3.4  公因数和最大公因数（2个知识点+3类热点题型精讲+习题巩固）同步分层作业-2024-2025学年数学五年级下册（苏教版）

3.4 公因数和最大公因数 学习重难点 学习目标 1、认识公因数和最大公因数，会在集合图中表示两个数的因数和它们的公因数，体会集合思想。(重点) 2、理解公因数和最大公因数的意义。(难点) 3、掌握求两个数的最大公因数的方法。(难点) 1、理解公因数与最大公因数的含义，并掌握找两个数的公因数与最大公因数的方法。 2、会用集合的形式表示出两个数的公因数，并能用公因数的知识解决一些简单的实际问题。 3、在探索公因数和最大公因数的过程中，提高分析和归纳的能力。 知识点一公因数的意义 1、几个数共有的因数，叫作这几个数的公因数。 知识点二求两个数的公因数及最大公因数 1、几个数的公因数中最大的一个叫作这几个数的最大公因数。 2、求两个数的最大公因数的方法。 （1）列举法：先分别找出两个数的所有因数，再从中找出它们的公因数与最大公因数。 （2）筛选法：先找出较小数的所有因数，再从中找出哪些也是较大数的因数，从而找出两个数的公因数与最大公因数。 题型一公因数及最大公因数 1．15的因数有( )，25的因数有( )，15和25的公因数有( )。 【分析】求一个数的因数，就想哪两个非0自然数相乘等于这个数，则相乘的两个数就是该数的因数，如果相乘的两数相同，写一个即可；公因数是两个或两个以上数字的因数中相同的因数。 【解答】因为15＝1×15＝3×5，所以15的因数有：1，3，5，15； 因为25＝1×25＝5×5，所以25的因数有：1，5，25； 15和25的公因数有：1，5。 2．9的因数有( )，14的因数有( )，9和14的公因数有( )。 【分析】求一个数的因数，就想哪两个非0自然数相乘等于这个数，则相乘的两个数就是该数的因数，如果相乘的两数相同，写一个即可；公因数是两个或两个以上数字的因数中相同的因数。 【解答】9＝1×9＝3×3，所以9的因数有：1，3，9； 14＝1×14＝2×7，所以14的因数有：1，2，7，14； 9和14的公因数有：1。 3．b是非零自然数，若a＝b＋1，则a和b的最大公因数是( )。 【分析】根据“当两个数是互质数时，它们的最大公因数是1”，据此解答。 【解答】b是非零自然数，若a＝b＋1，说明a和b是相邻的两个自然数，那么a和b是互质数，则a和b的最大公因数是1。 题型二求最大公因数 4．找出下面每组数的最大公因数。 16和36        25和35        21和45        32和40 【分析】分解质因数法：几个自然数的最大公因数，必须包含这几个自然数全部公有的质因数，因此可先把各个数分解质因数，再把这几个自然数全部公有的质因数选出并且连乘起来，所得的积就是最大公因数。据此解答。 【解答】16＝2×2×2×2    36＝2×2×3×3 16和36 的最大公因数为2×2＝4。 25＝5×5    35＝5×7 25和35的最大公因数为5。 21＝3×7    45＝3×3×5 21和45的最大公因数为3。 32＝2×2×2×2×2    40＝2×2×2×5 32和40的最大公因数为2×2×2＝8。 5．直接写出下面每组数的最大公因数。 7和10    4和9    12和24    27和3 【分析】两个或两个以上的合数分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是最大公因数。 当两个数是互质数时，它们的最大公因数是1； 当两个数是倍数关系时，它们的最大公因数是较小数。 【解答】7和10是互质数，所以7和10的最大公因数是1； 4和9是互质数，所以4和9的最大公因数是1； 12和24是倍数关系，所以12和24的最大公因数是12； 27和3是倍数关系，所以27和3的最大公因数是3。 6．找出每组数的最大公因数。         6和9    10和6    20和30    13和5 【分析】两个数的最大公因数的方法：两个数的公有质因数的连乘积；如果两个数为倍数关系，最大公因数为较小的那个数；如果两个数为互质数，最大公因数为1。 【解答】6和9 6＝2×3 9＝3×3 6和9的最大公因数是3。 10和6 10＝2×5 6＝2×3 10和6的最大公因数是2。 20和30 20＝2×2×5 30＝2×3×5 20和30的最大公因数是2×5＝10。 13和5 13和5为互质数，最大公因数是1。 