中考第一轮复习质量检测卷03《函数》-备战2025年中考复习质量检测卷（湖北专用）

2025年九年级数学中考第一轮复习检测卷03 《函 数》 测试时间：120分钟 试卷满分：120分 1、 选择题（每小题3分，共30分） 1．（2024•肇东市模拟）函数的自变量x的取值范围是（　　） A．x≠0 B．x且x≠0 C．x D．x 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案． 【解答】解：由题意得：2x+1≥0且x≠0， 解得：x且x≠0， 故选：B． 【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键． 2．（2025•碑林区校级一模）在平面直角坐标系中，将直线向上平移3个单位后，恰好经过点A（2，m），则m的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【分析】先根据平移规律求出直线向上平移3个单位的直线解析式，再把点A（2，m）代入，即可求出m的值． 【解答】解：将直线向上平移3个单位，得到直线， ∵直线向上平移3个单位后，恰好经过点A（2，m）， ∴， 解得m＝3． 故选：B． 【点评】本题考查了一次函数的图象与几何变换，正确求出平移后的直线解析式是解题的关键． 3．（2024秋•三原县期中）矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，若∠OBA＝60°，B（3，0）对角线AC与BD相交于点E，AC∥x轴，则BE的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【分析】由直角三角形的性质可求AB＝2OB＝6，通过证明△ABE是等边三角形，可得BE＝AB＝6． 【解答】解：∵B（3，0）， ∴OB＝3， ∵∠OAB＝30°，∠AOB＝90°， ∴∠ABO＝60°，AB＝2OB＝6， ∵AC∥OB， ∴∠CAB＝60°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AE＝CE＝BE＝DE， ∴△ABE是等边三角形， ∴BE＝AB＝6， 故选：D． 【点评】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 4．（2024秋•都安县期末）若点A（﹣7，y1），B（﹣4，y2），C（5，y3）在反比例函数y的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y3＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3 【分析】根据反比例函数的性质可以判断y1，y2，y3的大小，从而可以解答本题． 【解答】解：∵点A（﹣7，y1），B（﹣4，y2），C（5，y3）在反比例函数y的图象上，k＝5＞0， ∴该函数在每个象限内，y随x的增大而减小，函数图象在第一、三象限， ∵﹣7＜﹣4，0＜5， ∴y2＜y1＜0＜y3， 即y2＜y1＜y3， 故选：D． 【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答． 5．下列函数中，当x＜0时，函数值y随x的增大而增大的有（　　） ①y＝2x2②yx2﹣1③y＝﹣x2+1④y＝3x2﹣1． A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【分析】根据题目中各个小题中的函数解析式可以分别求得x＜0时，函数值y随x的增大如何变化，从而可以解答本题． 【解答】解：∵y＝2x2，∴当x＜0时，函数值y随x的增大而减小，故①不符合题意； ∵yx2﹣1，∴当x＜0时，函数值y随x的增大而增大，故②符合题意； ∵y＝﹣x2+1，∴当x＜0时，函数值y随x的增大而增大，故③符合题意； ∵y＝3x2﹣1，∴当x＜0时，函数值y随x的增大而减小，故④不符合题意， 故选：C． 【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答． 6．（2024秋•水富市校级期中）已知二次函数y＝2（x﹣1）2+3，向左平移h个单位长度，向上平移k个单位长度，得到二次函数y＝2（x+2）2+5，则h，k的值分别是（　　） A．﹣3，2 B．3，2 C．2，﹣2 D．2，5 【分析】根据题意，将y＝2（x﹣1）2+3向左平移3个单位再向上平移2个单位即可求解． 【解答】解：根据平移法则得：y＝2（x﹣1+3）2+3+2，即y＝2（x+2）2+5， ∴h＝3，k＝2， 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键． 7．如图，两个反比例函数y和y在第一象限的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于B，则△POB的面积为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据反比例函数y（k≠0）系数k的几何意义得到S△POA4＝2，S△BOA2＝1，然后利用S△POB＝S△POA﹣S△BOA进行计算即可． 