02：圆中的最值与范围问题重难点讲义-2024-2025学年高二上学期数学沪教版（2020）选择性必修第一册

2024-2025学年高二数学重难点讲与练（培优课程） 专题02 圆中的最值与范围问题 题型一：斜率型最值与范围 【例1】（2023复兴高级中学月考）若实数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 【例2】（2023·淮阴中学专题练习）已知点在圆上运动，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【例3】（2024闵行中学高三阶段练习）若在圆上运动，则的最大值为 ； 【例4】（2024大同中学期末）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型二：截距型最值与范围 【例5】已知实数x，y满足方程，则的最小值是 ． 【例6】（2022春•浦东新区校级期末）实数（x，y）满足x2+（y﹣2）2＝1，则x﹣2y的取值范围是 　　． 【例7】（2022春•杨浦区校级期中）已知点P（x，y）在圆x2+（y﹣1）2＝1上运动． （1）求的取值范围； （2）求2x+y的取值范围． 题型三：距离型最值与范围 【例8】（2021·上海市进才中学高三期中）已知动圆经过原点，则动圆上的点到直线距离的最大值是___________. 【标准答案】 【例9】已知为圆上任意一点．则的最大值为 【例10】已知实数，满足，则的取值范围为 ． 【例11】（2022·上海虹口·二模）设，，三条直线：，：，：，则与的交点到的距离的最大值为_________． 【例12】（2023上海复旦附中高三月考）是直线上的一个动点，是圆上的两点，若均与圆相切，则弦长的最小值为 ． 【例13】．（2021·上海·高三专题练习）过直线上任意点向圆作两条切线，切点分别为，线段AB的中点为，则点到直线的距离的取值范围为______． 【例14】（2024上海中学期中）已知，为圆：上两点，且，点在直线：上，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【例15】已知圆，点. (1)求过点G并与圆C相切的直线方程； (2)设P为圆C上任意一点，线段AB在x轴上运动（A在B左边），且，求的最小值. 【例16】已知圆． (1)若圆C上恰有三个点到直线l（斜率存在）的距离为1，且l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程； (2)点P为直线上的动点，点M为圆C上的动点． ①若直线PM与圆C相切，求的最小值； ②若O为坐标原点，求的最小值． 题型四：周长面积型最值与范围 【例17】已知圆，点M为直线上一个动点，过点M作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则四边形周长的最小值为（    ） A．8 B． C． D． 【例18】若P是直线上一动点，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则四边形面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例19】已知圆心在直线上且过点的圆与直线相切，其半径小于5，若圆与圆关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)过直线上一点作圆的切线，切点为，求四边形面积的最小值及此时直线的方程. 题型五：数量积型最值与范围 【例20】已知直线交于不同的、两点，． (1)求直线的方程； (2)若为上一动点，求的最小值． 【例21】已知正方形ABCD的边长为2，以B为圆心的圆与直线AC相切．若点P是圆B上的动点，则的最大值是________． 题型六：坐标与角度型最值与范围 【例22】过直线上的一点P向圆作两条切线．设与的夹角为θ，则的最大值为 ． 【例23】（2023秋•宝山区校级期中）已知圆C：(x﹣1)2+y2=1，点P(x0，y0)在直线x﹣y+1=0上运动.若C上存在点Q，使∠CPQ=30°，则x0的取值范围是 . 【例24】（2023秋•宝山区校级期中）已知，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【例25】（2023秋•宝山区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数图象上，且满足x1x2+y1y2＝﹣2，则x1+x2+y1+y2的取值范围是　[]　． 题型七：长度型最值与范围 【例26】若圆关于直线对称，由点向圆C作切线，切点为A，则的最小值是（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【例27】（2023普陀晋元高级中学期末）已知为圆上的两点，且，设为弦的中点，则的最大值为 . 【例28】（2023·上海静安·高二期末）已知实数满足，，则的最大值为 . 