与分别为线和上的动点（不包括端点），若 、则线段长度的取值范围为（    ） A．[) B．[ ] C．[) D．[] 【答案】A 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设点坐标为，， 故，因为， 故可得，则，由可得， 又，故, 故当时，取得最小值； 又当时，，但无法取到，则无法取到； 综上，线段DF长度的取值范围为.故选：A 3.在长方体中， ，点在棱上，且，点在方形内．若直线与所成的角等于直线与所成的角，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图建立空间直角坐标系，则， 设，则， ∴， ， ∴， ∴， 故点的轨迹是在平面上以为圆心， 以为半径的圆在正方形内的部分圆， 由圆的性质可得.故选：A. 以线段长度的最小值，即点到平面的距离． 4.如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，DC＝2，DA＝DD1＝1，点M、N分别为A1D和CD1上的动点，若MN∥平面AA1C1C，则MN的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图建系，由题意可设，， ， 又 ，， 平面的法向量， 又 面， 即， ， 最小值为.故选：A. 题型三、 空间距离的最值范围 【例4】如图，已知正方体的棱长为1，则线段上的动点P到直线的距离的最小值为______ 【答案】 【解析】如图建立空间直角坐标系，则， 设，则， ∴动点P到直线的距离为 ，当时取等号， 即线段上的动点P到直线的距离的最小值为. 故答案为： 【跟踪训练】 1.已知四边形是边长为1的正方形，半径为1的圆所在平面与平面垂直，点是圆上异于的任一点，当点到平面的距离最大时四面体的体积为 ． 【答案】 【分析】以D为原点，直线DA为x轴，直线DC为y轴，垂直于平面ABCD的直线为z轴建立空间直角坐标系，可设其中，设平面MAB的法向量是0，，又0，，可得点C到平面ABM的距离有最大值，其最大值为，即可MABC的体积； 【详解】解：以D为原点，直线DA为x轴，直线DC为y轴，垂直于平面ABCD的直线为z轴建立空间直角坐标系， 如图所示： 则，，， 依题意，可设，其中，． 设平面MAB的法向量是，，， 由可得取，得， 又 到平面MAB的距离， 点C到平面ABM的距离有最大值，其最大值为， 当h取得最大值时，，则， 且，， 三棱锥的体积． 故答案为：； 2.如图1，在等腰梯形中，，沿将折成，如图2所示，连接，得到四棱锥. (1)若平面平面，求证： ； (2)若点是的中点，求点到直线的距离的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意得到四边形是平行四边形，证得，进而证得平面，结合线面平行的性质定理，即可证得. （2）取中点，以为原点，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，设，求得和向量，得到，且，结合点到直线的距离，即可求解. 【详解】（1）证明：在梯形中，因为且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，且平面，所以平面， 因为平面，且平面平面，所以. （2）解：取中点，连接，因为是等边三角形，可得 以为原点，所在直线为轴，轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 设， 则， 所以，，，且， 则点到直线的距离 因为，所以当时，； 当时，，所以点到直线的距离的取值范围是. 3.棱长为的正方体中，分别是平面和平面内动点， ，则的最小值为 【答案】/ 【解析】如图，取点关于平面的对称点， 设点到平面的距离为，则，， 以为坐标原点，以为轴，为轴，为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，则点是线段靠近的三等分点， 又正方体棱长为， 则， 则，且， 设平面的法向量为， 则，取，则，则， 则点到平面的距离. 题型四、空间角的最值范围 【例5】正三棱柱的所有棱长均相等，E，F分别是棱上的两个动点，且，则异面直线BE与AF夹角余弦的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】设， 以A为原点，方向分别为x，z轴正方向建立空间直角坐标系， 可得，， 故所求角的余弦值为，当时取“”．故选：D 【例】在中，，．若空间点满足，则直线与平面所成角的正切的最大值为 . 【答案】 【解析】点作与点，过点作与点， 设，则， 又，则， 则点在以为旋转轴，底面圆半径为的圆柱上， 如图所示：以所在平面为，建立空间直角坐标， 则平面的法向量为：， ，设，则， 记直线与平面所成角为， 则， 因为，所以， 令，则， 则，， 又，在上单调递减.