27.2.3相似三角形应用举例 教学设计 2024--2025学年人教版九年级数学下册

课程基本信息 课题 第二十七章 相似 27.2 相似三角形 27.2.3 相似三角形应用举例 教材 人教版九年级下册 教学目标 1.会利用三角形相似的知识解决不能直接测量物体的高度等简单的实际问题；经过把生活实际问题的数学化，培养学生分析问题、解决问题的能力 2.通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想 3.在利用相似三角形知识解决实际问题的过程中，积累数学基本活动经验，激发学习数学的热情 教学重点 运用相似三角形的性质解决实际问题 教学难点 构造相似三角形解决实际问题 教学过程 1、 知识回顾 提问：相似三角形的判定有哪些？ 回答：定义法，对应角相等，对应边的比相等的两个三角形相似 回答：平行法，平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似 回答：三边成比例的两个三角形相似 回答：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 回答：两角分别相等的两个三角形相似 回答：斜边和任意一条直角边成比例的两个直角三角形相似 提问：相似三角形的性质有什么？ 回答：对应角相等，对应边成比例 回答：对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比 回答：周长的比等于相似比 回答：面积的比等于相似比的平方 二、创设情境、引入新课 同学们，你们知道世界现存规模最大的金字塔位于哪个国家吗?这个金字塔的名字是什么? 胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇观之”。据说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度 设计意图：通过情景引入，引发学生的思考，为学习新课做铺垫，培养学生善于思考的习惯，激发学生的学习兴趣 三、合作交流，探究新知 (一)探究测量金字塔高度问题 【情景】胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被誉为“世界古代八大奇迹之一”，古希腊数学家，天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理测量金字塔的高度，你能根据图示说出他测量金字塔的原理吗?你还有其它方法吗? 师生活动：教师提出问题，学生尝试通过多种方法解决此问题，再由教师总结常见测量高度的方法 下面是借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度的示意图 原理：在同一时刻，由于太阳光线是平行光线，在同一时刻，有∠BAO=∠EDF，∠AOB=∠DFE=90°可判定△ABO相似△DEF，利用相似三角 形的性质，可得BO/EF=OA/FD，即太阳光下不同物体的高度之比与其影长之比相等 如图，如果木杆EF长2m，它的影长FD为3m，测得OA为201m，求金字塔的高度BO 分析：根据太阳光的光线是互相平行的特点，可知在同一时刻的阳光下，竖直的两个物体的影子互相平行，从而构造相似三角形，再利用相似三角形的判定和性质，根据已知条件，求出金字塔的高度 师生活动：教师提出问题，学生通过以上分析求解，教师通过多媒体给出具体求解过程 如图：木杆 EF 长2m，它的影长FD为3m，测得OA为201m，求金字塔的高度BO 分析：对于不易到达顶部，不能直接测量的建筑物的高度，需要构造相似三角形进行测高 解：太阳光是平行光线，因此∠BAO=∠EDF 又∠AOB=∠DFE=90° ∴△ABO相似△DEF ∴BO/EF=OA/FD ∴BO=OA×EF÷FD=134m 因此金字塔的高度为134 m 方法总结：构造相似三角形，对应边成比例，列方程求解 设计意图：经历知识的探究过程，使学生通过全程参与，掌握知识，培养数学核心素养和能力 (二)探究测量河宽问题 例：如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R。