【解答】解：∵PA⊥x轴于点A，交C2于点B， ∴S△POA4＝2，S△BOA2＝1， ∴S△POB＝2﹣1＝1． 故选：A． 【点评】本题考查了反比例函数y（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|． 8．（2024秋•冷水江市期末）已知关于x的二次函数y＝ax2﹣4ax+3a2﹣6，当x＜0时，y随x的增大而减小．且当﹣1≤x≤4时，y有最大值2．则a的值为（　　） A． B．1 C．﹣1 D． 【分析】先求出对称轴，根据增减性确定a的符号，再根据最值求出a的值即可． 【解答】解：由解析式可知：对称轴为直线， ∵当x＜0时，y随x的增大而减小， ∴抛物线的开口向上， ∴a＞0，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵﹣1≤x≤4，|﹣1﹣2|＞|4﹣2|， ∴当x＝﹣1时，y有最大值为a+4a+3a2﹣6＝2， 解得：a＝1或（舍去）； 故选：B． 【点评】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握以上知识点是关键． 9．（2024•当阳市模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象经过点（0，2），其对称轴为直线x＝﹣1．下列结论中正确的有（　　）个． ①3a+c＞0 ②若点（﹣4，y1），（3，y2）均在二次函数图象上，则y1＜y2 ③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1有两个相等的实数根 ④满足ax2+bx+c＞2的x的取值范围为﹣2＜x＜0 A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】依据题意，有图象可得抛物线的对称轴是直线x1，与y轴的交点为（0，2），当x＝1时，y＜0，然后逐个选项判断即可得解． 【解答】解：由题意，∵抛物线的对称轴是直线x1， ∴b＝2a． 又由图象，可得当x＝1时，y＝a+b+c＜0， ∴3a+c＜0，故①错误． ∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣1， ∴点（﹣4，y1）到对称轴的距离小于点（3，y2）到对称轴的距离， ∵抛物线开口向下， ∴y1＞y2，故②错误． 由题意，令y＝﹣1， ∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣1有两个不同的交点． ∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1有两个不相等的实数根，故③错误． ∵当x＝0时，y＝2， 又∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣1， ∴当x＝﹣2时，y＝2． 又抛物线开口向下， ∴满足ax2+bx+c＞2的x的取值范围为﹣2＜x＜0，故④正确． 故选：A． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数的图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，函数与方程的关系，数形结合是解题的关键． 10．（2024•合水县一模）如图①，在正方形ABCD中，点M是AB的中点，点N是对角线BD上一动点，设DN＝x，AN+MN＝y．已知y与x之间的函数图象如图②所示，点是图象的最低点，那么正方形的边长的值为（　　） A．2 B． C．4 D． 【分析】由A、C关于BD对称，推出NA＝NC，推出AN+MN＝NC+MN，推出当M、N、C共线时，y的值最小，连接MC，由图象可知MC＝2，就可以求出正方形的边长． 【解答】解：如图，连接AC交BD于点O，连接NC，连接MC交BD于点N'． ∵四边形ABCD是正方形， ∴O是BD的中点， ∵点M是AB的中点， ∴N'是△ABC的重心， ∴N'OBO， ∴N'DBD， ∵A、C关于BD对称， ∴NA＝NC， ∴AN+MN＝NC+MN， ∵当M、N、C共线时，y的值最小， ∴y的值最小就是MC的长， ∴MC＝2， 设正方形的边长为m，则BMm， 在Rt△BCM中，由勾股定理得：MC2＝BC2+MB2， ∴， ∴m＝4（负值已舍）， ∴正方形的边长为4． 故选：C． 【点评】本题考查的是动点图象问题，涉及到正方形的性质，重心的性质，利用勾股定理求线段长是解题的关键． 2、 填空题（每小题5分，共15分） 11．（2024•和平区一模）函数y＝（k﹣2）x+2k+8的图象经过一、二、四象限，则k的取值范围为 　 　． 【分析】由函数y＝（k﹣2）x+2k+8的图象经过一、二、四象限，可知K﹣2＜0，2K+8＞0 【解答】解：∵函数y＝（k﹣2）x+2k+8的图象经过一、二、四象限， ∴， 解不等式组得， 解得：﹣4＜k＜2． 故答案为：﹣4＜k＜2． 