在上单调递增，则， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 又，所以直线与平面所成角的最大值为， 此时.故答案为： 【例6】如图，在三棱锥中，的中点为.    (1)证明：直线平面； (2)若，当直线与平面所成的角最大时，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过证明，可得，结合线面垂直判定定理可证； （2），以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量表示出直线与平面所成角的正弦，结合基本不等式可得，然后可求体积. 【详解】（1）如图，连接.    因为，所以. 又因为为的中点，所以， 所以. 又因为为公共边，所以， 所以，所以， 又因为平面， 所以平面. （2）过点作直线平面，以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.    因为，所以， 所以. 设，则， 于是. 设平面的一个法向量为， 由得 可取. 设直线与平面所成的角为， 则， 所以，， 当且仅当，即时，等号成立，此时，直线与平面所成的角最大. 此时三棱锥的体积. 故当直线与平面所成的角最大时，三棱锥的体积为. 【跟踪训练】 1.在四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面为中点. (1)如果与平面所成的线面角为，求证：平面. (2)当与平面所成角的正弦值最大时，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由题知，进而证明，即可证明结论； （2）根据题意，建立空间直角坐标系，设，进而利用坐标法求解线面角得，在计算体积即可. 【详解】（1）证明：平面，平面， 为与平面平面所成的线面角， ∵与平面所成的线面角为 ， ∵为的中点， ， ∵底面是边长为的正方形，即 ∵平面， 平面， 又∵平面， ∴， ∵平面， 平面 （2）解：以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图空间直角坐标系， 设，则， 设平面的法向量为， 则，即， ，取，得， 与平面所成角的正弦值为 ， 当且仅当，即时等号成立. ， 三棱锥的体积. 2.已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的动点，． (1)证明：平面； (2)当为何值时，平面与平面所成的夹角最小？ 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)先证明平面，由此建立空间直角坐标系，利用向量方法证明，，由线面垂直判定定理证明平面；(2)求平面与平面的法向量，结合向量夹角公式求两平面的夹角余弦，再求其最小值可得的取值. 【详解】（1）因为三棱柱是直三棱柱， 所以底面，底面，所以． 因为，，平面，平面， 所以平面． 所以，，两两垂直． 以B为坐标原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图， 所以，，，，，， 因为，，， 所以，， 所以，， 因为，，平面， 所以平面． （2）由题设． 设平面的法向量为， 因为，， 所以，即． 令，则． 因为平面的法向量为， 设平面与平面所成的夹角为， 则， 当时，取最小值为，此时取最大值为， 此时，符合题意． 故当时，面与面所成的夹角最小． 题型五、面积的最值范围 【例7】如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，已知Q是四边形ABCD内部一点（包括边界），且二面角的平面角大小为，则面积的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】以A为坐标原点建立空间直角坐标系，如图， 由二面角的平面角大小为， 可知Q的轨迹是过点D的一条直线， 又Q是四边形ABCD内部一点（包括边界）， 则Q的轨迹是过点D的一条线段. 设Q的轨迹与y轴的交点坐标为， 由题意可知，，， 所以，，． 易知平面APD的一个法向量为， 设平面PDG的法向量为， 则，即， 令，得，，所以是平面PDG的一个法向量， 则二面角的平面角的余弦值为 ， 解得或（舍去）， 所以Q在DG上运动，所以面积的取值范围为． 故选：B． 【跟踪训练】 1.如图，正方体的棱长为2，点为底面的中心，点在侧面的边界及其内部运动.若，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 设，其中，所以，， 因为，所以，所以， 由可得，所以， 则， 当时，取得最大值， 所以.