精品解析：四川省达州市开江县2024-2025学年九年级上学期期末检测数学试题

开江县2024年秋季九年级期末质量检测数学 本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共8页 考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确． 2．选择题使用铅笔涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 3．考试结束后，教师将试题卷、答题卡、草稿纸一并收回． 第I卷（选择题共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 由8个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面向下看得到的视图．找出简单几何体的俯视图，对照四个选项即可得出结论． 【详解】解：从上面向下看，从左到右有三列，且每列正方形的个数分别为2、2、1， 故选：C． 2. 一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有60次摸到红球．请你估计这个口袋中红球的数量是（ ） A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查用样本估计总体，一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．用球的总个数乘以摸到红球的频率即可． 【详解】解：估计这个口袋中红球的数量为（个）， 故选：C． 3. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，k的取值范围是（ ）． A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，同时要满足该方程的二次项系数不为0．熟练运用根的判别式是解题关键． 根据一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 且， ∴且． 故选：B 4. 下列说法中正确的是（ ） A. 两条对角线互相平分的四边形是菱形 B. 在大量重复试验中，随着试验次数的增加，频率就是概率 C. 若顺次连接某四边形的四边中点得到一个正方形，则原四边形一定是正方形 D. 如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定，概率，正方形和直角三角形的判定等知识，根据菱形的判定，概率，正方形和直角三角形的判定知识即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故选项不符合题意； B、在大量重复试验中，随着试验次数的增加，频率接近概率，但频率不是概率，故选项不符合题意； C、若顺次连接某四边形的四边中点得到一个正方形，则原四边形的对角线相等且互相垂直，对角线相等且互相垂直的四边形不一定是正方形，故选项不符合题意； D、如图，中为边上的中线，且， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴为直角三角形， ∴如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形，说法正确，故选项符合题意； 故选：D． 5. 在如图所示的电路图中，若闭合、、、中任意一个开关，则小灯泡发光的概率为（　　）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等可能性事件的概率计算，理解等可能性事件的概率计算公式是解答本题的关键，“如果事件发生的各种结果的可能性相同且互相排斥，结果总数为n，事件A包含其中的结果数为，那么事件A发生的概率为．”，闭合、、、中任意一个开关，只有闭合时能够让灯泡发光，即该事件中，，根据公式计算即可得到答案． 【详解】根据题意，闭合、、中任意一个开关，灯泡均不发光，只有闭合时能够让灯泡发光， ∴能够让灯泡发光的概率为， 故选：C． 6. “黄金比例分割法”是启功先生研究的一套楷书结构法，是将正方形按照黄金分割的比例来分割，形成“黄金格”（如图，四条与边平行的线的交点都是黄金分割点），汉字的笔画至少要穿过两个黄金分割点才美观．若正方形“黄金格”的边长为，四个黄金分割点组成的正方形的边长为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割的定义进行计算，即可解答，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解：如图： ∵点是的黄金分割点， ， ∵点是的黄金分割点， ， ， ∴四个黄金分割点组成的正方形的边长为， 故选：B． 7. 某经济技术开发区今年一月份工业产值达30亿元，且第一季度的总产值为99.3亿元，若设平均每月的增长率为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设平均每月的增长率为，依题意列出方程即可，掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 【详解】解：设平均每月的增长率为，依题意得： ， 故选：D． 8. 如图，是反比例函数和在第一象限的图象，直线轴，并分别交两条双曲线于、两点，若，则的值是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形面积等知识，设点，代入双曲线得，根据三角形面积公式求出，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：设点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 9. 如图，等边三角形的边长为为上一点，且为上一点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质．由等边三角形的性质结合条件可证明，由相似三角形的性质可求得． 【详解】解：等边三角形的边长为7， ，， ， ， 又，且， ， ， ，即， ， 故选：D． 10. 如图，正方形和正方形中，在同一条直线上，，为的中点，延长交于点，连接，连接分别交，于点．下列说法：①；②；③；④；⑤平分．其中正确的结论个数有（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等；由正方形的性质和两个正方形边长关系，可证，结论①得证；由正方形的性质和两个正方形边长关系，可得到为的中点，，都是等腰直角三角形，且，可得，，可证，再结合，即可证，结论②得证；通过，可证为的中点， ，从而可证明，结论④可判定；过点作于，得到，设正方形的边长为，利用，，即可得到两者面积之比，可判定结论③；利用前面的证明结果，通过证明，即可证明不平分，可判定结论⑤；掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 【详解】解：①∵四边形和都是正方形，，为的中点， ，， ， ∴， ∵， 在和中， ， ∴，故①符合题意； ②∵四边形和都是正方形，， ∴正方形的边长为正方形边长的， ∴为的中点， 又∵为的中点， ∴， ∴都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 又， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故②符合题意． ④∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ，即为的中点， ∵， ∴， ∴，故④符合题意． ③∵为的中点，过点作于，如图： 设正方形的边长为，则正方形边长为，则， ， ， ，故③符合题意． ⑤∵，， ， ， 又， ， ， ∴不平分，故⑤不符合题意； 综上所述，结论①②③④符合题意，共个， 故选：D． 第II卷 非选择题（共110分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 11. 从，，3，6四个数中任意取一个数作点P的横坐标，记为m，再从余下的数中任取一个数作点P的纵坐标，记为n，则点落在反比例函数图象上的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数与概率结合，解题的关键是掌握反比例函数的性质，以及画树状图求概率的方法．首先利用树状图法求出所有可能的结果，然后求出点落在反比例函数图象上的结果，最后根据概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： ∴共有12种等可能的结果，其中点P在反比例函数图象上的有4种结果：， ∴点落在反比例函数图象上的概率是． 故答案为：． 12. 已知是一元二次方程的两个不相等实数根，则代数式的值是___________． 【答案】36 【解析】 【分析】本题主要考查了方程的解的定义．一般解题思路是，把表示根的字母代入方程得到相关的等式，再把所求的代数式变形成已知条件的形式，把已知条件整体代入即可．根据方程根的定义，分别把，代入方程可得，，再把代数式变形代值则可． 【详解】解：是一元二次方程的两个不相等实数根， ，，， ，， ． 故答案为：36 13. 如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的面积比是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据位似图形的概念得到，，证明，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案． 【详解】解：， ， 和是以点为位似中心的位似图形， ，， ， ， 与的面积比为：， 故答案为：． 14. 如图，矩形的顶点分别在轴和轴上，直线解析式为，双曲线经过矩形顶点和矩形对角线的交点，则的值为___________ 【答案】 【解析】 【分析】过点作轴于点F，先求出，，设点的坐标为，根据中点坐标公式求出点坐标为，根据点在反比例函数的图象上，得出，求出，，得出，证明，得出，求出即可． 【详解】解：过点作轴于点，如图所示： 把代入得：， 把代入得：， 解得：， ∴， 设点的坐标为， ∵点为矩形的对角线和的交点， ∴为的中点， ∴点坐标为， ∵点在反比例函数的图象上， ， 整理得：， ∴， 在矩形中，， 又∵ ， ， ∴， ， ， 解得：， 经检验是原方程的根， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握相关的性质，作出辅助线，构造相似三角形． 15. 如图，在边长为5的正方形中，点、是边、上两点，且，连接、相交于点，延长至，连接，若，则线段的长为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】过B点作于H，根据勾股定理可得，利用面积法可得，再根据勾股定理可得，由可得，则可得，进而可求出的长． 本题主要考查了正方形的性质和勾股定理，利用面积法求出的长是解题的关键． 【详解】解：如图，过B点作于H． ∵四边形是正方形， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，共90分，写出必要的解答过程或演算步骤） 16. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握解一元二次方程的方法是关键； （1）先计算，再利用求根公式解方程即可； （2）把方程化为可得，再利用直接开平方法解方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，． 17. 一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，求这个长方体的表面积． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了几何体的三视图，用到的知识点是三视图的基本知识以及长方体表面积计算公式．由俯视图求解正方形的边长，再根据长方体底面积公式求解即可． 【详解】解：如图所示： 则，，， ∵， ∴， ∴两个底面积为：， 侧面积为：， ∴这个长方体的表面积为：． 18. 如图，已知在中，，． （1）尺规作图：以点为圆心，的长为半径画弧．再以点为圆心，长为半径画弧，两弧在上方交于点，连接，，（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：四边形是正方形． 【答案】（1） 如图即为所求； （2） 证明：由作图可知，，， ， ． ． ， ， ， ． ， 四边形是平行四边形， ，， 四边形是正方形． 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图和正方形的判定． 根据要求用尺规作图画出图形； 根据作图可证，根据全等三角形的性质可知，根据同旁内角互补两直线平行可证四边形是平行四边形，再根据、可证四边形是正方形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 某校开展了以“学习百年党史，汇聚团结伟力”为主题的知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分成，五个等级，并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列问题： 学生成绩扇形统计 等级 成绩 A 60x<70 90x≤100 （1）学生成绩频数分布直方图中A等级的频数___________，扇形统计图中D等级的圆心角度数为___________，补全学生成绩频数分布直方图； （2）若成绩在60分及以上为及格，全校共有3200名学生，估计成绩及格的学生有多少人？ （3）本次成绩前四名有2名女生和2名男生，若从这四人中随机抽取2名同学代表学校参加比赛，请用画树状图或列表法求出恰好是一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1）16，； 频数分布直方图如下： （2）2944人 （3） 【解析】 【分析】（1）先根据等级的人数和所占百分比求出本次调查的人数，进而求出和的人数，求出扇形统计图中D等级的圆心角度数，然后补全频数分布直方图即可； （2）根据用样本评估总体的性质计算，即可得到答案； （3）根据题意画出正确的树状图，据此根据树状图进一步分析求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得等级的学生人数为：50人，等级的学生人数占比为：， 本次调查随机抽取的学生总数为：（人， 等级的学生人数占比为：， 等级的学生人数为：（人， 即， 等级的学生人数为：（人，即， 等级的学生人数为70人， 扇形统计图中D等级的圆心角度数为， 等级的学生人数为：（人， 故答案为：16，； 【小问2详解】 解：成绩在60分及以上的学生人数占比为：， 全校估计成绩及格的学生有2944人； 【小问3详解】 解：画树状图如下： 由图可知，共有12种等可能得结果，其中恰好是一名男生和一名女生的结果有8种， 所以恰好是一名男生和一名女生的概率． 【点睛】本题考查了调查统计的知识，列表法或树状图法求概率，解题的关键是熟练掌握频率分布直方图、扇形统计图、用样本评估总体的性质，从而完成求解． 20. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数的图象与反比例函数在第二象限的图象交于点，与轴交于点，连结并延长交这个反比例函数第四象限的图象于点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式． （2）求的面积． 【答案】（1）反比例函数关系式为，一次函数关系式为 （2）6 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，勾股定理及三角形的面积，用待定系数法求函数关系式是解本题的关键． （1）过点A作轴，根据勾股定理求出，得，将点坐标代入得到反比例函数关系式，再由待定系数法求得一次函数关系式； （2）由题意得点A与 C关于原点对称，可得，再得，根据三角形面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：如图，过点A作轴， ， ， 中，， ， 将代入反比例函数，得，解得：， 反比例函数关系式为， 将，代入一次函数，得 ，解得：， 一次函数关系式为； 【小问2详解】 解：由题意得点A与 C关于原点对称，， ， ． 21. 如图，在中，，延长至点，使得，连接，过点作的垂线，交于点，连接交于点． （1）求证：； （2）若的面积为9，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用； （1）先证明及，可得，从而可得结论； （2）作于，由，可得，可得，进一步可得，再求解，再进一步求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：作于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 22. 在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识来解决实际问题．实践报告如下： 实践报告 活动课题 测量学校旗杆的高度 活动工具 标杆、卷尺 测量过程 【步骤一】测量标杆的长度；测量兴趣小组成员小明的身高（地面到眼睛的高度）； 【步骤二】将标杆竖立在小明同学和旗杆之间，小明适当调整自己所处的位置，使自己、标杆、旗杆在同一条水平直线上，且旗杆的顶端、标杆的顶端与眼睛在同一条直线上【步骤三】其他同学用卷尺测出小明到标杆的距离，旗杆到标杆的距离，并分别记录：【步骤四】记录数据（单位：） 小明身高（地面到眼睛） 160 标杆高度 400 小明到标杆距离 400 旗杆到标杆距离 1600 解决问题 根据以上数据计算旗杆的高度． 请你帮助兴趣小组解决以上问题． 【答案】旗杆的高度为． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，过点作于，交于点，证明，得出，代入数据求出的长，即可得出结果，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于，交于点，则四边形是矩形， 由题意可知，，， ， ， ∴， ， ， ∴旗杆的高度为． 23. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某社区图书室积极推广全社区阅读活动，决定下半年逐月加大图书购置经费的投入．其中七月计划购买甲与乙两种书籍共100本．已知书籍甲的单价是70元，书籍乙的单价是50元，共花费5800元． （1）请问七月计划购买甲、乙书籍各多少本？ （2）经过比较，图书室工作人员最终决定在新星书城购买书籍甲和乙．书籍甲的单价减少了元，购买数量增加了本．书籍乙的单价不变，购买甲、乙书籍的总数量也不变，总费用比原计划减少了元，请求出的值． 【答案】（1）七月计划购买本书籍甲，本书籍乙； （2）的值为． 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是正确列出一元二次方程． （1）设七月计划购买本书籍甲，则购买本书籍乙．利用总价单价数量，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值（即购买书籍甲的数量），再将其代入中，即可求出购买书籍乙的数量； （2）利用总价单价数量，结合总费用比原计划减少了元，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设七月计划购买本书籍甲，则购买本书籍乙， 根据题意得：， 解得：， 答：七月计划购买本书籍甲，本书籍乙； 【小问2详解】 解：根据题意得： ， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），， 答：的值为． 24. 【问题情境】已知矩形的面积为1，求该矩形周长的最小值． 【函数模型】设该矩形的长为，周长为，则矩形的宽为，所以与的函数表达式为 【探索研究】 小芳同学借鉴以往研究函数的经验，对问题进行如下处理：设，则，这样将问题就转化为求函数的最小值，她首先探索函数的图象性质．下表是与的几组对应值． 1 2 3 2 （1）表格中___________，___________． （2）请在平面直角坐标系中画出对应函数的图象，并写出函数图象的两条性质：性质1：___________；性质2：___________ 【问题解决】 （3）根据上面的探究，得到【问题情景】中的答案：矩形周长的最小值为___________． 【答案】 （1）；4； （2）根据（1）中表格数据描点、连线得， ①当时，随的增大而减小； ②函数有最小值，最小值为2； （3）4 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质,反比例函数的图象，矩形的性质，二次函数的最值,读懂题目信息，理解函数的图象是解题的关键． （1）根据表格数据即可求出m，n的值； （2）根据表格数据，描点、连线，即可得出函数的图象，结合图象即可写出函数图象的两条性质； （3）由（2）得，当时，y有最小值，y最小值，由此可以得到问题情景的结论． 【详解】解：对于， 当时，； 当时，，解得，， ∴； 故答案为：；4； （2）由图象得：①当时，随的增大而减小； ②函数有最小值，最小值为2； （3）由图象知：当时，y有最小值，y最小值， 所以，矩形周长的最小值为4． 25. 在矩形中，．分别以边所在的直线为轴，轴建立如图所示的平面直角坐标系． （1）如图1，将沿对角线翻折，交于点，点的对应点为，求点的坐标； （2）如图2，已知是上一点，且于点，交于点F，求四边形的面积； （3）如图3，点，点是上一点，且，是直线上的一个动点，在轴上方的平面内是否存在另一个点，使以，为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）四边形的面积为； （3）点或或． 【解析】 【分析】（1）先推出是等腰三角形，进而设，在中列方程可得； （2）因为，所以根据，求得即可； （3）先根据相似三角形的判定与性质，求得，进而得出点坐标，从而求出的函数关系式，设出点坐标，当是等腰三角形时，以为顶点的四边形可以是菱形，因为在轴上方，所以分为和，三种情形，当时，可根据它列出方程，当时，可先判断得和点纵坐标，进而求得结果，当时，求得结果． 【小问1详解】 解：过点作于点，如图： 由折叠可知，， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 设，则，， 在中，，即， 解得：， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， 在中，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图： ∵四边形是矩形， ∴， ∵ ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：设与交于点，如图： ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设的解析式是，把，代入得： ， 解得：， ， 设， 当时， ， 解得：，（舍去）， 当时，， ∴， ∴， 当时，此时垂直平分， ， ， ， ， 当时， ， ， ，， （舍去），， 综上所述：点或或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理的运用，相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握基本知识和基本方法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 开江县2024年秋季九年级期末质量检测数学 本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共8页 考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确． 2．选择题使用铅笔涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 3．考试结束后，教师将试题卷、答题卡、草稿纸一并收回． 第I卷（选择题共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 由8个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图为（） A. B. C. D. 2. 一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有60次摸到红球．请你估计这个口袋中红球的数量是（ ） A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个 3. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，k的取值范围是（ ）． A. B. 且 C. D. 且 4. 下列说法中正确的是（ ） A. 两条对角线互相平分的四边形是菱形 B. 在大量重复试验中，随着试验次数的增加，频率就是概率 C. 若顺次连接某四边形的四边中点得到一个正方形，则原四边形一定是正方形 D. 如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 5. 在如图所示的电路图中，若闭合、、、中任意一个开关，则小灯泡发光的概率为（　　）． A. B. C. D. 6. “黄金比例分割法”是启功先生研究的一套楷书结构法，是将正方形按照黄金分割的比例来分割，形成“黄金格”（如图，四条与边平行的线的交点都是黄金分割点），汉字的笔画至少要穿过两个黄金分割点才美观．若正方形“黄金格”的边长为，四个黄金分割点组成的正方形的边长为（） A. B. C. D. 7. 某经济技术开发区今年一月份工业产值达30亿元，且第一季度的总产值为99.3亿元，若设平均每月的增长率为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是反比例函数和在第一象限的图象，直线轴，并分别交两条双曲线于、两点，若，则的值是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 9. 如图，等边三角形的边长为为上一点，且为上一点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形和正方形中，在同一条直线上，，为的中点，延长交于点，连接，连接分别交，于点．下列说法：①；②；③；④；⑤平分．其中正确的结论个数有（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第II卷 非选择题（共110分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 11. 从，，3，6四个数中任意取一个数作点P的横坐标，记为m，再从余下的数中任取一个数作点P的纵坐标，记为n，则点落在反比例函数图象上的概率是______． 12. 已知是一元二次方程的两个不相等实数根，则代数式的值是___________． 13. 如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的面积比是___________． 14. 如图，矩形的顶点分别在轴和轴上，直线解析式为，双曲线经过矩形顶点和矩形对角线的交点，则的值为___________ 15. 如图，在边长为5的正方形中，点、是边、上两点，且，连接、相交于点，延长至，连接，若，则线段的长为___________． 三、解答题（本大题共10小题，共90分，写出必要的解答过程或演算步骤） 16. 解方程： （1） （2） 17. 一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，求这个长方体的表面积． 18. 如图，已知在中，，． （1）尺规作图：以点为圆心，的长为半径画弧．再以点为圆心，长为半径画弧，两弧在上方交于点，连接，，（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：四边形是正方形． 19. 某校开展了以“学习百年党史，汇聚团结伟力”为主题的知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分成，五个等级，并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列问题： 学生成绩扇形统计 等级 成绩 A 60x<70 90x≤100 （1）学生成绩频数分布直方图中A等级的频数___________，扇形统计图中D等级的圆心角度数为___________，补全学生成绩频数分布直方图； （2）若成绩在60分及以上为及格，全校共有3200名学生，估计成绩及格的学生有多少人？ （3）本次成绩前四名有2名女生和2名男生，若从这四人中随机抽取2名同学代表学校参加比赛，请用画树状图或列表法求出恰好是一名男生和一名女生的概率． 20. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数的图象与反比例函数在第二象限的图象交于点，与轴交于点，连结并延长交这个反比例函数第四象限的图象于点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式． （2）求的面积． 21. 如图，在中，，延长至点，使得，连接，过点作的垂线，交于点，连接交于点． （1）求证：； （2）若的面积为9，，求的长． 22. 在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识来解决实际问题．实践报告如下： 实践报告 活动课题 测量学校旗杆的高度 活动工具 标杆、卷尺 测量过程 【步骤一】测量标杆的长度；测量兴趣小组成员小明的身高（地面到眼睛的高度）； 【步骤二】将标杆竖立在小明同学和旗杆之间，小明适当调整自己所处的位置，使自己、标杆、旗杆在同一条水平直线上，且旗杆的顶端、标杆的顶端与眼睛在同一条直线上【步骤三】其他同学用卷尺测出小明到标杆的距离，旗杆到标杆的距离，并分别记录：【步骤四】记录数据（单位：） 小明身高（地面到眼睛） 160 标杆高度 400 小明到标杆距离 400 旗杆到标杆距离 1600 解决问题 根据以上数据计算旗杆的高度． 请你帮助兴趣小组解决以上问题． 23. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某社区图书室积极推广全社区阅读活动，决定下半年逐月加大图书购置经费的投入．其中七月计划购买甲与乙两种书籍共100本．已知书籍甲的单价是70元，书籍乙的单价是50元，共花费5800元． （1）请问七月计划购买甲、乙书籍各多少本？ （2）经过比较，图书室工作人员最终决定在新星书城购买书籍甲和乙．书籍甲的单价减少了元，购买数量增加了本．书籍乙的单价不变，购买甲、乙书籍的总数量也不变，总费用比原计划减少了元，请求出的值． 24. 【问题情境】已知矩形的面积为1，求该矩形周长的最小值． 【函数模型】设该矩形的长为，周长为，则矩形的宽为，所以与的函数表达式为 【探索研究】 小芳同学借鉴以往研究函数的经验，对问题进行如下处理：设，则，这样将问题就转化为求函数的最小值，她首先探索函数的图象性质．下表是与的几组对应值． 1 2 3 2 （1）表格中___________，___________． （2）请在平面直角坐标系中画出对应函数的图象，并写出函数图象的两条性质：性质1：___________；性质2：___________ 【问题解决】 （3）根据上面的探究，得到【问题情景】中的答案：矩形周长的最小值为___________． 25. 在矩形中，．分别以边所在的直线为轴，轴建立如图所示的平面直角坐标系． （1）如图1，将沿对角线翻折，交于点，点的对应点为，求点的坐标； （2）如图2，已知是上一点，且于点，交于点F，求四边形的面积； （3）如图3，点，点是上一点，且，是直线上的一个动点，在轴上方的平面内是否存在另一个点，使以，为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $