01：与直线有关的最值范围 新定义问题重难点讲义-2024-2025学年高二上学期数学沪教版（2020）选择性必修第一册

2024-2025学年高二数学重难点讲与练（培优课程） 专题01 与直线有关的最值范围 新定义问题 知识点一、常用距离公式 1、点到点的距离公式：平面内两点，间的距离公式为：． 2、点到直线的距离公式：点到直线的距离． 3、两平行线间的距离：两条平行直线，，它们之间的距离为：． 知识点二、点关于直线的对称 1、实质：轴（直线）是对称点连线段的中垂线． 2、（1）当直线斜率存在时：方法：利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般地：设点关于直线的对称点， 则 （2）当直线斜率不存在时：点关于的对称点为 知识点三、线段和与差的最值问题解题思路 1、定直线的动点到两定点距离和的最小值，直线将其中一点对称，使两点在直线异侧，三点共线最短； 2、定直线的动点到两定点距离差的最大值，直线将其中一点对称，使两点在直线同侧，三点共线最短． 具体如下：三点共线模型(三角形三边的关系) （1）点在直线同侧，点在直线上，则(当点共线时取到)，点是点关于直线的对称点. （2）点在直线同侧，点在直线上，则(当点共线时取到). （3）点在直线异侧，点在直线上，则(当点共线时取到)，点是点关于直线的对称点. 知识点四、斜率型、直线型、距离型 可借助图形性质,利用数形结合求解， （1）形如的式子可转化为动直线斜率的问题. （2）形如的式子可转化为动直线截距的问题. （3）形如的式子可转化为曲线上的点到点的距离平方的问题 题型一 倾斜角与斜率的最值范围 【例1】（2023高二黄浦·期中）直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2】设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（    ） A． B． C． D． 【例3】（2022秋•浦东新区校级月考）设直线的方程为，其倾斜角为． （1）将倾斜角表示成的函数； （2）①若，求的取值范围； ②若，求的取值范围． 【例4】（2024七宝中学高二练习）在线段（包括端点）上运动，已知，，则的取值范围是 . 【例5】一质点在矩形内运动，从的中点沿一确定方向发射该质点，依次由线段、、反射.反射点分别为、、（入射角等于反射角），最后落在线段上的（不包括端点）.若、、和，则的斜率的取值范围是 .    题型二 两点间的距离最值 【例6】设直线，为直线上动点，则的最小值为 ． 【例7】设x，y为实数，则的最小值为（    ） A． B．5 C． D． 【例8】已知实数满足，求函数的最小值． 【例9】（2023下·上海浦东新·高二统考期中）已知动点在直线上，则的最小值为 . 题型三 点到直线的距离最值 【例10】若，则的最小值为. 【例11】已知定点..和直线：，则点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【例12】已知点，直线，则点到直线的距离的取值范围为 　　． 【例13】实数，满足，则点到直线的距离的取值范围是 　　． 题型四 平行线间的距离最值 【例14】（2023春•徐汇区校级期中）若动点，、，分别在直线和上移动，则中点到原点距离的最小值为　　． 【例15】（2023高二上·上海徐汇·期中）若动点A、B分别在直线和上移动，则中点到原点的距离的最小值为 . 【例16】若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为(　　) A．3 B．2 C．3 D．4 【例17】设，已知直线，过点作直线，且，则直线与之间距离的最大值是 . 题型五 线段和与差的最值 【例18】（24-25高二上·上海·期末）在平面直角坐标系中，记第一象限内的动点P为，若点P在直线上，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【例19】已知点在直线：上运动，点，，则的最大值为（   ） A． B．2 C． D．1 【例20】（2023秋•松江区校级期末）已知，分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为 　　． 【例21】函数的最小值是 . 【例22】已知点，，点在轴上，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 【例23】已知两定点、，动点在直线上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例24】在平面直角坐标系中，点，分别是轴、轴上的两个动点，有一定点，则的最小值是（    ）． A．