黄金卷05（山西专用）-【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷

【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（山西专用） 黄金卷05 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．文化情境·传统文化  平遥古城，位于山西省晋中市平遥县康宁路，地处山西省中部，始建于西周宣王时期（前827年——前782年），于1370年重建、扩修城池，是现今中国境内保存最为完整的一座古代县城，整座城池宛如乌龟向南爬行，因此有“龟城”之称．1370的绝对值是（   ） A．1370 B． C． D． 2．《2025年春节联欢晚会》主标识以农历乙巳蛇年中的“巳”为原形，将两个“巳”字对称摆放，则恰似中国传统的如意纹样，双巳合璧，事事如意．二方连续，四方连续，是乙巳蛇年与如意之间吉祥曼妙的创意链接，更彰显着中华民族精神根脉生生不息的时代力量．下列图案中，不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．原子的质量如此小，无论书写、记忆、还是使用都极不方便．为方便应用，以一种碳原子质量的（即）为标准，其他原子的质量跟它相比较所得到的比值，称为相对原子质量．若一个碳原子的质量是，则该碳的相对原子质量为（   ） A．12 B． C． D． 4．如图1，是一盏台灯，其示意图如图2所示，此台灯由底座，，灯杆和灯头组成．已知，灯头始终平行桌面．已知，连结，，若，，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 5．马大哈同学做如下运算题：①x5+x5＝x10②x5﹣x4＝x③x5•x5＝x10④x10÷x5＝x2⑤(x5)2＝x25，其中结果正确的是（   ） A．①②④ B．②④ C．③ D．④⑥ 6．北京时间12月4日，我国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”通过评审，列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．现将四张大小相同的正方形卡片拼成如图所示的正方形靶盘（其中两张卡片上是“春”字，另外两张上是“福”字）．现向该靶盘随机掷两次飞镖，则两次射中的卡片上的字不相同的概率为（    ） A． B． C． D． 7．若装满一个果篮需要3个苹果，而用m个苹果最多可以装满4个果篮，则m应满足（    ） A． B． C． D． 8．将两张完全相同的矩形纸片如图所示叠放，使两个矩形的一条对角线重合，若两个矩形的长为2，宽为1，则重叠部分图形的面积为（     ） A． B． C． D． 9．如图，点N在反比例函数上，点M在反比例函数上，连接交y轴正半轴于点A，连接，若，则的面积是（    ） A．6 B．5 C． D．3 10．如图（1）是一款中药碾槽，碾槽底部为近似圆弧形（本题以圆弧记），槽内可以安放一个带轴的碾轮．将中药放入碾槽中，使碾轮滚动，可将中药粉碎，碾槽截面平面示意图如图（2）．设碾轮中心轴的截面图圆心为，当碾轮经过碾槽最低点时，恰好与相切于点，并且此时切点与点的距离刚好为，若所在圆半径为，且的长度为，则点，间的距离大约是（结果精确到，，）． A．19.4 B．20.6 C．21.8 D．22.0 2、 填空题：（本大题共5题，每题3分，共15分.） 11．如图，矩形内三个相邻的正方形的面积分别为4，3，2，则图中阴影部分的面积为 ． 12．已知 ，且，若四边形的周长为6，则四边形的周长为 ． 13．用四边形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个四边形，第②个图案中有5个四边形，第③个图案中有8个四边形，第④个图案中有11个四边形，…，按此规律，则第个图案中，四边形的个数是 ． 14．如图，在中，， ，D是的中点，以点D为圆心，作圆心角为的扇形，点C恰好上（点E，F不与点C重合）， 半径，分别与，相交于点G，H，则阴影部分的面积为 ． 15．如图，点D在等腰直角三角形内，，，，E、F分别在和上满足，则的最小值为 ． 三、解答题：（本大题共8题，共75.分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16．（10分）（1）计算：； （2）化简：． 17．（7分）如图，已知． (1)尺规作图：分别在、、边上取点、、，使得四边形是菱形（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求四边形的面积． 18．（9分）2025年1月8日第二十届中央纪委四次全会在北京胜利闭幕．某校为了了解七、八年级学生对的“四次全会”精神的认知程度，现从这两个年级（各800名学生）中各随机抽取m名学生进行有关知识测试，若将测试成绩按以下六组进行整理（得分用x表示）： A：，B：，C：，D：，E：，F：．并绘制七年级测试成绩频数分布直方图和八年级测试成绩扇形统计图，部分信息如下： 七年级测试成绩频数分布直方图           八年级测试成绩扇形统计图 已知八年级测试成绩D组的全部数据如下： 86，85，87，86，85，89，88． 