故选：C 2.如图，在四棱锥中，PA⊥平面ABCD，BCAD，，，已知Q是四边形ABCD内部一点，且平面QPD与平面APD的夹角为，则的面积的取值范围是 . 【答案】 【解析】平面，，以点为坐标原点， 、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、， 设点，其中，， 设平面的法向量为，，， 则，取，可得， 易知平面的一个法向量为， 由已知条件可得， 所以，，即， 直线上的点满足，联立，解得， 联立，解得， 所以，点的纵坐标的取值范围为， 易知点不在线段上，则， 所以，. 3.棱长为2的正方体中，是棱的中点，点在侧面内，若垂直于，则的面积的最小值为（ ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解析】以分别为轴建立空间直角坐标系， 依题意有， ，由于， 故，解得. 根据正方体的性质可知，，故为直角三角形， 而，故， 的面积为， 当时，面积取得最小值为，故选:A. 题型六、体积的最值范围 【例8】如图，四边形是圆柱的轴截面，点是母线的中点，圆柱底面半径. (1)求证：平面； (2)当三棱锥的体积最大时，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由线面平行的判定定理证明即可； （2）由基本不等式知，当且仅当时，三棱锥的体积最大，如图所示，建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，由二面角的向量公式求解即可. 【详解】（1）证明：连接，，则，且，， 连接，，由圆柱的性质可得 ， 所以四边形是平行四边形，，所以为中点， 所以易知，平面，平面， 所以平面； （2）设，则， ，当且仅当时取等， 如图所示，建立空间直角坐标系，， ，设平面的法向量为， 所以，令，，所以， 取平面的法向量为， 所以平面与平面夹角的余弦值， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 【跟踪训练】 1.已知棱长为1的正方体为的中点，点为四边形及其内部任意一点，若，则三棱锥体积的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据给定的正方体，建立空间直角坐标系，求出点N的坐标满足的关系式，结合锥体体积计算作答. 【详解】在棱长为1的正方体中，以点D为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则有，设点， 于是得，因， 则，因此有，点N到平面的距离， 三棱锥体积， 所以三棱锥体积的取值范围是. 故答案为： 2.正方体的棱长为2，底面内（含边界）的动点到直线的距离与到平面的距离相等，则三棱锥体积的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据点的位置及满足的条件可求得点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线在底面内的一部分，写出其轨迹方程，以为坐标原点建立空间直角坐标系再利用空间向量可求得点到平面的距离的表达式，利用点坐标的取值范围即可求出三棱锥体积的取值范围. 【详解】根据题意可知，连接，在底面内作于点，如下图所示：    由正方体性质可知即为到直线的距离，为到平面的距离， 所以； 在底面内，由抛物线定义可知点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线的一部分， 截取底面，分别以向量为轴的正方向建立平面直角坐标系，如下图所示：    又正方形边长为2，易知抛物线过点，，且对称轴为轴， 设抛物线方程为，代入两点坐标可得，解得 所以的轨迹抛物线方程为， 以为坐标原点，分别以为轴的正方向建立空间直角坐标系，如下图所示：    则，所以， 设，平面的一个法向量为， 则，令，解得，即； ， 则点到平面的距离为， 令，易得， 所以， 易知在三棱锥中，底面是边长为的正三角形， 所以， 所以三棱锥的体积； 即三棱锥体积的取值范围为. 故答案为： 【点睛】方法点睛：利用抛物线定义可求出点的轨迹方程，再利用空间向量求出点到平面的距离的表达式，即可得出其体积的取值范围. 3.如图，在直三棱柱中，，点D是的中点，点E在上，平面. (1)求证：平面平面； (2)当三棱锥的体积最大时，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取中点，连接、，由三角形的中位线定理可得，进而由直三棱柱可得，所以平面，再由平面，得，再由线面垂直的性质可得平面，从而推出平面，再由面面垂直的性质即可证明； （2）由（1）知平面，当三棱锥的体积最大时，设出，结合立体几何的体积公式，和基本不等式可求出，建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出直线的方向向量与平面的法向量，利用向量的夹角公式，结合向量的夹角与线面角的关系，即可求解. 