9 B．10 C．11 D．12 【例25】已知点为直线上的动点，，则m的最小值为（    ） A．5 B．6 C． D． 【例26】已知点，在直线和轴上各找一点和，则的周长的最小值为 . 【例27】直线分别交轴和于点，，为直线上一点，则的最大值是 ． 题型六 线段积与面积的最值范围问题 【例28】已知直线（m为任意实数）过定点P，则点P的坐标为 ；若直线与直线，分别交于M点，N点，则的最小值为 ． 【例29】已知直线恒过点，且与轴，轴分别交于 两点，为坐标原点. (1)求点的坐标； (2)当点到直线的距离最大时，求直线的方程； (3)当取得最小值时，求的面积. 【例30】（2024上海市奉贤区奉城高级中学高二期中）已知直线过点，且分别与轴正半轴、轴正半轴交于点、，（为坐标原点） （1）当的面积为时，求直线的一般式方程； （2）当取最小时，求直线的一般式方程. 【例31】（2023秋•徐汇区校级月考）已知直线经过点，且与轴、轴的正半轴分别交于点、点，是坐标原点． （1）当的面积最小时，求直线的一般式方程； （2）当取最小值时，求直线的一般式方程，并求此最小值． 题型七：含参双动直线的最值范围 【例32】设，过定点的动直线和过定点的动直线相交于点不重合），则面积的最大值是（    ） A． B．5 C． D． 【例33】设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是 . 题型八：新定义问题 【例34】已知直角三角形中，，，.点P，Q满足，，X是直线上任意一点，记为的最小值.若，则的最大值为_________. 【例35】 如图，用35个单位正方拼成一个矩形，点以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处.设集合，点，过作直线，使得不在上的“▲”的点分布在的两侧.用和分别表示一侧和另一侧的“▲”的点到的距离之和，若过的直线中有且只有一条满足，则中所有这样的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【例36】若对一个角，存在角满足，则称为的“伴随角”.有以下两个命题： ①若，则必存在两个“伴随角”； ②若，则必不存在“伴随角”； 则下列判断正确的是（    ） A．①正确②正确； B．①正确②错误； C．①错误②正确； D．①错误②错误. 【例37】定义：在平面直角坐标系xOy中，设点P（x1，y1），Q（x2，y2），则d（P，Q）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|叫做P、Q两点的“垂直距离”，已知点M（x0，y0）是直线ax+by+c＝0外一定点，点N是直线ax+by+c＝0上一动点，则M、N两点的“垂直距离”的最小值为（　　） A． B． C． D．|ax0+by0+c| 【例38】人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术.在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.设，则曼哈顿距离，余弦距离，其中（O为坐标原点）.已知点，则的最大值近似等于 .（保留3位小数）（参考数据：.） 【例39】已知点和非零实数，若两条不同的直线，均过点，且斜率之积为，则称直线，是一组“共轭线对”，如直，是一组“共轭线对”，其中是坐标原点． （1）已知点、点和点分别是三条直线，，上的点，，与，，均不重合），且直线，是“共轭线对”，直线，是“共轭线对”，直线，是“共轭线对”，求点的坐标； （2）已知点，直线，是“共轭线对”，当的斜率变化时，求原点到直线，的距离之积的取值范围． 【例40】在平面直角坐标系xOy中，定义，两点间的“直角距离”为 . (1)填空：(直接写出结论) ①若， 则 ； ②到坐标原点的“直角距离”等于1的动点的轨迹方程是 ； ③记到M(-1，0)，N(1，0)两点的“直角距离”之和为4的动点的轨迹为曲线G，则曲线G所围成的封闭图形的面积的值为 ； (2)设点A(1，0)， 点B是直线 上的动点，求ρ(A，B)的最小值及取得最小值时点B的坐标； (3)对平面上给定的两个不同的点，，是否存在点C(x，y)， 同时满足下列两个条件： ①； ② 若存在，求出所有符合条件的点的集合；若不存在，请说明理由. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学重难点讲与练（培优课程） 专题01 与直线有关的最值范围 新定义问题 知识点一、常用距离公式 1、点到点的距离公式：平面内两点，间的距离公式为：． 2、点到直线的距离公式：点到直线的距离． 3、两平行线间的距离：两条平行直线，，它们之间的距离为：． 知识点二、点关于直线的对称 1、实质：轴（直线）是对称点连线段的中垂线． 2、（1）当直线斜率存在时：方法：利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般地：设点关于直线的对称点， 则 （2）当直线斜率不存在时：点关于的对称点为 知识点三、线段和与差的最值问题解题思路 1、定直线的动点到两定点距离和的最小值，直线将其中一点对称，使两点在直线异侧，三点共线最短； 2、定直线的动点到两定点距离差的最大值，直线将其中一点对称，使两点在直线同侧，三点共线最短． 具体如下：三点共线模型(三角形三边的关系) （1）点在直线同侧，点在直线上，则(当点共线时取到)，点是点关于直线的对称点. （2）点在直线同侧，点在直线上，则(当点共线时取到). （3）点在直线异侧，点在直线上，则(当点共线时取到)，点是点关于直线的对称点. 知识点四、斜率型、直线型、距离型 可借助图形性质,利用数形结合求解， （1）形如的式子可转化为动直线斜率的问题. （2）形如的式子可转化为动直线截距的问题. （3）形如的式子可转化为曲线上的点到点的距离平方的问题 题型一 倾斜角与斜率的最值范围 【例1】（2023高二黄浦·期中）直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据倾斜角与斜率的关系求解即可. 【详解】由题意知,若 a = 0  ,则倾斜角为, 若,则, ①当时，(当且仅当时，取“”)， ②当时，(当且仅当时，取“”)， ，故， 综上，， 故选：C. 【例2】设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分和两种情况讨论，结合斜率和倾斜角的关系分析求解. 【解析】当时，方程为，倾斜角为 当时，直线的斜率， 因为，则， 所以； 综上所述：线的倾斜角的范围是. 故选：C． 【例3】（2022秋•浦东新区校级月考）设直线的方程为，其倾斜角为． （1）将倾斜角表示成的函数； （2）①若，求的取值范围； ②若，求的取值范围． 【分析】（1）根据已知条件，分，，三种情况讨论，即可求解． （2）①结合（1）的结论，分分，，三种情况讨论，并取并集，即可求解． ②直线的斜率，根据的取值范围，可求得的取值范围，再结合直线斜率与倾斜角的关系，即可求解． 【解答】解：（1）当时，，当时，直线的斜率 若，则， 当，则， 即． （2）①当时，，故，解得，，显然成立， 当时，，故，解得， 综上所述，的取值范围是． ②已知， 则， 又， 故的范围是． 【点评】本题主要考查直线的倾斜角，考查转化能力，属于中档题． 【例4】（2024七宝中学高二练习）在线段（包括端点）上运动，已知，，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】表示线段上的点与连线的斜率，画出图形，结合图形求解即可 【详解】表示线段上的点与连线的斜率， 因为， 所以由图可知的取值范围是． 故答案为：. 【例5】一质点在矩形内运动，从的中点沿一确定方向发射该质点，依次由线段、、反射.反射点分别为、、（入射角等于反射角），最后落在线段上的（不包括端点）.若、、和，则的斜率的取值范围是 .    【答案】 【分析】根据题意线段，，分别找出点落在线段上的临界位置，即可求解. 【解析】由题意知：，，设，则线段的斜率：， 为使点落在线段上（不包括端点），所以得：当落到点，点时为相应的两种临界位置， 当落到点时： 由题意知：点为的中点，且从点出发又回到点，所以可得：此时位于线段的中点位置， 所以得此时的斜率：； 当落到点时： 点与点重合，如下图所示，设，可得：，且， 所以得：，，， 所以得：，解之得：, 所以此时斜率：， 综上所述：可得的斜率范围为：，即. 故答案为：.    题型二 两点间的距离最值 【例6】设直线，为直线上动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由题意转化为点到直线的距离的平方，即可求解. 【详解】记点，设，则. 要求的最小，只需最小，即为点到直线的距离， 所以， 所以的最小值为. 故答案为：. 