请根据以上信息，完成下列问题： (1)_______，_______，八年级测试成绩的中位数是_______． (2)若测试成绩不低于90分，则认定该学生对党的“四次全会”精神认知程度高．请估计该校七、八两个年级对党的“四次全会”精神认知程度高的学生一共有多少人． (3)甲、乙、丙、丁为七年级测试成绩在90分以上的四名同学，如果从这四名同学中随机选取两名作为社区宣讲员，恰好选中甲和丙的概率为多少？ 19．（8分）如图是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度．如图，打开后备厢，车后盖落在处，与水平面的夹角． AI (1)求打开后备厢后，车后盖最高点到地面的距离； (2)若小明爸爸的身高为，他从打开的车后盖C处经过，有没有碰头的危险请说明理由．（结果精确到，参考数据：，，，） 20．（8分）古代手工艺文化是中华民族宝贵的文化遗产，是千百年来劳动人民智慧的结晶，承载着民族文化的传承与发展．凤翔泥塑手工艺品厂每天生产两种工艺品共60件，成本和售价如下表： 成本/（元/件） 售价/（元/件） A种工艺品 40 60 种工艺品 30 45 设每天生产种工艺品件，每天获得的总利润为元． (1)求与之间的函数表达式； (2)如果该手工艺品厂每天最多投入的成本为2000元，那么每天生产多少件A种工艺品，所获得的利润最大？并求出这个最大利润． 21．（9分）创新题推荐阅读理解题请阅读下列材料，完成相应的任务： 著名数学家华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休．”数形结合是数学研究和学习中的重要思想和解题方法，用数形结合方法可以使复杂问题简单化、抽象问题具体化，有助于把握数学问题的本质，解决更加广泛领域的问题．比如有这样一个题目：设有两只电阻，分别为和，问并联后的电阻值是多少？ 我们可以利用公式求得的值，也可以设计一种图形直接得出结果，具体如下： 如图①，在直线上任取两点，，分别过点，作直线的垂线，并在这两条垂线上分别截取，，且点，位于直线的同侧，连接，，交于点，过点作直线，则线段的长度就是并联后的电阻值． 证明：，， ， 又， ∽（依据1）， （依据2）． 同理可得：， ， ， ， 即：． 任务： (1)上面证明过程中的“依据”和“依据”分别是谁： 依据1：______； 依据2：______． (2)如图②，两个电阻并联在同一电路中，已知千欧，千欧，请在图③中（1个单位长度代表千欧）画出表示该电路图中总阻值的线段长． (3)受以上作图法的启发，小明提出了已知和，求的一种作图方法，如图④，作，使，，过点作的垂线，并在垂线上截取，使点与点在直线的同一侧，作射线，交的延长线于点，则即为．你认为他的方法是否正确，若正确，请加以证明；若不正确，请说明理由． 22．（12分）综合与实践 根据以下素材，完成探究任务． 城墙建多高才能抵御敌方的进攻？ 【素材1】图1是古代一种攻城器械“发石车”，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分． 【素材2】如图2，防守方的护城墙垂直于地面，墙高，进攻方把“发石车”放置在距处的处，石块从处竖直方向上的处被投出，当石块在空中飞行到与的水平距离为时，石块离地面的高度最高，最高高度为． 【解决问题】 (1)当时． ①建立适当的平面直角坐标系，求抛物线（石块运动轨迹）的解析式； ②进攻方的石块能飞进防守方的城墙吗？若能，城墙应加建多高以上，才能让进攻方的石块飞不进防守方城墙；若不能，请说明理由． (2)问：石块初发点与的距离在什么范围内，防守方无须加高城墙？ 23．（12分）综合与探究 问题情境：如图，正方形，对角线交于点，等腰直角的直角顶点落在点处，且，交于点，交于点． （）如图，当时，判断四边形的形状，并说明理由； 深入探究： （）如图，将从图的位置开始绕点顺时针旋转，点仍然在边上写出线段之间的数量关系，并说明理由； （）如图，将图中的沿方向平移，当顶点的对应点落在线段的中点处时，若正方形边长为，接写出的长． 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$命学科网 www.z××k.C0m 让较与学更高效 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（山西专用） 黄金卷05 一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的， 选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上，) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A B A 分 A C D C 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，共48分.） 11. 2W5+2W2-5 12.1513.3n-1 14.2n-4 15.3a 三、解答题：（本大题共8题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.0分)4计，历-5-+得 -aa. a2-2a+1 (2)化简： (1)解： -5-+) =3-1+3 3分 =5 45分 a2-2a+1 (2)解： ……8分 _(a+1)(a-1)a(a-1) a' (a-12 9分 =9+1 a· …10分 17.(7分) (1)解：如图，作△ABC的角平分线AE,作线段AE的垂直平分线交AB于点D,交AC于点F,连接 1/9 命学科网 wwW.zx×k.C0m 让较与学更高效 DE、EF,设AE与DF交于点O, F 的垂直平分线， 3分 B ·DF AE DF⊥AE,AD=DE,AF=EF, ,∠AOD=∠AOF=90°， :AE平分∠BAC, ∴.∠DAO=∠FAO ∴.∠ADO=90°-∠DAO=90°-∠FAO=∠AFO, :AD=AF, :AD=DE=EF=AF, ·四边形ADEF是菱形， 六点D、E、F的位置即为所求 (2)解：设AE与DF交于点O, -X. 四边形 是菱形， ADEF AE1DF· AO= =2x24=12,0D=0F .∠A0D=90°， .0D=VAD2-A02=132-122=5 4445分 .DF=2OD=10 5m-4E,0F-x24×10=l20 2/9 命学科网 www.z××k.C0m 让较与学更高效 四边形ADEF的面积为120. 7分 18.(9分) (1)解：由题意得m=7÷35%=20(人)， 故2a=20-1-2-3-6=8 解得a=4。 86+87 把八年级测试成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为86,87，故中位数为2 =86.5 故答案为：20：4：86.5. 3分 (2)解：800x3+ +800×(1-5%-5%-20%-35%) 0 =160+280 =440(人)￥ 该校七、八两个年级对党的“二十大”精神认知程度高的学生一共约有440人。5分 (3)解：画树状图如下： 开始 7分 丙丁甲丙丁甲乙丁甲乙丙 由树状图可知，共有12种可能的结果，并且每种结果发生的可能性都相同，其中恰好选中甲和丙的结果有 2种，。 4444444444048分 21 所以恰好选中甲和丙的概率P= 126 9分 19.(8分) (1)解：如图2，过点BE⊥AD于E, 在Rt△AB'E中，AB=AB=1m,∠B'AD=27°， 'sin∠B'AE=B'E AB' .B'E=AB·sin∠BAE=1×sin27P≈0.454m 42分 ∴点B到地面的距离为： 0.454+1.7=2.154≈2.15m 3/9 命学科网 www.z××k.C0m 让较与学更高效 答：车后盖最高点B到地面1的距离约为2.15m: 4分 (2) 没有碰头的危险， 理由如下：如图2，过点C作CF⊥BE于点F, 在R1△ABE中，∠BAD=27P, 则∠ABE=90°-27°=63°， ∠AB'C=∠ABC=123°， ∠CB'F=60°， :B'C=BC=0.6m, BF=BC'cos∠C'BF=0.6×203m, 6分 点C到地面的距离为： 2.15-0.3=1.85m 7分 1.85>1.8. 没有碰头的危险。 8分 B 图2 20.(8分) (1)解：由题意，得： y=(60-40)x+45-30)(60-x 2分 =20x+900-15x =5x+900: 4分 40x+3060-x≤2000 (2)由题意，得： 5分 解得：x≤20， 4/9 命学科网 www.zx×k.C0m 让较与学更高效 少=5r+900 随x的增大而增大， ∴当x=20时，y有最大值，为5×20+900=1000： 答：每天生产20件A种工艺品，所获得的利润最大，为1000元. 8分 21.(9分) (1)证明：EF11,CA⊥1， ∠EFB=∠CAB=90°， 又∠EBF=∠CBA, ·.△EBF∽△CBA(两组角对应相等的两个三角形相似)， BF EF ·ABAC(相似三角形的对应边成比例)： 故答案为：两组角对应相等的两个三角形相似，相似三角形的对应边成比例： 2分 (2)解：如图，线段表示R的长， ③ 在AB上取点M,使BM=3,在CD上取点N,使CN=6,连接CM,BN交于点E,过点E作EF⊥BC 于点F, 则线段EF为所求线段： 5分 (3)解：小明的方法正确」 理由：∠C=90°， ∴CA⊥BC, BD⊥BC, BD∥AC, ∴，△DBE△ACE, …7分 DB BE AC CE' 由题意可知DB=R,AC=RCE=R+BE 519 命学科网 www.zx×k.C0m 让较与学更高效 R BE +BE. BE=RR R-R, 1-1+1 RR R2. 龙= R-R, BE=R2 4449分 22.(12分)综合与实践 (1)①以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，建立直角坐标系， .AC=2m,AB=90m, C0,2 设抛物线的解析式为y=a(x-50)+27 将C0,2)代入得：2=a0-502+27, 解得：a=- 100· 、抛物线的解析式为y三-100x-50+27 3分 D A B 图2 ②进攻方的石块能飞进防守方的城墙， BD =10m,AB=90m, 619 命学科网 www.zx×k.C0m 让较与学更高效 ÷D(90,10 令0测y=高0-502+27= 11>10 进攻方的石块能飞进防守方的城墙， 11-10=lm. ,城墙应加建m以上： 46分 (2)设抛物线的解析式为=ax-50+27,4C=m,则C0,川， 将C0川代入抛物线解析式得：n=a0-50+27, 0=-27 2500, :抛物线的解析式为少=？2 (x-50+27. 2500 9分 -2290-50l2+27<10, .当x=90时，2500 444444444444444444.10 7 解得：n< 16" :当C<2 6m时，防守方无须加高城墙。 12分 23.(12分)综合与探究 (1)解：四边形OMDN是正方形，理由如下： 四边形ABCD是正方形， ∠ADC=90°，∠ADB=∠CDB=45°， OM⊥AD, ∴.∠0MD=90°， 又：∠E0F=90°， ∴四边形OMDN是矩形， 42分 ∠OMD=90°，∠ADB=45°， ∴aOMD为等腰直角三角形， ∴.OM=DM, 四边形O小MDN是正方形：4分 719 命学科网 www.z××k.C0m 让较与学更高效 (2)DM+DN=0 ,理由如下： 四边形ABCD是正方形， ∴.OC=OD,AC⊥BD,∠OCN=∠ODM=45°. .∠COD=90°， ∠C0N+∠DON=90°， :∠EOF=90°， ∴.∠DOM+∠DON=90°， .∠CON=∠DOM. ACON≌ADOM(ASA ..CN=DM, ..CD=CN+DN DM+DN, .CD=20D .DM+DN=2OD 8分 (3)过点O作OH⊥BC于H,OG⊥AB于G,分别与OE、OF相交于点K、P,连接OH, 同理(1)可得四边形BHOG是正方形， 同理(2)可得aOHK≌aOOP, ..HK =OP, OP∥DM, .aO'OP∽aO'DM. OP O'O DM O'D' O为OB的中点， OP O'O 1 DM-OD 3' 10分 ..DM=30P, 同理可得，DN=3OK, DM+DN=30P+30K=3(OP+OK=3(HK+OK)=30H OH∥CD, 8/9 命学科网 www.z××k.C0m 让较与学更高效 .△3HOABCD OH BO 1 CD BD 2 OH=、CD=。×4=2 ..DM+DN=30H=6 12分 M G 图3 919 【赢在中考·黄金8卷】备战2025年中考数学模拟卷（山西专用） 黄金卷05 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。写在本试卷上无效。 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。写在本试卷上无效。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：（本大题共10题，每题3分，共30分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1．文化情境·传统文化  平遥古城，位于山西省晋中市平遥县康宁路，地处山西省中部，始建于西周宣王时期（前827年——前782年），于1370年重建、扩修城池，是现今中国境内保存最为完整的一座古代县城，整座城池宛如乌龟向南爬行，因此有“龟城”之称．1370的绝对值是（   ） A．1370 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是绝对值的性质．根据绝对值的性质“一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0”即可求解． 【详解】解：1370的绝对值是1370， 故选：A． 2．《2025年春节联欢晚会》主标识以农历乙巳蛇年中的“巳”为原形，将两个“巳”字对称摆放，则恰似中国传统的如意纹样，双巳合璧，事事如意．二方连续，四方连续，是乙巳蛇年与如意之间吉祥曼妙的创意链接，更彰显着中华民族精神根脉生生不息的时代力量．下列图案中，不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此进行判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项符合题意； C、是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 3．原子的质量如此小，无论书写、记忆、还是使用都极不方便．为方便应用，以一种碳原子质量的（即）为标准，其他原子的质量跟它相比较所得到的比值，称为相对原子质量．若一个碳原子的质量是，则该碳的相对原子质量为（   ） A．12 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是负正是指数次幂及科学记数法，熟知运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选：A． 4．如图1，是一盏台灯，其示意图如图2所示，此台灯由底座，，灯杆和灯头组成．已知，灯头始终平行桌面．已知，连结，，若，，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 延长和相交于点F，设，根据列方程求出x的值，再求出，然后利用三角形外角的性质即可求解． 【详解】如图，延长和相交于点F，    ∵， ∴设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选B． 5．马大哈同学做如下运算题：①x5+x5＝x10②x5﹣x4＝x③x5•x5＝x10④x10÷x5＝x2⑤(x5)2＝x25，其中结果正确的是（   ） A．①②④ B．②④ C．③ D．④⑥ 【答案】C 【分析】根据整式的加、减、乘、除运算的运算法则进行计算即可． 【详解】①，则①错误； ②与不是同类项，不可以相减，则②错误； ③，则③正确； ④，则④错误； ⑤，则⑤错误， 则正确的有：③， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了整式的运算，熟练掌握相关运算法则是解决本题的关键． 6．北京时间12月4日，我国申报的“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”通过评审，列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．现将四张大小相同的正方形卡片拼成如图所示的正方形靶盘（其中两张卡片上是“春”字，另外两张上是“福”字）．现向该靶盘随机掷两次飞镖，则两次射中的卡片上的字不相同的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列表法或画树状图求随机事件的概率，清晰地列出所有可能的情况，并准确找出满足条件的情况，是解题的关键； 首先明确靶盘的布局，然后找出所有可能的投掷结果，并确定其中两次射中卡片上的字不相同的结果数，最后计算概率． 【详解】解：设正方形靶盘被分为四个相等的正方形区域，分别标记为“春1”，“春2”，“福1”，“福2”． 春1 春2 福1 福2 春1 春1春1 春2春1 福1春1 福2春1 春2 春1春2 春2春2 福1春2 福2春2 福1 春1福1 春2福1 福1福1 福2福1 福2 春1福2 春2福2 福1福2 福2福2 两次射中卡片的总情况有16种，即每张卡片都有可能被射中两次，形成种组合． 射中“春”和“福”的组合有8种，即（春1，福1），（春1，福2），（春2，福1），（春2，福2），以及反向的（福1，春1），（福1，春2），（福2，春1），（福2，春2）．这8种情况满足条件． 因此，两次射中的卡片上的字不相同的概率为， 故选：A． 7．若装满一个果篮需要3个苹果，而用m个苹果最多可以装满4个果篮，则m应满足（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等组的应用，根据题意得到不等式组，解题即可． 【详解】解：由题可得， 解得：， 故选C． 8．将两张完全相同的矩形纸片如图所示叠放，使两个矩形的一条对角线重合，若两个矩形的长为2，宽为1，则重叠部分图形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，角平分线的性质，平行四边形的判定等知识点．根据角平分线的逆定理可得，设，根据等角对等边得：，由勾股定理列方程可得的值，根据矩形的性质可得，，证明四边形的平行四边形，由平行四边形的面积公式可得重叠部分图形的面积． 【详解】解：由题意得：，， ， ， ， ， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ， ， 两张完全相同的矩形纸片， ，， 四边形是平行四边形， 重叠部分图形的面积． 故选：D． 9．如图，点N在反比例函数上，点M在反比例函数上，连接交y轴正半轴于点A，连接，若，则的面积是（    ） A．6 B．5 C． D．3 【答案】C 【分析】作轴于点H，作轴于点G，推出，，证明得到，设，则，根据已知得到，列出方程即可求解． 【详解】解：作轴于点H，作轴于点G， ∵点N在反比例函数上，点在M反比例函数上， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 设，则，且， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴，， ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义，相似三角形的判定和性质，熟练掌握反比例函数的性质是解本题的关键． 10．如图（1）是一款中药碾槽，碾槽底部为近似圆弧形（本题以圆弧记），槽内可以安放一个带轴的碾轮．将中药放入碾槽中，使碾轮滚动，可将中药粉碎，碾槽截面平面示意图如图（2）．设碾轮中心轴的截面图圆心为，当碾轮经过碾槽最低点时，恰好与相切于点，并且此时切点与点的距离刚好为，若所在圆半径为，且的长度为，则点，间的距离大约是（结果精确到，，）． A．19.4 B．20.6 C．21.8 D．22.0 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂径定理、弧长公式、切线的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键，设所在的圆心为，由求出，进而得到是等边三角形，再根据特殊角，则，建立方程求解即可． 【详解】解：如图， 设所在的圆心为，所对的圆心角的度数为， ∵所在圆半径为，且的长度为， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴是等边三角形， 由题易知点F是中点， ∴， 设，则， 根据题意：， ∴， ∴， 解得， ∴， 故选：C． 2、 填空题：（本大题共5题，每题3分，共15分.） 11．如图，矩形内三个相邻的正方形的面积分别为4，3，2，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的应用．先表示出三个正方形的边长，然后用一个长为，宽为2的矩形的面积减去两个正方形的面积，可得到图中阴影部分的面积． 【详解】解：由题意得三个正方形的边长分别为，，2， 图中阴影部分的面积：． 故答案为：． 12．已知 ，且，若四边形的周长为6，则四边形的周长为 ． 【答案】15 【分析】本题考查的是相似多边形的性质，熟记相似多边形的周长比等于相似比是解题的关键． 根据相似多边形的周长比等于相似比计算即可． 【详解】解：∵，且， ∴四边形与四边形的周长比为2：5， ∵四边形的周长为6， ∴四边形的周长为15， 故答案为：15． 13．用四边形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个四边形，第②个图案中有5个四边形，第③个图案中有8个四边形，第④个图案中有11个四边形，…，按此规律，则第个图案中，四边形的个数是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了图形类的规律探索，解题的关键是找出规律．利用规律求解．通过观察图形找到相应的规律，进行求解即可． 【详解】解：第①个图案中有个四边形， 第②个图案中有个四边形， 第③个图案中有个四边形， 第④个图案中有个四边形， ∴第个图案中有个四边形， 故答案为：． 14．如图，在中，， ，D是的中点，以点D为圆心，作圆心角为的扇形，点C恰好上（点E，F不与点C重合）， 半径，分别与，相交于点G，H，则阴影部分的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了正方形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形、扇形的面积公式，连接，作于，于，证明，四边形为正方形，得出，，进而可得，再由计算即可得解． 【详解】解：连接，作于，于， ， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴，即， ∵在中，， ，D是的中点， ∴，，， ∵，， ∴， ∴，四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴ 故答案为：． 15．如图，点D在等腰直角三角形内，，，，E、F分别在和上满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定性质，勾股定理，三角形三边关系求最值，难度较大，解题的关键在于构造相似三角形进行转化． 过点C作，使，连接，证明，推出，则，可知当点D，F，H在同一条直线时，取最小值，最小值为，再由勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点C作，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，由勾股定理得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，而 ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点D，F，H在同一条直线时，取得最小值，最小值为， 在中，，， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：． 三、解答题：（本大题共8题，共75.分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 16．（10分）（1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）5；（2） 【分析】本题主要考查了实数混合运算，分式混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据立方根定义，零指数幂和负整数指数幂运算法则，进行计算即可； （2）根据分式混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 17．（7分）如图，已知． (1)尺规作图：分别在、、边上取点、、，使得四边形是菱形（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)120 【分析】本题考查了尺规作图、菱形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握尺规作角平分线和线段垂直平分线的方法是解题的关键． （1）作的角平分线，作线段的垂直平分线交于点，交于点，连接、，设与交于点，利用线段垂直平分线的性质得到，，，结合角平分线的定义和等腰三角形的判定推出，再根据菱形的判定可知四边形即为所求； （2）设与交于点，利用菱形的性质得到，，利用勾股定理求出的长，进而得到的长，最后利用菱形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：如图，作的角平分线，作线段的垂直平分线交于点，交于点，连接、，设与交于点， 是的垂直平分线， ，，， ， 平分， ， ， ， ， 四边形是菱形， 点、、的位置即为所求． （2）解：设与交于点， 四边形是菱形， ，，， ， ， ， ． 四边形的面积为120． 18．（9分）2025年1月8日第二十届中央纪委四次全会在北京胜利闭幕．某校为了了解七、八年级学生对的“四次全会”精神的认知程度，现从这两个年级（各800名学生）中各随机抽取m名学生进行有关知识测试，若将测试成绩按以下六组进行整理（得分用x表示）： A：，B：，C：，D：，E：，F：．并绘制七年级测试成绩频数分布直方图和八年级测试成绩扇形统计图，部分信息如下： 七年级测试成绩频数分布直方图           八年级测试成绩扇形统计图 已知八年级测试成绩D组的全部数据如下： 86，85，87，86，85，89，88． 请根据以上信息，完成下列问题： (1)_______，_______，八年级测试成绩的中位数是_______． (2)若测试成绩不低于90分，则认定该学生对党的“四次全会”精神认知程度高．请估计该校七、八两个年级对党的“四次全会”精神认知程度高的学生一共有多少人． (3)甲、乙、丙、丁为七年级测试成绩在90分以上的四名同学，如果从这四名同学中随机选取两名作为社区宣讲员，恰好选中甲和丙的概率为多少？ 【答案】(1)20；4；86.5； (2)440人； (3) 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．也考查了统计图． （1）由扇形图可知八年级D组人数为7人，其中D占，八年级总人数为人，由于两个年级抽取人数均为m人，根据直方图可知七年级总人数为人，则可求得a的值；由于八年级共20个人，所以中位数应该是第10和第11两个数据的和的把D组的成绩从小到大排序后可得第十第11个数分别为86、87，则中位数为； （2）根据直方图知七年级90分以上的有4人，根据扇形图之八年级90分以上的有7人，两个年级共抽取40人，然后用800乘以样本中测试成绩不低于90分的人数所占的百分比即可；（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出甲和丙两名男同学能分在同一组的结果数，然后根据概率公式计算． 【详解】（1）解：由题意得（人）， 故． 解得． 把八年级测试成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为86，87，故中位数为． 故答案为：20；4；86.5． （2）解： （人）， 该校七、八两个年级对党的“二十大”精神认知程度高的学生一共约有440人． （3）解：画树状图如下： 由树状图可知，共有12种可能的结果，并且每种结果发生的可能性都相同，其中恰好选中甲和丙的结果有2种，． 所以恰好选中甲和丙的概率 19．（8分）如图是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度．如图，打开后备厢，车后盖落在处，与水平面的夹角． AI (1)求打开后备厢后，车后盖最高点到地面的距离； (2)若小明爸爸的身高为，他从打开的车后盖C处经过，有没有碰头的危险请说明理由．（结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】(1) (2)没有碰头的危险，见解析 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，正确作出辅助线、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）过点于，根据正弦的定义求出，进而求出车后盖最高点B'到地面l的距离； （2）过点作于点，根据题意求出，根据余弦的定义求出，再求出点到地面的距离，比较大小证明结论． 【详解】（1） 解：如图，过点于， 在中，，， ， ， ∴点到地面的距离为：， 答：车后盖最高点到地面的距离约为； （2） 没有碰头的危险， 理由如下：如图，过点作于点， 在中，， 则， ， ， ， ， ∴点到地面的距离为：， ， ∴没有碰头的危险． 20．（8分）古代手工艺文化是中华民族宝贵的文化遗产，是千百年来劳动人民智慧的结晶，承载着民族文化的传承与发展．凤翔泥塑手工艺品厂每天生产两种工艺品共60件，成本和售价如下表： 成本/（元/件） 售价/（元/件） A种工艺品 40 60 种工艺品 30 45 设每天生产种工艺品件，每天获得的总利润为元． (1)求与之间的函数表达式； (2)如果该手工艺品厂每天最多投入的成本为2000元，那么每天生产多少件A种工艺品，所获得的利润最大？并求出这个最大利润． 【答案】(1) (2)每天生产20件A种工艺品，所获得的利润最大，为1000元 【分析】本题考查一次函数的实际应用，一元一次不等式的应用，正确的求出函数解析式是解题的关键． （1）根据总利润等于两种工艺品的利润之和，列出函数关系式即可； （2）根据题意，列出不等式求出的取值范围，再根据一次函数的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得： ； （2）由题意，得：， 解得：， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，有最大值，为； 答：每天生产20件A种工艺品，所获得的利润最大，为1000元． 21．（9分）创新题推荐阅读理解题请阅读下列材料，完成相应的任务： 著名数学家华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休．”数形结合是数学研究和学习中的重要思想和解题方法，用数形结合方法可以使复杂问题简单化、抽象问题具体化，有助于把握数学问题的本质，解决更加广泛领域的问题．比如有这样一个题目：设有两只电阻，分别为和，问并联后的电阻值是多少？ 我们可以利用公式求得的值，也可以设计一种图形直接得出结果，具体如下： 如图①，在直线上任取两点，，分别过点，作直线的垂线，并在这两条垂线上分别截取，，且点，位于直线的同侧，连接，，交于点，过点作直线，则线段的长度就是并联后的电阻值． 证明：，， ， 又， ∽（依据1）， （依据2）． 同理可得：， ， ， ， 即：． 任务： (1)上面证明过程中的“依据”和“依据”分别是谁： 依据1：______； 依据2：______． (2)如图②，两个电阻并联在同一电路中，已知千欧，千欧，请在图③中（1个单位长度代表千欧）画出表示该电路图中总阻值的线段长． (3)受以上作图法的启发，小明提出了已知和，求的一种作图方法，如图④，作，使，，过点作的垂线，并在垂线上截取，使点与点在直线的同一侧，作射线，交的延长线于点，则即为．你认为他的方法是否正确，若正确，请加以证明；若不正确，请说明理由． 【答案】(1)依据1：两组角对应相等的两个三角形相似；依据2：相似三角形的对应边成比例 (2)见解析 (3)小明的方法正确，证明见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的判定，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 由相似三角形的判定与性质可得出答案； 在上取点，使，在上取点使，连接，交于点，过点作于点，则可得出答案； 证明，得出，求出的长，则可得出答案． 【详解】（1）证明：，， ， 又， （两组角对应相等的两个三角形相似， （相似三角形的对应边成比例． 故答案为：两组角对应相等的两个三角形相似，相似三角形的对应边成比例； （2）解：如图，线段表示的长． 在上取点，使，在上取点，使，连接，交于点，过点作于点， 则线段为所求线段； （3）解：小明的方法正确． 理由：， ， ， ， ， ， 由题意可知，，， ， ， ， ， ． 22．（12分）综合与实践 根据以下素材，完成探究任务． 城墙建多高才能抵御敌方的进攻？ 【素材1】图1是古代一种攻城器械“发石车”，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分． 【素材2】如图2，防守方的护城墙垂直于地面，墙高，进攻方把“发石车”放置在距处的处，石块从处竖直方向上的处被投出，当石块在空中飞行到与的水平距离为时，石块离地面的高度最高，最高高度为． 【解决问题】 (1)当时． ①建立适当的平面直角坐标系，求抛物线（石块运动轨迹）的解析式； ②进攻方的石块能飞进防守方的城墙吗？若能，城墙应加建多高以上，才能让进攻方的石块飞不进防守方城墙；若不能，请说明理由． (2)问：石块初发点与的距离在什么范围内，防守方无须加高城墙？ 【答案】(1)①抛物线的解析式为；②进攻方的石块能飞进防守方的城墙，城墙应加建以上 (2)当时，防守方无须加高城墙 【分析】本题考查了二次函数的应用，不等式的应用，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质． （1）①以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系， 则，设抛物线的解析式为，利用待定系数法求解即可； ②令，求出值，即可判断进攻方的石块能飞进防守方的城墙，用求出的值减去城墙高度即可得到城墙应加建多高； （2）设抛物线的解析式为，，则，得到，抛物线的解析式为，根据题意可得：当时，，即可求解． 【详解】（1）①以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系， ，， ， 设抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得：， 抛物线的解析式为； ②进攻方的石块能飞进防守方的城墙， ，， ， 令，则， ， 进攻方的石块能飞进防守方的城墙， ， 城墙应加建以上； （2）设抛物线的解析式为，，则， 将代入抛物线解析式得：， ， 抛物线的解析式为， 当时，， 解得：， 当时，防守方无须加高城墙． 23．（12分）综合与探究 问题情境：如图，正方形，对角线交于点，等腰直角的直角顶点落在点处，且，交于点，交于点． （）如图，当时，判断四边形的形状，并说明理由； 深入探究： （）如图，将从图的位置开始绕点顺时针旋转，点仍然在边上写出线段之间的数量关系，并说明理由； （）如图，将图中的沿方向平移，当顶点的对应点落在线段的中点处时，若正方形边长为，接写出的长． 【答案】（）四边形是正方形，理由见解析；（），理由见解析；（） 【分析】（）由正方形的性质可得四边形是矩形，进而再证明即可求证； （）证明，可得，即得，进而由即可求解； （）过点作于，于，分别与相交于点，连接，同理（）可得四边形是正方形，同理（）可得，得到，再由得，同理可得，，即可得，又由得，即可求解． 【详解】（）解：四边形是正方形，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴四边形是正方形； （），理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （）过点作于，于，分别与相交于点，连接， 同理（）可得四边形是正方形， 同理（）可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∵， ∴, ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，余角性质和勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$