中考第一轮复习质量检测卷02《方程与不等式》-备战2025年中考数学复习质量检测卷（湖北专用）

2025年九年级数学中考第一轮复习质量检测卷02 《方程与不等式》 测试时间：120分钟 试卷满分：120分 1、 选择题（每小题3分，共30分） 1．（2024•秦安县校级三模）关于x的一元一次方程2xa﹣2+m＝4的解为x＝1，则a+m的值为（　　） A．9 B．8 C．5 D．4 2．（2025•连州市模拟）若a＜b，则下列各式中一定成立的是（　　） A．a+3＞b+3 B．a﹣3＞b﹣3 C． D．﹣3a＜﹣3b 3．（2024•红花岗区三模）我国古代《九章算术》中有一个数学问题，其大意是：有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱，就多出11文钱；如果每人出6文钱，就相差16文钱．问买鸡的人数和鸡的价钱各是多少？设买鸡的人数为x人，则依题意列方程正确的是（　　） A．9x+11＝6x﹣16 B．9x﹣11＝6x+16 C．6x+11＝9x﹣16 D．6x﹣11＝9x+16 4．（2025•郸城县一模）已知关于x，y的二元一次方程组，则x﹣y的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3 5．（2025•莲湖区一模）已知二元一次方程2x﹣y＝0的一组解为，正比例函数y＝kx经过点A（2，n+4），则k的值为（　　） A．1 B．3 C．﹣1 D．﹣3 6．（2025•广西模拟）若关于x的一元二次方程（1﹣k）x2﹣5x+5＝0有两个不相等的实数根，则k的值可以是（　　） A． B．1 C．﹣1 D． 7．（2025•广东校级模拟）已知α、β是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，则α2+2β的值为（　　） A．5 B．4 C．7 D．6 8．（2025•镇海区校级模拟）已知关于x的分式方程有增根，则m的值是（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．2 9．（2025•合肥校级一模）若不等式组的解集为1＜x＜2，则（m+n）2025的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 10．（2024•铁锋区三模）若关于x的分式方程无解，则m的值为（　　） A．﹣3或 B．或 C．﹣3或或 D．﹣3或 二．填空题（共5小题，共15分） 11．（2025•慈利县一模）若关于x，y的二元一次方程mx+ny＝3有两个解和，则m+n的值为 　 　． 12．（2024•郸城县二模）若点M（m+3，m﹣2）在第四象限，则m的取值范围是 　 　． 13．（2024•江西模拟）一家商店将某种服装按成本提高40%标价，又以8折优惠卖出，结果每件服装仍可获利15元，则这种服装每件的成本价是　 　元． 14．（2025•嘉峪关一模）若关于x的一元一次不等式组无解，则符合条件的整数a的值可以是　 　． 15．（2025•苏州模拟）已知关于x的分式方程的解是非负数，则k的取值范围是 　 ． 三．解答题（共9小题，共75分） 16．（每小题4分，共8分）（2024秋•桑植县期末）（1）解方程：； （2）解方程组：． 17．（每小题4分，共8分）（2024秋•蓝山县期末）解方程： （1）x2+4x﹣1＝0； （2）（x﹣3）2+4（x﹣3）＝0． 18．（每小题4分，共8分）（2025•惠城区校级模拟）（1）解不等式组，把它的解集在数轴上表示出来； （2）解方程：． 19．（7分）（2024春•沭阳县期末）已知：关于x、y的二元一次方程组的解满足﹣1＜x+y≤4． （1）求k的取值范围； （2）在（1）的条件下，化简|2k+5|﹣|k﹣3|． 20．（8分）（2024•让胡路区校级模拟）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0有两个不等实数根x1，x2． （1）求k的取值范围； （2）若x1+x2+2x1x2＝1，求k的值． 21．（8分）（2025•敦化市一模）为了让学生养成热爱读书的习惯，某学校抽出一部分资金用于购买图书．已知2022年该学校用于购买图书的费用为5000元，2024年用于购买图书的费用是7200元． （1）求2022﹣2024年买图书资金的平均增长率； （2）按此增长率，计算2025年用于购买图书的费用． 22．（8分）（2025•郸城县一模）“垃圾分一分，环境美十分”，某中学欲购买A，B两种型号的垃圾桶，已知A型垃圾桶的单价比B型垃圾桶的单价便宜20元，用1800元购买A型垃圾桶的数量与用2160元购买B型的垃圾桶的数量相同．