第三章 一元一次不等式（组）知识归纳与题型突破（9类题型清单）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（湘教版2024）

第三章 一元一次不等式（组）知识归纳与题型突破（题型清单） 不等式及其性质 1、不等式： （1）定义：用不等号连接而成的式子叫做不等式. （2）常见不等式的基本语言的符号表示. ①a是正数：. ②a是负数：. ③a是非负数：a≥0 ④a是非正数：a≤0 ⑤a，b同号：. ⑥a，b异号：. （3）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。 （4）不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。求不等式的解集的过程叫做解不等式。 （5）不等式的解集与不等式的解的区别：解集是能使不等式成立的未知数的取值范围,是所有解的集合,而不等式的解是使不等式成立的未知数的值。 （6）二者的关系是：解集包括解,所有的解组成了解集。 2、不等式的基本性质 　　性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变。 　　　　　　　即：如果，那么. 　　性质2：不等式的两边都乘上(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。 　　　　　　　即：如果，并且，那么；. 　　性质3：不等式的两边都乘上(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。 　　　　　　　即：如果，并且，那么；. 性质4：如果，那么.（对称性） 性质5：如果,,那么.（传递性） 一元一次不等式 1、定义：含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等号两边都是整式的不等式，叫做一元一次不等式。 2、一元一次不等式的解法 根据不等式的基本性质；一般步骤为：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1. 解不等式应注意： ①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项； ②移项时不要忘记变号； ③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号； ④在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变。 3、不等式的解集在数轴上表示： （1）边界：有等号的是实心圆圈，无等号的是空心圆圈； （2）方向：大于向右，小于向左 一元一次不等式组 1、定义：有几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组 2、（一元一次）不等式组的解集：这几个不等式解集的公共部分，叫做这个（一元一次）不等式组的解集。 3、解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。 4、一元一次不等式组的解法 （1）分别求出不等式组中各个不等式的解集 （2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。 由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集可归纳为下面四种情况： 不等式组 解集 口诀记忆 同大取大 同小取小 大小小大中间找 无解 大大小小无解了 一元一次不等式（组）解决实际问题 解题的步骤： （1）审题，找出不等关系→ （2）设未知数→ （3）列出不等式（组）→（4）求出不等式的解集→ （5）找出符合题意的值→ （6）作答。 解题技巧 1、有解无解问题： （1） （2） （3） 2、 特征解问题： 解题步骤：把原式中的要求的量（以下简记为) 当作已知数，去解原式→得到原式的解（含)→根据解的特征列出式子（关于的式子)→解出的值。 题型一　不等式的定义 例题1-1：（23-24八年级下·福建漳州·阶段练习）下列式子：；；；；中，是不等式的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 例题1-2：（24-25七年级下·全国·课后作业）（教材变式）用不等式表示： （1）的4倍与3的差是正数： ； （2）与的积小于7： ； （3），两数的平方和大于10： ． 巩固训练 1．（2025七年级下·上海·专题练习）下列数学表达式中，不等式有（   ）． ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）有下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不等式有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 3．（24-25七年级下·全国·随堂练习）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是不等式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）有下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是不等式的有 个． 5．（全国·课后作业）用不等式表示： （1）与的差为非负数： ； （2）a与b的的和不超过2： ． 题型二　不等式的基本性质 例题：（24-25七年级下·重庆·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 巩固训练 1．（24-25八年级下·甘肃天水·阶段练习）若，则下列不等式中，一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·重庆忠县·开学考试）如果，那么，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）有下列说法：①若，则；②若，则；③若，且，则；④若，则．其中正确的是 （填序号）． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）若，且，则的取值范围是 ． 5．（七年级下·山东滨州·期末）若不等式(2-m)x>2m-4的解集是x<-2，则m的取值范围是 ． 6．（浙江·期中）若，且，则a的取值范围是 ． 7．（辽宁阜新·期末）若不等式（m﹣1）x＞1的解集是x＜，则m的取值范围是 ． 题型三　一元一次不等式的定义 例题：（2025七年级下·全国·专题练习）有下列不等式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中一元一次不等式有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 巩固训练 1．（24-25七年级下·上海·阶段练习）下列为一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列式子：①，②，③，④，⑤，⑥中，一元一次不等式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2025七年级下·全国·专题练习）下列不等式中，是一元一次不等式的有（   ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（24-25七年级下·上海·阶段练习）已知是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 题型四　不等式的解集 例题：（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法中，正确的是（    ） A．是不等式的一个解 B．是不等式的解集 C．不等式的解集是 D．是不等式的解集 巩固训练 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的解集 C．不等式的解集是 D．是不等式的一个解 2．（23-24八年级下·全国·假期作业）下列说法正确的是（    ） A．是不等式的一个解 B．是不等式的解集 C．不等式的解集是 D．不等式的解集是 3．（23-24八年级下·河北保定·期中）下列说法正确的是（    ） A．是不等式的解 B．不等式的整数解只有 C．不等式的解集是 D．是不等式的解 题型五　解一元一次不等式（组） 例题：（24-25七年级下·全国·单元测试）（1）解不等式：； （2）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 巩固训练 1．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）解下列不等式（组）： (1) (2) 2．（2025八年级下·贵州·专题练习）不等式或不等式组： (1) (2)解不等式组并把解集在数轴上表示出来． 3．（24-25七年级下·全国·期末）（1）解方程组： （2）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）解不等式组，并写出它的非负整数解． 5．（2025·山东济南·一模）解不等式组：，并求所有整数解的和． 题型六　一元一次不等式（组）的应用 例题：（24-25八年级上·广西贵港·期末）苹果的进价是1.5元/千克，香梨的进价是2元/千克；李老板购进苹果的重量比香梨重量的3倍多20千克，一共花费420元；为方便销售，定价均为7元/千克． (1)李老板购进苹果和香梨各多少千克？ (2)若平均每天卖出苹果和香梨共50千克，每天利润不少于268元，则每天卖出的苹果至少是多少千克？ (3)由于天气炎热，当苹果还剩余60千克时，为尽快清仓，李老板决定对剩下的苹果进行打折销售，为确保销售苹果的总利润不低于1016元，最低可以打多少折？ 巩固训练 1．（2025年贵州省中考数学模拟卷（一））低碳生活已是如今社会的一种潮流形式，“低碳环保，绿色出行”成为大家的生活理念，因此新能源汽车逐渐成为人们选择的交通工具．某汽车销售公司计划2024年购进一批新能源汽车，据了解，2辆A型汽车、5辆B型汽车的进价共计130万元；4辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计120万元． (1)求A型、B型汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若购进A、B两种型号汽车共10辆，所需进价不超过180万元，至少购买A种型号汽车多少辆？ 2．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）根据以下素材，探索完成任务 如何设计采购方案？ 素材1 王阳明故居纪念馆为了能更好地宣传阳明文化以及王阳明的书法，文创商店近期推出了许多新的文创产品，有阳明书法手袋、阳明书签、阳明书法冰箱贴等．已知1套书签的售价比1个冰箱贴的售价高18元． 