【例7】设x，y为实数，则的最小值为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】C 【分析】代数式转化为动点到定点和的距离之和，由两点间距离公式可得． 【解析】由平面内两点间的距离公式知，原式表示动点到定点和的距离之和. 由“两点之间线段最短”知，点在线段上时，取得最小值，最小值为. 故选：C． 【例8】已知实数满足，求函数的最小值． 【答案】最小值是1 【分析】由函数，转化为点与直线上的动点的距离的平方，结合点直线的距离公式，即可求解. 【详解】由题意，函数， 表示点与直线上的动点的距离的平方， 当时，取得最小值，即点到直线距离的平方， 因为，所以的最小值是1. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了点到直线的距离公式及其应用，其中解答中把函数转化为点到直线的距离的平方是解答的关键，着重考查转化思想，以及计算能力. 【例9】（2023下·上海浦东新·高二统考期中）已知动点在直线上，则的最小值为 . 【答案】2 【分析】根据题意可知表示动点到坐标原点，利用点到直线的距离求最小值. 【详解】因为表示动点到坐标原点， 所以的最小值为到线的距离. 故答案为：2. 题型三 点到直线的距离最值 【例10】若，则的最小值为. 【难度】★ 【答案】 【例11】已知定点..和直线：，则点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定直线过定点，故点到直线的距离的最大值为，计算得到答案. 【详解】直线，整理得， 由，解得，故直线过定点 故点到直线的距离的最大值为. 故选：C 【例12】已知点，直线，则点到直线的距离的取值范围为 　　． 【分析】先求出直线经过定点，当点在直线上，点到直线的距离最小为0；和直线垂直时，点到直线的距离最大为，检验最大值取不到，由此求出点到直线的距离的取值范围． 【解答】解：直线，即， 该直线经过 和的交点 2，， 当点在直线上，点到直线的距离最小为0； 当和直线垂直时，点到直线的距离最大为， 此时，直线的方程为：，不存在值，满足此条件， 故点到直线的距离最大取不到， 故点到直线的距离的取值范围为，， 故答案为：，． 【点评】本题主要考查直线系方程的应用，直线经过定点问题，属于中档题． 【例13】实数，满足，则点到直线的距离的取值范围是 　　． 【分析】利用绝对值的定义去掉绝对值，将曲线方程进行分类讨论，得到方程对应的图象，结合图象进行求解即可． 【解答】解：实数，满足， 当且时，则有； 当且时，则有； 当且时，则有（不存在）； 当且时，则有． 作出曲线方程对应的图象如图所示， 设与的距离为，与的距离为，则， 又四分之一个单位圆上的点到直线的距离最大值为，所以， 故点到直线的距离的取值范围是． 故答案为：． 【点评】本题考查了曲线方程的应用，点到直线距离公式的运用，属于中档题． 题型四 平行线间的距离最值 【例14】（2023春•徐汇区校级期中）若动点，、，分别在直线和上移动，则中点到原点距离的最小值为　　． 【分析】根据题意可推断出点的轨迹为平行于直线、且到、距离相等的直线进而根据两直线方程求得的轨迹方程，进而利用点到直线的距离求得原点到直线的距离为线段的中点到原点的距离的最小值为，求得答案． 【解答】解：由题意知，点的轨迹为平行于直线、且到、距离相等的直线，故其方程为， 到原点的距离的最小值为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了两点间的距离公式的应用．考查了数形结合的思想的应用，基本的运算能力． 【例15】（2023高二上·上海徐汇·期中）若动点A、B分别在直线和上移动，则中点到原点的距离的最小值为 . 【答案】 【分析】先求出中点的轨迹，判断为直线，则其到原点的距离的最小值即为原点到该直线的距离. 【详解】设，，中点 由题可知， 所以， 又， 所以 即中点P的轨迹为直线. 则P到原点的距离的最小值即为原点到直线的距离， 故答案为：. 【例16】若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为(　　) A．3 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】先求出点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0，再求出m的值和原点到直线l的距离即得解. 【解析】依题意知AB的中点M的集合为与直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0距离都相等的直线， 则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离． 