（说明：A型垃圾桶存放不可回收垃圾；B型垃圾桶存放可回收垃圾） （1）分别求A，B两种型号垃圾桶的单价． （2）根据学校需要，准备购买A，B两种垃圾桶共60个，其中购买A型垃圾桶的数量不超过B型垃圾桶的倍，求购买这两种垃圾桶所需的最少经费． 23．（8分）（2025•大连一模）为了丰富学生的阅读资源，某校图书馆准备采购文学名著和人物传记两类图书．经了解，30本文学名著和20本人物传记共需1150元，20本文学名著比20本人物传记多100元．（注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的人物传记价格都一样．） （1）求每本文学名著和人物传记各多少元？ （2）若学校要求购买文学名著比人物传记多20本，总费用不超过2000元，请求出人物传记至多买多少本？ 24．（12分）（2024•东宝区校级模拟）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx经过点A（t，0），与直线y＝x+4交于点B（﹣1，3），C（4，8）两点，点P是直线BC下方抛物线上不与O，A重合的一动点，过点P作BC的平行线交x轴于点Q，设点P的横坐标为m． （1）请直接写出a，b，t的值； （2）如图，若抛物线的对称轴为直线l，点P在直线l的右侧，PQ与直线l交于点M，当M为PQ的中点时，求m的值； （3）线段PQ的长记为d． ①求d关于m的函数解析式； ②若，结合d关于m的函数图象，直接写出m的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年九年级数学中考第一轮复习质量检测卷02 《方程与不等式》 测试时间：120分钟 试卷满分：120分 1、 选择题（每小题3分，共30分） 1．（2024•秦安县校级三模）关于x的一元一次方程2xa﹣2+m＝4的解为x＝1，则a+m的值为（　　） A．9 B．8 C．5 D．4 【分析】根据一元一次方程的概念和其解的概念解答即可． 【解答】解：关于x的一元一次方程2xa﹣2+m＝4的解为x＝1， 可得：a﹣2＝1，2+m＝4， 解得：a＝3，m＝2， 所以a+m＝3+2＝5， 故选：C． 【点评】此题考查一元一次方程的定义，关键是根据一元一次方程的概念和其解的概念解答． 2．（2025•连州市模拟）若a＜b，则下列各式中一定成立的是（　　） A．a+3＞b+3 B．a﹣3＞b﹣3 C． D．﹣3a＜﹣3b 【分析】根据不等式的性质逐一判断即可． 【解答】解：A．∵a＜b， ∴a+3＜b+3，故本选项不符合题意； B．∵a＜b， ∴a﹣3＜b﹣3，故本选项不符合题意； C．∵a＜b， ∴，故本选项符合题意； D．∵a＜b， ∴﹣3a＞﹣3b，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题主要考查不等式的性质，熟记该知识点是解题的关键． 3．（2024•红花岗区三模）我国古代《九章算术》中有一个数学问题，其大意是：有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱，就多出11文钱；如果每人出6文钱，就相差16文钱．问买鸡的人数和鸡的价钱各是多少？设买鸡的人数为x人，则依题意列方程正确的是（　　） A．9x+11＝6x﹣16 B．9x﹣11＝6x+16 C．6x+11＝9x﹣16 D．6x﹣11＝9x+16 【分析】根据题意和题目中的数据，可以列出方程9x﹣11＝6x+16，然后即可判断哪个选项符合题意． 【解答】解：由题意可得， 9x﹣11＝6x+16， 故选：B． 【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 4．（2025•郸城县一模）已知关于x，y的二元一次方程组，则x﹣y的值为（　　） A．﹣2 B．2 C．﹣3 D．3 【分析】将第二个方程减去第一个方程，即可解答． 【解答】解：， ②﹣①得2x﹣x+y﹣2y＝4﹣1， 得x﹣y＝3． 故选：D． 【点评】本题考查了解二元一次方程组，掌握解解二元一次方程组的步骤是关键． 5．（2025•莲湖区一模）已知二元一次方程2x﹣y＝0的一组解为，正比例函数y＝kx经过点A（2，n+4），则k的值为（　　） A．1 B．3 C．﹣1 D．﹣3 【分析】根据二元一次方程的解可得出y＝n＝2，进而得出A（2，6），把A（2，6）代入正比例函数即可得出k的值． 【解答】解：根据题意可知，y＝n＝2， ∴A（2，6）， ∵A（2，6）是正比例函数y＝kx上的一点， ∴6＝2k， ∴k＝3． 故选：B． 【点评】本题考查了二元一次方程的解，待定系数法求正比例函数解析式，掌握相应的运算法则是关键． 6．（2025•广西模拟）若关于x的一元二次方程（1﹣k）x2﹣5x+5＝0有两个不相等的实数根，则k的值可以是（　　） A． B．1 C．﹣1 D． 【分析】利用二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，可列出关于k的一元一次不等式组，解之可求出k的取值范围，再对照四个选项，即可得出结论． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程（1﹣k）x2﹣5x+5＝0有两个不相等的实数根， ∴， 解得：k且k≠1， ∴k的值可以是． 故选：D． 【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 7．（2025•广东校级模拟）已知α、β是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，则α2+2β的值为（　　） A．5 B．4 C．7 D．6 【分析】根据根与系数的关系已经根的定义得到α2﹣2α﹣1＝0，α+β＝2，然后利用整体代入的方法计算即可． 【解答】解：∵α、β是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根， ∴α2﹣2α﹣1＝0，α+β＝2， ∴α2＝2α+1， ∴α2+2β ＝2α+1+2β ＝2（α+β）+1 ＝2×2+1 ＝5． 故选：A． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1•x2． 8．（2025•镇海区校级模拟）已知关于x的分式方程有增根，则m的值是（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．2 【分析】先求解方程的增根，再将分式方程化为整式方程，将方程的增根代入整式方程计算可求解． 【解答】解：∵关于x的分式方程有增根， ∴x﹣1＝0， 解得：x＝1， ∴， 方程的两边同乘（x﹣1）得：2x＝m+5（x﹣1）， 解得：m＝﹣3x+5， ∴m＝﹣3×1+5＝2， 故选：D． 【点评】本题主要考查分式方程的增根，将分式方程的增根代入整式方程计算是解题的关键． 9．（2025•合肥校级一模）若不等式组的解集为1＜x＜2，则（m+n）2025的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【分析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算可得2﹣m＜x＜n+4，从而可得2﹣m＝1，n+4＝2，然后求出m，n的值，再代入式子中，进行计算即可解答． 【解答】解：， 解不等式①得：x＞2﹣m， 解不等式②得：x＜n+4， ∴原不等式组的解集为：2﹣m＜x＜n+4， 由条件可知2﹣m＝1，n+4＝2， ∴m＝1，n＝﹣2， ∴原式＝（﹣1）2025＝﹣1， 故选：A． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握该知识点是关键． 10．（2024•铁锋区三模）若关于x的分式方程无解，则m的值为（　　） A．﹣3或 B．或 C．﹣3或或 D．﹣3或 【分析】首先最简公分母为0，求出增根，在把分式方程化为整式方程，把增根代入整式方程，字母系数为0，满足这两个条件求出m的值． 【解答】解：当（x+3）（x﹣3）＝0时，x1＝3或x2＝﹣3， 原分式方程可化为：1， 去分母，得x（x+3）＝（x+3）（x﹣3）﹣（mx﹣2）， 整理得（3+m）x＝﹣7， ∵分式方程无解， ∴3+m＝0， ∴m＝﹣3， 把x1＝3或x2＝﹣3，分别代入（3+m）x＝﹣7， 得m或m， 综上所述：m的值为m或m或m＝﹣3， 故选：C． 【点评】本题考查分式方程的解，掌握在本题中分式方程无解满足的两个条件：一次项系数为0，最简公分母为0，是解决此题的关键． 二．填空题（共5小题，共15分） 11．（2025•慈利县一模）若关于x，y的二元一次方程mx+ny＝3有两个解和，则m+n的值为 　 　． 【分析】把和代入方程mx+ny＝3得关于m，n的方程组，解方程组求出m，n，再求出它们的和即可． 【解答】解：把和代入方程mx+ny＝3得：， ①×2得：4m﹣2n＝6③， ②+③得：m＝3， 把m＝3代入①得：n＝3， ∴m+n＝3+3＝6， 故答案为：6． 【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题关键是熟练掌握二元一次方程组的解的使每个方程左右两边相等的未知数的值． 12．（2024•郸城县二模）若点M（m+3，m﹣2）在第四象限，则m的取值范围是 　 　． 【分析】根据第四象限点的坐标特征（+，﹣）可得，然后按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答． 【解答】解：∵点M（m+3，m﹣2）在第四象限， ∴， 解不等式①得：m＞﹣3， 解不等式②得：m＜2， ∴原不等式组的解集为：﹣3＜m＜2， 故答案为：﹣3＜m＜2． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，点的坐标，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 13．（2024•江西模拟）一家商店将某种服装按成本提高40%标价，又以8折优惠卖出，结果每件服装仍可获利15元，则这种服装每件的成本价是　 　元． 【分析】首先设这种服装每件的成本价是x元，根据题意可得等量关系：进价×（1+40%）×8折＝进价+利润15元，根据等量关系列出方程即可． 【解答】解：设这种服装每件的成本价是x元，由题意得： （1+40%）x×80%＝x+15， 解得：x＝125． 故答案为：125． 【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，掌握利润、进价、售价之间的关系． 14．（2025•嘉峪关一模）若关于x的一元一次不等式组无解，则符合条件的整数a的值可以是　 　． 【分析】根据解不等式1﹣x＜0，因不等式组无解，故a≤1，再写出满足条件的a的一个值即可． 【解答】解：解不等式组得1＜x＜a， 由不等式组无解可得a≤1， 所以a的值可以是0． 故答案为：0（答案不唯一）． 【点评】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键． 15．（2025•苏州模拟）已知关于x的分式方程的解是非负数，则k的取值范围是 　 ． 【分析】将分式方程化为整式方程，求出整式方程的解，使整式方程的解是非负数，结合分式方程有意义进行求解即可． 【解答】解：关于x的分式方程化为整式方程得， k+2（x﹣1）＝﹣x， 解得， 由于分式方程的解为非负数，即， 所以k≤2， 当x＝1时，k＝﹣1， 因此k的取值范围为k≤2且k≠﹣1， 故答案为：k≤2且k≠﹣1． 【点评】本题考查分式方程的解以及解分式方程，掌握分式方程的解法是正确解答的关键． 三．解答题（共9小题，共75分） 16．（每小题4分，共8分）（2024秋•桑植县期末）（1）解方程：； （2）解方程组：． 【分析】（1）通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求解； （2）利用加减消元法解二元一次方程组即可． 【解答】解：（1）， 3（x+4）﹣12＝2（2+x）， 3x+12﹣12＝4+2x， 3x﹣2x＝4﹣12+12， x＝4； （2）， ②×2，得6x﹣2y＝10③， ①+③，得7x＝14， 解得x＝2， 把x＝2代入②，得y＝1， 所以方程组的解是． 【点评】本题考查了解一元一次方程，解二元一次方程组，正确计算是解题的关键． 17．（每小题4分，共8分）（2024秋•蓝山县期末）解方程： （1）x2+4x﹣1＝0； （2）（x﹣3）2+4（x﹣3）＝0． 【分析】（1）利用配方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【解答】解：（1）x2+4x﹣1＝0， x2+4x＝1， x2+4x+4＝1+4，即（x+2）2＝5， ∴x+2， ∴x1＝﹣2，x2＝﹣2； （2）（x﹣3）2+4（x﹣3）＝0， （x﹣3）（x﹣3+4）＝0， ∴x﹣3＝0或x+1＝0， ∴x1＝3，x2＝﹣1． 【点评】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 18．（每小题4分，共8分）（2025•惠城区校级模拟）（1）解不等式组，把它的解集在数轴上表示出来； （2）解方程：． 【分析】（1）先求出两个不等式的解集，得出不等式组的解集，然后在数轴上表示出来即可； （2）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可． 【解答】解：（1）， 由①解得：， 由②解得：x＜4， 所以，不等式组的解集为， 将解集在数轴上表示出来如下： （2）原方程两边都乘以3（x﹣2）得，9＝2x+3x﹣6， 解得：x＝3， 检验：当x＝3时，3（x﹣2）＝3×（3﹣2）＝3≠0， 所以x＝3是分式方程的解． 【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，解分式方程，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．需要注意的是：如果是表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点． 19．（7分）（2024春•沭阳县期末）已知：关于x、y的二元一次方程组的解满足﹣1＜x+y≤4． （1）求k的取值范围； （2）在（1）的条件下，化简|2k+5|﹣|k﹣3|． 