素材2 小明在本店购买了1套书签和4个冰箱贴，一共花费了158元． 素材3 临近期末考试，某数学老师打算提前给学生准备奖品，他准备用1000元在本店同时购买书签和冰箱贴两种商品若干件． 问题解决 任务1 求1套书签和1个冰箱贴的售价分别是多少元． 任务2 该老师打算购买书签和冰箱贴共25件，最多能买几套书签？ 任务3 【拟定购买方案】 在任务2的条件下，该老师要求购买的书签比冰箱贴多．则分别购买多少书签和冰箱贴时，所需费用最省？并求出最省费用． 3．（24-25七年级下·全国·期末）冬天来临，某超市以每台80元和70元的价格购进A和B两种型号的取暖器，表格是该超市近两天出售取暖器的情况（注：利润=销售收入-进货成本）： 销售时段 销售数量 销售收入 A型号 B型号 第一天 3台 4台 760元 第二天 5台 7台 1300元 (1)分别求A，B两种型号的取暖器的销售单价． (2)该超市准备用不超过3020元的资金购进这两种型号的取暖器共40台，则A型号的取暖器最多能采购多少台？ (3)在（2）的条件下，超市销售完这40台取暖器能否实现利润超过1400元的目标？若能，通过计算给出相应的购进方案；若不能，请说明理由． 4．（24-25七年级下·安徽淮北·阶段练习）随着新能源汽车的销售越来越多，小区新能源汽车充电也越来越困难，某小区为了解决业主新能源汽车充电难的问题，准备在小区内修建10个充电桩，已知新建2个地下充电桩和1个地上充电桩需要1万元；新建1个地下充电桩和3个地上充电桩也需要1万元． (1)该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需多少钱？ (2)若该小区计划用不超过2.6万元的资金新建充电桩，问共有几种建造方案？并列出所有方案， (3)在第（2）问的条件下哪种方案投资最少？请求出最少投资金额． 5．（2025·湖南长沙·模拟预测）近期，我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了142亿，商家推出A、B两种类型的哪吒纪念娃娃．已知购进7件A种娃娃和购进10件B种娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多3元． (1)每个A种娃娃和每个B种娃娃的进价分别是多少元? (2)根据网上预约的情况，该商家计划用不超过1600元的资金购进A、B两种娃娃共200个，那么最多购买A种娃娃多少个? 6．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）随着科技的发展，新能源汽车正逐渐成为人们喜欢的交通工具，其需求量快速增长．为满足客户需求，现某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解1辆型汽车、1辆型汽车的进价共计37万元；若单次购买型汽车超过15辆每辆车进价会打九五折，单次购买型汽车超过15辆每辆车进价优惠5千元，当购买型和型车各20辆时共需支付进价715万元． (1)求该汽车销售公司单独购进，型号汽车各一辆时进价分别为多少万元？ (2)因资金紧张，该公司计划以不超过260万元购进以上两种型号的新能源汽车共15辆，每辆型汽车在进价的基础上提高7000元销售，每辆型汽车在进价的基础上提高销售．假如这些新能源汽车全部售出，至少要获利12.5万元，该公司有哪几种购进方案？哪种方案获得的利润最多，最多利润是多少？ 7．（2025七年级下·全国·专题练习）某家具店经销两种品牌的儿童床，每张进价分别为3500元、4200元，售价分别为4200元、5250元． (1)该店销售记录显示，4月份两种品牌的儿童床共售出20张，且销售两种品牌的儿童床的利润相同．该店4月份两种品牌的儿童床各售出多少张？ (2)根据市场调研，该店5月份计划购进这两种儿童床共30张，要求购进B品牌的儿童床张数不低于A品牌的儿童床张数的，且用于购买这两种儿童床的资金不超过115000元．请写出所有的进货方案． 8．（24-25八年级下·浙江丽水·开学考试）某工程队有A，B两种型号的挖掘机；已知3台A型和5台B型挖掘机同时施工一小时挖土165立方米；4台A型和7台B型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米．每台A型挖掘机一小时的施工费用为300元，每台B型挖掘机一小时的施工费用为180元． (1)分别求每台A型，B型挖掘机一小时挖土多少立方米？ (2)若不同数量的A型和B型挖据机共12台同时施工4小时，至少完成1080立方米的挖土量，且总费用不超过12960元，问施工时有哪几种调配方案？ 9．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）根据以下素材，探索完成任务， 如何确定木板分配方案？ 素材1 我校开展爱心义卖活动，小明和同学们打算推销自己的手工制品，他们以每块15元的价格买了100张长方形木板，每块木板长和宽分别是，． 素材2 现将部分木板按图1虚线裁剪，剪去四个边长相同的小正方形（阴影）．把剩余五个矩形拼制成无盖长方体收纳盒，使其底面长与宽之比为．其余木板按图2虚线裁剪出三块大小一样的木板（作为盖子），给部分盒子配上盖子． 素材3 义卖时的售价如标签所示： 无盖收纳盒20元/个； 有盖收纳盒30元/个． 问题解决 任务1 计算盒子高度 求出长方体收纳盒的高度． 任务2 确定分配方案1 若按图1方式裁剪的木板不少于83块且制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒个数，则木板该如何分配？请给出分配方案． 任务3 确定分配方案2 在任务2的条件下，为了提高利润，小明打算把图1裁剪下来的余料（阴影部分）利用起来，一张图1余料可以制成4块茶杯垫，以5元/块的价格出售，请确定木板分配方案，并求出销售后获得的最大利润． 题型七　一元一次不等式（组）“含参”问题 例题7-1：（2025·河南·模拟预测）若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例题7-2：（24-25七年级下·全国·期末）已知不等式组的解集是，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 例题7-3：（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）若关于x的不等式组有3个整数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例题7-4：（24-25七年级上·四川眉山·期末）关于x的不等式组的解集中每一个值均不在的范围中，则a的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 巩固训练 1．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）不等式组的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）不等式组的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）若不等式组的解集是，则 ． 4．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）若关于的不等式组有个整数解，则的取值范围是 ． 5．（24-25八年级上·四川成都·期末）如果关于的不等式组有且只有个整数解，则符合条件的所有整数的和为 ． 6．（2024八年级下·浙江温州·竞赛）若关于的不等式组无实数解，则的取值范围是 7．（24-25八年级下·山东青岛·阶段练习）若不等式组有解，则a的取值范围是 ． 8．（24-25八年级上·广西贵港·期末）若关于的不等式组，仅有2个整数解，则的取值范围是 ． 9．（24-25七年级下·上海宝山·阶段练习）若关于的不等式组的解集只有3个整数解，则的取值范围是 ． 10．（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）已知关于的不等式组，任意一个的值都不在的范围内，则的取值范围是 ． 11．（24-25七年级下·安徽合肥·阶段练习）关于的方程的解为非负数，则的取值范围． 12．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）已知关于x的方程的解是非负数． (1)求m的取值范围； (2)当m取最大整数时，求关于x的不等式：的最小整数解． 13．（2025七年级下·全国·专题练习）如果关于x的方程的解不大于1，且是一个正整数，试确定m的值并求出原方程的解． 14．（七年级下·福建龙岩·期末）已知关于x的不等式组． (1)若该不等式组有且只有4个整数解，求满足条件的整数a的值； (2)若该不等式组有解，且它的解集中的任何一个x值均不在的范围内，求a的取值范围． 题型八　不等式（组）与方程组 例题8-1：（23-24七年级下·四川乐山·期末）已知关于x，y的方程组的解都为整数，且关于x的不等式组，恰有3个整数解，则所有满足条件的整数a的和为（   ） A．10 B．8 C．6 D．4 例题8-2：（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）已知方程组中x为非正数，y为负数． (1)求a的取值范围； (2)化简：； (3)在（1）的范围中，当a为何整数时，不等式的解集为 巩固训练 1．（23-24七年级下·河南三门峡·期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则a的取值范围是 ． 2．（23-24七年级下·北京·期末）已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是 ． 3．（24-25七年级下·上海·阶段练习）关于的方程的解是，求关于的不等式的解集，并求出满足条件的最小整数解． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知关于的二元一次方程组 (1)用含的式子表示此方程组的解为________； (2)若方程组的解满足．求实数的取值范围． 5．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于x，y的二元一次方程组 (1)若方程组的解是正数，求m的取值范围； (2)若方程组的解满足不小于0，求m的取值范围． 6．（七年级下·广东广州·阶段练习）已知关于的方程组． (1)求方程组的解（用含的式子表示）； (2)若方程组的解满足，，且是整数，求的值． 7．（23-24七年级下·四川巴中·期末）已知方程组的解满足x为负数，y为非正数，求： (1)m的取值范围； (2)化简； (3)在（1）的条件下，若的解集为，请写出整数m的值． 题型九　特殊型不等式（组） 例题9-1：（七年级下·河南周口·期中）（1）【阅读理解】“”的几何意义是：数在数轴上对应的点到原点的距离，所以“”可理解为：数在数轴上对应的点到原点的距离不小于，则： ①“”可理解为 ； ②请列举两个符号不同的整数，使不等式“”成立，列举的的值为 和 ． 