题型三用最大公因数解决实际问题 7．王阿姨把50块巧克力和35块奶糖平均分给舞蹈队的小朋友，要求尽可能分完，分完发现巧克力多了2块，奶糖少了5块。舞蹈队有多少个小朋友？ 【分析】根据题意，分别求出分给小朋友的巧克力糖和奶糖的块数，然后再求出分得块数的最大公因数，然后再进一步解答即可。 【解答】50－2＝48（块） 35＋5＝40（块） 48＝2×2×2×2×3 40＝2×2×2×5 48和40的最大公因数是：2×2×2＝8 答：舞蹈队有8个小朋友。 8．有一块长40分米、宽25分米的布料，现在要把它裁成正方形小布块（不能有剩余），块数要求最少，那么裁成的正方形小布块的面积有多大？ 【分析】根据题意可知，要使块数最少，则正方形的面积尽可能大，即正方形的边长尽可能大，所以正方形的边长是长方形的长和宽的最大公因数；最大公因数是两个数的公有的质因数的乘积，据此求出正方形的边长，再根据正方形的面积＝边长×边长，代入数据即可求出裁成的正方形小布块的面积。 【解答】40＝2×2×2×5 25＝5×5 40和25的最大公因数是5。 5×5＝25（平方分米） 答：裁成的正方形小布块的面积是25平方分米。 9．班主任把36支钢笔和40本练习本平均奖励给在书法比赛中获奖的学生，结果钢笔多了1支，练习本少了2本。在书法比赛中获奖的学生有多少人？ 【分析】根据题意可知，问在书法比赛中获奖的学生有多少人，先算出钢笔和练习本各需要多少，再求出它们的最大公因数，就是在书法比赛中获奖的学生的人数，据此解答即可。 【解答】36－1＝35（支） 40＋2＝42（本） 35＝5×7 42＝2×3×7 35和42的最大公因数是：7 答：在书法比赛中获奖的学生有7人。 一、选择题 1．（    ）的公因数只有1。 A．两个不同的质数 B．两个不同的奇数 C．一个质数和一个合数 D．一个奇数和一个偶数 2．两根铁丝分别长24m和42m，要把它们截成相等的小段，每小段长是整米数，且不许有剩余。每小段铁丝最长是（    ）m。 A．2 B．3 C．6 D．8 3．甲数＝2×3×5，乙数＝2×5，甲、乙两数的最大公因数是（    ）。 A．10 B．5 C．2 4．一张长75厘米、宽60厘米的长方形纸，要把它裁成同样大小的正方形，边长为整厘米，且没有剩余，至少可以裁成（    ）个这样的正方形。 A．12 B．15 C．24 D．20 5．花店里有48朵玫瑰和36朵百合，现在用这两种花扎成花束，每束花中玫瑰和百合的朵数分别相同，且无剩余，最多能扎（    ）束花。 A．6 B．7 C．12 二、填空题 6．18的因数有( )，24的因数有( )，18和24的公因数有( )。 7．有两根小棒分别长20分米和28分米。要把它们截成同样长的小棒且没有剩余，每根小棒最长( )分米。 8．五一节快到了，盐渎公园里AC这条路的一边等距离挂灯笼（如图），要求在A、B、C处都要挂一个灯笼，一共至少需要挂( )个。 9．端午节是我国的四大传统节日之一。今年端午节。小林家包了许多粽子。妈妈先把24个豆沙粽子平均分给几家邻居，接着又把18个蜜枣粽子平均分给这几家，都正好分完。这些粽子最多分给了( )家邻居。 10．为了庆祝“六一”，五（1）班的同学打算布置教室，红红将一张长36厘米、宽24厘米的彩纸裁成同样大小的正方形，如果要求彩纸没有剩余，裁出的正方形边长最大是( )厘米，一共可以裁出( )个这样的正方形。 三、计算题 11．找出下面每组数的最大公因数。 16和36        25和35        21和45        32和40 四、解答题 12．把42块水果糖和36块巧克力分别平均分给一个组的同学，正好都分完，没有剩余。这个组最多有几名同学？ 13．在2023年的庆元旦晚会上，五（1）班同学准备了18个苹果、24根香蕉，现要把它们分别放在盘子里。如果每个盘子只放同一种水果，且每盘水果的个数相同，没有剩余，每盘最多放多少个水果？ 14．某小学组织五年级学生去春游。五（1）班有36人，五（2）班有42人，为了方便清点人数，老师要把每班分成人数相等的若干支队伍。每队最多有多少人？每班各可以分成多少队？ 15．芳芳家要给卧室铺地砖，她通过测量发现卧室长3.6米、宽2.8米。请你帮助她解答下面的问题。 （1）如果用边长6分米的地砖铺满，至少需要多少块地砖？ （2）如果用正方形地砖铺满，且都用整块的地砖，那么选择的地砖边长最大是多少分米？ （3）如果用长方形地砖铺满，且都用整块的地砖，购买长9分米，宽6分米的地砖符合要求吗？用你喜欢的方式说明理由，可以写一写或者画一画等。 参考答案 1．【分析】要判断每组选项中数的最大公因数是否为1通过对每个选项分别举例，依据最大公因数的定义来判断该选项是否符会要求。 除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数；除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。 整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。 如果一个整数同时是几个整数的因数，称这个整数为它们的“公因数”。举例说明即可。 【解答】A．两个不同的质数，比如2和3；2只能被1和2整除，3只能被1和3整除，它们公有的因数只有1，所以最大公因数就是1，该选项有可能符合要求。 B．两个不同的奇数，像3和21。3的因数有1；21的因数有1、3、7、21，它们公有的因数有1和3，所以最大公因数是3，不是1，该选项不符合要求。 C．一个质数和一个合数，例如5是质数，30是合数。5的因数是1、5；30的因数有1、2、3、5、6、10、15、30，它们公有的因数有1和5，最大公因数是5，不是1，该选项不符合要求。 D．一个奇数和一个偶数，比如3是奇数，12是偶数。3的因数是1、3；12的因数有1、2、3、4、6、12，它们公有的因数有1和3，最大公因数是3，不是1，该选项不符合要求。 所以两个不同的质数只有1。 故答案为：A 2．【分析】由题意可知，要求每小段铁丝最长是几m，就是求24和42的最大公因数，可用短除法解答。 【解答】 24和42的最大公因数是 所以，两根铁丝分别长24m和42m，要把它们截成相等的小段，每小段长是整米数，且不许有剩余。每小段铁丝最长是6m。 故答案为：C 3．【分析】分解质因数求最大公因数的方法：将每个数分解成质因数的乘积，然后再提前各数中共有的质因数，将这些质因数相乘，所得的积就是这些数的最大公因数。由题意可知：甲、乙两数共有的质因数为：2和5，相乘即可得它们的最大公因数。 【解答】甲数＝2×3×5，乙数＝2×5，甲、乙两数共有的质因数为：2和5。则甲、乙两数的最大公因数是：2×5＝10。 故答案为：A 4．【分析】要裁剪成同样大小的正方形，即就是在长方形的长里面找出正方形的边长，长方形的宽里面找出正方形的边长，就是长方形长和宽能够被正方形的边长整除，要求至少可以裁成多少个这样的正方形，求出75和60的最大公因数，就是裁出的每个正方形的边长；用75和60分别除以正方形边长，得到的数相乘就是最少可以裁成的正方形个数，因此得解。 【解答】75＝3×5×5 60＝2×2×3×5 所以75和60的最大公因数是：3×5＝15，即正方形的边长是15厘米。 （75÷15）×（60÷15） ＝5×4 ＝20（个） 所以至少可以裁成20个这样正方形。 故答案为：D 5．【分析】每束花中玫瑰和百合的朵数分别相同，且无剩余，所以束数是48的因数，也是36的因数。要使花的束数最多，则束数就是48和36的最大公因数，据此解答。 【解答】 48和36的最大公因数是，所以最多能扎12束花； 故答案为：C 6．【分析】先根据乘法算式，一个一个的找出18和24的因数。再找出两个数因数共同的部分就是这两个数的公因数。 【解答】18＝1×18＝2×9＝3×6 24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6 18的因数有1，2，3，6，9，18， 24的因数有1，2，3，4，6，8，12，24， 18和24的公因数有1，2，3，6。 7．【分析】要使两根小棒截成同样长的小棒且没有剩余，求每根小棒最长是多少，就是求20和28的最大公因数，把20和28分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是最大公因数，即可解答。 【解答】20＝2×2×5 28＝2×2×7 20和28的最大公因数是：2×2＝4 即每根小棒最长4分米。 8．【分析】由于A、B都要挂，所以相邻灯笼距离是63的因数，由于B、C都要挂，所以相邻灯笼距离也是56的因数，63和56最大公因数为7，AB路段需要挂（63÷7＋1）个，即10个，BC路段需要挂：（56÷7＋1）个，即9个，由于B点计算重复，所以路的一边至少需要挂：（10＋9－1）个；由此解答即可。 【解答】63＝3×3×7 56＝2×2×2×7 63和56最大公因数为7， 63÷7＋1 ＝9＋1 ＝10（个） 56÷7＋1 ＝8＋1 ＝9（个） 10＋9－1＝18（个） 一共至少需要挂18个。 9．【分析】由题意“24个豆沙粽子平均分给这几家或18个蜜枣粽子平均分给这几家都正好分完”可知：实际上是在求24和18的最大公因数，先把24和18进行分解质因数，根据求两个数的最大公因数的方法：即这两个数的公有质因数的连乘积；进行解答即可。 【解答】 24和18的最大公因数是： 这些粽子最多分给了6家邻居。 10．【分析】根据题意，长36厘米、宽24厘米的彩纸裁成同样大小的正方形，且没有剩余，说明正方形的边长是长、宽的公因数；求正方形的最大边长，就是求36和24的最大公因数；用分解质因数的方法求出36和24的最大公因数，再分别求出长、宽各可以裁几个，最后相乘就是一共可以裁出的个数。 【解答】36＝2×2×3×3 24＝2×2×2×3 36和24的最大公因数是：2×2×3＝12 即裁出的正方形边长最大是12厘米。 36÷12＝3（个） 24÷12＝2（个） 3×2＝6（个） 裁出的正方形边长最大是12厘米，一共可以裁出6个这样的正方形。 11．【分析】分解质因数法：几个自然数的最大公因数，必须包含这几个自然数全部公有的质因数，因此可先把各个数分解质因数，再把这几个自然数全部公有的质因数选出并且连乘起来，所得的积就是最大公因数。据此解答。 【解答】16＝2×2×2×2    36＝2×2×3×3 16和36 的最大公因数为2×2＝4。 25＝5×5    35＝5×7 25和35的最大公因数为5。 21＝3×7    45＝3×3×5 21和45的最大公因数为3。 32＝2×2×2×2×2    40＝2×2×2×5 32和40的最大公因数为2×2×2＝8。 12．【分析】根据题意，也就是求42与36的最大公因数，即是这个组的最多人数；先把42与36分别分解质因数，进而找出它们公有的质因数，再把公有的质因数相乘即可，据此解答。 【解答】因为， ，所以42与36的最大公因数是：。 答：这个组最多有6名同学。 13．【分析】每个盘子只放同一种水果，且每个盘子水果的个数相同；要将18个苹果和24根香蕉全部放在盘子里，没有剩余，则每个盘子里放的水果个数应该是18和24的最大公因数；求出18和24的最大公因数即为每盘最多可以放的水果个数。 【解答】18＝2×3×3 24＝2×2×2×3 2×3＝6，18和24的最大公因数是6。 答：每盘最多放6个水果。 14．【分析】根据题意，老师要把每班分成人数相等的若干支队伍，那么每队的人数是两个班人数的公因数；求每队最多的人数就是求两个班人数的最大公因数； 然后看每班人数里各有几个最大公因数，用除法计算，就是每班各可以分成的队数。 【解答】36＝2×2×3×3 42＝2×3×7 36和42的最大公因数是：2×3＝6 即每队最多有6人。 36÷6＝6（队） 42÷6＝7（队） 答：每队最多有6人，五（1）班可以分成6队，五（2）班可以分成7队。 15．【分析】（1）根据长方形的面积＝长×宽，先计算出卧室的面积；再根据正方形的面积＝边长×边长，算出一块地砖的面积，最后用卧室的面积除以一块地砖的面积，即可算出至少需要多少块地砖，据此解答； （2）3.6米＝36分米，2.8米＝28分米，用正方形地砖铺满，且都用整块的地砖，求选择的地砖边长最大是多少，就是求36和28的最大公因数，列出36和28的所有因数，再找出它们的最大公因数，据此解答。 （3）用长方形地砖铺满，且都用整块的地砖，必须满足长方形的长能够整除36，且宽能够整除28，或者长方形的长能够整除28，且宽能够整除36，据此解答。 【解答】（1）（平方米） 6分米＝0.6米 （平方米） （块） 答：至少需要28块。 （2）3.6米＝36分米；2.8米＝28分米 36的因数：1、2、3、4、6、9、12、18、36。 28的因数：1、2、4、7、14、28。 36和28的最大公因数是4。 答：选择的地砖边长最大是4分米。 （3）购买长9分米、宽6分米的地砖不符合要求。理由如下： 无论是9分米的边，还是6分米的边都不能整块摆在卧室的宽边上。 答：购买长9分米、宽6分米的地砖不符合要求。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$