【分析】（1）先解方程组可得，从而可得﹣1＜2﹣k+2k﹣1≤4，然后进行计算即可解答； （2）利用（1）的结论和绝对值的意义进行化简计算，即可解答． 【解答】解：（1）， 解得：， ∵﹣1＜x+y≤4， ∴﹣1＜2﹣k+2k﹣1≤4， 解得：﹣2＜k≤3； （2）∵﹣2＜k≤3， ∴2k+5＞0，k﹣3≤0， ∴|2k+5|﹣|k﹣3| ＝2k+5+k﹣3 ＝3k+2． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组，二元一次方程组的解，绝对值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 20．（8分）（2024•让胡路区校级模拟）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0有两个不等实数根x1，x2． （1）求k的取值范围； （2）若x1+x2+2x1x2＝1，求k的值． 【分析】（1）根据根的情况与判别式的关系，可得Δ＞0，即可求出k的取值范围； （2）根据根与系数的关系，可得x1+x2＝﹣2k﹣1，x1x2＝k2+1，再根据x1+x2+2x1x2＝1，即可求出k的值． 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0有两个不等实数根x1，x2， ∴Δ＝（2k+1）2﹣4（k2+1）＝4k﹣3＞0， ∴k； （2）根据根与系数的关系，可得x1+x2＝﹣2k﹣1，x1x2＝k2+1， 又∵x1+x2+2x1x2＝1， ∴﹣2k﹣1+2（k2+1）＝1， 解得k＝0或k＝1， 由（1）得k， ∴k＝1． 【点评】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握这些知识是解题的关键． 21．（8分）（2025•敦化市一模）为了让学生养成热爱读书的习惯，某学校抽出一部分资金用于购买图书．已知2022年该学校用于购买图书的费用为5000元，2024年用于购买图书的费用是7200元． （1）求2022﹣2024年买图书资金的平均增长率； （2）按此增长率，计算2025年用于购买图书的费用． 【分析】（1）设2022﹣2024年买书资金的平均增长率为x，利用2024年用于购买图书的费用＝2022年用于购买图书的费用×（1+2022﹣2024年买书资金的平均增长率）2，列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可； （2）根据增长率不变，列式计算即可． 【解答】解：（1）设2022﹣2024年买书资金的平均增长率为x， 根据题意得：5000（1+x）2＝7200， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）， 答：2022﹣2024年买书资金的平均增长率为20%； （2）由题意得：7200×（1+20%）＝8640（元）， 答：按此增长率，计025年用于购买图书的费用为8640元． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 22．（8分）（2025•郸城县一模）“垃圾分一分，环境美十分”，某中学欲购买A，B两种型号的垃圾桶，已知A型垃圾桶的单价比B型垃圾桶的单价便宜20元，用1800元购买A型垃圾桶的数量与用2160元购买B型的垃圾桶的数量相同．（说明：A型垃圾桶存放不可回收垃圾；B型垃圾桶存放可回收垃圾） （1）分别求A，B两种型号垃圾桶的单价． （2）根据学校需要，准备购买A，B两种垃圾桶共60个，其中购买A型垃圾桶的数量不超过B型垃圾桶的倍，求购买这两种垃圾桶所需的最少经费． 【分析】（1）设A型垃圾桶的单价为x元，则B型垃圾桶的单价为（x+20）元，然后根据题意列分式方程求解即可； （2）设购买A型垃圾桶m个，则购买B型垃圾桶（60﹣m）个．根据题意可得，解得m≤36；设所需经费为w元，则w＝100m+120（60﹣m）＝﹣20m+7200，然后根据一次函数求最值即可． 【解答】解：（1）设A型垃圾桶的单价为x元，则B型垃圾桶的单价为（x+20）元，则： ，解得x＝100， 经检验，x＝100是原方程的解，且符合题意， ∴x+20＝120（元）． 答：A型垃圾桶的单价为100元，B型垃圾桶的单价为120元． （2）设购买A型垃圾桶m个，则购买B型垃圾桶（60﹣m）个． 由条件可知，解得m≤36． 设所需经费为w元，则w＝100m+120（60﹣m）＝﹣20m+7200． ∵﹣20＜0， ∴w随m的增大而减小， ∴当m＝36时，w有最小值，最小值为﹣20×36+7200＝6480（元）． 答：所需的最少经费为6480元． 【点评】本题主要考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用等知识点，审清题意、找到等量关系和不等关系是解题的关键． 23．（8分）（2025•大连一模）为了丰富学生的阅读资源，某校图书馆准备采购文学名著和人物传记两类图书．经了解，30本文学名著和20本人物传记共需1150元，20本文学名著比20本人物传记多100元．（注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的人物传记价格都一样．） （1）求每本文学名著和人物传记各多少元？ （2）若学校要求购买文学名著比人物传记多20本，总费用不超过2000元，请求出人物传记至多买多少本？ 【分析】（1）设每本文学名著x元，每本人物传记y元，根据“30本文学名著和20本人物传记共需1150元，20本文学名著比20本人物传记多100元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设人物传记买m本，则文学名著买（m+20）本，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过2000元，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论． 【解答】解：（1）设每本文学名著x元，每本人物传记y元， 根据题意得：， 解得：． 答：每本文学名著25元，每本人物传记20元； （2）设人物传记买m本，则文学名著买（m+20）本， 根据题意得：25（m+20）+20m≤2000， 解得：m， 又∵m为正整数， ∴m的最大值为33． 答：人物传记至多买33本． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 24．（12分）（2024•东宝区校级模拟）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx经过点A（t，0），与直线y＝x+4交于点B（﹣1，3），C（4，8）两点，点P是直线BC下方抛物线上不与O，A重合的一动点，过点P作BC的平行线交x轴于点Q，设点P的横坐标为m． （1）请直接写出a，b，t的值； （2）如图，若抛物线的对称轴为直线l，点P在直线l的右侧，PQ与直线l交于点M，当M为PQ的中点时，求m的值； （3）线段PQ的长记为d． ①求d关于m的函数解析式； ②若，结合d关于m的函数图象，直接写出m的取值范围． 【分析】（1）将B（﹣1，3），C（4，8）两点代入抛物线y＝ax2+bx可得a，b的值，令抛物线y＝ax2+bx＝0，可得t的值； （2）过点P作PE⊥x轴于点E，设抛物线的对称轴交x轴于点F，先证明△QMF∽△QPE，得2，根据P（m，m2﹣2m），利用待定系数法求出直线BC的解析式为y＝x+4，可设直线PQ的解析式为y＝x+c，求出c＝m2﹣3m，可得M（1，m2﹣3m+1），Q（3m﹣m2，0），则2，由图可得P、M在x轴的同侧，即可求解； （3）①求出∠PQA＝∠CDO＝45°，则PQPE|m2﹣2m|，即可得d关于m的函数解析式； ②画出函数图象，分析图象即可得出结论． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx与直线y＝x+4交于点B（﹣1，3），C（4，8）两点， ∴将B（﹣1，3），C（4，8）两点代入抛物线y＝ax2+bx得， 解得， ∴抛物线y＝x2﹣2x， 令y＝x2﹣2x＝0，解得x＝0或2， ∴点A（2，0）， ∴t＝2； （2）过点P作PE⊥x轴于点E，设抛物线的对称轴交x轴于点F，BC交x轴于点D， ∴PE∥MF， ∴△QMF∽△QPE， ∴2， ∵点P的横坐标为m． ∴P（m，m2﹣2m）， ∵点B（﹣1，3），C（4，8）， ∴直线BC的解析式为y＝x+4， ∴设直线PQ的解析式为y＝x+c， ∴x+c＝m2﹣2m，解得c＝m2﹣3m， ∴直线PQ的解析式为y＝x+m2﹣3m， ∴M（1，m2﹣3m+1），Q（3m﹣m2，0）， ∴2， 由图可得P、M在x轴的同侧， ∴m＝2或2， ∵点P在直线l的右侧， ∴m＝2； （3）①如图2， ∵直线BC的解析式为y＝x+4， ∴直线BC与y轴的交点为（0，4），与x轴的交点为D （4，0）， ∴∠CDO＝45°， ∵BC∥PQ， ∴∠PQA＝∠CDO＝45°， ∴PQPE|m2﹣2m|， ∴d|m2﹣2m|； ②画出函数图象如图所示： ∵d， ∴|m2﹣2m|， ∴|m2﹣2m|， ∴m2﹣2m或2m﹣m2， 当m2﹣2m时，m，当2m﹣m2时，m， ∵P点在直线BC下方， ∴﹣1＜m＜4， 由图象得若d，m的取值范围为﹣1＜m或m＜4或m． 【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数的解析式，待定系数法求一次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$