我们定义：形如“，，，”（为非负数）的不等式叫做绝对值不等式，能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为绝对值不等式的解集． （2）【理解应用】根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式． 由上图可以得出：绝对值不等式的解集是或， 绝对值不等式的解集是．则： ①不等式的解集是 ． ②不等式的解集是 ． （3）【拓展应用】解不等式，并画图说明． 例题9-2：（七年级下·江苏南京·开学考试）自学下面材料后，解答问题． 分母中含有未知数的不等式叫分式不等式．如：；等．那么如何求出它们的解集呢？ 根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负．其字母表达式为：若，，则；若，，则；若，，则；若，，则． （1）反之：若，则或；若，则______或_______． （2）根据上述规律，求不等式的解集． （3）直接写出分式不等式的解集___________． 巩固训练 1．（七年级下·福建厦门·期中）阅读理解： 例1．解方程，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为． 例2．解不等式，在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或．    参考阅读材料，解答下列问题： (1)方程的解为________ (2)解不等式：． (3)解不等式：． 2．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）阅读以下例题：解不等式： 解：①当，则， 即可以写成：解不等式组得： ②当若，则， 即可以写成：解不等式组得：． 综合以上两种情况：原不等式的解集为：或． 以上解法的依据为：当，则同号． 请你模仿例题的解法，解不等式： (1)； (2)． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 一元一次不等式（组）知识归纳与题型突破（题型清单） 不等式及其性质 1、不等式： （1）定义：用不等号连接而成的式子叫做不等式. （2）常见不等式的基本语言的符号表示. ①a是正数：. ②a是负数：. ③a是非负数：a≥0 ④a是非正数：a≤0 ⑤a，b同号：. ⑥a，b异号：. （3）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。 （4）不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。求不等式的解集的过程叫做解不等式。 （5）不等式的解集与不等式的解的区别：解集是能使不等式成立的未知数的取值范围,是所有解的集合,而不等式的解是使不等式成立的未知数的值。 （6）二者的关系是：解集包括解,所有的解组成了解集。 2、不等式的基本性质 　　性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变。 　　　　　　　即：如果，那么. 　　性质2：不等式的两边都乘上(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。 　　　　　　　即：如果，并且，那么；. 　　性质3：不等式的两边都乘上(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。 　　　　　　　即：如果，并且，那么；. 性质4：如果，那么.（对称性） 性质5：如果,,那么.（传递性） 一元一次不等式 1、定义：含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等号两边都是整式的不等式，叫做一元一次不等式。 2、一元一次不等式的解法 根据不等式的基本性质；一般步骤为：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1. 解不等式应注意： ①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项； ②移项时不要忘记变号； ③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号； ④在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变。 3、不等式的解集在数轴上表示： （1）边界：有等号的是实心圆圈，无等号的是空心圆圈； （2）方向：大于向右，小于向左 一元一次不等式组 1、定义：有几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组 2、（一元一次）不等式组的解集：这几个不等式解集的公共部分，叫做这个（一元一次）不等式组的解集。 3、解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。 4、一元一次不等式组的解法 （1）分别求出不等式组中各个不等式的解集 （2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。 由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集可归纳为下面四种情况： 不等式组 解集 口诀记忆 同大取大 同小取小 大小小大中间找 无解 大大小小无解了 一元一次不等式（组）解决实际问题 解题的步骤： （1）审题，找出不等关系→ （2）设未知数→ （3）列出不等式（组）→（4）求出不等式的解集→ （5）找出符合题意的值→ （6）作答。 解题技巧 1、有解无解问题： （1） （2） （3） 2、 特征解问题： 解题步骤：把原式中的要求的量（以下简记为) 当作已知数，去解原式→得到原式的解（含)→根据解的特征列出式子（关于的式子)→解出的值。 题型一　不等式的定义 例题1-1：（23-24八年级下·福建漳州·阶段练习）下列式子：；；；；中，是不等式的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了不等式，根据不等式的定义判断即可求解，掌握不等式的定义是解题的关键． 【详解】解：不等式的有，共个， 故选：． 例题1-2：（24-25七年级下·全国·课后作业）（教材变式）用不等式表示： （1）的4倍与3的差是正数： ； （2）与的积小于7： ； （3），两数的平方和大于10： ． 【答案】 【分析】本题考查了列不等式，正确找出不等量关系是解题关键． （1）根据倍、差关系，以及正数的定义列出不等式即可得； （2）根据积的定义列出不等式即可得； （3）根据平方和的定义列出不等式即可得． 【详解】解：（1）的4倍与3的差是正数：， 故答案为：． （2）与的积小于7：， 故答案为：． （3），两数的平方和大于10：， 故答案为：． 巩固训练 1．（2025七年级下·上海·专题练习）下列数学表达式中，不等式有（   ）． ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了不等式的定义，解题的关键熟练掌握用不等号连接的式子是不等式．据此逐个判定即可． 【详解】解：不等式有①⑤⑥，共3个． 故选：B． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）有下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不等式有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的定义：用符号“”、“”、“”、“”或“”表示大小关系的式子，叫做不等式，熟记不等式的定义是解题关键．根据不等式的定义逐个判断即可得． 【详解】解：不等式有①；②；⑤；⑥，共4个；而③是等式，④是多项式， 故选：B． 3．（24-25七年级下·全国·随堂练习）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是不等式的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查不等式的定义，用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式． 根据不等式的定义逐一判断即可． 【详解】解：不等式有①；②；⑤；⑥，共4个， 故选C． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）有下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是不等式的有 个． 【答案】4 【分析】本题考查了不等式，用符号“”（或“”），“”（或“”），“”连接的式子叫做不等式．根据不等式的定义逐个分析即可． 【详解】解：①是等式，②是不等式，③是不等式，④是不等式，⑤是代数式，不是不等式，⑥是不等式， 故不等式有4个， 故答案为：4． 5．（全国·课后作业）用不等式表示： （1）与的差为非负数： ； （2）a与b的的和不超过2： ． 【答案】 【分析】根据列代数式的规则，即可求解． 【详解】（1）先表示与的差：，再表示与的差为非负数：； （2）先表示a与b的的和：再表示a与b的的和不超过2： 故答案为：， 题型二　不等式的基本性质 例题：（24-25七年级下·重庆·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式的性质，灵活运用不等式的性质成为解题的关键． 根据不等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：A． 若，则，故该选项错误，不符合题意；     B． 当时，，，故该选项错误，不符合题意；     C． 若，当时，，故该选项错误，不符合题意；         D． 若，则，故该选项正确，符合题意． 故选D． 巩固训练 1．（24-25八年级下·甘肃天水·阶段练习）若，则下列不等式中，一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式的性质．①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或整式，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的基本性质分析判断即可． 【详解】解：A、若，则有，原变形不成立，故本选项不符合题意； B、若，则有，原变形不成立，故本选项不符合题意； C、若，则有，原变形不成立，故本选项不符合题意； D、若，则有，进而可知成立，故本选项符合题意． 故选：D． 2．（24-25七年级上·重庆忠县·开学考试）如果，那么，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键； 根据不等式的性质得到，，即可求解； 【详解】解：由题意可得：，； ，，的大小关系为； 故选：C 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）有下列说法：①若，则；②若，则；③若，且，则；④若，则．