如果测得QS=45 m，ST=90m，QR=60m，求河的宽度PQ 教师分析：构造相似三角形的步骤 (1) 在过点S作直线a，使a⊥PS (2)在直线a上选择适当的点T，连接PT交直线b于点R 计算方法 (1)先测量出QS、ST、QR的长 (2)利用对应边成比例，列方程求解 教师引导学生从上面的操作中得到比例关系，列方程求解，然后规范地写出证明过程 解：∵∠PQR=∠PST=90°，∠P=∠P ∴△PQR相似△PST ∴PQ/PS=QR/ST 即PQ/（PQ+QS）=QR/ST，PQ/（PQ+45）=60/90，PQ×90=（PQ+45）×60 解得PQ=90(m) 答：河宽大约是90m 设计意图：经历知识的探究过程，使学生通过全程参与，掌握知识，培养数学核心素养和能力，学生先小组讨论；通过例题进一步完善学生们的想法，让学生体会用数学知识解决实际问题的成就感和快乐 方法总结：利用相似三角形可以解决下面的2个问题 测高：不易到达顶部，不能直接使用测量工具 测距：不易直接测量的两点间的距离 一般步骤 阅读问题体会情境——抽象模型，构造相似——画出图形，解决问题 ——总结归纳，回归实际 设计意图：帮助学生梳理重点知识的脉络和结构，进一步理解知识 (三)盲区问题 例：如图，左、右并排的两棵树的高分别是AB=8m和CD=12m，两树相距BD=5 m，一个人估计自己眼睛距地面的距离是EF=1.6m，她沿着正对这两棵树的一条水平直路l从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端C了? 分析：如图，设眼睛的位置为点F，水平视线FG分别交AB，CD于点H，K，∠AFH是观察点A时的仰角 由于树的遮挡，区域I是盲区，同样地，∠CFK是观察点C时的仰角，区域Ⅱ是盲区 如图，当某人从左向右移动过程 (1)当走到O点时，点 F、A、C 三点刚好共线(临界位置) (2)在点O的右边时，无法看到点C (3)在点O的左边时，可以看到点C 解：假设观察者从左向右走到点O时，她的眼睛的位置点F与两棵树的顶端点A，C恰在一条直线上 ∵AB⊥l，CD⊥l ∴AB//CD ∴△AFH相似△CFK ∴FH/FK=AH/CK ∵AB=8m，CD=12m，BD=5m，OF=1.6m ∴FH/（FH+5）=（8-1.6）/（12-1.6） 解得FH=8(m) 由此可知，当她与左边的树的距离小于8 m时，她看不到右边树的顶端C 设计意图：学生经历观察、测量、画图、数学建模等活动，获得了解决不能直接测量物体的高度(或长度)的实际问题的思路和一般步骤，培养学生在实际问题中建立数学模型的能力，从而提高学生理论联系实际解决问题的能力 四、课堂练习 1.如图，在△ABC中，DE//BC，DE分别与AB，AC相交于点D，E。若AD=4，DB=2，则DE:BC的值为（） A.2/3 B.1/2 C.3/4 D.3/5 设计意图：考查学生利用相似三角形的判定和性质进行推理计算的能力 2. 如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB// CD，AB=2m，CD=5m，点P到CD的距离是3m，则点P到AB的距离是（） A. 5/6 B. 6/7 C. 6/5 D. 10/3 3. 在某一时刻，有人测得一高为1.8m的竹竿的影长为3m，某一楼的影长为60m，那么楼的高度是多少米? 4. 如图，测得BD=120 m，DC=60m，EC=50 m，求河宽AB 设计意图：考查利用相似三角形的知识测量高度和河宽 教师可以先处理补充练习，再处理教材练习，在教材的练习处理中，应注意对仰角和左右对称这两个词意义的解释，最好让学生先解释，以便于发现学生的问题，及时纠正和解决 五、课堂小结 1.相似三角形的应用主要有三个方面 (1)测高(不能直接使用皮尺或刻度尺测量的) 测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例’的原理解决 (2)测距(不能直接测量的两点间的距离) (3)视线遮挡问题 测量不能到达的两点间的距离，常构造相似三角形求解 数学建模思想: 把生活中的实际问题通过建模的思想，转化为数学问题来解决 一般步骤 (1)根据题设中的已知量与未知量画出数学示意图 (2)抽象出几何位置关系 (3)根据几何图形的知识解决实际问题 设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，理解解决不能直接测量物体的高度(或长度)的实际问题的思路和一般步骤 教学反思 本节课的学习将前面所学相似三角形判定和性质进行全面应用，利用相似三角形知识解决不能通过直接测量物体的高度、宽度等问题，初步掌握从实际问题中抽象出相似三角形，利用数学模型解决实际问题的能力。本节课采用启发式教学，重在引导学生通过所学知识构建相似三角形模型并求解。在教学中应鼓励学生积极思考，归纳总结，允许学生回答的不完整，甚至有错误的见解，培养学生乐于分享、发言的习惯，提高学生学习数学的兴趣。 学科网（北京）股份有限公司 $$