3 因数与倍数-【拔尖特训】2024-2025学年五年级下册数学（苏教版 江苏专用）

三　 因数与倍数 第1课时 因数和倍数 1. 填一填。 (1) 在3×8=24中,( )和( )是 ( )的因数。在10÷2=5中,( )是 ( )和( )的倍数。 (2) 按要求写出下面各数的因数或倍数。 21的因数有( )。 49的因数有( )。 8的倍数有( )。 11的倍数有( )。 (3) 一个数的最大因数是18,这个数的最小 因数是( ),最小倍数是( )。 (4) ( )既是16的倍数,又是16的因数。 100以内的数中,( )是18的最大倍数。 2. 选一选。 (1) (扬州宝应)《西游记》中孙悟空跟菩提祖 师学筋斗云和七十二般变化,其中72的因数 一共有( )个。 A. 10 B. 11 C. 14 D. 12 (2) (生活应用)某超市收到一份56瓶饮料 的外卖订单,售货员想把这些饮料正好装完, 应使用( )包装。 A. B. C. D. (3) ★下面的说法中,正确的有( )个。 ① 5×7=35,5是因数,35是倍数。 ② 9÷2.5=3.6,9是2.5的倍数。 ③ 一个数越大,它的因数的个数就越多。 ④ 5的倍数的个数比3的倍数的个数多。 ⑤ 若x是y的因数,则x一定不大于y。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 如图,7名同学按顺时针方向依次报数。 (1) 谁先报到7的倍数? (2) 像这样一直报下去,其他同学报的数可 能是7的倍数吗? 为什么? 4. 小明把放入篮子的20个梨拿出来,不可以一 次拿完,也不可以一个一个地拿,并且每次拿 的个数相同,拿完最后一次正好一个也不剩。 小明共有几种拿法? 每种拿法每次分别拿 几个? 5. a、b、c是不等于0和1的不同的自然数,A= a×b×c。 6. (推理意识)自然数M 有很多个因数,把它的 这些因数两两求和得到一组新数,在这些新 数中,最小的是4,最大的是316。这个自然 数M 是( )。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 12 第2课时 2和5的倍数的特征 1. 将下面的数按要求分一分。 16 15 58 70 40 73 85 80 11 97 (1) 偶数有( ),奇数有 ( )。 (2) 2. 填一填。 (1) 使35 是2的倍数, 里可以填 ( )。使35 是5的倍数, 里可 以填( )。使35 既是2的倍数又 是5的倍数, 里可以填( )。 (2) 三个连续偶数的和是102,这三个偶数分 别是( )、( )和( )。 3. 选一选。 (1) 一个奇数加上( )的结果一定是偶数。 A. 1 B. 2 C. 4 D. 任意偶数 (2) 与2a(a为非零自然数)相邻的两个奇数 是( )。 A. 2a-2和2a+2 B. 2a-1和2a+1 C. 2a和2a+2 D. 2a-1和2a-2 4. 组成符合要求的无重复数字的四位数。 4 0 3 5 (1) 最大的偶数是( )。 (2) 最小的奇数是( )。 (3) 组成的数既是偶数,又是5的倍数: ( )。 (4) 组 成 的 数 既 是 奇 数,又 有 因 数 5: ( )。 5. 亮亮一边唱着歌一边翻着杯子。如果杯口按 朝上→朝下→朝上……这样的规律翻动,第 1次是朝上,第13次、第26次、第50次、第 77次,杯口分别朝着哪个方向呢? 6. (地域特色)“梅盛每称香雪海,茶尖争说碧螺 春”,苏州碧螺春茶名满天下,奇奇家的茶园 采了603两新茶,爷爷准备每5两包装一个 礼盒,奇奇说包装到最后不会正好。至少再 采几两新茶正好呢? (两是一种质量单位) 7. (推理意识)欢欢、军军、明明三家都住在同一 条巷子里,军军家在中间。一天欢欢发现一 个奇妙的现象:三家的门牌号是相邻的奇数, 而且三家的门牌号之和比欢欢家的门牌号大 48。欢欢、军军、明明三家的门牌号各是多 少? (欢欢家的门牌号最小) 8. (算理理解)东东是个喜欢提问的小朋友。学 完2和5的倍数后他提出了一个问题,你能 解释吗? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 22 数学(苏教版·江苏专用)五年级下 第3课时 3的倍数的特征 1. (1) 在是3的倍数的数后面的 里画“􀳫”。 78 215 960 1008 33333 454545 (2) 不计算,找出没有余数的算式。(填序号) ① 26÷3 ② 472÷3 ③ 111÷3 ④ 51÷3 ⑤ 49÷3 ⑥ 732÷3 没有余数的算式有( )。 2. 要使组成的数是3的倍数, 里可以填哪 些数字? 请填在相应的括号里。 (1) 4 , 里可以填( )。 (2) 26 , 里可以填( )。 (3) 5 6, 里可以填( )。 (4) 09, 里可以填( )。 3. 选一选。 (1) 在74、820、991、1116、66666和272727 中,3的倍数有( )个。 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 (2) (盐城滨海)在下面的计数器的个位上至 少再拨( )个珠,使得计数器上表示的四 位数是3的倍数。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 (3) 用1、2、3这三个数字组成的三位数一定 是( )的倍数。 A. 2 B. 3 C. 4 D. 2和3 (4) 69323至少增加( )后才是3的倍数, 至少减去( )后也是3的倍数。 A. 2 B. 1 C. 5 D. 6 4. 从0、4、5、8中选出3个数字组成三位数,且 该数是3的倍数。你能组成多少个这样的 数? 请分别写出来。 5. (推理意识)苗苗去体育用品商店买乒乓球 拍,乒乓球拍的单价都是整数,收银员说:“买 3副同样的乒乓球拍应付155元。”苗苗觉得 不对,你能解释其中的原因吗? 6. (探索规律)你能用探索3的倍数的特征的方 法探索一下9的倍数的特征吗? 81 94 36 702 29 919 8901 (1) 上面的数中,9的倍数有( )。 (2) 9的倍数的特征是( )。 (3) 已知a+b=9,则五位数3a4b2是不是9 的倍数? 试用上面的知识加以说明。 7. 有甲、乙、丙三个自然数,如果甲数比乙数大 5,乙数比丙数也大5,那么甲、乙、丙三个数 的和是3的倍数吗? 为什么? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 32 三　因数与倍数 第4课时 练 习 课 1. 填一填。 (1) 由4a=b(a、b 均为非零自然数)可知, ( )是( )和( )的倍数,( )和 ( )是( )的因数。 (2) 一个数的最小倍数与最大因数的和是 54,这个数的因数有( )。 (3) 一个数共有5个因数,按从小到大的顺 序排列,第3个因数是9,这个数是( )。 2. 按要求在 里填合适的数字。 (1) 16 、34 同时是2和3的倍数, 里可以填( )。 (2) 52 、85 同时是3和5的倍数, 里可以填( )。 (3) 30 、69 同时是2、3和5的倍数, 里可以填( )。 3. 选一选。 (1) M 表示1~9中任意一个自然数,下面的 数中,一定是2和3的倍数的是( )。 