其中正确的是 （填序号）． 【答案】②④ 【分析】本题主要考查了不等式的性质，掌握不等式的性质成为解题的关键． 根据不等式的性质逐个判断即可． 【详解】解：若，当时，，故①不正确； 由时，则，即，故②正确； 若且时，则，故③错误； 若，即，则，故④正确． 综上，②④正确． 故答案为：②④． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）若，且，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了不等式的性质．原不等式两边同时乘以后不等号改变方向，则，则． 【详解】解：∵若，且， ∴， 则； 故答案为：． 5．（七年级下·山东滨州·期末）若不等式(2-m)x>2m-4的解集是x<-2，则m的取值范围是 ． 【答案】m＞2 【分析】根据不等式的性质，不等式的两边同乘或除以同一个负数，不等号的方向改变，可得答案． 【详解】不等式（2-m）x＞2m-4的解集为x＜-2， ∴2-m＜0， 解得，m>2， 故答案为：m>2 6．（浙江·期中）若，且，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据不等式的性质，两边同时乘一个负数不等号改变，求出a的取值范围． 【详解】解：∵，而， ∴，即． 故答案是：． 7．（辽宁阜新·期末）若不等式（m﹣1）x＞1的解集是x＜，则m的取值范围是 ． 【答案】m<1 【分析】根据不等式的基本性质3即可得． 【详解】解：∵（m﹣1）x＞1的解集是x＜， ∴m-1<0， 解得m<1． 故答案为：m<1． 题型三　一元一次不等式的定义 例题：（2025七年级下·全国·专题练习）有下列不等式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中一元一次不等式有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】根据一元一次不等式的定义，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式，作出判断即可．本题考查一元一次不等式的定义，未知数的最高次数为1，并且未知数的系数不能为0是解答本题的关键． 【详解】解：依题意，①；②；③；⑥都是一元一次不等式， ∴一元一次不等式有4个， 故选：B． 巩固训练 1．（24-25七年级下·上海·阶段练习）下列为一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】考查了一元一次不等式的定义，含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．依此即可求解． 【详解】解：A、含有2个未知数，故A不符合题意； B、未知数在分母位置，故B不符合题意； C、是一元一次方程，故C不符合题意； D、是一元一次不等式，故D符合题意． 故选D． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列式子：①，②，③，④，⑤，⑥中，一元一次不等式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解题的关键．根据一元一次不等式的定义进行判断即可． 【详解】解：①⑤为一元一次不等式，共2个，其它都不是． 故选B． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）下列不等式中，是一元一次不等式的有（   ） ①；②；③；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义．用不等号连接的，含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不为0，左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式． 【详解】解：①，含有两个未知数，不是一元一次不等式， ②，是一元一次不等式， ③，不等式左边不是整式，不是一元一次不等式， ④，不含未知数，不是一元一次不等式， ⑤，是一元一次不等式， 则②⑤是一元一次不等式， 故选：B 4．（24-25七年级下·上海·阶段练习）已知是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了一元一次不等式“含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式”，熟记一元一次不等式的定义是解题关键．根据一元一次不等式的定义可得，且，由此即可得． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴，且， ∴， 故答案为：4． 题型四　不等式的解集 例题：（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法中，正确的是（    ） A．是不等式的一个解 B．是不等式的解集 C．不等式的解集是 D．是不等式的解集 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的解“使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解”、解集“一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集”，熟练掌握不等式的解和解集的定义是解题关键．根据不等式的解和解集的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、因为，所以是不等式的一个解，则此项正确，符合题意； B、因为，所以是不等式的一个解，则此项错误，不符合题意； C、因为，所以是不等式的一个解，则此项错误，不符合题意； D、因为，所以不是不等式的解集，则此项错误，不符合题意； 故选：A． 巩固训练 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．是不等式的解 B．是不等式的解集 C．不等式的解集是 D．是不等式的一个解 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式的解及解集的定义，如果不等式中含有未知数，能使这个不等式成立的未知数的值，叫做这个不等式的解．一般地，一个含有未知数的不等式的所有解的集合，叫做这个不等式的解集．根据不等式的解及解集的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．∵当时，，∴不是不等式的解，故不正确； B．∵当时，，∴是不等式的解而不是解集，故不正确； C．∵，∴，∴不等式的解集是，故不正确； D．∵当时，，∴是不等式的一个解，故正确； 故选D． 2．（23-24八年级下·全国·假期作业）下列说法正确的是（    ） A．是不等式的一个解 B．是不等式的解集 C．不等式的解集是 D．不等式的解集是 【答案】C 【分析】本题主要考查不等式的解集，根据不等式的性质求出不等式的解集是解题的关键． 根据题意求出不等式的解集，再用排除法解题即可． 【详解】解：解不等式的解集是； A．是不等式的一个解，故本选项不符合题意； B．不是不等式的解集，故本选项不符合题意； C．不等式的解集是，故本选项符合题意； D．不等式的解集是，故本选项不符合题意． 故选：C． 3．（23-24八年级下·河北保定·期中）下列说法正确的是（    ） A．是不等式的解 B．不等式的整数解只有 C．不等式的解集是 D．是不等式的解 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的解集和解不等式．根据解不等式，结合选项即可求解． 【详解】解：A. ∵，解得： ∴是不等式的解，故该选项正确，符合题意；     B. 不等式，解得：的正整数解只有，故该选项不正确，不符合题意； C. 不等式的解集是     D. ∵ ∴是不等式的解集，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A． 题型五　解一元一次不等式（组） 例题：（24-25七年级下·全国·单元测试）（1）解不等式：； （2）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】（1）；（2），数轴见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式组的方法．． （1）解一元一次不等式，其步骤为：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1； （2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】解：（1） 去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 两边同时除以得； （2）解不等式①，得． 解不等式②，得 原不等式组的解集为． 解集在数轴上表示如下： 巩固训练 1．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）解下列不等式（组）： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）移项合并同类项，化系数为即可； （）先求出两个不等式的解集，再求其公共解即可； 本题考查解一元一次不等式和解一元一次不等式组，解题的关键是掌握一元一次不等式或不等式组的求解方法． 【详解】（1）解： ； （2）解： 解不等式得，， 解不等式得，， ∴不等式组的解集为． 2．（2025八年级下·贵州·专题练习）不等式或不等式组： (1) (2)解不等式组并把解集在数轴上表示出来． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次不等式或不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题关键． （1）方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （2）先解出每个不等式的解集，再取公共解集，最后在数轴上表示出来即可． 【详解】（1）解： ； （2）， 解：解得，解得， 在数轴上表示为： ∴不等式组的解集为． 3．（24-25七年级下·全国·期末）（1）解方程组： （2）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】（1）；（2），见解析 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用加减法进行解方程，即可作答． （2）分别算出每个不等式的解集，再取公共部分的解集，然后再在数轴上表示出来，即可作答． 【详解】解：（1）， 由，得③ ，得， 解得． 将代入②，， ∴， ∴原方程组的解为； （2）解： 解不等式①，得， 解不等式②，得． ∴不等式组的解集为． 