设点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0， 根据平行线间的距离公式得 所以|m＋7|＝|m＋5|，所以m＝－6， 即l：x＋y－6＝0. 根据点到直线的距离公式得M到原点的距离的最小值为. 故选：A. 【点睛】本题主要考查平行线间的距离和点到直线的距离的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 【例17】设，已知直线，过点作直线，且，则直线与之间距离的最大值是 . 【答案】 【分析】由直线，可得过定点，又知过定点，且，则两直线之间距离的最大值等于两定点之间的距离. 【解析】由直线，得； 令，解得，则直线过定点； 又，且过点，则直线与之间距离的最大值； 故答案为：. 题型五 线段和与差的最值 【例18】（24-25高二上·上海·期末）在平面直角坐标系中，记第一象限内的动点P为，若点P在直线上，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】过点作点关于直线的对称点，则的最小值即为到轴的距离，故可求得最小值. 【详解】如图，过点作点关于直线的对称点，则. 设，则有，解得，所以. 设第一象限内的点，则，所以， 而，，所以点到轴的距离为， 所以可视为线段上的点到轴的距离和到的距离之和. 过作轴，显然有， 当且仅当三点共线时，和有最小值. 过点作轴，则即为的最小值，此时与重合. 又，所以的最小值为. 故选：B. 【例19】已知点在直线：上运动，点，，则的最大值为（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】可以验证点与点关于直线对称，从而，结合三角不等式即可得解. 【详解】 设，注意到点，，所以中点为，满足， 且，所以点关于直线对称， 从而，等号成立当且仅当三点共线， 所以的最大值为. 故选：A. 【例20】（2023秋•松江区校级期末）已知，分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为 　　． 【分析】利用数形结合，找到线段的等量关系进行转化，找到最小值即可得解． 【解答】解：因为，， 所以直线与间的距离为，又，故， 过作直线垂直于，如图， 则可设直线的方程为，代入，得，则， 所以直线的方程， 将沿着直线往上平移个单位到点，设， 则，解得或（舍去），则， 连接交直线于点，过作于，连接， 有，，即四边形为平行四边形， 则，即有， 显然是直线上的点与点，距离和的最小值， 因此的最小值，即的最小值， 而， 所以的最小值为． 故答案为：． 【点评】本题考查了数形结合和线段等量关系的转化思想，属于中档题． 【例21】函数的最小值是 . 【答案】 【分析】由函数的几何意义为点至和的距离之和，结合图形即可求得. 【解析】函数， 即为点至和的距离之和， 点关于轴对称的点为， 所以, 由图形易得最小值为. 故答案为: . 【例22】已知点，，点在轴上，则的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用对称性，结合两点间线段最短进行求解即可. 【解析】点，，点在轴上， 点关系轴的对称点为， . 故选：B. 【例23】已知两定点、，动点在直线上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】作出图形，可知点、在直线的同侧，并求出点关于直线的对称点的坐标，即可得出的最小值为. 【解析】如下图所示： 由图形可知，点、在直线的同侧，且直线的斜率为， 设点关于直线的对称点为点，则， 解得，，即点， 由对称性可知， 故选：D. 【点睛】本题考查位于直线同侧线段和的最小值的计算，一般利用对称思想结合三点共线求得，考查数形结合思想的应用，属于中等题. 【例24】在平面直角坐标系中，点，分别是轴、轴上的两个动点，有一定点，则的最小值是（    ）． A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】依题意，作图，分两类讨论：①当与重合于坐标原点时；②当与不重合时，从而可求得答案． 【解析】依题意，作图如下： 设点关于轴的对称点为，关于轴的对称点为， 则，， 当与重合于坐标原点时，； 当与不重合时，如图，； 当与重合于坐标原点时，取得最小值10． 故选：B． 【例25】已知点为直线上的动点，，则m的最小值为（    ） A．