A. MM0MM0 B. M0M0M C. MM0M0M0 D. M0M0M0 (2) 三个连续的奇数的和一定是( )的 倍数。 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 (3) 下面的说法中,正确的有( )句。 ① 因为3.6÷1.2=3,所以3.6是1.2的 倍数。 ② 一个数的倍数的个数肯定比这个数因数 的个数多。 ③ 四个数的和一定是4的倍数。 ④ 同时是2、3、5的倍数的数末尾肯定是0。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. (生活应用)有40罐蜂蜜,选择下面哪种包装 方法能正好装完且没有剩余? 为什么? 5. 一个数,既是9的倍数,又是72的因数。这 个数是多少? (请写出所有可能的情况) 6. 123456、234567、345678、456789、…都是3的 倍数吗? 为什么? 7. (推理意识)李叔叔的电子钱包付款密码是个 六位数,前四位是5048,后两位他忘记了,但 他记得这个六位数既是5的倍数也是3的倍 数。为了找出这个密码,李叔叔最多要试多 少次? 8. (推理意识)一个偶数分别与相邻的两个偶数 相乘,所得的两个乘积相差80,则这三个偶 数的和是多少? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 42 数学(苏教版·江苏专用)五年级下 第5课时 质数、合数 1. 填一填。 (1) 将下面的数按要求分一分。 2 32 17 25 53 91 78 49 61 13 15 23 24 59 62 80 81 56 质数有( ), 合数有( )。 (2) 1~20中,既是偶数又是质数的数为 ( ),既是奇数又是合数的数为( )。 (3) 1~20中,相邻两个数都是质数的数是 ( ),相邻3个数都是合数的数是 ( )。 (4) 要使 7 是 合 数, 里 可 以 填 ( ),要使7 是质数, 里可以 填( )。 2. 猜数游戏。 3. 在括号里填合适的质数。 18=( )+( ) 20=( )+( )=( )+( ) 37=( )+( )+( )+( ) 4. 选一选。 (1) (苏州常熟)若某正方形的边长是质数, 则它的面积一定是( )。 A. 质数 B. 合数 C. 奇数 D. 偶数 (2) 20以 内 加 上 2 后 还 是 质 数 的 数 有 ( )个。 A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 (3) 下面的说法中,正确的有( )句。 ① 偶数一定是合数。 ② 两个合数的和不可能是质数。 ③ 合数的因数个数永远比质数的多。 ④ 1、2、5、6、9、11中,合数有2个,质数有 4个。 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. (1) 亮亮的出生年份是个四位数,这个数中 有几个“最小”(如图),亮亮的出生年份是 ( )年。 ① 千位上的数字是最小的质数。 ② 百位上的数字是最小的自然数。 ③ 十位上的数字是最小的奇数。 ④ 个位上的数字是最小的合数。 (2) 100以内有25个质数,找一找你们家有 没有哪个数是质数。请用(1)中的方式介 绍它。 6. (推理意识)一个质数(两位数),将其个位上 的数字与十位上的数字交换位置,得到的数 仍是质数。这样的质数有多少个? 把它们分 别写出来。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 52 三　因数与倍数 第6课时 质因数和分解质因数 1. 填一填。 (1) 18的因数有( ),其中质因 数有( )。 (2) 按分解质因数的过程填空。 36=( )×( )×( )×( ) 40=( )×( )×( )×( ) 2. ★把下面各数分解质因数。 32 45 63 87 3. (生活应用)春游时,小聪所在班级的同学正 好可以分成若干个小组(每组人数多于1), 且没有剩余,你知道小聪可能是哪个班的吗? 为什么? 班 级 五年级 一班 五年级 二班 五年级 三班 五年级 四班 人 数 47 51 53 49 4. 选一选。 (1) 下面分解质因数正确的是( )。 A. 91=1×91 B. 28=1×2×2×7 C. 66=3×22 D. 102=2×3×17 (2) 两个 不 同 的 质 数 相 乘,积 的 因 数 有 ( )个。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 (3) 下面的说法中,正确的是( )。 A. 因为30=2×3×5,所以30的因数有1、 2、3、5、30,共5个 B. 每个自然数都可以分解质因数 C. 合数一定至少有两个不同的因数 D. 一个数越大,它可以分成的质因数个数越多 5. (无锡梁溪区)有三个小朋友的岁数恰好是相 邻的三个数,他们的岁数的乘积是210。这 三个小朋友的年龄从小到大依次是多少? 6. 学校购进84棵柳树进行栽种,要求每行的柳 树棵数必须相等,并且每行的棵数必须是质 数,则符合要求的栽法有几种? 请写出所有 符合要求的栽法。 7. (创新应用)将下面的数分成两组,使这两组 数的乘积相等。 4 6 7 21 22 25 50 88 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 62 数学(苏教版·江苏专用)五年级下 第7课时 公因数和最大公因数 1. 16的因数有( ),24的因数有 ( ),16和24的公因 数有( ),最大公因数是( )。 2. 填一填。 3. 求下面每组数的最大公因数。 9和15 30和40 27和63 48和32 4. 选一选。 (1) 3和4是12的( ),6是12和24的 ( )。 A. 因数 B. 倍数 C. 公因数 D. 最大公因数 (2) 一个数既是45的因数,又是30的因数, 这个数最大是( )。 A. 3 B. 5 C. 15 D. 45 (3) 如果两个数的最大公因数是6,那么这两 个数的公因数还有( )。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 以上都正确 (4) 已知a=2×3×5,b=2×2×5,则a和b 的最大公因数是( )。 A. 2 B. 3 C. 5 D. 10 5. 写出下面各数与3的最大公因数。你能发现 什么规律? 2 3 5 6 10 12 14 15 与3的最 大公因数 我发现:当一个数是质数的倍数时,它们的最 大公因数是( );当一个数不是质数的 倍数时,它们的最大公因数是( )。一个 数与质数的最大公因数只有( )种情况。 6. (生活应用)王老师家客厅的地面长6米,宽 4.8米,现准备在地面上铺方砖。有3种规 格的方砖,边长分别是5分米、6分米和8分 米。选哪种规格的方砖铺地不需要进行切割? 7. 把如图所示的三根彩带剪成长度一样的短彩 带且没有剩余,每根短彩带最长是多少厘米? 至少可以剪成多少根这样的短彩带? 8. (生活应用)某机场在大厅门口的长廊上放置 无人售卖机。如图,从 A 地经过 B地到 C地,如果每隔相同的距离放置一台,那么至 少需要放置多少台无人售卖机? (A地、B地 和C地各需放置一台) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 72 三　因数与倍数 第8课时 练 习 课 1. 在括号里写出每组数的最大公因数。 3和8( ) 7和9( ) 15和16( ) 6和11( ) 23和46( ) 18和36( ) 11和55( ) 35和7( ) 2. 你能在括号里写出下面分数中分子和分母的 最大公因数吗? 试一试。 12 27 ( ) 1352 ( ) 845 ( ) 24 48 ( ) 2080 ( ) 3550 ( ) 3. 按要求在括号里填不同的数。 (1) 两个合数的最大公因数是1。 ( )和( ) ( )和( ) (2) 两个数的最大公因数是所填的数。 12和( ) 27和( ) (3) 两个数的最大公因数是已知的数。 5和( ) 9和( ) 4. (生活应用)某花店将96朵向日葵和72朵粉 玫瑰都扎成寓意为“一举夺魁”的花束。如果 每束花里的向日葵和粉玫瑰的朵数分别一样 多,那么每束花里最少有多少朵花? 5. 把一张长方形纸(如图)裁成同样大的正方 形,如果要求纸没有剩余,那么裁出的正方形 的边长最长是多少厘米? 一共能裁出多少个 这样的正方形? 6. 选一选。 (1) 所有非零自然数的公因数是( );所 有非零偶数的公因数是( )。 A. 0 B. 1 C. 2 D. 1和2 (2) m、n是不为0的自然数,m=2n,则m、n 的最大公因数是( )。 A. m B. n C. 2 D. 2n (3) x、y是不为0的自然数,x÷y=1…… 1,则x、y的最大公因数是( )。 A. x B. y C. 1 D. xy (4) 用1、3、5组 成 的 数 一 定 有 公 因 数 ( )。 A. 3 B. 1和3 C. 1和5 D. 1、3和5 (5) (淮安洪泽区)老师准备将21本本子和 32支笔平均分给美术兴趣小组的学生,结果 本子多1本,笔少3支,这个兴趣小组有学生 ( )名。 A. 3 B. 5 C. 8 D. 无法确定 7. 有两个不同的非零自然数,它们的和是200, 最大公因数是25。满足条件的自然数有几 组? 分别是多少? 8. (创新应用)已知100、169、215被同一个大于 1的自然数除,得到的余数都相同。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 82 数学(苏教版·江苏专用)五年级下 第9课时 公倍数和最小公倍数 1. (探索规律)如图,淘淘和爸爸按木桩上所标 的数从小到大的顺序行走,淘淘每次走2个 木桩后停留一下,爸爸每次走3个木桩后停 留一下。请把两人都停留的木桩圈起来。 我发现:两人都停留的木桩上所标的数是2 和3的( ),2和3的最小公倍数是( )。 2. 把50以内的8的倍数、12的倍数以及8和 12的公倍数分别填入对应的圈里。 8和12的最小公倍数是( )。 3. 求下面每组数的最小公倍数。 18和36 20和30 5和13 38和57 4. 曹叔叔要打包一批图书。他发现把这批图书 平均打包成20包,或者平均打包成22包都 正好。这批图书至少有多少本? 5. 选一选。 (1) 两个自然数的乘积一定是这两个数的 ( )。 A. 公倍数 B. 最小公倍数 C. 公因数 D. 最大公因数 (2) ★已知a=2×2×3,b=2×3×3,则a和 b的最小公倍数是( )。 A. 18 B. 36 C. 54 D. 72 6. (生活应用)某小学举行运动会,在操场周围 插了一些彩旗,数量不超过100面。康康 2面2面地数正好数完,彤彤3面3面地数正 好数完,亮亮5面5面地数也正好数完。操 场周围最多插了多少面彩旗? 7. 一块长方形木板的长是12厘米,宽是10厘 米。用这种木板拼成一个正方形(不允许切 割),要使拼成的正方形的边长最小,需要多 少块这样的长方形木板? 8. (南通如东)两名同学到敬老院献爱心。他们 准备了一些苹果,发现每位老人分4个会多 出3个,每位老人分6个会少3个。他们至 少准备了多少个苹果? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 92 三　因数与倍数 第10课时 练 习 课 1. 在括号里写出每组数的最小公倍数。 3和8( ) 7和9( ) 15和16( ) 6和11( ) 23和46( ) 18和36( ) 11和55( ) 35和7( ) 2. 求下面每组数的最小公倍数。 80和20 7和15 28和42 3. 选一选。 (1) a、b是不为0的自然数,a÷b=0.1,则 a、b的最小公倍数是( )。 A. a B. b C. 10 D. 0.1 (2) m、n是不为0的自然数,若m-n=1,则 m、n的最小公倍数是( )。 A. m B. n C. 1 D. mn (3) 如果两个数的最小公倍数是16,那么 100以内两个数的公倍数有( )个。 A. 5 B. 6 C. 7 D. 无法确定 (4) 若a和b是两个相邻的奇数,则这两个 数的最小公倍数是( )。 A. a B. b C. ab D. ab÷2 4. (创新应用)两个相互啮合的齿轮,甲齿轮有 24个齿,乙齿轮有60个齿。两个齿轮上的 两个齿从第一次相遇到第二次相遇,分别转 了多少圈? 5. 爸爸、妈妈和贝贝一起在环形跑道上晨跑,他 们跑一圈用的时间分别是6分钟、9分钟和 12分钟。若他们三人从同一起点同时起跑, 则至少经过多少分钟三人在起点再次相遇? 6. (生活应用)在198米长的直路上挂红、蓝、紫 三种颜色的灯笼,蓝灯笼每隔6米挂一盏,紫 灯笼每隔9米挂一盏。如果在蓝灯笼和紫灯 笼同时出现的地方改挂一盏红灯笼,那么除 两端外,中间挂多少盏红灯笼? 7. ★舞蹈社团的学生排练舞蹈,若每6人排成一 排,则少5人;若每9人排成一排,则少8人。 已知舞蹈社团的学生人数在30和50之间, 则舞蹈社团有学生多少人? 8. (生活应用)下图是1路和6路公交车的发车 信息。这两路公交车第二次同时发车的时间 是什么时候? 一天中这两路公交车会有几次 同时发车? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 03 数学(苏教版·江苏专用)五年级下 第11课时 整理与练习(1) 1. 填一填。 (1) 12的因数有( ),倍数有 ( ),将它分解质因数是 ( )。 (2) (南通崇川区)著名的“哥德巴赫猜想”被 喻为“数学皇冠上的明珠”,该猜想认为:任何 大于2的偶数都是两个质数之和。比如: 16=( )+( ),36=( )+( )。 (3) 小 军 的 行 李 箱 密 码 是 一 个 四 位 数 “520 ”,这个数既是2的倍数,又是3的 倍数,符合要求的密码共有( )种可能。 (4) 从0、1、2、3这四个数字中选出三个数字 组成一个三位数,这个数同时是2、3、5的倍 数的为( )和( )。 2. 选一选。 (1) 一个两位数减去3后就有因数5,这个数 的个位上一定是( )。 A. 3 B. 3或8 C. 8 D. 0或5 (2) x是一个质数,已知x+6、x+8、x+12 都是质数,则x最小是( )。 A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 (3) 甲、乙是两个非零自然数,它们因数的关系 如图所示。