【例29】（2023·上海市进才中学高二期中）已知直线与圆交于，两点，则弦长的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【例30】过直线上一点P作⊙M：的两条切线，切点分别为A，B，若使得的点P有两个，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C．或 D．或 【例31】在平面直角坐标系中，点，若圆上存在点满足，则的取值范围是 . 【例32】实数x、y满足x2+y2＝1时，|x+2y﹣a|+|a+6﹣x﹣2y|的取值与x、y均无关，则实数a的取值范围是　　． 【例33】若对圆上任意一点，的取值与x，y无关，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学重难点讲与练（培优课程） 专题02 圆中的最值与范围问题 题型一：斜率型最值与范围 【例1】（2023复兴高级中学月考）若实数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】设，当直线与圆相切时取得最值，然后可建立方程求解. 【解析】由可得，其表示的是圆心在，半径为的圆， 设，其表示的是点与点连线的斜率， 由可得， 当直线与圆相切时取得最值， 此时有，解得， 所以的最大值为， 故选：B 【例2】（2023·淮阴中学专题练习）已知点在圆上运动，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】看作圆上的点到点的直线的斜率的相反数. 当经过点的直线与上半圆相切时，切线斜率最小， 设切线方程为，所以圆心到切线的距离等于半径，故，解得 故当时，切线斜率最小，此时最大，最大值为， 故选：C 【例3】（2024闵行中学高三阶段练习）若在圆上运动，则的最大值为 ； 【答案】/ 【解析】设，可得， 又因为点在圆上运动，则直线与圆有公共点， 且圆心坐标为，半径为， 由点到直线的距离公式可得，整理可得，解得. 因此，的最大值为. 故答案为：. 【点评】本题主要考查圆的方程及其应用，圆中的最值与范围问题等知识，属于中等题． 【例4】（2024大同中学期末）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】可得曲线表示以为圆心，2为半径的圆的左半圆，直线过定点，化出图形，数形结合可求. 【解析】由整理可得，且， 故曲线表示以为圆心，2为半径的圆的左半圆， 直线过定点， 由图可知，且， 则要使直线与曲线有两个交点，满足， 故k的取值范围是. 故选：D. 题型二：截距型最值与范围 【例5】已知实数x，y满足方程，则的最小值是 ． 【答案】 【解析】由，得， 它表示以为圆心，1为半径的圆． 设，即， 当与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值． 由，得. 故的最小值为. 故答案为： 【例6】（2022春•浦东新区校级期末）实数（x，y）满足x2+（y﹣2）2＝1，则x﹣2y的取值范围是 　　． 【分析】根据题意可利用圆的参数方程，将所求的式子的最值问题转化为三角函数的最值问题求解即可． 【解答】解：因为实数（x，y）满足x2+（y﹣2）2＝1， 可设x＝cosθ，y＝2+sinθ，θ∈[0，2π]， 所以x﹣2y＝cosθ﹣2（2+sinθ）＝﹣2sinθ+cosθ﹣4＝sin（θ+φ）﹣4，其中tanφ＝﹣， 当sin（θ+φ）＝1时，（x﹣2y）有最大值为﹣4， 当sin（θ+φ）＝﹣1时，（x﹣2y）有最小值为﹣﹣4， 所以x﹣2y的取值范围是[﹣﹣4，﹣4]， 故答案为：[﹣﹣4，﹣4]． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，利用圆的参数方程转化为三角函数求最值是解题关键，属于中档题． 【例7】（2022春•杨浦区校级期中）已知点P（x，y）在圆x2+（y﹣1）2＝1上运动． （1）求的取值范围； （2）求2x+y的取值范围． 【分析】（1）从斜率角度考虑，可看作圆x2+（y﹣1）2＝1上的点P（x，y）与点A（2，1）连线的斜率，数形结合，利用点到直线距离公式进行求解； （2）设z＝2x+y，数形结合，利用点到直线距离公式求解出z的取值范围． 【解答】解：（1）可看作圆x2+（y﹣1）2＝1上的点P（x，y）与点A（2，1）连线的斜率， 从图中可看出，直线所求的斜率位于直线AB与AC之间， 设直线为y﹣1＝k（x﹣2）， 则圆心到直线距离，解得：， 所以的取值范围为． （2）设z＝2x+y，z表示直线与y轴交点的纵坐标，则画出图象如下： 则圆心D（0，1）到直线z＝2x+y的距离，解得：或，故2x+y的取值范围为． 题型三：距离型最值与范围 【例8】（2021·上海市进才中学高三期中）已知动圆经过原点，则动圆上的点到直线距离的最大值是___________. 【标准答案】 【思路指引】 根据原点在圆上，可得，计算圆心到直线的距离，然后利用三角换元进行计算即可. 【详解详析】 由题可知：原点在圆上，所以 圆心到直线的距离为 令 所以 当时， 所以动圆上的点到直线距离的最大值是 故答案为： 【例9】已知为圆上任意一点．则的最大值为 【答案】/ 【解析】圆即， 故圆心，半径为， 又表示圆C上的点M到点的距离， 故其最大值为， 故答案为： 【例10】已知实数，满足，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】依题意可得，其中表示圆上的点与定点的距离的平方，求出圆心的坐标，即可求出，从而求出的取值范围，即可求出的取值范围，即可得解. 【详解】解：因为， 又实数，满足， 所以点在以为圆心，半径的圆上， 又表示圆上的点与定点的距离的平方， 因为，所以， 即，所以， 所以， 所以，即. 故答案为： 【例11】（2022·上海虹口·二模）设，，三条直线：，：，：，则与的交点到的距离的最大值为_________． 【答案】【解析】因为，所以， 而直线：即过定点， ：即过定点， 所以与的交点在以为直径的圆上， 圆方程为，即， 所以到的距离的最大值为． 故答案为：． 【例12】（2023上海复旦附中高三月考）是直线上的一个动点，是圆上的两点，若均与圆相切，则弦长的最小值为 ． 【答案】 【分析】由题意结合等面积法可知，由此可知只需求的最小值即可，结合点到直线的距离公式即可得解. 【解析】因为，所以， 当的长最小时，弦长最小， 而的最小值为圆心（即原点）到直线的距离， 所以，所以． 故答案为：. 【例13】．（2021·上海·高三专题练习）过直线上任意点向圆作两条切线，切点分别为，线段AB的中点为，则点到直线的距离的取值范围为______． 【答案】 【分析】设P（t，2﹣t），可得过O、A、P、B的圆的方程与已知圆的方程相减可得AB的方程，进而联立直线方程解方程组可得中点Q的坐标，由点Q到直线的距离公式和不等式的性质可得． 【详解】∵点为直线上的任意一点，∴可设， 则过的圆的方程为， 化简可得， 与已知圆的方程相减可得的方程为， 由直线的方程为， 联立两直线方程可解得，， 故线段的中点， ∴点到直线的距离， ∵，∴， ∴，∴， ∴，即 故答案为 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆的相交弦和点到直线的距离公式，以及不等式求函数的值域，属中档题． 【例14】（2024上海中学期中）已知，为圆：上两点，且，点在直线：上，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设线段的中点为， 圆的圆心为，半径为． 到直线的距离为， 所以，故点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，设点的轨迹为圆， 圆上的点到直线的最短距离为． 所以． 故选：A 【例15】已知圆，点. (1)求过点G并与圆C相切的直线方程； (2)设P为圆C上任意一点，线段AB在x轴上运动（A在B左边），且，求的最小值. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）设切线方程为，利用点到直线的距离等于圆的半径可得答案； （2）的最小值可转化为到圆心的距离减去半径的最小值，所求的最小值即求的最小值，设，则，由，转化为到和的距离的最小值减去1，结合图象可得答案. 【解析】（1）圆， 由已知过点的切线的斜率存在，设其切线方程为， 所以圆心到切线的距离为，解得或， 所以切线方程为或， 即或. （2） 的最小值可转化为到圆心的距离减去半径的最小值， 所以求即求的最小值， 设，则， 所以， 可看作到和的距离的最小值减去1， 取点关于原点对称的点，连接， 此时的长度最小即最小，且， 所以的最小值为， 此时直线的方程为，即. 【例16】已知圆． (1)若圆C上恰有三个点到直线l（斜率存在）的距离为1，且l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程； (2)点P为直线上的动点，点M为圆C上的动点． ①若直线PM与圆C相切，求的最小值； ②若O为坐标原点，求的最小值． 【答案】(1)或或 (2)①；② 【分析】（1）首先将圆的方程配成标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线l的距离为l，再分直线l在两坐标轴上的截距为零且斜率存在时，直线l在两坐标轴上的截距不为零两种情况讨论，分别求出直线方程即可． （2）①依题意，所以当最小时最小，再利用点到直线的距离公式求出的最小值，从而得解； ②首先求出原点关于直线的对称点的坐标，再根据，可得当点C，P，共线时，最小，从而求出最小值． (1) 解：圆C的标准方程为，则C的圆心为，半径为2． 因为圆C上恰有三个点到直线l的距离为1，所以圆心到直线l的距离为l． ①当直线l在两坐标轴上的截距为零且斜率存在时，设直线l的方程为， 所以圆心到直线l的距离为，即，所以． ②当直线l在两坐标轴上的截距不为零时，设直线l的方程为，所以圆心到直线l的距离为，即，解得或． 所以或． 综上所述，直线l的方程为或或． (2) 解：①因为直线PM与圆C相切，所以，所以当最小时最小， 而当PC与直线垂直时，最小， 即， 故． ②记O关于直线的对称点为， 由得即． 因为， 所以当点C，P，共线时，最小． 故． 题型四：周长面积型最值与范围 【例17】已知圆，点M为直线上一个动点，过点M作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则四边形周长的最小值为（    ） A．8 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的切线性质，结合点到直线的距离公式进行求解即可. 【解析】圆的圆心坐标为，半径为， 因为过点M作圆C的两条切线，切点分别为A，B， 所以有，， 因此有， 要想四边形周长最小，只需最小，即当时， 此时，此时， 即最小值为， 故选：A 【点睛】关键点睛：利用圆切线性质是解题的关键. 【例18】若P是直线上一动点，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则四边形面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】四边形面积等于，所以当最小时，四边形面积最小，的最小值为圆心到直线的距离，从而歌曲求得答案 【解析】由题意可得圆的圆心为，半径为2， 因为与圆相切， 所以四边形面积等于， 的最小值为圆心到直线的距离， 所以四边形面积的最小值为， 故选：C    【例19】已知圆心在直线上且过点的圆与直线相切，其半径小于5，若圆与圆关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)过直线上一点作圆的切线，切点为，求四边形面积的最小值及此时直线的方程. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据题意，设，列出方程组求得，求得圆，再利用点关于直线的对称，求得圆的圆心坐标，即可求得圆的方程； （2）根据题意求得，当时，取得最小值，得到，确定的以为直径的圆的方程，结合圆的方程，两式相减求得公共弦的方程即可. 【解析】（1）由题意，圆心在直线上，可设， 因为圆过点，且与直线相切， 可得，整理得， 因为圆的半径小于5，所以，即，且半径 所以圆的方程为， 设圆，因为圆与圆关于直线对称， 可得，解得，所以圆的方程为． （2）圆，可得， 则四边形的面积， 设，因为， 所以当时，， 此时四边形的面积最小，最小值为，且； 由，可得以为直径的圆的方程为 因为在以为直径的圆上，且在上，且圆， 两圆的方程相减，可得直线的方程为 题型五：数量积型最值与范围 【例20】已知直线交于不同的、两点，． (1)求直线的方程； (2)若为上一动点，求的最小值． 【解析】（1）圆心为，圆心到直线的距离为， 由题意可知，圆的半径为， 由勾股定理可得，即，整理可得，解得， 因此，直线的方程为，即. （2）设线段的中点为，由垂径定理可知， 且， ， 因为，则， 所以，直线的方程为，即， 联立，解得，即点， 则， 所以，， 当且仅当点为线段与圆的交点时，等号成立， 所以，， 故的最小值为． 【例21】已知正方形ABCD的边长为2，以B为圆心的圆与直线AC相切．若点P是圆B上的动点，则的最大值是________． 【答案】8 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，易知圆半径为，圆方程为， 设，则， ， 设，则，代入圆方程并整理得，此方程有实数解， 所以，，所以的最大值是2， 所以的最大值是8． 故答案为：8． 题型六：坐标与角度型最值与范围 【例22】过直线上的一点P向圆作两条切线．设与的夹角为θ，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】由题可得圆心为，半径为2，设与圆切于，根据圆的性质结合条件可得，进而即得. 【详解】由，可得圆心为，半径为2， 设与圆切于，则， 在中，，， 又到直线的距离为， 所以，， 所以的最大值为，即的最大值为. 故答案为：. 【例23】（2023秋•宝山区校级期中）已知圆C：(x﹣1)2+y2=1，点P(x0，y0)在直线x﹣y+1=0上运动.若C上存在点Q，使∠CPQ=30°，则x0的取值范围是 . 【答案】 【解析】 如图圆，在直线上， 若圆存在点，使得， 当在直线上运动，极端情况，与圆相切，. 在中，，所以. 所以以为圆心，为半径的圆与直线交于，两点. 符合条件的点在线段之间. 所以或. 故的取值范围为. 故答案为： 【例24】（2023秋•宝山区校级期中）已知，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】点在圆上，, 则， 如图，当与圆相切时，取得最小值，所以，此时点. 故选：C 【例25】（2023秋•宝山区校级期中）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数图象上，且满足x1x2+y1y2＝﹣2，则x1+x2+y1+y2的取值范围是　[]　． 【分析】由函数可得A，B在x轴的上方，由数量积的值可得∠AOB的大小，设A，B的坐标，再由角的范围及函数的单调性，求出x1+x2+y1+y2的取值范围． 【解答】解：函数即圆x2+y2＝4的上半圆，且， ，所以， 即，不妨设A在B的右边， 并设，其中， 所以 ＝ ＝， 其中，φ为锐角，且， 所以，于是sin（α﹣φ）在上单调， 所以． 故答案为：[﹣1，+1]． 【点评】本题考查直线和圆的方程的应用，三角函数的图象与性质，属于中档题． 题型七：长度型最值与范围 【例26】若圆关于直线对称，由点向圆C作切线，切点为A，则的最小值是（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】首先根据题意得到，再利用圆的性质求解即可. 【解析】由题意知，直线过圆心，即， 化简得在上， 如图，为使最小， 只需圆心与直线上的点的距离最小， 如图所示： 所以的最小值为， 故选：B 【例27】（2023普陀晋元高级中学期末）已知为圆上的两点，且，设为弦的中点，则的最大值为 . 【答案】15 【解析】注意到， 则，又， 则，又由垂径定理可知，，则. 故P点轨迹是以M为圆心，半径为1的圆. 注意到，表示P到直线距离的5倍，又圆上一点到距离的最大值为：， 则的最大值为15. 故答案为：15 【例28】（2023·上海静安·高二期末）已知实数满足，，则的最大值为 . 【答案】/ 【解析】设圆，直线，，， 则，都在圆上， ∵， ， ∴△MON是等边三角形，∴． 表示和到直线的距离和， 由图形得只有当、都在直线的下方时，该距离之和才会取得最大值． 取、的中点，过作，垂足为，则， ∵为等边三角形，为的中点，∴， 则在圆上运动， 则当MN∥l时，到直线距离的最大值为， ∴的最大值为． 故答案为： 【例29】（2023·上海市进才中学高二期中）已知直线与圆交于，两点，则弦长的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由直线，得出直线恒过定点，再结合直线与圆的位置关系，即可求解. 【详解】由直线，可得， 又由，解得，即直线恒过定点，圆心， 当时弦长最短，此时，解得， 再由经过圆心时弦长最长为直径， 所以弦长的取值范围是. 故选D. 【点睛】本题主要考查了直线系方程的应用，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟练利用直线的方程，得出直线恒过定点，再结合直线与圆的位置关系求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 题型八：方程中的参数最值与范围 【例30】过直线上一点P作⊙M：的两条切线，切点分别为A，B，若使得的点P有两个，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】易得，根据题意可得圆心到直线的距离，进而可得出答案. 【解析】⊙M：的圆心，半径， 由，得， 由题意可得圆心到直线的距离， 即，解得. 故选：B. 【例31】在平面直角坐标系中，点，若圆上存在点满足，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】先求P的轨迹方程为圆，利用两圆相有公共点求解. 【解析】设，由，得， 整理得，即， 即点的轨迹为圆，圆心为，半径为2. 因为圆上存在点满足， 所以圆C与圆E有公共点， 所以，解得， 即的取值范围是. 故答案为： 【例32】实数x、y满足x2+y2＝1时，|x+2y﹣a|+|a+6﹣x﹣2y|的取值与x、y均无关，则实数a的取值范围是　　． 【分析】根据x，y满足的表达式可设x＝cosθ，y＝sinθ，进而求出x+2y的范围，再由条件可知x+2y﹣a≥0，且a+6﹣x﹣2y≥0，则可求出a的取值范围． 【解答】解：因为实数x，y满足x2+y2＝1，设x＝cosθ，y＝sinθ， 则x+2y＝cosθ+2sinθ＝，其中α＝arctan2， 所以﹣≤x+2y≤， 因为|x+2y﹣a|+|a+6﹣x﹣2y|的取值与x、y均无关， 所以|x+2y﹣a|+|a+6﹣x﹣2y|＝x+2y﹣a+a+6﹣x﹣2y＝6， 即此时，所以x+2y﹣6≤a≤x+2y， 则≤a≤﹣， 故答案为： 【点评】本题考查了圆的参数方程，涉及绝对值取值范围等知识点，属于中档题． 【例33】若对圆上任意一点，的取值与x，y无关，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】利用几何意义得到要想的取值要想与x，y无关，只需圆位于直线与之间，利用点到直线距离公式列出不等式，求出或，通过检验舍去不合要求的解集. 【解析】可看作点到直线与的距离之和， 要想的取值与x，y无关， 只需圆位于直线与之间， 所以圆心到的距离大于等于半径， 即，解得：或， 当时，与位于圆心的同一侧，不合要求，舍去； 当时，与位于圆心的两侧，满足题意. 故选：D 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$