在数轴上表示不等式组的解集如图所示： 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）解不等式组，并写出它的非负整数解． 【答案】，非负整数解有0，1，2，3 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的运算法则是解题的关键．分别求出每个不等式的解集，再将解集联立起来． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 该不等式组的解集为， 该不等式组的非负整数解有0，1，2，3． 5．（2025·山东济南·一模）解不等式组：，并求所有整数解的和． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的方法是解题的关键． 先解每一个不等式，再确定不等式组的解集，得到不等式组的所有整数解，计算即可． 【详解】解：， 解：解不等式①得，， 解不等式②得，， 不等式组的解集为， 不等式组的整数解为， 所有整数解得和为． 题型六　一元一次不等式（组）的应用 例题：（24-25八年级上·广西贵港·期末）苹果的进价是1.5元/千克，香梨的进价是2元/千克；李老板购进苹果的重量比香梨重量的3倍多20千克，一共花费420元；为方便销售，定价均为7元/千克． (1)李老板购进苹果和香梨各多少千克？ (2)若平均每天卖出苹果和香梨共50千克，每天利润不少于268元，则每天卖出的苹果至少是多少千克？ (3)由于天气炎热，当苹果还剩余60千克时，为尽快清仓，李老板决定对剩下的苹果进行打折销售，为确保销售苹果的总利润不低于1016元，最低可以打多少折？ 【答案】(1)购进香梨60千克，购进苹果200千克 (2)每天卖出的苹果至少是36千克 (3)最低可以打8折 【分析】本题考查一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用． （1）设李老板购进香梨千克，则李老板购进苹果为千克，根据“苹果的进价是1.5元/千克，香梨的进价是2元/千克，一共花费420元”，列出一元一次方程，解方程即可； （2）设苹果的日销售量是千克，则香梨的日销售量是千克，根据“每天利润不少于268元”，列出一元一次不等式，解不等式即可得出答案； （3）设苹果打折销售，根据“销售苹果的总利润不低于1016元”，列出一元一次不等式，解不等式即可得出答案； 【详解】（1）解：设李老板购进香梨千克，则李老板购进苹果为千克， 根据题意得， 解方程得， 购进香梨60千克，购进苹果千克； （2）解：设苹果的日销售量是千克，则香梨的日销售量是千克，根据题意，得 解不等式，得： 答：每天卖出的苹果至少是36千克； （3）设苹果打折销售， 苹果的总利润为：， 解不等式得：， 答：最低可以打8折． 巩固训练 1．（2025年贵州省中考数学模拟卷（一））低碳生活已是如今社会的一种潮流形式，“低碳环保，绿色出行”成为大家的生活理念，因此新能源汽车逐渐成为人们选择的交通工具．某汽车销售公司计划2024年购进一批新能源汽车，据了解，2辆A型汽车、5辆B型汽车的进价共计130万元；4辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计120万元． (1)求A型、B型汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若购进A、B两种型号汽车共10辆，所需进价不超过180万元，至少购买A种型号汽车多少辆？ 【答案】(1)A型汽车每辆进价为15万元，B型汽车每辆进价为20万元． (2)至少购买A种型号汽车辆． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设型汽车每辆进价为万元，型汽车每辆进价为万元，根据“2辆A型汽车、5辆B型汽车的进价共计130万元；4辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计120万元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． （2）设购买A种型号汽车辆，则B种型号汽车辆，根据“所需进价不超过180万元”，进行列式，即可作答． 【详解】（1）解：设A型汽车每辆进价为x万元，B型汽车每辆进价为y万元， 根据题意得：， 解得：． 答：A型汽车每辆进价为15万元，B型汽车每辆进价为20万元． （2）解：设购买A种型号汽车辆，则B种型号汽车辆 依题意，， 解得， ∴至少购买A种型号汽车辆． 2．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）根据以下素材，探索完成任务 如何设计采购方案？ 素材1 王阳明故居纪念馆为了能更好地宣传阳明文化以及王阳明的书法，文创商店近期推出了许多新的文创产品，有阳明书法手袋、阳明书签、阳明书法冰箱贴等．已知1套书签的售价比1个冰箱贴的售价高18元． 素材2 小明在本店购买了1套书签和4个冰箱贴，一共花费了158元． 素材3 临近期末考试，某数学老师打算提前给学生准备奖品，他准备用1000元在本店同时购买书签和冰箱贴两种商品若干件． 问题解决 任务1 求1套书签和1个冰箱贴的售价分别是多少元． 任务2 该老师打算购买书签和冰箱贴共25件，最多能买几套书签？ 任务3 【拟定购买方案】 在任务2的条件下，该老师要求购买的书签比冰箱贴多．则分别购买多少书签和冰箱贴时，所需费用最省？并求出最省费用． 【答案】任务1：1套书签的售价为46元，1个冰箱贴的售价为28元；任务2：最多能买16套书签；任务3：要使所需费用最省，则购买13套书签，12个冰箱贴，所需费用为934元 【分析】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式的应用，解题关键是读懂题意，列出方程和不等式； （1）设1套书签的售价为元，则1个冰箱贴的售价为元，根据等量关系列出方程组，求出解即可； （2）设该老师购买套书签，则购买个冰箱贴，，再根据总费用列出不等式，求出解集，可得答案； （3）先购买的书签比冰箱贴多，得，解不等式，得出购买13套书签，12个冰箱贴．在计算费用即可． 【详解】解：任务1：设1套书签的售价为元，则1个冰箱贴的售价为元， 小明在本店购买了1套书签和4个冰箱贴，一共花费了158元， ， 解得， ， 套书签的售价为46元，1个冰箱贴的售价为28元； 任务2：设该老师购买套书签，则购买个冰箱贴， 根据题意得， 解得， 为整数， 最大值为16， 最多能买16套书签； 任务要求购买的书签比冰箱贴多， ， 解得， 为整数， 最小值为13， （元）， 要使所需费用最省，则购买13套书签，12个冰箱贴，所需费用为934元． 3．（24-25七年级下·全国·期末）冬天来临，某超市以每台80元和70元的价格购进A和B两种型号的取暖器，表格是该超市近两天出售取暖器的情况（注：利润=销售收入-进货成本）： 销售时段 销售数量 销售收入 A型号 B型号 第一天 3台 4台 760元 第二天 5台 7台 1300元 (1)分别求A，B两种型号的取暖器的销售单价． (2)该超市准备用不超过3020元的资金购进这两种型号的取暖器共40台，则A型号的取暖器最多能采购多少台？ (3)在（2）的条件下，超市销售完这40台取暖器能否实现利润超过1400元的目标？若能，通过计算给出相应的购进方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)A，B两种型号取暖器的销售单价分别为120元、100元 (2)A型号的取暖器最多能采购22台 (3)能，购进方案：方案一：购进A型号取暖器21台，B型号取暖器19台；方案二：购进A型号取暖器22台，B型号取暖器18台 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是正确列出二元一次方程组和根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式； （1）设A，B两种型号取暖器的销售单价分别为x元、y元，根据销售3台A型号、4台B型号取暖器的收入为760元，销售5台A型号、7台B型号取暖器的收入为1300元，得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设A型号的取暖器购进a台，则B型号的取暖器购进台，根据总价单价数量结合总价不多于3020元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论； （3）根据总利润每台的利润销售数量(购进数量)，结合总利润超过1400元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围，再结合（2）的结论即可得出结论． 【详解】（1）解：设A，B两种型号取暖器的销售单价分别为x元、y元，根据题意，得 解得 答：A，B两种型号取暖器的销售单价分别为120元、100元． （2）解：设购进A型号取暖器a台，则购进B型号取暖器台． 根据题意，得， 解得． 答：A型号的取暖器最多能采购22台． （3）解：由（2）可得， 解得， 因为且a为整数， 所以a可取21或22， 所以在（2）的条件下该超市能实现利润超过1400元的目标． 购进方案： 方案一：购进A型号取暖器21台，B型号取暖器19台． 方案二：购进A型号取暖器22台，B型号取暖器18台． 4．（24-25七年级下·安徽淮北·阶段练习）随着新能源汽车的销售越来越多，小区新能源汽车充电也越来越困难，某小区为了解决业主新能源汽车充电难的问题，准备在小区内修建10个充电桩，已知新建2个地下充电桩和1个地上充电桩需要1万元；新建1个地下充电桩和3个地上充电桩也需要1万元． (1)该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需多少钱？ (2)若该小区计划用不超过2.6万元的资金新建充电桩，问共有几种建造方案？并列出所有方案， (3)在第（2）问的条件下哪种方案投资最少？请求出最少投资金额． 【答案】(1)新建一个地上充电桩需0.2万元，新建一个地下充电桩需0.4万元 (2)一共有4种方案，分别为：①新建地上充电梼7个，则地下充电桩3个；②新建地上充电㭫8个，则地下充电桩2个；③新建地上充电桩9个，则地下充电桩1个；④新建地上充电桩10个，则地下充电桩0个 (3)方案④投资最少，最少投资金额为2万元 【分析】本题考查了一元一次不等式及二元一次方程组的应用，解答本题的关键是仔细审题，将实际问题转化为数学方程或不等式的思想进行求解． （1）设新建一个地上充电桩需万元，新建一个地下充电桩需万元，根据等量关系可列出方程组，解出即可得出答案． （2）设新建地上充电桩个，则地下充电桩个，根据投资金额不超过2.6万元，可得出不等式，解出即可得出答案． （3）分别算出（2）中每个方案的资金，然后比较即可． 【详解】（1）解：设新建一个地上充电桩需万元，新建一个地下充电桩需万元，根据题意， ，解得 答：新建一个地上充电桩需0.2万元，新建一个地下充电桩需0.4万元. （2）解：设新建地上充电桩个，则地下充电桩个 根据题意，得 解得． 整数a的值为7，8，9，10 一共有4种方案，分别为：①新建地上充电梼7个，则地下充电桩3个； ②新建地上充电㭫8个，则地下充电桩2个； ③新建地上充电桩9个，则地下充电桩1个； ④新建地上充电桩10个，则地下充电桩0个． （3）解：方案①需要的资金为万元 方案②需要的资金为万元 方案③需要的资金为万元 方案④需要的资金为万元. ， 方案④投资最少，最少投资金额为2万元． 5．（2025·湖南长沙·模拟预测）近期，我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了142亿，商家推出A、B两种类型的哪吒纪念娃娃．已知购进7件A种娃娃和购进10件B种娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多3元． (1)每个A种娃娃和每个B种娃娃的进价分别是多少元? (2)根据网上预约的情况，该商家计划用不超过1600元的资金购进A、B两种娃娃共200个，那么最多购买A种娃娃多少个? 【答案】(1)每个A种娃娃进价10元，每个B种娃娃进价7元 (2)最多购买A种娃娃66个 【分析】本题主要考查一元一次方程和一元一次不等式解实际应用，准确理解题意是解题的关键． （1）根据题意，设每个B种娃娃的进价是x元，则每个A种娃娃的进价是元，根据题意列出一元一次方程即可得到答案； （2）设购买A种娃娃m个，则购买B种娃娃个，根据题意列出一元一次不等式即可得到答案． 【详解】（1）解：设每个B种娃娃的进价是x元，则每个A种娃娃的进价是元． 由题意可得， 解得， 则． 即每个A种娃娃进价10元，每个B种娃娃进价7元； （2）解：设购买A种娃娃m个，则购买B种娃娃个． ， 解得， 因为m为整数，所以m最大为66， 即最多购买A种娃娃66个． 6．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）随着科技的发展，新能源汽车正逐渐成为人们喜欢的交通工具，其需求量快速增长．为满足客户需求，现某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解1辆型汽车、1辆型汽车的进价共计37万元；若单次购买型汽车超过15辆每辆车进价会打九五折，单次购买型汽车超过15辆每辆车进价优惠5千元，当购买型和型车各20辆时共需支付进价715万元． (1)求该汽车销售公司单独购进，型号汽车各一辆时进价分别为多少万元？ (2)因资金紧张，该公司计划以不超过260万元购进以上两种型号的新能源汽车共15辆，每辆型汽车在进价的基础上提高7000元销售，每辆型汽车在进价的基础上提高销售．假如这些新能源汽车全部售出，至少要获利12.5万元，该公司有哪几种购进方案？哪种方案获得的利润最多，最多利润是多少？ 【答案】(1)购进，型号汽车各一辆时进价分别为15，22万元． (2)该公司有2种购进方案，分别是购进A 型汽车10辆，B型汽车5辆∶购进A型汽车11辆，B型汽车4辆．购进A型汽车10辆，B型汽车5辆的方案获得的利润最多，最多利润是13.6万元． 【分析】本题主要考查了二元一次不等式组的应用以及一元一次不等式组的应用． （1）设购进，型号汽车各一辆时进价分别为x，y万元，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可得出答案． （2）设购进A型汽车m辆，则购进B型汽车辆，根据题意列出关于m的一元一次不等式组，求解并根据m的取值分别讨论计算即可得出答案． 【详解】（1）解：设购进，型号汽车各一辆时进价分别为x，y万元， 根据题意可知： 解得：， 则购进，型号汽车各一辆时进价分别为15，22万元． （2）解：设购进A型汽车m辆，则购进B型汽车辆， 根据题意可得出： 解得： ∵m为正整数， ∴或11， 当时，购进B型汽车为5辆， 此时利润为：（万元） 当时，购进B型汽车为4辆， 此时利润为：（万元） 综上：该公司有 2种购进方案，分别是购进A 型汽车 10 辆，B型汽车5辆或购进A型汽车 11 辆，B 型汽车4辆．购进A型汽车10 辆，B型汽车5辆的方案获得的利润最多，最多利润是 13.6万元． 7．（2025七年级下·全国·专题练习）某家具店经销两种品牌的儿童床，每张进价分别为3500元、4200元，售价分别为4200元、5250元． (1)该店销售记录显示，4月份两种品牌的儿童床共售出20张，且销售两种品牌的儿童床的利润相同．该店4月份两种品牌的儿童床各售出多少张？ (2)根据市场调研，该店5月份计划购进这两种儿童床共30张，要求购进B品牌的儿童床张数不低于A品牌的儿童床张数的，且用于购买这两种儿童床的资金不超过115000元．请写出所有的进货方案． 【答案】(1)A种品牌的儿童床售出12张，B种品牌的儿童床售出8张 (2)有两种进货方案：①购进A品牌的儿童床16张，B品牌的儿童床14张；②购进A品牌的儿童床17张，B品牌的儿童床13张 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是仔细审题，将实际问题转化为数学方程或不等式组． （1）设该店4月份A种品牌的儿童床售出x张，根据销售两种品牌的儿童床的利润相同列方程求解即可； （2）设该店5月份计划购进A品牌的儿童床a张，则购进B品牌的儿童床张，根据购进B品牌的儿童床张数不低于A品牌的儿童床张数的，且用于购买这两种儿童床的资金不超过115000元，可列一元一次不等式组，解不等式组即可解答． 【详解】（1）解：设该店4月份A种品牌的儿童床售出x张． 由题意，得， 解得，． 故该店4月份A种品牌的儿童床售出12张，B种品牌的儿童床售出8张； （2）解：设该店5月份计划购进A品牌的儿童床a张，则购进B品牌的儿童床张． 由题意，得， 解得，所以正整数解有， 所以有两种进货方案： ①购进A品牌的儿童床16张，B品牌的儿童床14张； ②购进A品牌的儿童床17张，B品牌的儿童床13张． 8．（24-25八年级下·浙江丽水·开学考试）某工程队有A，B两种型号的挖掘机；已知3台A型和5台B型挖掘机同时施工一小时挖土165立方米；4台A型和7台B型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米．每台A型挖掘机一小时的施工费用为300元，每台B型挖掘机一小时的施工费用为180元． (1)分别求每台A型，B型挖掘机一小时挖土多少立方米？ (2)若不同数量的A型和B型挖据机共12台同时施工4小时，至少完成1080立方米的挖土量，且总费用不超过12960元，问施工时有哪几种调配方案？ 【答案】(1)每台A型挖掘机一小时挖土30立方米，每台B型挖掘机一小时挖土15立方米 (2)施工时有4种调配方案，方案1：调配6台A型挖掘机，6台B型挖掘机；方案2：调配7台A型挖掘机，5台B型挖掘机；方案3：调配8台A型挖掘机，4台B型挖掘机；方案4：调配9台A型挖掘机，3台B型挖掘机 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设每台型挖掘机一小时挖土立方米，每台型挖掘机一小时挖土立方米，根据“3台型和5台型挖掘机同时施工一小时挖土165立方米；4台型和7台型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设调配台型挖掘机，则调配台型挖掘机，根据“不同数量的型和型挖据机共12台同时施工4小时，至少完成1080立方米的挖土量，且总费用不超过12960元”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出各调配方案． 【详解】（1）解：设每台A型挖掘机一小时挖土x立方米，每台B型挖掘机一小时挖土y立方米， 根据题意得：， 解得： 答：每台A型挖掘机一小时挖土30立方米，每台B型挖掘机一小时挖土15立方米； （2）解：设调配m台A型挖掘机，则调配台B型挖掘机， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 可以为6，7，8，9， 施工时有4种调配方案， 方案1：调配6台A型挖掘机，6台B型挖掘机； 方案2：调配7台A型挖掘机，5台B型挖掘机； 方案3：调配8台A型挖掘机，4台B型挖掘机； 方案4：调配9台A型挖掘机，3台B型挖掘机． 9．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）根据以下素材，探索完成任务， 如何确定木板分配方案？ 素材1 我校开展爱心义卖活动，小明和同学们打算推销自己的手工制品，他们以每块15元的价格买了100张长方形木板，每块木板长和宽分别是，． 素材2 现将部分木板按图1虚线裁剪，剪去四个边长相同的小正方形（阴影）．把剩余五个矩形拼制成无盖长方体收纳盒，使其底面长与宽之比为．其余木板按图2虚线裁剪出三块大小一样的木板（作为盖子），给部分盒子配上盖子． 素材3 义卖时的售价如标签所示： 无盖收纳盒20元/个； 有盖收纳盒30元/个． 问题解决 任务1 计算盒子高度 求出长方体收纳盒的高度． 任务2 确定分配方案1 若按图1方式裁剪的木板不少于83块且制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒个数，则木板该如何分配？请给出分配方案． 任务3 确定分配方案2 在任务2的条件下，为了提高利润，小明打算把图1裁剪下来的余料（阴影部分）利用起来，一张图1余料可以制成4块茶杯垫，以5元/块的价格出售，请确定木板分配方案，并求出销售后获得的最大利润． 【答案】任务1：长方体的高度为；任务2：共有3种方案：①83张木板制作无盖的收纳盒，17张木板有盖收纳盒；②84张木板制作无盖的收纳盒，16张木板有盖收纳盒；③85张木板制作无盖的收纳盒，15张木板有盖收纳盒；任务3：方案③利润最大，图1需要85张，图2需要15张，最大利润为2350元 【分析】本题主要考查了一元一次方程及不等式组的应用，找出相等关系或不等关系是解题的关键． 任务1：根据“底面长与宽之比为”列方程求解； 任务2：根据“按图1方式裁剪的木板不少于83块且制成的有盖收纳盒个数大于无盖收纳盒个数”列不等式组求解； 任务3：根据题意列出函数表达式，再根据函数的性质求解． 【详解】解：任务1：设长方体的高度为， 则：， 解得：， 答：长方体的高度为； 任务2：设图1方式需要裁剪x张木板，图2方式需要裁剪张木板， ∴， ∴， ∴x的整数解有：83，84，85， ∴共有3种方案：①83张木板制作无盖的收纳盒，17张木板有盖收纳盒； ②84张木板制作无盖的收纳盒，16张木板有盖收纳盒； ③85张木板制作无盖的收纳盒，15张木板有盖收纳盒； 任务3：由题意，根据任务2中的三种方案可得， ①83张木板制作无盖的收纳盒，17张木板有盖收纳盒，则销售额（元）； ②84张木板制作无盖的收纳盒，16张木板有盖收纳盒，则销售额（元）； ③85张木板制作无盖的收纳盒，15张木板有盖收纳盒，则销售额（元）． ∴方案③利润最大，图1需要85张，图2需要15张，最大利润为（元）． 题型七　一元一次不等式（组）“含参”问题 例题7-1：（2025·河南·模拟预测）若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查不等式的解集，理解一元一次不等式组解集的定义是正确解答的关键． 根据一元一次不等式组解集的定义进行解答即可． 【详解】解：关于x的不等式组的解集为，则a的取值范围是． 故选：D． 例题7-2：（24-25七年级下·全国·期末）已知不等式组的解集是，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查解一元一次方程，解一元一次不等式组．解题关键在于掌握其方法步骤． 解不等式组，根据其解集得出关于a、b的方程，解之求得a、b的值，再还原方程，解方程即可． 【详解】解：， 解不等式①，得； 解不等式②，得． ∵不等式组的解集是， ∴． ∴，． ∴． ∴方程为． 解得． 故选：D． 例题7-3：（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）若关于x的不等式组有3个整数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式组的整数解，解不等式组应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 首先解不等式组求得不等式组的解集，然后根据不等式组有3个整数解，即可确定整数解，然后得到关于的不等式求解即可． 【详解】解：解不等式组 得：， ∵恰好有3个整数解， ∴整数解是3，2，1， 故选：D． 例题7-4：（24-25七年级上·四川眉山·期末）关于x的不等式组的解集中每一个值均不在的范围中，则a的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的解集，先求出不等式的解集，然后根据不等式组的解集中每一个值均不在的范围中，得出或，然后关于a的不等式即可． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组的解集中每一个值均不在的范围中， ∴或， 解得或， 故选：B． 巩固训练 1．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）不等式组的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解不等式组的方法和步骤． 先求解不等式，结合原不等式组的解集是，得出关于的不等式，求解即可． 【详解】解：解不等式， 可得：， ∵原不等式组的解集是， ∴， 解得：， 故答案为：C． 2．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）不等式组的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解不等式组的方法和步骤． 先求解不等式，结合原不等式组的解集是，得出关于的不等式，求解即可． 【详解】解：解不等式， 可得：， ∵原不等式组的解集是， ∴， 解得：， 故答案为：C． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）若不等式组的解集是，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了解一元一次不等式组，以及有理数的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．先求出两个不等式的解集，再结合不等式组的解集求出、的值，继而代入计算即可． 【详解】解：由不等式组， 得，即． ，． ，． ． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）若关于的不等式组有个整数解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查不等式组求参数问题，解题的关键是掌握解不等式组的方法． 先解出不等式组，根据它有个整数解求出的取值范围． 【详解】解：解不等式组得：， 该不等式组有个整数解， 整数解为，，， ； 故答案为： 5．（24-25八年级上·四川成都·期末）如果关于的不等式组有且只有个整数解，则符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解、解一元一次不等式组，解答本题的关键是求出的取值范围． 先分别解出两个不等式的解，根据不等式组有且只有个整数解可以是，，，，，即可得到，解得，可以求得满足条件的整数的值，然后求出它们的和即可． 【详解】解：由，得， 由，得， 关于的不等式组有且只有个整数解， 这个整数解是，，，，， ， 解得：， 满足条件的整数的值为，，， 符合条件的所有整数的和为， 故答案为：． 6．（2024八年级下·浙江温州·竞赛）若关于的不等式组无实数解，则的取值范围是 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是掌握取不等式公共解集的方法．先解出各个不等式，再根据原不等式组无实数解列出关于a的不等式，即可解得答案． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∵不等式组无实数解， ∴， 解得， 故答案为：． 7．（24-25八年级下·山东青岛·阶段练习）若不等式组有解，则a的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了求不等式的解集．根据同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解），可得答案． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， ∵不等式组有解， ∴， 解得：， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·广西贵港·期末）若关于的不等式组，仅有2个整数解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．表示出不等式组的解集，根据不等式组有且仅有2个整数解，确定出a的范围即可． 【详解】解：不等式组整理得， ∵关于x的不等式组，仅有2个整数解， ∴整数解为3，4，即 解得：． 故答案为：． 9．（24-25七年级下·上海宝山·阶段练习）若关于的不等式组的解集只有3个整数解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查根据不等式组的解集求参数的范围，先求出不等式组的解集，根据不等式组的解集只有3个整数解，列出关于的不等式组，进行求解即可． 【详解】解：解，得：， ∵不等式组的解集只有3个整数解， ∴，3个整数解为：， ∴， ∴； 故答案为：． 10．（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）已知关于的不等式组，任意一个的值都不在的范围内，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了不等式组的解法，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 先求出不等式组的解集，再根据已知得出关于的不等式组，求出不等式组的解集即可得出答案． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 不等式组的解集为， 解集中任意一个的值都不在的范围内， 或， 或， 故答案为：或． 11．（24-25七年级下·安徽合肥·阶段练习）关于的方程的解为非负数，则的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的求解，一元一次不等式的求解，先求出方程的解为，再根据方程的解为非负数，列出不等式求出k的范围即可． 【详解】解：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 方程的解为非负数， ， 解得：． 12．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）已知关于x的方程的解是非负数． (1)求m的取值范围； (2)当m取最大整数时，求关于x的不等式：的最小整数解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次不等式，熟练掌握方程和不等式的解法是解题关键． （1）先解一元一次方程求出方程的解，再根据建立不等式，解不等式即可得； （2）先根据（1）的结果求出的值，再代入解一元一次不等式即可得． 【详解】（1）解：， ， 解得， 关于的方程的解是非负数， ，即， 解得． （2）解：，且取最大整数， ， 代入得：， ， ， ， 解得， ∴不等式：的最小整数解为． 13．（2025七年级下·全国·专题练习）如果关于x的方程的解不大于1，且是一个正整数，试确定m的值并求出原方程的解． 【答案】或，当时，原方程的解为；当时，原方程的解为 【分析】本题考查的是解一元一次方程，解一元一次不等式，先解一元一次方程得到，再根据的值不大于1，得到关于的不等式，求出的取值范围，再根据是一个正整数即可确定出的值，进而得出的值． 【详解】解：去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 由题意，得， ， 解得． 是一个正整数， 或． 当时，原方程的解为； 当时，原方程的解为． 14．（七年级下·福建龙岩·期末）已知关于x的不等式组． (1)若该不等式组有且只有4个整数解，求满足条件的整数a的值； (2)若该不等式组有解，且它的解集中的任何一个x值均不在的范围内，求a的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键． （1）表示出不等式组的解集，根据不等式组有且只有4个整数解，确定出a的范围即可； （2）根据不等式组有解表示出解集，由解集中的任何一个x值均不在的范围内，确定出a的范围即可． 【详解】（1）解：解不等式组，得 ， 因为该不等式组有且只有4个整数解， 所以， 所以，整数解为， 所以， 解得， 所以满足条件的整数a的值为； （2）解：因为该不等式组有解， 所以， 所以． 因为解集中的任何一个x值均不在的范围内， 所以， 解得， 所以a的取值范围为． 题型八　不等式（组）与方程组 例题8-1：（23-24七年级下·四川乐山·期末）已知关于x，y的方程组的解都为整数，且关于x的不等式组，恰有3个整数解，则所有满足条件的整数a的和为（   ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查解二元一次方程组和一元一次不等式组的能力，解题的关键是根据题意得出关于a的不等式组．根据不等式组求出a的范围，然后再根据方程组求出a的取值，从而确定的a的可能值即可得出答案． 【详解】解：解方程组得：， ∵方程组的解为整数， ∴、、， 解得：或0或1或或3或， 解不等式组，得：， ∵不等式组有且仅有3个整数解，即整数解为：， ∴， 解得：，满足条件的整数a有1、2、3、4， 综上所述：满足条件的整数a的值是1、3， ∴所有满足条件的整数a的值之和是． 故选：D． 例题8-2：（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）已知方程组中x为非正数，y为负数． (1)求a的取值范围； (2)化简：； (3)在（1）的范围中，当a为何整数时，不等式的解集为 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出方程组的解，即可得出不等式组，求出不等式组的解集即可； （2）根据，再化简绝对值即可； （3）根据不等式的解集求出的范围，即可得出答案． 【详解】（1）解：解方程组得：， 方程组中为非正数，为负数， ， 解得：， 即的取值范围是； （2）解：∵， ∴， ∴, ∴ ； （3）解：， ∴， 要使不等式的解集为， 必须， 解得：， ，为整数， ， 所以当为时，不等式的解集为． 巩固训练 1．（23-24七年级下·河南三门峡·期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，解二元一次方程组．由可得得，从而得到关于a的不等式组，即可求解． 【详解】解：， 由得：， ∴， ∵， ∴， ∴a的取值范围是. 故答案为：. 2．（23-24七年级下·北京·期末）已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了根据二元一次方程组解的情况求参数，一元一次不等式的解法；由方程组求得是解题关键．利用加减消元法求得，再建立不等式求m即可； 【详解】解： 由①②，得：， ∴， 当时，， 解得： ， ∴， 故答案为： 3．（24-25七年级下·上海·阶段练习）关于的方程的解是，求关于的不等式的解集，并求出满足条件的最小整数解． 【答案】，满足条件的最小整数解为1 【分析】本题考查了一元一次方程的解、解一元一次方程、解一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题关键．先将代入方程可得一个关于的一元一次方程，解方程可得，再代入不等式可得一个关于的一元一次不等式，解不等式，由此即可得． 【详解】解：∵关于的方程的解是， ∴， 解得， ∴关于的不等式为， 不等式的两边同乘以12，得， 解得， 所以满足条件的最小整数解为1． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知关于的二元一次方程组 (1)用含的式子表示此方程组的解为________； (2)若方程组的解满足．求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查加减消元法解二元一次方程组、解一元一次不等式等知识，熟练掌握解二元一次方程组、解一元一次不等式的方法步骤是解决问题的关键． （1）利用加减消元法先求出，再将只代入二元一次方程组中的其中一个方程求解即可得到答案； （2）由（1）知，将的值代入解一元一次不等式即可得到答案． 【详解】（1）解：， 由①②得， 解得； 将代入②得； 原方程组的解为， 故答案为：； （2）解：由（1）知， ， ， 解得． 5．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于x，y的二元一次方程组 (1)若方程组的解是正数，求m的取值范围； (2)若方程组的解满足不小于0，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式，解一元一次不等式组，解题的关键在于熟知解二元一次方程组的方法和解一元一次不等式的方法． （1）先把m看做常数利用加减消元法求出方程组的解，再根据方程组的解是正数得到关于m的不等式组，解不等式求出m的取值范围即可； （2）根据（1）所求结合不小于0建立不等式求解即可． 【详解】（1）解方程组， 得， ∵方程组的解是正数， ， 解得． （2）∵方程组的解满足不小于0， ， 解得． 6．（七年级下·广东广州·阶段练习）已知关于的方程组． (1)求方程组的解（用含的式子表示）； (2)若方程组的解满足，，且是整数，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）利用加减法解答即可求解； （）由题意可得关于的一元一次不等式组，解不等式组求出的取值范围，进而根据是整数可得的值； 本题考查了解二元一次方程组，求不等式组的整数解，掌握解二元一次方程组的方法和解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：， 得，， ∴， 把代入①得，， ∴， ∴方程组的解为； （2）解：∵，， ∴， 由①得，， 由②得，， ∴， ∵是整数， ∴． 7．（23-24七年级下·四川巴中·期末）已知方程组的解满足x为负数，y为非正数，求： (1)m的取值范围； (2)化简； (3)在（1）的条件下，若的解集为，请写出整数m的值． 【答案】(1) (2) (3)整数m的值为． 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，解一元一次不等式组，不等式的性质． （1）加减消元法解二元一次方程组得，由题意得，，然后解一元一次不等式组即可； （2）根据（1）的结果得到，，化简绝对值，计算即可求解； （3）根据不等式的性质可知，，然后求解作答即可． 【详解】（1）解：， 得，， 解得，， 将代入②得，， 解得，， ∴， ∵x为负数，y为非正数， ∴， 解③得，； 解④得，； ∴不等式组的解集为， ∴的取值范围为； （2）解：∵， ∴，， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵不等式的解为， ∴，即， ∴的取值为． ∴整数m的值为． 题型九　特殊型不等式（组） 例题9-1：（七年级下·河南周口·期中）（1）【阅读理解】“”的几何意义是：数在数轴上对应的点到原点的距离，所以“”可理解为：数在数轴上对应的点到原点的距离不小于，则： ①“”可理解为 ； ②请列举两个符号不同的整数，使不等式“”成立，列举的的值为 和 ． 我们定义：形如“，，，”（为非负数）的不等式叫做绝对值不等式，能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为绝对值不等式的解集． （2）【理解应用】根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式． 由上图可以得出：绝对值不等式的解集是或， 绝对值不等式的解集是．则： ①不等式的解集是 ． ②不等式的解集是 ． （3）【拓展应用】解不等式，并画图说明． 【答案】（1）①数在数轴上对应的点到原点的距离小于；②；3； （2）①或；②；（3）或，见解析． 【分析】（1）①类比题目所给的信息即可解答；②写出符合题意的两个整数即可（答案不唯一）； （2）①类比题目中的解题方法即可解答；②类比题目中的解题方法即可解答； （3）根据绝对值的几何意义可知，不等式的解集，就是数轴上表示数的点到表示与的点的距离之大于的所有的值，由此即可确定不等式的解集． 【详解】（1）①由题意可得，“”可理解为数在数轴上对应的点到原点的距离小于． 故答案为：数在数轴上对应的点到原点的距离小于； ② 令， 使不等式“”成立的整数为，， 故答案为：，． （2）①由题意可知， 不等式的解集是或， 故答案为：或； ②由题意可知，不等式的解集为： ， 即， 故答案为：； （3）根据绝对值的几何意义可知，不等式的解集就是数轴上表示数的点，到表示与的点的距离之和大于的所有的值， 如下图所示， 可知不等式的解集是或． 例题9-2：（七年级下·江苏南京·开学考试）自学下面材料后，解答问题． 分母中含有未知数的不等式叫分式不等式．如：；等．那么如何求出它们的解集呢？ 根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负．其字母表达式为：若，，则；若，，则；若，，则；若，，则． （1）反之：若，则或；若，则______或_______． （2）根据上述规律，求不等式的解集． （3）直接写出分式不等式的解集___________． 【答案】（1）或；（2）或；（3）或 【分析】（1）根据有理数的运算法则，两数相除，同号得正，异号得负即可解答. （2）根据不等式大于0得到分子分母同号，再分类讨论即可. （3）观察不等式后，发现分子相同且为正数，故只需要比较分母，再对分母的正负性进行分类讨论即可. 【详解】解：(1)若，则分子分母异号，故 或 故答案为： 或 . (2)∵不等式大于0，∴分子分母同号，故有： 或 解不等式组得到：或. 故答案为：或. (3)由题意知，不等式的分子为是个正数，故比较两个分母大小即可. 情况①：时，即时，，解得：. 情况②：时，即时，，解得：. 情况③：时，此时无解. 故答案为：或. 巩固训练 1．（七年级下·福建厦门·期中）阅读理解： 例1．解方程，因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为，所以方程的解为． 例2．解不等式，在数轴上找出的解（如图），因为在数轴上到1对应的点的距离等于2的点对应的数为或3，所以方程的解为或，因此不等式的解集为或．    参考阅读材料，解答下列问题： (1)方程的解为________ (2)解不等式：． (3)解不等式：． 【答案】(1)或 (2) (3)或 【分析】（1）利用在数轴上到对应的点的距离等于5的点对应的数为5或，求解即可； （2）先求出的解，再求的解集即可； （3）先在数轴上找出的解，即可得出不等式的解集． 【详解】（1）解：∵在数轴上到2对应的点的距离等于3的点对应的数为或5， ∴方程的解为：或， 故答案为：或． （2）解：在数轴上找出的解，如图：    ∵在数轴上到2对应的点的距离等于1的点对应的数为1或3， ∴方程的解为或， ∴不等式的解集为． （3）解：在数轴上找出的解， 由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到4和对应的点的距离之和等于8的点对应的的值， ∵在数轴上4和对应的点的距离为6， ∴满足方程的x对应的点在4的右边或的左边， 若x对应的点在4的右边，可得； 若x对应的点在的左边，可得， ∴方程的解是或， ∴不等式的解集为或． 2．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）阅读以下例题：解不等式： 解：①当，则， 即可以写成：解不等式组得： ②当若，则， 即可以写成：解不等式组得：． 综合以上两种情况：原不等式的解集为：或． 以上解法的依据为：当，则同号． 请你模仿例题的解法，解不等式： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了因式分解式不等式的求解，解题的关键在于熟练掌握两式之积大于0，则两式为同号，两式之积小于0则两式为异号． （1）利用两式之积大于0，推出两式同号，分别列出两个不等式组，按照不等式的大大取大，小小取小即可求出原不等式的解集． （2）利用两式之积小于0，推出两式异号，分别列出两个不等式组，按照不等式的大小小大取中间，即可求出原不等式的解集． 【详解】（1）解：①当，则， ，解不等式组得． ②当若，则， ，解不等式组得． 原不等式的解集为：或． （2）解：①当，则， ， 不等式组无解． ②当若，则， ，解不等式组得． 原不等式的解集为：． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$