下面的说法中,正确的是( )。 A. 甲是乙的倍数 B. 甲是乙的因数 C. 乙一定是质数 D. 甲一定是公因数 (4) 下面的说法中,错误的有( )句。 ① 一个数的最小倍数等于它的最大因数。 ② 一个合数至少有3个因数。 ③ 3的倍数肯定是9的倍数。 ④ 把20分解质因数是20=2×2×5。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. (数学文化)如果一个数恰好等于它的所有因 数(除它本身以外)的和,那么这个数就是“完 全数”。如6有1、2、3、6四个因数,除它本身 以外,还有1、2、3三个因数,6=1+2+3,6 就是“完全数”。请你再列举出一个“完全 数”,并说明理由。 4. 如果两个质数的和是40,那么这两个质数的 积最大是几? 最小是几? 5. 三个自然数的乘积是120,其中两个数的和 等于另一个数。这三个自然数分别是多少? 6. (推理意识)旅行团有7个人,他们的岁数各 不相同,分别是33、38、41、42、47、49、55,请 你将他们按岁数重新排列,使得任意相邻的 三个人的岁数和都是3的倍数。在所有符合 要求的排列中,第四个人的年龄最大是多 少岁? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 13 三　因数与倍数 第12课时 整理与练习(2) 1. 在( )里写出下面每组数的最大公因数, 在[ ]里写出下面每组数的最小公倍数。 12和16 48和96 ( ) [ ] ( ) [ ] 18和5 24和30 ( ) [ ] ( ) [ ] 2. 填一填。 (1) A、B 两个自然数的最大公因数是14,它 们的公因数有( );如果最小公倍数 是14,那么它们的公倍数有( )。 (2) 两个质数的最小公倍数是26,这两个质 数分别是( )和( )。 (3) A=2×2×k,B=2×3×k,若A 和B 的 最大公因数是6,则最小公倍数是( )。 (4) 若甲数=a×b,乙数=b×c(a、b、c均为 非零自然数),则甲、乙两数的最大公因数是 ( ),最小公倍数是( )。 3. 选一选。 (1) 最小公倍数不是35的一组为( )。 A. 5和7 B. 5和35 C. 15和25 D. 7和35 (2) 已知m÷11=n(m、n 均是非零自然 数),则m 和n的最大公因数是( ),最小 公倍数是( )。 A. m B. n C. 11 D. mn (3) 两个数的最大公因数是4,最小公倍数是 24,符合条件的数有( )组。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 无数 4. (探索规律)探索发现。 我发现:4和6的最大公因数是2,最小公倍 数是12,2×12=4×6。 验证:8和( )的最大公因数是( ),最 小公倍数是( ),( )。 ( )和( )的最大公因数是( ),最 小公倍数是( ),( )。 定义:( ) 应用:如果两个数的最大公因数是13,最小 公倍数是78,其中一个数是26,那么另一个 数是( )。 5. 小明的爸爸每上3天班后休息1天,小明的 妈妈每上4天班后休息1天。3月4日小明 的爸爸、妈妈都在家休息,至少到几月几日小 明的爸爸、妈妈又可以同时在家休息? 6. (推理意识)五年级九班的学生按1、2、3、1、 2、3……的顺序依次报数,最后一名学生报 2,按1、2、3、4、1、2、3、4……的顺序依次报 数,最后一名学生报3。已知五年级九班的 学生人数在40和50之间,则五年级九班一 共有学生多少人? 7. (创新应用)一次野餐时,每2人合用1个饭 碗,每3人合用1个菜碗,每4人合用1个汤 碗,本次野餐共用了52个碗,你知道参加野 餐的人数是多少吗? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 23 数学(苏教版·江苏专用)五年级下 和与积的奇偶性 1. ★根据和与积的奇偶性的规律连一连。 4321+377 · 37+39+41 · · 奇数22+13+15+1+9 · 666666+5555 · 82+8+90+6+9 · · 偶数24×12×36 · 1111111×22222222 · 11×13×15×17×19×88 · 2. 选一选。 (1) 一个偶数减去一个比它小的奇数,所得 的差一定是( )。 A. 质数 B. 合数 C. 奇数 D. 偶数 (2) m 是一个奇数,有以下式子:① m+7; ② 4m;③ m+12;④ m2;⑤ m+m。其中, 结果是偶数的式子有( )个。 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 (3) 已知三个整数a、b、c 的和是奇数,且 a+5=b,则a、b、c的奇偶性为( )。 A. 三个都是奇数 B. 两个奇数,一个偶数 C. 三个都是偶数 D. 一个奇数,两个偶数 3. (1) 算式1+2+3+4+…+800的结果是奇 数还是偶数? 为什么? (2) 算式1×2+3×4+…+799×800的结 果是奇数还是偶数? 为什么? 4. (南京江宁区)如图,大正方形中的 三个涂色部分的周长和是60厘 米。大正方形的面积是( )平 方厘米。若用N 个这样的大正方形拼一个 长方形,则这个长方形周长的厘米数是 ( )。(填“奇数”或“偶数”) 5. (推理意识)在黑板上写三个整数,然后擦去 其中一个,换成其他两数之和或者差,这样继 续操作下去,最后得到64、78、142。问:原来 写的三个整数能否为1、3、9? 6. (创新应用)如图,五角星上的圆圈内共有 10个数,如果从中选出5个数,要使它们的 和等于10,你能做到吗? 为什么? 7. 五年级一班有40人,若他们的岁数之和是偶 数,则n 年后他们的岁数之和是奇数还是 偶数? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 33 三　因数与倍数 提分真题集训 1. (淮安淮安区)从3、5、7、11、13、17、19、23这 些数中,任意选择三个数相加,和一定是 ( )。 A. 偶数 B. 奇数 C. 质数 D. 合数 2. (南京江北新区)明明是个善于观察、乐于思 考的好孩子,他通过数形结合(如下图),发现 可以用长方形的面积计算公式去求几个连续 偶数的和,由此可知,2+4+6+8+10+12+ 14+16+18+20可以用( )表示。 A. 8×9=72 B. 9×10=90 C. 10×11=110 D. 11×12=132 3. (徐州铜山区)小明在一张板凳上做摆卡片游 戏(如下图),他用三种摆法都正好从板凳的一 端摆到另一端且无剩余。已知卡片长18厘 米,宽12厘米,则板凳最短是( )厘米。 A. 360 B. 180 C. 72 D. 36 4. (南京栖霞区)a、b、c都是非零自然数,其中, a是b的倍数,b是c的因数,a和b的最大公 因数 是( ),b 和c 的 最 小 公 倍 数 是 ( )。 5. (苏州常熟)学校为举办运 动会布置场地。如图,在 长方形操场的每条边上以 相等的间距插上彩旗(四个角上都要插),要 求每相邻两面彩旗之间的距离尽可能长。每 隔( )米要插一面彩旗,一共需要准备 ( )面彩旗。 6. (南通海安)下面括号里的被除数是大于6的 质数。 (1) 试举例,并算出商和余数。(6分) ( )÷6=( )……( ) ( )÷6=( )……( ) ( )÷6=( )……( ) ( )÷6=( )……( ) ( )÷6=( )……( ) ( )÷6=( )……( ) (2) 发现:上面( )除以6的余数是( )。 (3) 用所学知识解释余数不可能是其他的数 的原因。 7. (苏州昆山)甲、乙两个冰柜里存放了一些雪 糕,其中,一个冰柜里有奇数根雪糕,另一个 冰柜里有偶数根雪糕。如果将甲冰柜里的雪 糕根数乘3,乙冰柜里的雪糕根数乘2,那么 甲、乙两个冰柜里总的雪糕根数就变成59。 小李认为有偶数根雪糕的是甲冰柜,有奇数 根雪糕的是乙冰柜,你同意吗? 请从“和与积 的奇偶性”的角度阐述自己的想法。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 43 数学(苏教版·江苏专用)五年级下 第三单元整合提升 类型一 根据特殊关系确定最大公因数和最小 公倍数 如果两个数成倍数关系,那么它们的最大公因数是较 小的数,最小公倍数是较大的数;如果两个数只有公 因数1,那么它们的最大公因数是1,最小公倍数是它 们的乘积。 1. M×5=N(M、N 均是不为0的自然数),M 和N 的最大公因数是( ),最小公倍数是 ( )。 2. M=N-1(M、N 均是不为0的自然数),M 和N 的最大公因数是( ),最小公倍数是 ( )。 类型二 利用分解质因数解决实际问题 先将所给的数分解质因数,再将质因数进行组合,使 之与条件相符。 3. (创新应用)315乘自然数b,积是一个平方 数。这个平方数最小是多少? 4. (推理意识)小华的姐姐参加了今年的中学知 识竞赛,姐姐得的名次和她的岁数及她的成 绩相乘的结果是2910。你知道姐姐的成绩 和名次各是多少吗? 类型三 利用最大公因数解决实际问题 先明确题中求“最长”“最多”实际是求几个数的最大 公因数,再利用最大公因数解决实际问题。 5. ★(数形结合)有一块三角形的花圃,三条边 的长度分别是85米、102米和136米。现在 在这三条边上等距离栽树(三角形的三个顶 点都要栽),并且每相邻两棵树之间的距离尽 可能大。一共可以栽多少棵树? 6. 李老师将三种练习本平均分给五年级一班的 同学,其中语文练习本有121本,数学练习本 有152本,英语练习本有177本,分完后多出 1本语文练习本,2本数学练习本,而英语练 习本少了3本。五年级一班最多有多少名 同学? 类型四 利用最小公倍数解决实际问题 先明确题中求“最短”“最少”等就是求几个数的最小 公倍数,再利用最小公倍数解决实际问题。 7. 环卫部门计划在路的一边每隔6米栽一棵 树,他们先在每个要栽树的位置做了一个记 号,包括两端在内共做了21个记号;后来发 现两棵树之间的距离过大,要改成每隔4米 栽一棵,还需要新做多少个记号? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 53 三　因数与倍数 8. 操场上有一些小朋友分组做游戏,3个一组 多了1个,4个一组少了3个,5个一组少了 4个。操场上至少有多少个小朋友? 类型五 利用和与积的奇偶性解决实际问题 判断和的奇偶性只要看奇数的个数是否成双,判断积 的奇偶性只要看乘数中有没有偶数。 9. 41名同学参加智力竞赛,竞赛试题共有 20道。评分方法如下:基础分为15分,答对 1道题加5分,不答加1分,答错1道题倒扣 1分。请说明所有参赛同学得分的总和是奇 数还是偶数。 10. (创新应用)桌上放着七只杯子,有三只杯口 朝上,四只杯口朝下,每个人任意将杯子翻 动四次。若干人翻动后,能否将七只杯子全 变成杯口朝下? 易错点 厘不清非零自然数的分类 按能否被2整除,非零自然数可以分成两类;按因数 的个数来分,非零自然数可以分成三类。 11. ★判一判:一个非零自然数不是奇数就是偶 数,不是质数就是合数。 ( ) 素养点 判断3的倍数特征算理探秘 12. (探索规律)为什么判断一个整数是不是3 的倍数是将各位上的数字相加呢? 聪聪进 行了如下的分析。 分析:100=99+1,8个100等于8个 ( )加8个( )。同理,10=9+1, 5个10等于( )加( )。99、9都是3 的倍数,所以只要看剩下的1,而剩下的1 的个数正好就是各位上的( )。因 为8+5+4=17,17÷3=5……2,所以854 不是3的倍数。 请你写一个四位数,像聪聪一样,拆分说明 它为什么是(不是)3的倍数。 思路提示:该方法巧用了几、几十、几百、几千的 数除以3余数就是几的规律。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 63 数学(苏教版·江苏专用)五年级下 三　因数与倍数 第1课时 因数和倍数 1. (1) 3 8 24 10 2 5 (2) 1、3、7、21 1、 7、49 8、16、24、32、40、… 11、22、33、44、… (3) 1 18 (4) 16 90 2. (1) D (2) C (3) A 易错分析 忽略因数和倍数的相互依存性 因数和倍数是相互依存的,描述因数和倍 数时,要说清楚谁是谁的因数,谁是谁的倍数。 3. (1) 小红 (2) 不可能 因为一共有7名同学, 依次循环下去,只有小红能报到7的倍数 4. 小明共有4种拿法 每次分别拿2个、4个、 5个、10个 解析:20的因数有1、2、4、5、10、20,因 为不可以一次拿完,也不可以一个一个地拿,所以 1和20不符合要求,由此得出一共有4种拿法。 5. 8个 6. 237 解析:自然数M 最小的因数是1,最大的 因数是M,所以第二小的因数是4-1=3。设第二 大的因数是N,则N=M÷3,M+N=316。所以 M=3N,将其代入M+N=316,得到4N=316, 解得N=79,则M=237。 第2课时 2和5的倍数的特征 1. (1) 16、58、70、40、80 15、73、85、11、97 (2) 2. (1) 0、2、4、6、8 0、5 0 (2) 32 34 36 3. (1) A (2) B 4. (1) 5430 (2) 3045 (3) 3450、3540、4350、 4530、5340、5430 (4) 4035、4305、3045、3405 5. 第13次、第77次杯口朝上,第26次、第50次 杯口朝下 6. 603÷5=120(个)……3(两) 5-3=2(两) 7. 明明家的门牌号:(48+2)÷2=25 军军家的 门牌号:25-2=23 欢欢家的门牌号:23-2=21 解析:根据题意,可知三个相邻奇数的和比其中最 小的奇数大48,即较大的两个奇数的和是48,而它 们的差是2,用较大的两个奇数的和加上2就是两 个最大的奇数的和,从而求出最大的奇数,也就是 明明家的门牌号。用最大的奇数减2求出中间的 奇数,也就是军军家的门牌号;用中间的奇数减2 求出最小的奇数,也就是欢欢家的门牌号。 8. 因为10可以分解成2和5,所以前面的位数不 管是多少,除去个位后都是10的整数倍,那么前面 的位数肯定可以被2或者5整除。因此2和5的 倍数只要看个位(合理即可) 第3课时 3的倍数的特征 1. (1) 􀳫 􀳫 􀳫 􀳫 􀳫 (2) ③④⑥ 2. (1) 2、5、8 (2) 1、4、7 (3) 1、4、7 (4) 3、6、9 3. (1) A (2) B (3) B (4) B A 4. 