27.2.3 相似三角形应用举例教学设计2024-2025学年人教版数学九年级下册

27.2 相似三角形 27.2.3 相似三角形应用举例 教案 一、教学目标 1. 能够从实际问题里抽象出相似三角形的模型，进而解决测量问题，像测量高度、宽度等。 1. 熟练运用相似三角形的判定和性质，推导并验证比例关系。 1. 准确进行与相似三角形相关的计算，增强运算能力。借助图形分析，明确实际问题中各个元素之间的关系，提升空间想象能力。 二、学情分析 学生已经掌握了相似三角形的判定定理和性质，不过在将其应用于解决实际问题时，可能会遇到以下困难： 1. 建模困难：难以把现实情境转化成数学模型，比如确定相似三角形的对应边。 1. 计算易错：在处理比例方程时，容易出现计算错误，特别是在多步推导过程中。 1. 生活联系不足：对相似三角形在实际生活中的应用价值认识不够，需要通过具体案例来加深理解。 三、教学重难点 · 重点：运用相似三角形的性质解决实际测量问题。 · 难点：构建相似三角形模型，以及在复杂情境中找到对应关系。 四、教学过程 （一）复习回顾（5分钟） 1. 提问互动： · 相似三角形的判定方法有哪些？（SSS、SAS、AA） · 相似三角形的性质是什么？（对应角相等，对应边成比例，对应线段的比等于相似比） 1. 引入课题： 利用相似三角形的性质，可以解决生活中的测量问题，比如测量金字塔的高度、估算河的宽度等。 （二）探究新知（25分钟） 1. 例题讲解 · 例4：测量金字塔高度（课本P39，图27.2 - 15） 板书设计： 例4 测量金字塔高度 已知：EF=2m，FD=3m，OA=201m 求：BO=？ 分析： ∵ 太阳光线平行 → ∠BAO = ∠EDF 又 ∠AOB = ∠DFE = 90° ∴ △ABO ∽ △DEF（AA） ∴ BO/EF = OA/FD → BO = (OA·EF)/FD 计算：BO = (201×2)/3 = 134(m) 结论：金字塔高度为134m 关键点：引导学生找出相似三角形的对应边，强调比例关系的推导过程。 · 例5：估算河宽（课本P40，图27.2 - 16） 例5 估算河宽PQ 已知：QS=45m，ST=90m，QR=60m 求：PQ=？ 分析： ∵ ∠PQR = ∠PST = 90°，∠P = ∠P ∴ △PQR ∽ △PST（AA） ∴ PQ/(PQ+QS) = QR/ST → PQ/(PQ+45) = 60/90 解方程：90PQ = 60(PQ+45) → PQ=90(m) 结论：河宽约为90m 关键点：通过方程思想解决比例问题，提醒学生注意单位统一。 · 例6：视线遮挡问题（课本P40，图27.2 - 17） 例6 视线遮挡问题 已知：AB=8m，CD=12m，BD=5m，观察者身高1.6m 求：当EH<？时，看不到C点 分析： ∵ AB∥CD → △AEH ∽ △CEK（AA） ∴ EH/(EH+5) = (8-1.6)/(12-1.6) = 6.4/10.4 解方程：EH=8(m) 结论：距离小于8m时看不到C点 关键点：结合图形分析遮挡区域，理解相似三角形在实际问题中的应用。 2. 归纳方法 · 解题步骤： 7. 画出示意图，明确已知条件和所求问题。 7. 找出相似三角形，确定对应边和对应角。 7. 列出比例式，求解未知量。 （三）巩固练习（15分钟） 1. 课本练习1（P41）： · 题目：测量楼的高度（已知竹竿高1.8m，影长3m，楼影长90m）。 · 答案：楼高54m（利用相似三角形对应边成比例）。 1. 课本习题9（P43）： · 题目：利用标杆BE测量建筑物高度（BE=1.2m，AB=1.6m，BC=12.4m）。 · 答案：CD=10.8m（提示：△ABE ∽ △ACD）。 （四）课堂小结（5分钟） 1. 知识总结： · 相似三角形在测量高度、宽度、距离等方面的应用。 · 解决问题的关键是构建相似三角形模型，列出比例式。 1. 思想方法： · 数学建模思想、方程思想、转化思想。 （五）布置作业 1. 必做题： · 课本习题2、8、10（P42 - 44）。 1. 选做题： · 课本习题14（P44），需建立函数关系式并画图。 五、板书设计（主黑板区） 27.2.3 相似三角形应用举例 一、例4 测量金字塔高度 步骤： 1. 找相似△：△ABO ∽ △DEF（AA） 2. 列比例式：BO/EF = OA/FD 3. 计算：BO = (201×2)/3 = 134m 二、例5 估算河宽 步骤： 1. 找相似△：△PQR ∽ △PST（AA） 2. 列方程：PQ/(PQ+45) = 60/90 3. 解得：PQ=90m 三、解题方法归纳 1. 画图 → 2. 找相似 → 3. 列比例 → 4. 计算 六、教学反思 1. 通过生活案例帮助学生理解相似三角形的应用价值，提高学习兴趣。 1. 针对学生计算中的易错点，加强比例方程的解题训练。 1. 后续可增加小组合作探究活动，提升学生的建模能力。 说明：教案严格依据教材内容，例题页码和图片编号均与课本对应，板书设计突出关键步骤，符合新课标要求。 学科网（北京）股份有限公司 $$