【详解】（1）取中点，连接、，如图所示： ，点是的中点， ， 又是的中点， ， 又在直三棱柱中，有， 平面 ， 平面， 平面，且面，平面平面， ， 平面，且平面， ， 又，且、平面， 平面， 又， 平面， 平面， 面平面. （2）由（1）知平面，则， 设，则，，， ， 由基本不等式知，当且仅当时等号成立，即三棱锥的体积最大， 此时， 以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示： 则有，，，，， ，，， 设平面的一个法向量为， 则有，取，解得， 设直线与平面所成的角为， ， 故直线与平面所成角的正弦值为. 一、填空题 1.（2024上海市洋泾中学高二阶段练习）若、、是空间中的三个向量，，，，且，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】 建立平面直角坐标系，求得点的轨迹，结合圆的知识求得的最小值. 【详解】 设，，，∴，求的最值，、、、在同一平面时，有最值， 如图建系，不妨设，，，中点， 可知，，， ，由可知， 消参可得，即点轨迹为， 点的轨迹是为圆心，半径为的圆. 所以，即． 故答案为： 2．（2025上海交大附中高二期中）已知为半径为的球面上的四点，其中间的球面距离分别为，，，若，其中为球心，则的最大值是__________． 【答案】 【分析】 根据球面距离可求得三边长，利用正弦定理可求得所在小圆的半径；，根据平面向量基本定理可知四点共面，从而将所求问题变为的最大值；根据最小值为球心到所在平面的距离，可求得最小值，代入可求得所求的最大值. 【详解】 间的球面距离为 同理可得： 所在小圆的半径： 设 四点共面 若取最大值，则需取最小值 最小值为球心到所在平面的距离 本题正确结果： 【点睛】 本题考查球面距离、球的性质的应用、平面向量基本定理的应用、正余弦定理解三角形等知识；关键是能够构造出符合平面向量基本定理的形式，从而证得四点共面，将问题转化为半径与球心到小圆面距离的比值的最大值的求解的问题. 3.（2025·上海市张堰中学高二阶段练习）如图,已知正方体的棱长为4,点E、F分别是线段上的动点,点P是上底面内一动点,且满足点P到点F的距离等于点P到平面的距离,则当点P运动时,PE的最小值是__________. 【答案】 【分析】通过题意可知当E,F分别是AB, 上的中点，P为正方形中心时，PE取最小值，利用两点间距离计算即可求出. 【详解】如图建立空间直角坐标系： 设， 则， 点P到F的距离等于点P到平面的距离， ，整理得P点轨迹方程：， 所以P到平面的距离，, 所以，此时P与F共线垂直, 又 当E,F分别是AB, 上的中点，P为正方形中心时，PE取最小值， 此时，. 故答案为： 【点睛】本题主要考查了利用空间向量求两点间的距离，及结合图形研究最值问题，属于难题. 5.（2023上海交大附中高二开学考试）如图，棱长为2的正方体中，是棱的中点，点P在侧面内，若垂直于，则的面积的最小值为__________. 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，由，求得，得到，进而求得三角形的面积的最小值，得到答案. 【详解】以D点为空间直角坐标系的原点，以DC所在直线为y轴，以DA所在直线为x轴，以 为z轴，建立空间直角坐标系.则点， 所以. 因为，所以, 因为,所以，所以， 因为B(2，2，0)，所以， 所以 因为，所以当时，. 因为BC⊥BP,所以. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了空间向量的应用，其中解答建立适当的空间直角坐标系，利用向量的坐标表示，以及向量的数量积的运算，求得的最小值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题. 二、选择题 6．（2024上海市控江中学高二期中）如图，平面平面，，，．平面内一点P满足，记直线与平面所成角为，则的最大值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 如图建立空间直角坐标系，令，即可得到、的坐标，设，根据，则，即可得到，再求出平面的法向量，依题意根据正弦函数、正切函数的单调可知，要求的最大值，即可求的最大值，利用空间向量法表示出线面角的正弦值，再根据函数的性质求出的最大值，从而根据同角三角函数的基本关系求出； 【详解】 解：如图以平面为平面，平面为平面，建立如图所示空间直角坐标系，令，则，，显然平面的法向量可以为，设，则，，，因为，所以，即，因为直线与平面所成角为，因为，显然，即，因为与在均单调递增，要求的最大值，即可求的最大值， 所以 ，所以当时，又，所以 故选：A 7.