【点评】本题考查了一次函数的图形余性质，解题的关键是能关键所过的象限判断k﹣2与2k+8的符号． 12．（2024•阳新县校级二模）如图，点A（a，b）在双曲线上，a＞b＞0，，过A作AC⊥x轴，垂足为C，OA的垂直平分线交OC于B，则△ABC的周长为　 　． 【分析】根据线段垂直平分线的性质可知AB＝OB，由此推出△ABC的周长＝OC+AC，设OC＝a，AC＝b，根据勾股定理和函数解析式即可得到关于a、b的方程组，解之即可求出△ABC的周长． 【解答】解：∵OA的垂直平分线交OC于B， ∴AB＝OB， ∴△ABC的周长＝OC+AC， 设OC＝a，AC＝b， 则有方程组， 解得a+b＝5， 即△ABC的周长＝OC+AC＝5． 故答案为：5． 【点评】本题考查反比例函数图象性质和线段中垂线性质，以及勾股定理的综合应用，关键是一个转换思想，即把求△ABC的周长转换成求OC+AC即可解决问题． 13．（2024秋•巴东县期中）抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点坐标是（m，n），且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣2＝0无实数根，则n的取值范围是　 　． 【分析】根据抛物线的顶点坐标及顶点纵坐标，可得抛物线的最小值，根据关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣2＝0无实数根，可得抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与直线y＝2无交点，从而得到n的取值范围． 【解答】解：由题意可得：抛物线的最小值为n， ∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣2＝0无实数根， ∴抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与直线y＝2无交点， ∴n＞2， 故答案为：n＞2． 【点评】本题考查了二次函数的性质与一元二次方程根的判别式，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键． 14．（2024春•十堰期末）如图，函数y＝kx+b的图象经过点P（﹣1，2），则关于x的不等式kx+b＞2的解集是 　 　． 【分析】函数y＝kx+b的图象经过点P（﹣1，2），观察函数图象得到即可． 【解答】解：由图象可得：当x＜﹣1时，kx+b＞2， 所以关于x的不等式kx+b＞2的解集是x＜﹣1， 故答案为x＜﹣1． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，理解题意，利用数形结合思想求解是解题关键． 15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣4x+4的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点．正方形ABCD的顶点C、D在第一象限，顶点D在反比例函数的图象上．若正方形ABCD向左平移n个单位后，顶点C恰好落在反比例函数的图象上，则n的值是 　 　． 【分析】作CN⊥y轴，垂足为N，作DM⊥x轴，垂足为M．进而△CNB≌△BOA≌△AMD，得到BN＝OA＝DM，CN＝OB＝AM．根据一次函数y＝﹣4x+4的解析式得到A、B坐标，通过线段线段转化可得点C、D坐标，利用点D和平移后的点C′都在反比例函数图象上列出（4﹣n）×5＝5求出n即可． 【解答】解：作CN⊥y轴，垂足为N，作DM⊥x轴，垂足为M． ∵ABCD是正方形， ∴∠CBN＝∠BAO＝∠ADM，∠CNB＝∠BOA＝∠AMD＝90°，BC＝AB＝AD， ∴△CNB≌△BOA≌△AMD（AAS）， ∴BN＝OA＝DM，CN＝OB＝AM． ∵一次函数y＝﹣4x+4的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点， ∴A（1，0），B（0，4）， ∴C（4，5），D（5，1）， ∵点D在反比例函数图象上， ∴k＝5， ∵正方形ABCD向左平移n个单位， ∴顶点C平移后的坐标为C′（4﹣n，5）， ∵C′（4﹣n，5）在反比例函数图象上， ∴（4﹣n）×5＝5， 解得n＝3． 故答案为：3． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上的点的坐标纵横之积是常数k． 三、解答题（共9个大题，共75分） 16．（6分）（2024秋•中站区期中）（1）已知点P（2x+3，4x﹣7）的横坐标减纵坐标的差为6，求这个点到x轴、y轴的距离； （2）已知点A（2x﹣3，6﹣x）到两坐标轴的距离相等，且在第二象限，求点A的坐标； （3）已知线段AB平行于y轴，点A的坐标为（﹣2，3），且AB＝4，求点B的坐标． 【分析】（1）根据横坐标与纵坐标的关系列方程求出x，再求出点P的坐标，然后根据点到x轴的距离等于纵坐标的长度，点到y轴的距离等于横坐标的长度解答； （2）根据题意列不等式，即可得到结论； （3）线段AB∥y轴，把点A向下或上平移4个单位即可得到B点坐标． 