8个 405、450、504、540、408、480、804、840 5. 因为155不是3的倍数 解析:买3副同样的 乒乓球拍的总价应该是3的倍数。 6. (1) 81、36、702、8901 (2) 各位上数字的和是 9的倍数 (3) 3+a+4+b+2=9+a+b=9+9=18,18是9 的倍数,所以这个五位数是9的倍数 解析:求各 位上数字的和,要将a+b=9代入其中。 7. 甲、乙、丙三个数的和是3的倍数 因为甲数比 乙数大5,乙数比丙数大5,所以三个数的和是乙数 的3倍,即三个数的和是3的倍数 解析:由“甲数 比乙数大5”可得甲数=乙数+5,由“乙数比丙数也 大5”可得丙数=乙数-5,则甲数+乙数+丙数= 乙数+5+乙数+乙数-5=乙数×3。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 8 第4课时 练 习 课 1. (1) b a 4 a 4 b (2) 1、3、9、27 (3) 81 2. (1) 2、8 (2) 5 (3) 0 3. (1) D (2) B (3) B 4. 选②或③这两种包装方法都能正好装完且没有 剩余 因为40是5和2的倍数,不是3的倍数 5. 9、18、36、72 解析:72的因数有1、2、3、4、6、8、 9、12、18、24、36、72;9的倍数有9、18、27、36、45、 54、63、72……根据“一个数,既是9的倍数,又是 72的因数”,可知这个数是9、18、36、72。 6. 都是3的倍数 因为每个数各位上数字的和都 是3的倍数 解析:1+2+3+4+5+6=(1+6)+ (2+5)+(3+4)=7×3,2+3+4+5+6+7=(2+ 7)+(3+6)+(4+5)=9×3,3+4+5+6+7+8= (3+8)+(4+7)+(5+6)=11×3,4+5+6+7+8+ 9=(4+9)+(5+8)+(6+7)=13×3……由此可 得连续六个非零自然数可以通过两两配对得到 3组相等的和,这样由连续六个非零自然数组成的 数各位上数字的和都是3的倍数,所以由连续的非 零自然数组成的六位数都是3的倍数。 7. 6次 解析:要满足是3的倍数,各位上数字的 和要是3的倍数,前四位数字的和为17,后两位数 字的和可以是1、4、7、10、13、16……要满足是5的 倍数,末尾的数字只能是0或5,故后两位可能是 10、40、70、25、55、85,共计6种可能。 8. 80÷4=20 20×3=60 解析:相邻的两个偶 数相差2,则相邻的三个偶数中,最大的比最小的 大4。一个偶数分别与相邻的两个偶数相乘,所得 的两个乘积相差80,也就相当于中间的偶数与4 相乘的积是80,从而求出中间的偶数,再根据三个 偶数的和是中间偶数的3倍求出和。 第5课时 质数、合数 1. (1) 2、17、53、61、13、23、59 32、25、91、78、49、 15、24、62、80、81、56 (2) 2 9、15 (3) 2、3 8、 9、10和14、15、16 (4) 2、5、7、8 1、3、9 2. 17、19 14 62 2、6、8 3 解析:比15大、比 20小的数有16、17、18、19,找出其中的质数即可。 最小的奇数是1,最小的合数是4。最小的质数是 2,12=6×2。a是一位数,当a=2时,5a+1=11, 是质数;当a=6时,5a+1=31,是质数;当a=8 时,5a+1=41,是质数。m 是一位数,且是一个质 数,当m=3时,m+20=23,m+50=53,均是 质数。 3. 7 11 13 7 17 3 2 5 13 17(部分答 案不唯一) 4. (1) B (2) C 解析:20以内的质数有2、3、5、7、11、13、 17、19,加上2后的结果分别是4、5、7、9、13、15、 19、21,所以20以内加上2后还是质数的数有3、 5、11、17,共有4个。 (3) B 5. (1) 2014 (2) 答案不唯一,如爸爸的岁数是 37,十位上的数字是3的倍数,个位上的数字是10 以内最大的质数 6. 有9个 11、13、17、31、37、71、73、79、97 解析:先写出是两位数的质数,再写出交换个位和 十位上的数字后得到的两位数,判断其是否仍是 质数。 第6课时 质因数和分解 质因数 1. (1) 1、2、3、6、9、18 2、3 (2) 18 2 9 3 3 2 2 3 3 2 20 2 10 5 2 2 2 5 2. 32=2×2×2×2×2 45=3×3×5 63=3×3×7 87=3×29 知识归纳 用短除法分解质因数 可以利用短除法分解质因数,即把一个数 除以它的一个质因数,依次类推,除到商是质 数为止。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 9 3. 五年级二班或五年级四班 因为合数可以分解 质因数,质数不能分解质因数 4. (1) D (2) D (3) C 5. 210=2×3×5×7 2×3=6(岁) 这三个小朋 友的年龄从小到大依次是5岁、6岁、7岁 解析:先 将210分解质因数,然后尝试选择质因数来求积, 得到相邻的三个数,即为这三个小朋友的岁数。 6. 84=2×2×3×7 2×3×7=42(行) 2×2× 7=28(行) 2×2×3=12(行) 符合要求的栽法 有3种,每行栽2棵,栽42行或每行栽3棵,栽 28行或每行栽7棵,栽12行 解析:先将84分解质因数,再找出其中的质数。 7. 答案不唯一,如可以分成4、21、22、50和6、7、 25、88 解析:先把这些数分解质因数:4=2×2、 6=2×3、21=3×7、22=2×11、25=5×5、50=2× 5×5、88=2×2×2×11。所有质因数中,一共有 8个2、2个3、4个5、2个7、2个11,要使两组数的 乘积相等,每组数中应该有4个2、1个3、2个5、 1个7、1个11,即2×2×2×2×3×5×5×7×11, 所以可以分成4、21、22、50和6、7、25、88。 第7课时 公因数和最大 公因数 1. 1、2、4、8、16 1、2、3、4、6、8、12、24 1、2、4、8 8 2. 3. 3 10 9 16 4. (1) A C (2) C (3) D (4) D 5. 1 3 1 3 1 3 1 3 这个质数 1 2 6. 6米=60分米 4.8米=48分米 60和48的 公因数有1、2、3、4、6、12 选边长是6分米的方砖 铺地不需要进行切割 解析:先统一单位,再求出 60和48的公因数,最后根据公因数去选方砖。 7. 12、16和44的最大公因数是4 每根短彩带最 长是4cm 12÷4+16÷4+44÷4=18(根) 解析:先求出12、16和44的最大公因数,就是每根 短彩带最长的长度,求至少可以剪成的短彩带的总 根数,就是要把三根彩带分别可以剪成的短彩带的 根数相加。 8. 800和1200的最大公因数是400 800÷400+ 1200÷400+1=6(台) 解析:要使放置的台数最 少,则每个间隔的距离要最大,求每个间隔的最大 距离就是求800和1200的最大公因数,求出每个 间隔的最大距离后,再求出间隔的个数,用间隔的 个数加1就是至少需要放置无人售卖机的台数。 第8课时 练 习 课 1. 1 1 1 1 23 18 11 7 2. 3 13 1 24 20 5 3. 答案不唯一,如(1) 4 9 8 9 (2) 6 9 (3) 25 27 4. 96和72的最大公因数为24 最多可以扎成 24束花 96÷24+72÷24=7(朵) 解析:要使每 束花的朵数最少,就要使花的束数最多,也就是求 96和72的最大公因数。求出最多可以扎成多少 束花后,再求每束花里最少有多少朵花,就是要把 每束花中两种花的朵数相加。 5. 45和25的最大公因数是5 45÷5=9(列) 25÷5=5(行) 9×5=45(个) 裁出的正方形的 边长最长是5厘米,一共能裁出45个这样的正方形 解析:先求45和25的最大公因数,再求长方形的 长能分成几列,宽能分成几行,则裁出的正方形的 个数是所求列数和行数的积。 6. (1) B D 解析:1是所有非零自然数的因数, 所以也是所有非零自然数的公因数;1和2是所有 非零偶数的因数,所以也是所有非零偶数的公 因数。 (2) B 解析:根据“m=2n”可知,m 和n存在倍数 关系,m 是较大数,n 是较小数,所以m、n 的最大 公因数是较小数n。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 01 (3) C 解析:根据“x÷y=1……1”可知,x 和y 是相邻的自然数,它们的公因数只有1,则最大公 因数只能是1。 (4) B 解析:1、3、5之和为9,是3的倍数,所以用 1、3、5组成的数的公因数一定有1和3。 (5) B 解析:21-1=20(本),32+3=35(支),20 和35的最大公因数是5,故学生有5名。 7. 有2组 分别是25和175,75和125 解析:先 根据最大公因数是25,用两个数的和200除以25, 可求得倍数和是8;然后根据8=1+7=2+6=3+ 5=4+4,以及这两个数是不同的数,最大公因数是 25,可知满足条件的自然数有2组,分别是25的 1倍和25的7倍,以及25的3倍和25的5倍。 8. 169-100=69 215-169=46 215-100= 115 69、46、115的最大公因数是23 这个大于1 的自然数最大是23 解析:三个数除以同一个自 然数,得到的余数都相同,说明这三个数中任意两 者之差都是这个自然数的倍数,因此这个自然数最 大是69、46、115这三个数的最大公因数。 第9课时 公倍数和最小 公倍数 1. 圈一圈略 公倍数 6 2. 24 3. 36 60 65 114 4. 20和22的最小公倍数是220 这批图书至少 有220本 5. (1) A (2) B 方法归纳 由分解质因数求最大公因数和最小公倍数 两个数分解质因数后,先将相同的质因数 划去一个,被划去的因数的乘积是两个数的最 大公因数,剩下因数的乘积是两个数的最小公 倍数。 6. 2、3和5的最小公倍数是30 30的倍数有30、 60、90、… 因为100以内30的最大倍数是90,所 以操场周围最多插了90面彩旗 7. 12和10的最小公倍数是60 60÷12=5(列) 60÷10=6(行) 5×6=30(块) 解析:12和10 的最小公倍数是60,它们的最小公倍数就是拼成 的正方形的最小边长的厘米数。用拼成的最小正 方形的边长除以长方形木板的长,求出拼成的列 数,除以宽,求出拼成的行数,列数和行数的积就是 需要长方形木板的块数。 8. 4和6的最小公倍数是12 12+3=15(个) 第10课时 练 习 课 1. 24 63 240 66 46 36 55 35 2. 80 105 84 3. (1) B 解析:根据“a÷b=0.1”可知,a和b存 在倍数关系,b是较大数,a是较小数,所以它们的 最小公倍数是较大数b。 (2) D 解析:根据“m-n=1”可知,m 和n是相邻 的自然数,它们的最小公倍数就是mn。 (3) B (4) C 解析:相邻两个奇数的最大公因数是1,最 小公倍数是它们的乘积。 4. 24和60的最小公倍数是120 甲齿轮:120÷ 24=5(圈) 乙齿轮:120÷60=2(圈) 5. 36分钟 解析:要求至少经过多少分钟三人在 起点再次相遇,就是求6、9和12的最小公倍数。 6. 6和9的最小公倍数是18 198÷18-1= 10(盏) 解析:先求出相邻两盏红灯笼之间间隔的 米数,即相邻蓝灯笼间隔的米数和相邻紫灯笼间隔 的米数的最小公倍数,因为红灯笼两端都不挂,所 以红灯笼的盏数要比间隔个数少1。 7. 30-1=29(人) 50-1=49(人) 在29和49 之间的6和9的公倍数是36 36+1=37(人) 解析:“若每6人排成一排,则少5人”可以转化成 若每6人排成一排,则多1人;“若每9人排成一 排,则少8人”可以转化成若每9人排成一排,则多 1人。由此只要求出在29和49之间的6和9的 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 11 公倍数再加上1即可。 方法归纳 用转化法求公倍数 解决此类求公倍数问题时,出现少或多的 数不一致时,可以先转化成少或多相同的数再 解题。 8. 8和10的最小公倍数是40 6时+40分=6时 40分 21时-6时=15时 15×60=900(分) 900÷40=22(次)……20(分) 22+1=23(次) 这两路公交车第二次同时发车的时间是6:40 一天中这两路公交车会有23次同时发车 第11课时 整理与练习(1) 1. (1) 1、2、3、4、6、12 12、24、36、48、… 12= 2×2×3 (2) 答案不唯一,如3 13 17 19 (3) 2 (4) 120 210 2. (1) B (2) C (3) A (4) A 3. 答案不唯一,如28 理由:因为28除它本身以 外的因数有1、2、4、7、14,28=1+2+4+7+14,所 以28是“完全数”。 解析:先用尝试法假设一个 数是“完全数”,找出这个数的所有因数,再将除它 本身以外的所有因数相加,看和是否等于这个数, 等于就是“完全数”。 4. 40=3+37=11+29=17+23 3×37=111 11×29=319 17×23=391 积最大是391,最小 是111 解析:先一一列举出和是40的两个质数, 再分别算出它们的积,找出最大的积和最小的积 即可。 5. 120=2×2×2×3×5=3×5×8 3+5=8 这三个自然数分别是3、5、8 解析:先将120分解 质因数,再找出符合条件的三个自然数即可。 6. 47岁 解析:这几个数除以3的余数分别是0、 2、2、0、2、1、1,要使任意相邻三个数的和都是3的 倍数,余数的顺序应该是2、0、1、2、0、1、2或2、1、 0、2、1、0、2,故第四个数就是余数是2的数,最大是 47,即第四个人的年龄最大是47岁。 第12课时 整理与练习(2) 1. 4 48 48 96 1 90 6 120 2. (1) 1、2、7、14 14、28、42、56、… (2) 2 13 (3) 36 (4) b a×b×c 3. (1) C (2) B A (3) B 4. 10 2 40 8×10=2×40 10 15 5 30 10×15=5×30 两个数的最大公因数与最小公倍 数的乘积等于这两个数的乘积 39(除最后两空 外,其余答案不唯一) 5. 3+1=4(天) 4+1=5(天) 4和5的最小公 倍数是20 20+4=24(日) 至少到3月24日 解析:根据爸爸每上3天班后休息1天,妈妈每上 4天班后休息1天,可知爸爸每4天有1天休息, 妈妈每5天有1天休息,求出4和5的最小公倍数 后即可求解。 6. 3和4的最小公倍数是12 12的倍数有12、 24、36、48、… 因为学生人数在40和50之间,所 以五年级九班一共有学生48-1=47(人) 7. 2、3、4的最小公倍数是12 12÷2=6(个) 12÷3=4(个) 12÷4=3(个) 3+4+6=13(个) 52÷13=4(组) 4×12=48(人) 和与积的奇偶性 1. 知识归纳 和、差、积的奇偶性 同奇偶加减必得偶,异奇偶加减必得奇; 乘数有偶积必偶,同奇相乘必得奇。 2. (1) C (2) B 解析:可以用一个奇数分别代入各式子进 行计算并判断。 (3) D 解析:因为a+5=b,若a是奇数,则b必 是偶数,若a 是偶数,则b必是奇数,即a、b中一 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 21 个是奇数,一个是偶数。因为a、b、c的和是奇数, 所以c肯定是偶数。 3. (1) 偶数 因为在1~800的范围内,有400个 奇数和400个偶数,400个奇数的和是偶数,400个 偶数的和是偶数,所以算式的总和也是偶数 (2) 偶数 因为算式中每道乘法算式都是奇数乘 偶数,积为偶数,若干个偶数的和是偶数,所以算式 的结果是偶数 4. 225 偶数 解析:通过平移可知,涂色部分的 周长和等于大正方形的周长,故大正方形的边长为 60÷4=15(厘米),所以大正方形的面积=15×15= 225(平方厘米)。因为长方形的周长=2×(长+ 宽),因此长方形周长的厘米数一定是偶数。 5. 不能 解析:按照这个操作,后续的第二组数就 是一个偶数,两个奇数,这时候继续进行此操作,所 有数中必有两个奇数和一个偶数,因此不会出现 三个数都是偶数的情况,所以原来写的三个整数不 能为1、3、9。 6. 不能 因为5个奇数的和一定是奇数,不可能 是偶数 7. 偶数 解析:五年级一班40人的岁数之和是偶 数,n 年后,每人都增加了n 岁,一共增加了 40n岁,而40n是一个偶数,偶数与偶数的和是偶 数,所以n年后他们的岁数之和还是偶数。 提分真题集训 1. B 2. C 3. B 4. b c 5. 6 50 6. (1) 答案不唯一,如7 1 1 11 1 5 13 2 1 17 2 5 19 3 1 23 3 5 (2) 1、5 (3) 因为被除数=商×除数+余数,商×除数的结 果是6的倍数,此时若余数是2、4,则被除数为 偶数,若余数为3,则被除数必是3的倍数,与被除 数是质数矛盾,所以余数不可能是其他的数 7. 不同意 因为奇数×偶数=偶数,若乙冰柜里 有奇数根雪糕,则雪糕根数乘2之后积是偶数,此 时甲冰柜里有偶数根雪糕,雪糕根数乘3之后积还 是偶数,偶数+偶数=偶数,59是奇数,故小李的 观点错误 第三单元整合提升 1. M N 2. 1 MN 3. 315=3×3×5×7,要使积是一个平方数,还需 要乘5×7,故这个平方数最小是315×5×7=11025 4. 2910=2×3×5×97 姐姐的成绩是97分,名 次是第2名 5. 85、102和136的最大公因数是17 每相邻两棵树之间的距离最大为17米 (85+102+136)÷17=19(棵) 知识归纳 封闭型植树问题 封闭型植树问题是指在圆、正方形、长方 形、闭合曲线等周围植树,因为首尾两端重合 在一起,所以植树的棵数等于分成的段数。 6. 121-1=120(本) 152-2=150(本) 177+3= 180(本) 120、150和180的最大公因数是30 五年级一班最多有30名同学 7. (21-1)×6=120(米) 4和6的最小公倍数是 12 120÷12+1=11(个) 120÷4+1=31(个) 31-11=20(个) 8. 3、4、5的最小公倍数是60 60+1=61(个) 解析:3个一组多了1个,4个一组少了3个可以转 化为4个一组多了1个,5个一组少了4个,也可 以转化为5个一组多了1个,所以至少有小朋友的 个数是3、4、5的最小公倍数加1。 9. 如果全答对,那么共得5×20+15=115(分),不 答比答对每题少得5-1=4(分),答错比答对每题 少得5+1=6(分),则每名同学的得分是从115分 开始扣除的,即从奇数中扣除若干个偶数,每名同 学的得分必定是奇数,而参赛人数41是奇数,奇数 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 31 个奇数相加,得分的总和必定是奇数 解析:根据 题意可知,这41名同学的得分无法确定,但是可以 从整体的角度来分析,即不直接从得分来看,而是 从全答对的总得分中扣除分数来判断得分的奇 偶性。 10. 不能 解析:要想让所有杯口朝下,只有三只 杯口朝上,必须翻动奇数次杯子才能使得所有杯口 都朝下,而每人翻动四次杯子,无论多少人翻动,积 都是偶数,所以不可能。 11. ✕ 解析:1既不是质数也不是合数。 易错分析 忽略自然数1 受非零自然数不是奇数就是偶数的影响, 认为一个非零自然数不是质数就是合数。1是 例外,1既不是质数,也不是合数。 12. 99 1 5个9 5个1 数字之和 写数不唯 一,如2145 因为2145=2×1000+1×100+4× 10+5×1,2个1000等于2个999加2个1,1个 100等于1个99加1个1,4个10等于4个9加 4个1,999、99、9都是3的倍数,所以只要看剩下 的1,而剩下的1的个数正好就是各位上的数字之 和。因为2+1+4+5=12,12÷3=4,所以2145 是3的倍数 四　分数的意义和性质 第1课时 分数的意义 1. 5 9 3 4 1 3 2. 涂1个 涂2个 涂3个 3. (1) 一堆黄沙 9 2 (2) 5 511 1 7 (3) 3 4 16 (4) 3 10 7 10 4. 把1小时看作单位“1”,平均分成4份,丽丽行 的时间是这样的1份;把全程看作单位“1”,平均分 成5份,已经行的路程是这样的3份 5. (1) B 解析:人数要是7和6的公倍数。 (2) A 6. 不一定一样多 解析:虽然城南小学和城北小 学都选出了3 5 的学生参加宣传活动,但是各自的单 位“1”可能不同,即两所小学的总人数不一定相同。 7. 48÷16=3(平方厘米) 3×9=27(平方厘米) 解析:先将48平方厘米平均分成16份,求出其中 的1份是3平方厘米,即重叠部分的面积是3平方 厘米,再乘9就能求出乙的面积是27平方厘米。 第2课时 分数与除法的关系 1. 8 9 7 13 8 15 A B 2. 29 60 71 100 8 10 209 1000 23 100 3. (1) 4 (2) 4 34 4. (1) 5 3 (2) 5 1 5. 31÷60=3160 (千克) 60÷31=6031 (千克) 6. (1) 1÷13=113 (2) 10÷13=1013 (箱) 解析:求平均每班分得的箱 数,用总箱数作被除数。 (3) (7×10)÷13=7013 (千克) 解析:求平均每班 分得的千克数,用总千克数作被除数。 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 41