（2025届浙江省“山水联盟”高三下学期开学）如图正四棱锥，为线段上的一个动点，记二面角为，与平面所成的角为，与所成的角为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】以正方形的中心为原点，分别以平行于所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示 取中点，连接.则.连接，则. 设，则. 则. 又， ， . ， ，即. 由题意知都是锐角，. 故选：. 8.（2025届山东省烟台市高三上期末）如图，在正方体中，点在线段上运动，则 （ ） A．直线平面 B．三棱锥的体积为定值 C．异面直线与所成角的取值范围是 D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为 【答案】ABD 【解析】对于选项A,连接,由正方体可得,且平面,则,所以平面,故；同理,连接,易证得,则平面,故A正确； 对于选项B,,因为点在线段上运动,所以,面积为定值,且到平面的距离即为到平面的距离,也为定值,故体积为定值,故B正确； 对于选项C,当点与线段的端点重合时,与所成角取得最小值为,故C错误； 对于选项D,因为直线平面,所以若直线与平面所成角的正弦值最大,则直线与直线所成角的余弦值最大,则运动到中点处,即所成角为,设棱长为1,在中,,故D正确 故选：ABD 9.（2024上海·高二期中）在棱长为1的正方体中，分别为的中点，点在正方体的表面上运动，且满足，则下列说法正确的是（ ） A．点可以是棱的中点 B．线段的最大值为 C．点的轨迹是正方形 D．点轨迹的长度为 【答案】D 【解析】 在正方体中，以点为坐标原点，分别以、、方向为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，根据，确定点的轨迹，在逐项判断，即可得出结果. 【详解】 在正方体中，以点为坐标原点，分别以、、方向为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系， 因为该正方体的棱长为，分别为的中点， 则，，，， 所以，设，则， 因为， 所以，，当时，；当时，； 取，，，， 连接，，，，则，， 所以四边形为矩形， 则，，即，， 又，且平面，平面， 所以平面， 又，，所以为中点，则平面， 所以，为使，必有点平面，又点在正方体的表面上运动， 所以点的轨迹为四边形， 因此点不可能是棱的中点，即A错； 又，，所以，则点的轨迹不是正方形； 且矩形的周长为，故C错，D正确； 因为点为中点，则点为矩形的对角线交点，所以点到点和点的距离相等，且最大，所以线段的最大值为，故B错. 故选：D. 【点睛】 关键点点睛：求解本题的关键在于建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量的方法，由，求出动点轨迹图形，即可求解. 三、解答题 10.(2024年山东高考卷).如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l． （1）证明：l⊥平面PDC； （2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值． 【解析】（1）证明： 在正方形中，， 因为平面，平面， 所以平面， 又因为平面，平面平面， 所以， 因为在四棱锥中，底面是正方形，所以 且平面，所以 因为 所以平面； （2）如图建立空间直角坐标系， 因为，则有， 设，则有， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，所以平面的一个法向量为，则 根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线与平面所成角的正弦值等于，当且仅当时取等号， 所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为. 11.（2024山东青岛·高三开学考试）如图，正方形和所在平面互相垂直，且边长都是1，，，分别为线段，，上的动点，且，平面，记. （1）证明：平面； （2）当的长最小时，求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 （1）因为平面， 且平面，平面平面， 所以， 所以，所以， 所以，所以， 所以， 又因为平面平面， 且平面，平面平面， 所以平面. （2）由（1）知，， ，当且仅当时等号成立， 分别以，，所在的直线为轴，轴，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 设平面的一个法向量为， 因为，， 则，取，得， 设平面的一个法向量为， 因为，， 则，取，得， 所以，则二面角的余弦值为. 