【解答】解：（1）根据题意得，（2x+3）﹣（4x﹣7）＝6， 解得，x＝2， ∴P（7，1）， ∴这个点到x轴的距离是1，到y轴的距离是7； （2）∵A（2x﹣3，6﹣x）在第二象限， ∴2x﹣3＜0，6﹣x＞0， 根据题意得，﹣（2x﹣3）＝6﹣x， 解得，x＝﹣3， ∴A（﹣9，9）； （3）∵线段AB平行于y轴，点A的坐标为（﹣2，3）， ∴点B点的横坐标是﹣2， 又∵AB＝4， ∴当B点在A点上方时，B点的纵坐标是3+4＝7， 当B点在A点下方时，B点的纵坐标是3﹣4＝﹣1， ∴B点坐标是（﹣2，7）或（﹣2，﹣1）． 【点评】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的长度，点到y轴的距离等于横坐标的长度是解题的关键． 17．（6分）（2024秋•桓台县期末）一条笔直的路上依次有A、B、C三地，其中A、C两地相距720米．小刚、小欣两人分别从A、C两地同时出发，匀速而行，分别去往目的地C与A．图中线段OP、QR分别表示小刚、小欣两人离A地的距离y（米）与行走时间x（分钟）的函数关系图象． （1）求QR所在直线的表达式． （2）出发后小刚行走多少时间，与小欣相遇？ 【分析】（1）设QR所在直线表达式为：y＝kx+b（k≠0），将点Q（0，720），R（12，0）代入，再求解即可； （2）根据图象利用路程除以两人的速度和得到答案； 【解答】解：（1）小刚、小欣两人离A地的距离y（米）与行走时间x（分钟）的函数关系图象为一次函数，设QR所在直线表达式为：y＝kx+b（k≠0）， 将点Q（0，720），R（12，0）代入得： ， 解得， ∴QR所在直线表达式为y＝﹣60x+720； （2）由图象可得小刚行驶速度为v1＝90米/分， 小欣行驶速度v2＝60米/分， 两人相遇时间为：720÷（90+60）＝4.8（分钟）， ∴小刚行走4.8分钟后两人相遇； 【点评】本题考查了一次函数的应用，解答本题的关键是找准等量关系，列出一次函数解析式． 18．（7分）（2024秋•平远县期末）如图，已知函数yx+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称． （1）求直线BC的函数解析式； （2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q，若△PQB的面积为2，求点P的坐标； 【分析】（1）分别求出A、B、C三点坐标，用待定系数法求函数的解析式即可； （2）①设M（m，0），则P（m，m+3），Q（m，m+3），求出PQ＝|m|，再由S△PQB|m|×|m|＝2，求出m的值后即可求M点坐标； ②分两种情况讨论：当点M在线段AO上时，利用角的关系推导出∠MBC＝90°，再由勾股定理得m2+9+45＝（6﹣m）2，求出m的值即可求点Q的坐标；当点M在线段OC上时，同理可求Q点的另一个坐标． 【解答】解：（1）令x＝0，则y＝3， ∴B（0，3）， 令y＝0，则x＝﹣6， ∴A（﹣6，0）， ∵点C与点A关于y轴对称， ∴C（6，0）， 设直线BC的解析式为y＝kx+b， ∴， 解得， ∴yx+3； （2）设M（m，0）， ∵PQ⊥x中轴， ∴P（m，m+3），Q（m，m+3）， ∴PQ＝|m+3m﹣3|＝|m|， ∴S△PQB|m|×|m|＝2， 解得m＝±2， ∴P（2，4）或（﹣2，2）； 【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质解题的关键． 19．（8分）如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，经过B、C两点的抛物线y＝ax2+bx+c与线x轴交于另一点A，对称轴是直线x＝2． （1）求抛物线的解析式； （2）把直线y＝﹣x+3向下平移多少个单位，使它与抛物线只有一个公共点． 【分析】（1）由一次函数解析式求出A，B坐标，从而可得c的值，由抛物线对称轴为直线x＝2可得a与b的关系，进而求解． （2）设直线平移后解析式为y＝﹣x+b，联立方程x2+4x+3＝﹣x+b，由根与系数的关系求解． 【解答】解：（1）把x＝0代入y＝﹣x+3得y＝﹣3， 把y＝0代入y＝﹣x+3得x＝3， ∴B（3，0），C（0，3），c＝3， ∴y＝ax2+bx+3， 将（3，0）代入y＝ax2+bx+3得0＝9a+3b+3， ∵抛物线对称轴为直线x2， ∴b＝﹣4a， ∴0＝9a﹣12a+3， 解得a＝1， ∴b＝4， ∴y＝x2+4x+3． （2）设直线平移后解析式为y＝﹣x+b， 令x2+4x+3＝﹣x+b，整理得x2+5x+3﹣b＝0， 由题意得Δ＝52﹣4（3﹣b）＝0， 解得b， ∵3﹣（）， ∴把直线向下移动个单位符合题意． 【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系． 20．（8分）（2024•遵义一模）为了实施乡村振兴战略，发展现代化农业，某村以集体经济发展带动农户增收致富，建立100亩基地分别种植羊肚菌和马桑菌．羊肚菌平均每亩的成本为1万元，马桑菌平均每亩的成本为4万元，马桑菌平均每亩的利润比羊肚菌平均每亩的利润多0.5万元，5亩羊肚菌和3亩马桑菌可获利9.5万元． （1）该村种植的羊肚菌和马桑菌每亩利润分别是多少元？ （2）由于该村投入该项目资金只有190万元，应如何安排羊肚菌和马桑菌的种植面积才能获得最大利润，并求出这个最大利润？ 【分析】（1）设该村种植的羊肚菌利润为x万元，马桑菌每亩利润为y万元，根据马桑菌平均每亩的利润比羊肚菌平均每亩的利润多0.5万元，5亩羊肚菌和3亩马桑菌可获利9.5万元，列等量关系即可作答； （2）设种羊肚菌m亩，利润为W万元，根据资金只有190万元，求出m的取值范围，根据利润＝单亩利润×亩数，即可解答． 【解答】解：（1）设该村种植的羊肚菌每亩利润为x万元，马桑菌每亩利润为y万元， 根据题意得， 解得， ∴该村种植的羊肚菌每亩利润为1万元，马桑菌每亩利润是1.5万元； （2）设种羊肚菌m亩，利润为W万元， 根据题意m+4（100﹣m）≤190， 解得m≥70， 又∵m≤100， ∴70≤m≤100， 利润W＝m+1.5（100﹣m）＝﹣0.5m+150， ∵﹣0.5＜0， ∴当m＝70时，W最大＝﹣0.5×70+150＝115（万元）， 100﹣m＝30（万元）， ∴安排羊肚菌的种植面积为70亩，马桑菌的种植面积为30亩才能获得最大利润，最大利润为115万元． 【点评】本题考查二元一次方程组合一次函数的应用，解题的关键是找出等量关系并列关系式． 21．（9分）（2024秋•定州市期末）已知一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数y的图象相交于A（﹣4，n），B（2，﹣4）两点，连接OA、OB，直线AB与x轴相交于点C． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求点C的坐标和△OAB的面积； （3）直接写出不等式kx+b的解集． 【分析】（1）把A（﹣4，n），B（2，﹣4）分别代入一次函数y＝kx+b和反比例函数y，运用待定系数法分别求其解析式； （2）把三角形AOB的面积看成是三角形AOC和三角形OCB的面积之和进行计算； （3）由图象观察函数y的图象在一次函数y＝kx+b图象的下方，对应的x的范围． 【解答】解：（1）∵B（2，﹣4）在反比例函数y的图象上， ∴m＝2×（﹣4）＝﹣8． ∴反比例函数的解析式为y． ∵点A（﹣4，n）在y上， ∴n＝2． ∴A（﹣4，2）． ∵y＝kx+b经过A（﹣4，2），B（2，﹣4）， ∴． 解得． ∴一次函数的解析式为y＝﹣x﹣2． （2）∵C是直线AB与x轴的交点， ∴当y＝0时，x＝﹣2． ∴点C（﹣2，0）． ∴OC＝2． ∴S△OAB＝S△ACO+S△BCO2×22×4＝6． （3）不等式kx+b的解集为：x＜﹣4或0＜x＜2． 【点评】本题考查了用待定系数法确定反比例函数的比例系数k，求出函数解析式；要能够熟练借助直线和y轴的交点运用分割法求得不规则图形的面积．同时间接考查函数的增减性，从而来解不等式． 22．（9分）（2024•湖北模拟）跳绳是校园中常见的一项体育运动，集体跳绳时，需要两人同频甩动绳子，当绳子甩到最高处时，其形状可近似看作抛物线．如图是小明和小亮甩绳子到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为1m，并且相距4m．现在以两人的站立点所在的直线为x轴，过小明拿绳子的手作x轴的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，且绳子所对应的抛物线的解析式yx2+bx+c． （1）求绳子所对应的抛物线的解析式； （2）身高为1.72m的乐乐站在绳子的正下方，绳子能否过他的头顶？并说明理由； （3）身高为1.64m的小颖和身高为1.66m的小丽，同时站在绳子的下方，在保证绳子甩到最高处时能过她们的头顶的情况下，她们之间的最大距离是多少m？ 【分析】（1）依据题意，将点（0，1），（4，1）代入解析式可得方程组，计算即可得解； （2）依据题意，由，结合二次函数的性质即可判断得解； （3）依据题意，令y＝1.64，从而，求得x，再令y＝1.66，故，求出x，进而可以判断得解． 【解答】解：（1）根据题意，∵抛物线 经过点（0，1），（4，1）， ∴． ∴ ∴绳子所对应的抛物线的解析式为． （2）身高为1.72m的乐乐站在绳子的正下方，绳子不能过他的头顶．理由如下： 由题意，∵， ∴当x＝2时，． ∴绳子不能过他的头顶． （3）由题意，令y＝1.64， ∴． ∴x＝1.6或x＝2.4． ∴当y＝1.66时，． ∴x＝1.8或x＝2.2． ∴两人之间最远相距2.2﹣1.6＝2.4﹣1.8＝0.6（m）． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 23．（10分）在襄阳市创建“经济品牌特色品牌”政策的影响下．每到傍晚，市内某网红烧烤店就食客如云，这家烧烤店的海鲜串和肉串非常畅销，店主从食品加工厂批发以上两种产品进行加工销售，其中海鲜串的成本为m元/支，肉串的成本为n元/支；两次购进并加工海鲜串和肉串的数量与成本如下表所示（成本包括进价和其他费用）： 次数 数量（支） 总成本（元） 海鲜串 肉串 第一次 3000 4000 17000 第二次 4000 3000 18000 针对团以消费，店主决定每次消费海鲜串不超过200支时，每支售价5元；超过200支时、不超过200支的部分按原价，超过200支的部分打八折．每支肉串的售价为3.5元． （1）求m、n的值； （2）五一当天，一个旅游团去此店吃烧烤，一次性消费海鲜串和肉串共1000支，且海鲜串不超过400支．在本次消费中，设该旅游团消费海鲜串x支，店主获得海鲜串的总利润为y元，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）在（2）的条件下，该旅游团消费的海鲜串超过了200支，店主决定给该旅游团更多优惠，对每支肉串降价a（0＜a＜1）元，但要确保本次消费获得肉串的总利润始终不低于海鲜串的总利润，求a的最大值． 【分析】（1）根据表格数据列出方程组，解方程组即可求出m、n的值； （2）分两种情况讨论，根据题意，结合“总利润＝每支利润×数量”分别列出代数式即可求出y与x的函数关系式，注意写出自变量x的取值范围； （3）设降价后获得肉串的总利润为z元，令W＝z﹣y．先根据题意列出z关于x的关系式，再写出W关于x的关系式，根据函数增减性和题中数量关系即可求出结果． 【解答】解：（1）根据表格可得： ， 解得， ∴m的值为3，n的值为2； （2）当0＜x≤200时，店主获得海鲜串的总利润y＝（5﹣3）x＝2x； 当200＜x≤400时，店主获得海鲜串的总利润y＝（5﹣3）×200+（5×0.8﹣3）（x﹣200）＝x+200； ∴y； （3）设降价后获得肉串的总利润为z元，令W＝z﹣y． ∵200＜x≤400， ∴z＝（3.5﹣a﹣2）（1000﹣x）＝（a﹣1.5）x+1500﹣1000a， ∴W＝z﹣y＝（a﹣2.5）x+1300﹣1000a， ∵0＜a＜1， ∴a﹣2.5＜0， ∴W随x的增大而减小， 当x＝400时，W的值最小， 由题意可得：z≥y， ∴W≥0， 即（a﹣2.5）×400+1300﹣1000a≥0， 解得：a≤0.5， ∴a的最大值是0.5． 【点评】本题主要考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的性质和应用以及二元一次方程组的应用是解决问题的关键． 24．（12分）（2024•威海一模）已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B、C两点，与x轴的另一交点为点A． （1）如图1，求抛物线的解析式； （2）如图2，点D为直线BC上方抛物线上一动点，连接AC、CD，设直线BC交线段AD于点E，△CDE的面积为S1，△ACE的面积为S2，当最大值时，求点D的坐标； （3）如图3，P、Q分别为抛物线上第一、四象限两动点，连接AP、AQ，分别交y轴于M、N两点，若在P、Q两点运动过程中，始终有MO与NO的积等于2；试探究直线PQ是否过某一定点；若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）设D（t，﹣t2+2t+3），过点D作DG∥y轴交BC于G点，过点A作AH∥y轴交BC于H点，由DG∥AH，可得，当时，有最大值为，此时； （3）设直线PQ的解析式为y＝kx+b，P（x1，y1），Q（x2，y2），当kx+b＝﹣x2+2x+3时，x1+x2＝2﹣k，x1•x2＝b﹣3，设直线PA的解析式为y＝k1x+m，直线QA的解析式为y＝k2x+b，当时，x1﹣1＝2﹣k1，﹣x1＝m﹣3，当时，x2﹣1＝2﹣k1，﹣x2＝n﹣3，M（0，m），N（0，n），再由MO？NO＝2，可得﹣mn＝2，即﹣（3﹣x1）（3﹣x2）＝2，整理得，3k+b＝﹣2，由此可知直线PQ经过点（3，﹣2）． 【解答】解：（1）当x＝0时，y＝3， ∴C（0，3）， 当y＝0时，x＝3， ∴B（3，0） 将点B、C代入y＝﹣x2+bx+c中， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）设D（t，﹣t2+2t+3）， 过点D作DG∥y轴交BC于G点，过点A作AH∥y轴交BC于H点，如图2， ∴G（t，﹣t+3），H（﹣1，4）， ∴DG＝（﹣t2+2t+3）﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，AH＝4， ∵DG∥AH， ∴． ∵△CDE的面积为S1，△ACE的面积为S2， ∴， ∵点D为直线BC上方抛物线上， ∴0＜t＜3， 当时，有最大值，此时； （3）直线PQ过定点（3，﹣2），理由如下： 设直线PQ的解析式为y＝kx+b，P（x1，y1），Q（x2，y2）， 当kx+b＝﹣x2+2x+3时，x1+x2＝2﹣k，x1•x2＝b﹣3， 设直线PA的解析式为y＝k1x+m，直线QA的解析式为y＝k2x+n， 当时，x1﹣1＝2﹣k1，﹣x1＝m﹣3， 当时，x2﹣1＝2﹣k1，﹣x2＝n﹣3， M（0，m），N（0，n）， ∵MO•NO＝2， ∴﹣mn＝2， ∴﹣（3﹣x1）（3﹣x2）＝2， 整理得3k+b＝﹣2， ∴直线PQ经过点（3，﹣2）． 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数的图象及性质，三角形的面积等知识点，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年九年级数学中考第一轮复习检测卷03 《函 数》 测试时间：120分钟 试卷满分：120分 1、 选择题（每小题3分，共30分） 1．（2024•肇东市模拟）函数的自变量x的取值范围是（　　） A．x≠0 B．x且x≠0 C．x D．x 2．（2025•碑林区校级一模）在平面直角坐标系中，将直线向上平移3个单位后，恰好经过点A（2，m），则m的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 3．（2024秋•三原县期中）矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，若∠OBA＝60°，B（3，0）对角线AC与BD相交于点E，AC∥x轴，则BE的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 4．（2024秋•都安县期末）若点A（﹣7，y1），B（﹣4，y2），C（5，y3）在反比例函数y的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y3＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3 5．下列函数中，当x＜0时，函数值y随x的增大而增大的有（　　） ①y＝2x2②yx2﹣1③y＝﹣x2+1④y＝3x2﹣1． A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 6．（2024秋•水富市校级期中）已知二次函数y＝2（x﹣1）2+3，向左平移h个单位长度，向上平移k个单位长度，得到二次函数y＝2（x+2）2+5，则h，k的值分别是（　　） A．﹣3，2 B．3，2 C．2，﹣2 D．2，5 7．如图，两个反比例函数y和y在第一象限的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于B，则△POB的面积为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（2024秋•冷水江市期末）已知关于x的二次函数y＝ax2﹣4ax+3a2﹣6，当x＜0时，y随x的增大而减小．且当﹣1≤x≤4时，y有最大值2．则a的值为（　　） A． B．1 C．﹣1 D． 9．（2024•当阳市模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象经过点（0，2），其对称轴为直线x＝﹣1．下列结论中正确的有（　　）个． ①3a+c＞0 ②若点（﹣4，y1），（3，y2）均在二次函数图象上，则y1＜y2 ③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1有两个相等的实数根 ④满足ax2+bx+c＞2的x的取值范围为﹣2＜x＜0 A．1 B．2 C．3 D．4 10．（2024•合水县一模）如图①，在正方形ABCD中，点M是AB的中点，点N是对角线BD上一动点，设DN＝x，AN+MN＝y．已知y与x之间的函数图象如图②所示，点是图象的最低点，那么正方形的边长的值为（　　） A．2 B． C．4 D． 2、 填空题（每小题5分，共15分） 11．（2024•和平区一模）函数y＝（k﹣2）x+2k+8的图象经过一、二、四象限，则k的取值范围为 　 　． 12．（2024•阳新县校级二模）如图，点A（a，b）在双曲线上，a＞b＞0，，过A作AC⊥x轴，垂足为C，OA的垂直平分线交OC于B，则△ABC的周长为　 　． 13．（2024秋•巴东县期中）抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点坐标是（m，n），且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣2＝0无实数根，则n的取值范围是　 　． 14．（2024春•十堰期末）如图，函数y＝kx+b的图象经过点P（﹣1，2），则关于x的不等式kx+b＞2的解集是 　 　． 15．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣4x+4的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点．正方形ABCD的顶点C、D在第一象限，顶点D在反比例函数的图象上．若正方形ABCD向左平移n个单位后，顶点C恰好落在反比例函数的图象上，则n的值是 　 　． 三、解答题（共9个大题，共75分） 16．（6分）（2024秋•中站区期中）（1）已知点P（2x+3，4x﹣7）的横坐标减纵坐标的差为6，求这个点到x轴、y轴的距离； （2）已知点A（2x﹣3，6﹣x）到两坐标轴的距离相等，且在第二象限，求点A的坐标； （3）已知线段AB平行于y轴，点A的坐标为（﹣2，3），且AB＝4，求点B的坐标． 17．（6分）（2024秋•桓台县期末）一条笔直的路上依次有A、B、C三地，其中A、C两地相距720米．小刚、小欣两人分别从A、C两地同时出发，匀速而行，分别去往目的地C与A．图中线段OP、QR分别表示小刚、小欣两人离A地的距离y（米）与行走时间x（分钟）的函数关系图象． （1）求QR所在直线的表达式． （2）出发后小刚行走多少时间，与小欣相遇？ 18．（7分）（2024秋•平远县期末）如图，已知函数yx+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称． （1）求直线BC的函数解析式； （2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q，若△PQB的面积为2，求点P的坐标； 19．（8分）如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，经过B、C两点的抛物线y＝ax2+bx+c与线x轴交于另一点A，对称轴是直线x＝2． （1）求抛物线的解析式； （2）把直线y＝﹣x+3向下平移多少个单位，使它与抛物线只有一个公共点． 20．（8分）（2024•遵义一模）为了实施乡村振兴战略，发展现代化农业，某村以集体经济发展带动农户增收致富，建立100亩基地分别种植羊肚菌和马桑菌．羊肚菌平均每亩的成本为1万元，马桑菌平均每亩的成本为4万元，马桑菌平均每亩的利润比羊肚菌平均每亩的利润多0.5万元，5亩羊肚菌和3亩马桑菌可获利9.5万元． （1）该村种植的羊肚菌和马桑菌每亩利润分别是多少元？ （2）由于该村投入该项目资金只有190万元，应如何安排羊肚菌和马桑菌的种植面积才能获得最大利润，并求出这个最大利润？ 21．（9分）（2024秋•定州市期末）已知一次函数y＝kx+b的图象和反比例函数y的图象相交于A（﹣4，n），B（2，﹣4）两点，连接OA、OB，直线AB与x轴相交于点C． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求点C的坐标和△OAB的面积； （3）直接写出不等式kx+b的解集． 22．（9分）（2024•湖北模拟）跳绳是校园中常见的一项体育运动，集体跳绳时，需要两人同频甩动绳子，当绳子甩到最高处时，其形状可近似看作抛物线．如图是小明和小亮甩绳子到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为1m，并且相距4m．现在以两人的站立点所在的直线为x轴，过小明拿绳子的手作x轴的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，且绳子所对应的抛物线的解析式yx2+bx+c． （1）求绳子所对应的抛物线的解析式； （2）身高为1.72m的乐乐站在绳子的正下方，绳子能否过他的头顶？并说明理由； （3）身高为1.64m的小颖和身高为1.66m的小丽，同时站在绳子的下方，在保证绳子甩到最高处时能过她们的头顶的情况下，她们之间的最大距离是多少m？ 23．（10分）在襄阳市创建“经济品牌特色品牌”政策的影响下．每到傍晚，市内某网红烧烤店就食客如云，这家烧烤店的海鲜串和肉串非常畅销，店主从食品加工厂批发以上两种产品进行加工销售，其中海鲜串的成本为m元/支，肉串的成本为n元/支；两次购进并加工海鲜串和肉串的数量与成本如下表所示（成本包括进价和其他费用）： 次数 数量（支） 总成本（元） 海鲜串 肉串 第一次 3000 4000 17000 第二次 4000 3000 18000 针对团以消费，店主决定每次消费海鲜串不超过200支时，每支售价5元；超过200支时、不超过200支的部分按原价，超过200支的部分打八折．每支肉串的售价为3.5元． （1）求m、n的值； （2）五一当天，一个旅游团去此店吃烧烤，一次性消费海鲜串和肉串共1000支，且海鲜串不超过400支．在本次消费中，设该旅游团消费海鲜串x支，店主获得海鲜串的总利润为y元，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）在（2）的条件下，该旅游团消费的海鲜串超过了200支，店主决定给该旅游团更多优惠，对每支肉串降价a（0＜a＜1）元，但要确保本次消费获得肉串的总利润始终不低于海鲜串的总利润，求a的最大值． 24．（12分）（2024•威海一模）已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B、C两点，与x轴的另一交点为点A． （1）如图1，求抛物线的解析式； （2）如图2，点D为直线BC上方抛物线上一动点，连接AC、CD，设直线BC交线段AD于点E，△CDE的面积为S1，△ACE的面积为S2，当最大值时，求点D的坐标； （3）如图3，P、Q分别为抛物线上第一、四象限两动点，连接AP、AQ，分别交y轴于M、N两点，若在P、Q两点运动过程中，始终有MO与NO的积等于2；试探究直线PQ是否过某一定点；若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$