5 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】根据两点之间距离最小结合点关于直线的对称性即可根据两点间距离公式求解. 【解析】表示点到点和点的距离之和．因为点关于直线的对称点为，所以m的最小值为点与点之间的距离，即．此时点为与的交点. 故选：C 【例26】已知点，在直线和轴上各找一点和，则的周长的最小值为 . 【答案】 【分析】根据点关于直线对称的性质进行求解即可. 【解析】设点关于直线的对称点为， 则有， 点关于轴的对称点为，如图所示： 当四点共线时，的周长的最小， 最小值为. 故答案为： 【例27】直线分别交轴和于点，，为直线上一点，则的最大值是 ． 【答案】. 【分析】根据题意，得到，求得关于直线的对称点为，结合，结合当且仅当三点共线时，等号成立，即可求解. 【详解】由直线分别交轴和于点，可得， 如图所示，设点关于直线的对称点为， 则，解得，即， 又由，即，则， 当且仅当三点共线时，等号成立， 即的最大值为，即的最大值为. 故答案为：.    题型六 线段积与面积的最值范围问题 【例28】已知直线（m为任意实数）过定点P，则点P的坐标为 ；若直线与直线，分别交于M点，N点，则的最小值为 ． 【答案】 42 【分析】利用直线方程变换主元计算可得定点；设直线方程计算M、N坐标，再由两点距离公式及基本不等式计算即可. 【解析】直线， 联立，解得，，故； 易知直线的斜率存在且不为0， 设直线， 令，得； 令，得， 则，， 故， 当且仅当，即时等号成立． 故答案为：， 【例29】已知直线恒过点，且与轴，轴分别交于 两点，为坐标原点. (1)求点的坐标； (2)当点到直线的距离最大时，求直线的方程； (3)当取得最小值时，求的面积. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）把直线的方程可化为，联立方程组，即可求解； （2）当时，点到直线的距离最大，结合，求得，即可求得直线的方程； （3）分别求得和，得到，结合基本不等式，得到，分类讨论，即可求得的面积. 【解析】（1）解：直线的方程可化为， 令，解得，即点的坐标为. （2）解：当时，点到直线的距离最大， 此时直线的斜率与直线的斜率满足， 因为，所以，即， 所以直线的方程为，即. （3）解：令，可得，所以； 令，可得，所以，且， 可得， 所以 当且仅当时，等号成立， 当时，直线的方程为，此时， 可得的面积为； 当时，直线的方程为，此时， 可得的面积为， 综上可得，的面积为或 【例30】（2024上海市奉贤区奉城高级中学高二期中）已知直线过点，且分别与轴正半轴、轴正半轴交于点、，（为坐标原点） （1）当的面积为时，求直线的一般式方程； （2）当取最小时，求直线的一般式方程. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）设直线的截距式方程，结合三角形面积公式即可得解； （2）设直线的方程为，表示出点、，进而可得，表示出后结合基本不等式即可得解. 【详解】（1）由题意，设直线的方程为， 则，所以， 又直线过点，所以，所以， 所以直线的方程为即； （2）设直线的方程为，则，， 所以，， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以当取最小时，（正值舍去）， 此时直线方程为即. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是设出合理的直线方程，结合两点间距离公式及基本不等式运算即可得解. 【例31】（2023秋•徐汇区校级月考）已知直线经过点，且与轴、轴的正半轴分别交于点、点，是坐标原点． （1）当的面积最小时，求直线的一般式方程； （2）当取最小值时，求直线的一般式方程，并求此最小值． 【分析】（1）设出直线的截距式方程，代入点的坐标，得到，结合基本不等式求出面积最值，得到的方程； （2）表达出，得到，，由基本不等式得到的最小值，得到，得到直线方程， 【解答】解：（1）设的方程为， 由直线过得， 由基本不等式得：，即，解得：， 当且仅当，时取等号，此时的方程为，即； （2）因为直线与轴、轴的正半轴分别交于点、点， 所以直线的斜率存在， 可设直线的方程为， 所以，，所以，， 所以， 当且仅当时取等号，此时， 此时直线的方程为，的最小值为4． 【点评】本题主要考查直线的一般式方程与直线的性质，属于中档题． 题型七：含参双动直线的最值范围 【例32】设，过定点的动直线和过定点的动直线相交于点不重合），则面积的最大值是（    ） A． B．