12.（2024上海市洋泾中学高二期中）如图，已知是底面边长为1的正四棱柱，为与的交点. (1)设与底面所成角的大小为，异面直线与所成角的大小为，求证：； (2)若点C到平面的距离为，求正四棱柱的高； (3)在（2）的条件下，若平面内存在点P满足P到线段BC的距离与到线段的距离相等，求的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)2 (3) 【分析】 (1)确定与底面所成角的平面角和异面直线与所成角，计算，，由此完成证明，(2)证明平面平面，确定点在平面的射影，解三角形求高，（3）建立空间直角坐标系，求出表达式，再求其最值. (1)∵底面 ∴即与底面所成角 设正四棱柱的高为 则. ∵，∴即异面直线与所成角 在中，∵， ∴上的高为. ∴ 所以，. (2)因为为与的交点，三角形是以为底边的等腰三角形 ∴，又∴，∴平面. 由面面垂直的判定定理可知， 平面平面，且平面平面. 所以，点在平面的射影H在上 ∴，∴ ∵，∴，即. ∴，所以，正四棱柱的高为2. (3)建系，设 ∵平面，∴ ∴即. ∴ 当时，有最大值1，此时，而也取最小值， 所以有最大值，所以有最小值， 最小值为 所以，的最小值为. 13.（2025上海市奉贤区奉城高级中学高二阶段练习）长方体中，，，分别为棱上的动点，且 ， （1）当时，求证：直线平面； （2）当，且的面积取得是大值时，求点B到平面的距离； （3）当时，求从点经此长方体表面到达点最短距离． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）当时，点经此长方体表面到达点最短距离为；当时，点经此长方体表面到达点最短距离为 【分析】 （1）以为原点，建立空间直角坐标系，证得，，利用线面垂直的判定定理可证得； （2）利用基本不等式可求得的面积取得是大值时，分别为棱的中点，再利用等体积法可求得距离. （3）分类讨论沿将长方体展开，；沿将长方体展开，，进而求得距离最小值. 【详解】 （1）如图，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 则，，， ， ， 又，所以直线平面 （2）由，知，则， 当且仅当，即时等号成立，此时分别为棱的中点， 在中，，，， 利用等体积法知，设点B到平面的距离为h， 则，即，解得 所以点B到平面的距离为 （3）沿将长方体展开，如图， 沿将长方体展开，如图， 当时，，此时 当时，，此时 综上，当时，从点经此长方体表面到达点最短距离为 当时，从点经此长方体表面到达点最短距离为 14.（2024上海市行知中学高二期中）在棱长为的正方体中，、分别是棱、上的点，且. （1）当、在何位置时，？ （2）是否存在点、，使面？ （3）当、在何位置时三棱锥的体积取得最大值？并求此时二面角的大小. 【答案】（1）无论E、F在何位置均有（2）不存在点E、F，使A1C⊥面C1EF,详见解析（3）E、F分别为BC、CD的中点时，三棱锥C1—CEF的体积最大，此时二面角的大小为 【分析】(1) 以A为原点，以、、为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，然后利用向量数量积为0,可以证明; (2)利用且无解,可知不存在点E、F，使A1C⊥面C1EF； (3) 连接AC交EF于G，则AC⊥EF，由三垂线定理知：C1G⊥EF∴是二面角的平面角,然后计算可得. 【详解】（1）以A为原点，以、、为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 设BE=x，则有： 因此，无论E、F在何位置均有. （2） 若A1C⊥面C1EF，则且, 所以得矛盾， 故不存在点E、F，使A1C⊥面C1EF； （3） ,(当且仅当,即时等号成立),. 当时，三棱锥C1—CEF的体积最大， 这时，E、F分别为BC、CD的中点. 连接AC交EF于G，则AC⊥EF，由三垂线定理知：C1G⊥EF ∴是二面角的平面角, ∴所求二面角大小为. 【点睛】本题考查了用向量数量积为0证明两直线垂直,用基本不等式求体积的最大值以及二面角的求法,属于中档题. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-26学年高二数选择性必修第一册同步培优讲义【精英班课程】 重难点02 空间向量中的最值与范围问题 解决立体几何中的最值问题常用方法 1、建立函数法：很多情况下，我们都是把这类动态问题转化为目标函数，最终利用代数方法求目标函数的最值。解题途径很多，在函数建成后，可用一次函数的端点法；二次函数的配方法、公式法；有界函数界值法（如三角函数等）。 2、公理与定义法：通常以公理与定义作为依据，直接推理问题的最大值与最小值，一般的公理与定理有：两点之间以线段为最短；分居在两异面直线上的两点的连线段中，以它们的共垂线短等。如果利用函数关系求之比较困难，而运用两异面直线共垂线段最短则是解决问题的捷径。 3、解不等式法：在立体几何中同样可利用不等式的性质和一些变量的特殊不等关系求解。 如：、、最小角定理所建立的不等关系等。 4、展开图法：它可将几何体表面展开，也可将几何体内部的某些满足条件的部分面展开成平面，这样能使求解问题，变得十分只管，由难化易。 5、变量分析法：透过现象看本质，在几何体重的点、线、面，哪些在动，哪些不懂，要分析透彻，明白它们之间的相互关系，从而转化成求某些线段或角等一些量的求解最值问题的方法。 题型一、 数量积的最值范围 【例1】如图，已知正方体的棱长为，点是四边形的内切圆上一点，为四边形的中心，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.如图所示，在棱长为1的正方形中，点P是的中点，点M，N是矩形内（包括边界）的任意两点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． ． 2.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在如图所示的鳖臑中，平面，，，E是BC的中点，H是内的动点（含边界），且平面，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，为圆的直径，为圆上的点，则的最大值为（ ） A．4 B． C．5 D． 4.在四面体中，，，，若与互余，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 5.正四面体的棱长为2，是它内切球的一条弦（把球面上任意2个点之间的线段称为球的弦），为正四面体表面上的动点，当弦最长时，的最大值为（    ） A． B． C． D． ，    题型二、模或长度的最值范围 【例2】已知是棱长为1的正四面体．若点满足，其中，则的最小值为（    ） A． B．1 C．0 D． 【例3】在正四面体中，，点满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.已知正方体的棱长为2，点E为的中点，过B，E，三点的平面截该正方体所得的截面记为，若，则线段长度的最小值为______． 2.如图，在直三棱柱中，，已知与分别为和的中点， 与分别为线和上的动点（不包括端点），若 、则线段长度的取值范围为（    ） A．[) B．[ ] C．[) D．[] 3.在长方体中， ，点在棱上，且，点在方形内．若直线与所成的角等于直线与所成的角，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 4.如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，DC＝2，DA＝DD1＝1，点M、N分别为A1D和CD1上的动点，若MN∥平面AA1C1C，则MN的最小值为（ ） A． B． C． D． 题型三、 空间距离的最值范围 【例4】如图，已知正方体的棱长为1，则线段上的动点P到直线的距离的最小值为______ 【跟踪训练】 1.已知四边形是边长为1的正方形，半径为1的圆所在平面与平面垂直，点是圆上异于的任一点，当点到平面的距离最大时四面体的体积为 ． 2.如图1，在等腰梯形中，，沿将折成，如图2所示，连接，得到四棱锥. (1)若平面平面，求证： ； (2)若点是的中点，求点到直线的距离的取值范围. 3.棱长为的正方体中，分别是平面和平面内动点， ，则的最小值为 题型四、空间角的最值范围 【例5】正三棱柱的所有棱长均相等，E，F分别是棱上的两个动点，且，则异面直线BE与AF夹角余弦的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【例】在中，，．若空间点满足，则直线与平面所成角的正切的最大值为 . 【例6】如图，在三棱锥中，的中点为.    (1)证明：直线平面； (2)若，当直线与平面所成的角最大时，求三棱锥的体积.       【跟踪训练】 1.在四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面为中点. (1)如果与平面所成的线面角为，求证：平面. (2)当与平面所成角的正弦值最大时，求三棱锥的体积. 2.已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的动点，． (1)证明：平面； (2)当为何值时，平面与平面所成的夹角最小？ 题型五、面积的最值范围 【例7】如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，已知Q是四边形ABCD内部一点（包括边界），且二面角的平面角大小为，则面积的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.如图，正方体的棱长为2，点为底面的中心，点在侧面的边界及其内部运动.若，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 2.如图，在四棱锥中，PA⊥平面ABCD，BCAD，，，已知Q是四边形ABCD内部一点，且平面QPD与平面APD的夹角为，则的面积的取值范围是 . 3.棱长为2的正方体中，是棱的中点，点在侧面内，若垂直于，则的面积的最小值为（ ） A． B． C． D．1 题型六、体积的最值范围 【例8】如图，四边形是圆柱的轴截面，点是母线的中点，圆柱底面半径. (1)求证：平面； (2)当三棱锥的体积最大时，求平面与平面夹角的余弦值. ， ， 【跟踪训练】 1.已知棱长为1的正方体为的中点，点为四边形及其内部任意一点，若，则三棱锥体积的取值范围是 ． 2.正方体的棱长为2，底面内（含边界）的动点到直线的距离与到平面的距离相等，则三棱锥体积的取值范围为 . 3.如图，在直三棱柱中，，点D是的中点，点E在上，平面. (1)求证：平面平面； (2)当三棱锥的体积最大时，求直线与平面所成角的正弦值. 一、填空题 1.（2024上海市洋泾中学高二阶段练习）若、、是空间中的三个向量，，，，且，则的最小值为___________． 2．（2025上海交大附中高二期中）已知为半径为的球面上的四点，其中间的球面距离分别为，，，若，其中为球心，则的最大值是__________． 3.（2025·上海市张堰中学高二阶段练习）如图,已知正方体的棱长为4,点E、F分别是线段上的动点,点P是上底面内一动点,且满足点P到点F的距离等于点P到平面的距离,则当点P运动时,PE的最小值是__________. 5.（2023上海交大附中高二开学考试）如图，棱长为2的正方体中，是棱的中点，点P在侧面内，若垂直于，则的面积的最小值为__________. 二、选择题 6．（2024上海市控江中学高二期中）如图，平面平面，，，．平面内一点P满足，记直线与平面所成角为，则的最大值是（ ） A． B． C． D． 7.（2025届浙江省“山水联盟”高三下学期开学）如图正四棱锥，为线段上的一个动点，记二面角为，与平面所成的角为，与所成的角为，则（ ） A． B． C． D． ， 8.（2025届山东省烟台市高三上期末）如图，在正方体中，点在线段上运动，则 （ ） A．直线平面 B．三棱锥的体积为定值 C．异面直线与所成角的取值范围是 D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为 9.（2024上海·高二期中）在棱长为1的正方体中，分别为的中点，点在正方体的表面上运动，且满足，则下列说法正确的是（ ） A．点可以是棱的中点 B．线段的最大值为 C．点的轨迹是正方形 D．点轨迹的长度为 三、解答题 10.(2024年山东高考卷).如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l． （1）证明：l⊥平面PDC； （2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值． 11.（2024山东青岛·高三开学考试）如图，正方形和所在平面互相垂直，且边长都是1，，，分别为线段，，上的动点，且，平面，记. （1）证明：平面； （2）当的长最小时，求二面角的余弦值. 12.（2024上海市洋泾中学高二期中）如图，已知是底面边长为1的正四棱柱，为与的交点. (1)设与底面所成角的大小为，异面直线与所成角的大小为，求证：； (2)若点C到平面的距离为，求正四棱柱的高； (3)在（2）的条件下，若平面内存在点P满足P到线段BC的距离与到线段的距离相等，求的最小值. 13.（2025上海市奉贤区奉城高级中学高二阶段练习）长方体中，，，分别为棱上的动点，且 ， （1）当时，求证：直线平面； （2）当，且的面积取得是大值时，求点B到平面的距离； （3）当时，求从点经此长方体表面到达点最短距离． ， ， 14.（2024上海市行知中学高二期中）在棱长为的正方体中，、分别是棱、上的点，且. （1）当、在何位置时，？ （2）是否存在点、，使面？ （3）当、在何位置时三棱锥的体积取得最大值？并求此时二面角的大小. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $