精品解析：安徽省滁州市部分学校2024-2025学年高一下学期3月调研考试数学试题

2024—2025学年（下）安徽高一3月调研考试 数学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共0分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列说法错误的是（ ） A. 向量与向量长度相等 B. C. 若向量与共线，与共线，则与共线 D. 任一向量平移后都和原向量相等 【答案】C 【解析】 【分析】根据相反向量、相等向量、共线向量、零向量等的概念逐一判断各选项即可. 【详解】对于A，向量与向量互为相反向量，方向相反、长度相等，故A正确； 对于B，若，则方向相同、长度也相等，而方向相同的两向量一定是平行向量，故B正确； 对于C，若，对任意两个非零向量与，都有，，故C不正确； 对于D，任一向量在平移过程中保持向量的方向和长度并不改变，故平移后的向量都和原向量相等，故D正确. 故选：C. 2. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性以及幂函数的定义域，可得集合的元素，即可得答案. 【详解】由， ， 则. 故选：B. 3. 已知是单位向量，若，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求两个向量的数量积，再利用夹角公式可得答案. 【详解】因为，所以，即； 所以， 因为，所以向量与的夹角为. 故选：A 4. 已知平面向量，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的投影向量公式可求答案. 【详解】因为，所以，， 所以向量在上的投影向量为， 故选：D 5. 如图，在中，是边的中点，是边上靠近点的三等分点，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的线性运算和三角形法则可以得到. 【详解】是边的中点，， ， 是边上靠近点的三等分点,， ， 又，. 故选：C 6. 已知向量满足，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据可得，结合可求答案. 【详解】因为，所以； 因为，所以，所以. 故选：A 7. 已知为所在平面内一点，且，若表示面积，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用作出图形，数形结合，将问题转化为几何问题. 【详解】如图，过作，， 因，则， 设，则， 则. 故选：A. 8. 如图，在平面四边形中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在△中，由正弦定理，建立的等量关系；再在△中，由正弦定理，再次建立的关系，从而解方程组，消去，即可求得的正切值. 【详解】设， 在△中，，则，又， 故由正弦定理可得：，即； 在中，，故，，故， 又，故由正弦定理可得：，即，； 联立，消去可得：，即， 也即，，整理得：，故. 故选：B. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，且在区间上单调递减，则（ ） A. 在上单调递减且无最小值 B. 在上单调递增且无最大值 C. 在定义域内既不是奇函数，也不是偶函数 D. 的图象关于直线对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】由函数在区间上单调递减，可得，再根据复合函数单调性的判断方法即可对A、B做出判断；求出的定义域，即可对C做出判断；验证是否成立，即可对D做出判断. 【详解】对于选项A、B，因为函数在上单调递增， 又因为函数，且在区间上单调递减， 所以， 所以在上单调递减且无最小值，故A正确，B错误； 对于选项C，因为的定义域为，关于原点不对称， 所以在定义域内既不是奇函数，也不是偶函数，故C正确； 对于选项D，因为， 所以的图象关于直线对称，故D正确. 故选：ACD 10. 已知的外接圆半径为，内角所对的边分别是，则（ ） A. 是锐角三角形 B. 是钝角三角形 C. D. 面积的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】先由正弦定理与和角公式化简已知式，求出，即可判断ABC项，利用余弦定理和基本不等式求得三角形面积的最大值判断D项即可. 【详解】由可得， 由正弦定理，，代入化简得：， 因，解得，故B正确，A错误； 因，，解得，故C正确； 由余弦定理，，可得， 解得，当且仅当时，等号成立， 于是，的面积为， 即面积的最大值为，故D正确. 故选：BCD. 11. 引入平面向量之间的一种新运算“”如下：对任意的向量，，规定，则对于任意的向量，，，下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】 根据坐标运算计算出每个等式等号左右两边的值，由此判断出AB是否正确；理解C选项中“”的含义，由此可判断是否正确；将不等号两边同时平方结合坐标形式下向量的模长公式，采用作差法判断是否正确. 【详解】A．因为，所以，故正确； B．因为，故正确； C．，此时不恒成立，故错误； D．因为，， 所以， 所以，且，，所以，故正确， 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是理解新运算的运算方法，将其与坐标形式下向量的数量积公式区分开来，通过坐标运算达到判断的目的. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数的定义域是，则函数的定义域是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据的定义域、对数函数的真数、偶次根式被开方式，以及分式函数分母不为零，列出不等式组求解集可得定义域. 【详解】要使函数有意义，则， ，取交集得. 故答案为：. 13. 高铁是我国国家名片之一，高铁的修建凝聚着中国人的智慧与汗水.如图所示，为山的两侧共线的三点，且与山脚处于同一水平线上，在山顶处测得三点的俯角分别为，计划沿直线开通穿山遂道，现已测得三条线段的长度分别为，则隧道的长度为__________. 【答案】 【解析】 【分析】过作于，设，则有，从而可得，，在中，可得，从而解得，再由求解即可. 【详解】解：过作于，如图所示： 设， 由题意可知设， 则有，, 所以， 解得， 所以， 在中，， 所以， 所以. 故答案为： 14. 给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，如图，点在以为圆心的圆弧上运动，若，其中，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得向量的模长，根据数量积的运算律，结合基本不等式，可得答案. 【详解】由题意可得，则，， 由，，则，， 可得，解得，当且仅当时，等号成立， 由图易知，所以. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量. （1）当与的夹角为钝角时，求实数的取值范围； （2）若，且三点共线，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量线性运算的坐标表示，根据数量积的定义以及坐标表示，结合题意，建立不等式组，可得答案； （2）根据共线向量的坐标表示，建立方程，可得答案. 【小问1详解】 因为， 所以. 因为与夹角为钝角， 所以，得且， 故的取值范围为. 【小问2详解】 . 因为三点共线， 所以，得. 16. 已知向量满足，且与的夹角为. （1）若，求实数的值； （2）求与的夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据垂直得出数量积为零，结合夹角和模长可求答案； （2）先求数量积和模长，代入夹角公式可得答案. 【小问1详解】 因为，所以， 即，即， 所以，解得. 【小问2详解】 因为， ， 所以， 即与的夹角的余弦值为. 17. 在2025年春晚的舞台设计中，有一个“灵蛇”造型的灯光图案，其形状可以近似看作由函数的图象组成，其中.下面是该函数的部分图象. （1）求的解析式； （2）将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所在点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）得到函数的图象，若在时有两个不同的实数解，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据图象中函数的最值、对称性，可得函数解析式； （2）由函数图象变换可得新函数解析式，根据函数与方程的关系，利用数形结合的思想，可得答案. 小问1详解】 设的最小正周期为，根据题图，由三角函数图象的对称性， 可得，解得， 由，得，又，所以. 故. 由，得，所以. 又因为，所以，所以. 【小问2详解】 将函数的图象向右平移个单位长度， 得到函数的图象， 再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变） 得到函数的图象. 要使在时有两个不同的实数解， 需在时有两个不同的实数解， 即需函数的图象与直线在时有两个不同的交点， 画出函数的部分图象与直线，如图， 因为，所以， 由图可知，，解得， 故实数的取值范围是. 18. 已知函数. （1）设函数，求在区间上的值域； （2）设，证明：的图象是中心对称图形； （3）若函数，且在区间上有零点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】(1)化简函数的解析式，利用二次函数的基本性质求得在上的值域； (2)利用求解为定值，求解对称中心； （3）设，当时，，等价于函数在区间上有零点，利用对勾函数进行求解参数. 【小问1详解】 ， 当时，单调递增， 又， 故在区间上的值域为. 【小问2详解】 因为， 所以 ， 故的图象关于点对称. 【小问3详解】 由题意得. 设，当时，. 则在区间上有零点，等价于函数在区间上有零点， 即在时有实数解， 即在时有实数解， 即在时有实数解. 设，则， 易知在时单调递增， 且当时，， 当时，， 所以， 故实数的取值范围是. 19. 在中，内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）求的面积； （3）以为坐标原点，以方向为轴正方向，垂直于的直线为轴（使点在轴上方）建立平面直角坐标系，在所在的平面内有一动点，满足，求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式和正弦定理化简即得； （2）由余弦定理，基本不等式和辅助角公式，推得，回代入余弦定理，求出，即可求得的面积； （3）依题意建系后，将各点坐标代入已知式，得到动点的轨迹方程为，利用圆的参数方程、三角恒等变换和三角函数的性质即可求得的最小值. 【小问1详解】 因为，所以， 因为，所以， 由正弦定理得，所以. 【小问2详解】 由余弦定理， （*）. 因为，则有， 即， 两边同时除以，得， 由于，当且仅当时等号成立， 而，当且仅当时等号成立， 故得， 此时，代入（*），可得，解得， 故的面积为. 【小问3详解】 由（1）,（2）可知，所以，如图建立直角坐标系， 则， 于是，， 即， 故可设（为变量，且）， 则， 因，则， 故当，即时，取得最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年（下）安徽高一3月调研考试 数学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共0分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列说法错误是（ ） A. 向量与向量长度相等 B. C. 若向量与共线，与共线，则与共线 D. 任一向量平移后都和原向量相等 2. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知是单位向量，若，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 已知平面向量，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，是边的中点，是边上靠近点的三等分点，设，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量满足，则（ ） A. B. C. D. 1 7. 已知为所在平面内一点，且，若表示面积，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面四边形中，，则（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，且在区间上单调递减，则（ ） A. 上单调递减且无最小值 B. 在上单调递增且无最大值 C. 在定义域内既不是奇函数，也不是偶函数 D. 图象关于直线对称 10. 已知的外接圆半径为，内角所对的边分别是，则（ ） A. 是锐角三角形 B. 是钝角三角形 C. D. 面积的最大值为 11. 引入平面向量之间的一种新运算“”如下：对任意的向量，，规定，则对于任意的向量，，，下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数的定义域是，则函数的定义域是__________. 13. 高铁是我国国家名片之一，高铁的修建凝聚着中国人的智慧与汗水.如图所示，为山的两侧共线的三点，且与山脚处于同一水平线上，在山顶处测得三点的俯角分别为，计划沿直线开通穿山遂道，现已测得三条线段的长度分别为，则隧道的长度为__________. 14. 给定两个长度为1平面向量和，它们的夹角为，如图，点在以为圆心的圆弧上运动，若，其中，则的取值范围是__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量. （1）当与的夹角为钝角时，求实数的取值范围； （2）若，且三点共线，求实数的值. 16. 已知向量满足，且与的夹角为. （1）若，求实数的值； （2）求与的夹角的余弦值. 17. 在2025年春晚的舞台设计中，有一个“灵蛇”造型的灯光图案，其形状可以近似看作由函数的图象组成，其中.下面是该函数的部分图象. （1）求的解析式； （2）将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所在点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）得到函数的图象，若在时有两个不同的实数解，求实数的取值范围. 18. 已知函数. （1）设函数，求在区间上的值域； （2）设，证明：图象是中心对称图形； （3）若函数，且在区间上有零点，求实数的取值范围. 19. 在中，内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）求的面积； （3）以为坐标原点，以的方向为轴正方向，垂直于的直线为轴（使点在轴上方）建立平面直角坐标系，在所在的平面内有一动点，满足，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$