5 C． D． 【答案】D 【分析】由题意结合直线位置关系的判断可得两直线互相垂直，由直线过定点可得定点与定点，进而可得，再利用基本不等式及三角形面积公式即得． 【详解】由题意直线过定点， 直线可变为，所以该直线过定点， 所以， 又， 所以直线与直线互相垂直， 所以， 所以即， 当且仅当时取等号, 所以，，即面积的最大值是. 故选：D. 【例33】设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是 . 【答案】 【解析】由直线过定点可得，的坐标，由直线垂直的性质判断两直线垂直，可得，三角换元后，由辅助角公式结合三角函数的有界性可得的最大值． 【详解】由题意可得动直线过定点， 直线可化为，过定点. 又，故两直线垂直，交点为P， ， 设，则，. 且，可得， ， ，，当时，取得最大值为， 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种：①化成的形式利用配方法求最值；②形如的可化为的形式利用三角函数有界性求最值；③型，可化为求最值 . 题型八：新定义问题 【例34】已知直角三角形中，，，.点P，Q满足，，X是直线上任意一点，记为的最小值.若，则的最大值为_________. 【答案】 【分析】 依题意建立平面直角坐标系，可得，，表示出直线，利用点到直线的距离公式表示出，再根据二次函数的性质计算可得； 【解析】 解：如图建立平面直角坐标系，因为， 显然与都不为， 所以，，所以：，即， 因为X是直线上任意一点，记为的最小值，则即为点到直线的距离，所以，因为， 所以 当时 故答案为： 【点睛】 本题考查点到直线的距离公式的应用，考查转化思想，属于中档题. 【例35】 如图，用35个单位正方拼成一个矩形，点以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处.设集合，点，过作直线，使得不在上的“▲”的点分布在的两侧.用和分别表示一侧和另一侧的“▲”的点到的距离之和，若过的直线中有且只有一条满足，则中所有这样的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】建立平面直角坐标系，将“▲”代表的四个点坐标写出，再利用平行四边形的性质即可. 【解析】建立平面直角坐标系，如图所示 则记为“▲”的四个点是， 线段的中点分别为， 易知四边形为平行四边形，设其对角线交于， 则. 由此求得与点重合， 根据平行四边形的中心对称性可知，符合条件的直线一定经过点. 而过点和的直线有且仅有一条；过点和的直线有且仅有一条； 过点和的直线有且仅有一条. 所以符合条件的点是，故3个. 故选：D. 【例36】若对一个角，存在角满足，则称为的“伴随角”.有以下两个命题： ①若，则必存在两个“伴随角”； ②若，则必不存在“伴随角”； 则下列判断正确的是（    ） A．①正确②正确； B．①正确②错误； C．①错误②正确； D．①错误②错误. 【答案】B 【分析】将已知方程变形为，则为直线与单位圆的交点.用圆心到直线的距离解决问题 【详解】将已知方程变形为， 则为直线与单位圆的交点. 考虑圆心到直线的距离 ，其中. 对于①，若，则，于是，即， 直线与圆必有两个不同交点， 为直线与单位圆的交点， 故必存在两个“伴随角”，即①正确； 对于②若，则，于是， 即直线与圆可能公共点，故可能存在“伴随角”，即②错误； 综上，①正确②错误， 故选:B. 【点睛】 关键点点睛: 把转化为直线与单位圆的交点是解题的关键点. 【例37】定义：在平面直角坐标系xOy中，设点P（x1，y1），Q（x2，y2），则d（P，Q）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|叫做P、Q两点的“垂直距离”，已知点M（x0，y0）是直线ax+by+c＝0外一定点，点N是直线ax+by+c＝0上一动点，则M、N两点的“垂直距离”的最小值为（　　） A． B． C． D．|ax0+by0+c| 【答案】A 【分析】 设N（，），则M、N两点的“垂直距离”为：||+||．由此能求出M、N两点的“垂直距离”的最小值． 【解析】 由题意，点是直线外一定点，点是直线上一动点，可设， 则两点的“垂直距离”为： 所以两点的“垂直距离”的最小值为． 故选A． 【点睛】 本题主要考查了两点间的垂直距离的最小值的求法，考查垂直距离、直线的参数方程等基础知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力，属于中档试题． 【例38】人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术.在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.设，则曼哈顿距离，余弦距离，其中（O为坐标原点）.已知点，则的最大值近似等于 .（保留3位小数）（参考数据：.） 【答案】 【分析】根据题意分析可得在正方形的边上运动，结合图象分析的最大值，即可得结果. 【解析】设， 由题意可得：，即， 可知表示正方形，其中， 即点在正方形的边上运动， 因为，由图可知： 当取到最小值，即最大， 点有如下两种可能： ①点为点A，则，可得； ②点在线段上运动时，此时与同向，不妨取， 则； 因为， 所以的最大值为.    故答案为：. 【点睛】方法定睛：在处理代数问题时，常把代数转化为几何图形，数形结合处理问题. 【例39】已知点和非零实数，若两条不同的直线，均过点，且斜率之积为，则称直线，是一组“共轭线对”，如直，是一组“共轭线对”，其中是坐标原点． （1）已知点、点和点分别是三条直线，，上的点，，与，，均不重合），且直线，是“共轭线对”，直线，是“共轭线对”，直线，是“共轭线对”，求点的坐标； （2）已知点，直线，是“共轭线对”，当的斜率变化时，求原点到直线，的距离之积的取值范围． 【分析】（1）设直线，，的斜率分别为，，，则根据题意可得，解方程组求出，，，从而可求出，的方程，进而解方程组可求出点的坐标， （2）根据题意设，，其中，然后利用点到直线的距离公式求出到直线，的距离的积，化简后利用基本不等式可求得其范围． 【解答】解：（1）设直线，，的斜率分别为，，， 则，得，，或，，． 当，，时，直线的方程为，直线的方程为， 由，解得，则； 当，，时，直线的方程为，直线的方程为， 由，解得，则； 故所求为或； （2）设，，其中， 故 由于（等号成立的条件是， 故，． 【点评】本题主要考查点到直线的距离，属于中档题． 【例40】在平面直角坐标系xOy中，定义，两点间的“直角距离”为 . (1)填空：(直接写出结论) ①若， 则 ； ②到坐标原点的“直角距离”等于1的动点的轨迹方程是 ； ③记到M(-1，0)，N(1，0)两点的“直角距离”之和为4的动点的轨迹为曲线G，则曲线G所围成的封闭图形的面积的值为 ； (2)设点A(1，0)， 点B是直线 上的动点，求ρ(A，B)的最小值及取得最小值时点B的坐标； (3)对平面上给定的两个不同的点，，是否存在点C(x，y)， 同时满足下列两个条件： ①； ② 若存在，求出所有符合条件的点的集合；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)5；；6 (2)最小值为，点B的坐标为 (3) 【分析】（1）①代入定义即可得出答案；②设是轨迹上任意一点，根据定义列出式子，化简即可得出答案；③根据定义，化简得出.分情况去绝对值，作出函数的图象，进而得出答案； （2）设，则，得出.然后分情况讨论去掉绝对值，得出表达式，进而逐段求解，即可得出最小值； （3）分当，时，当，时，当，时等情况，分别讨论得出满足条件的点，即可得出答案. 【解析】（1）①根据定义可得，； ②设是轨迹上任意一点， 由已知可得， 根据定义可得，. 所以，到坐标原点的“直角距离”等于1的动点的轨迹方程是； ③设曲线G上任意一点， 由已知可得，， 所以有， 整理可得，. （ⅰ）当时，该式可化为， 即. 当且时，为； 当且时，为； （ⅱ）当时，该式可化为， 整理可得，即； （ⅲ）当时，该式可化为， 整理可得. 当且时，为； 当且时，为； 作出曲线满足的图象    所以，曲线G所围成的封闭图形的面积的值为. 故答案为：5；；6. （2）设，则，所以， 所以，. 当时，有； 当时，有； 当时，有. 综上所述，当时，有最小值，此时. 所以，的最小值为，取得最小值时点B的坐标为. （3）（ⅰ）当，时， 由条件②可得，， 即有. 因为，所以. 由条件①可得，， 所以有. 又， 所以有，所以. 因此，所求的点为； （ⅱ）当，时， 由（ⅰ）同理可得，所求的点为； （ⅲ）当，时，不妨设. ①若， ，，， 所以，. 当且仅当与同时成立， 所以有，且， 从而由条件②可得，， 此时所求的点的全体为； ②若， 由条件①可得，，且， 从而由条件②可得，， 此时所求的点的全体为. 综上所述，所有符合条件的点的集合为. 【点睛】关键点点睛：根据定义得出关系式后，根据未知量的范围，分类讨论，去掉绝对值，化简求解. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$