精品解析：天津市东丽区北洋嘉恒高级中学2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试卷

天津北洋嘉恒高级中学2024-2025学年度高一年级第二学期第一次月考 数学试题 考试时间：100分钟；命题人：高一年级数学组；审核人：教务处 注意事项： 1．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）和附加题三部分，第Ⅰ卷和第Ⅱ卷共120分，附加题30分，考试用时100分钟. 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考生号、考场号和座位号等信息填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条码.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷、草稿纸或其它非答题区域的无效.考试结束后，只将答题卡和草稿纸交回，试卷需自行带出考场. 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、单项选择题（本大题共10小题，每题4分，共40分） 1. 对于物理量：①路程，②时间，③速度，④体积，⑤长度，⑥重力，以下说法正确的是（ ） A. ①②④是数量，③⑤⑥是向量 B. ①④⑤是数量，②③⑥是向量 C. ①④是数量，②③⑤⑥是向量 D. ①②④⑤是数量，③⑥是向量 【答案】D 【解析】 【分析】由向量的概念逐个判断即可； 【详解】路程，时间，体积，长度只有大小，没有方向，是数量； 速度，重力既有大小又有方向，是向量， 故选：D. 2. 已知非零向量，满足，且，则与的关系是（ ） A. 垂直 B. 共线 C. 夹角为 D. 夹角为 【答案】B 【解析】 【分析】由题意结合数量积定义直接计算得即可得解. 【详解】设已知两个向量的夹角为θ， 由题 ， ，所以共线. 故选：B. 3. 在中，在上且，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算来求得正确答案. 【详解】如图，在中，在上且，所以. 则 . 又因为，所以. 故选：B 4. 下列各式中不能化简为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量加减法法则化简各式，即可得答案. 【详解】A：，不符合题意； B：因为，， 若，即，可得， 即点与点重合，显然这不一定成立， 所以与不一定相等，符合题意； C：，不符合题意； D：，不符合题意； 故选：B 5. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先得出向量线性关系，结合向量数量积公式计算求解模长即可. 【详解】在中，， 所以， 则 . 故选：C. 6. 是平面内不共线两向量，已知，，，若，，三点共线，则的值为（ ） A. 3 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】求出向量，再利用向量共线列式求出值. 【详解】由，，得， 由，，三点共线，得，又，不共线， 则，所以. 故选：A 7. 已知的顶点坐标为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，得到，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】由 的三个顶点的坐标分别为， 可得，则且， 所以. 故选：C. 8. 已知平面向量满足，且，则（ ） A. 2 B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及垂直关系的向量表示列式计算即可. 【详解】由，得，则， 由，得，因此， 所以. 故选：A 9. 已知向量，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量定义公式计算求解即可得解. 【详解】在方向上的投影向量是， 故选：A. 第Ⅱ卷（非选择题 共80分） 二、填空题（本大题共5小题，11-14题每空3分，15题每空4分，共20分） 10. 已知单位向量与单位向量的夹角为，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的数量积及模长转化法求出模长. 【详解】因为,的夹角为120°， 所以， . 故答案为：. 11. 在中，，P是直线上一点，若，则实数m的值为_____. 【答案】## 【解析】 【分析】将题设将变形为，再结合共线定理的推论即可得解. 【详解】因为，所以， 所以， 因为三点共线，所以. 故答案为：. 12. 已知向量，，若与垂直，则____________. 【答案】 【解析】 【分析】由向量线性运算、垂直的坐标表示列方程求得，再应用坐标公式求. 【详解】由题设，又与垂直， 所以，可得. 所以. 故答案为： 13. 三角形ABC中，，，，则____. 【答案】或 【解析】 【分析】根据余弦定理即可求解. 【详解】由余弦定理得， 即，解得或， 经检验，符合题意， 所以或. 故答案为：或 14. 如图，在边长为1的正方形中，是对角线上一点，且，则__________，若点为线段（含端点）上的动点，则的最小值为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】表达出，利用向量数量积公式得到；设，，表达出，，利用向量数量积公式得到，故当时，取得最小值，最小值为. 【详解】，， 故， ， 故 ； 点为线段（含端点）上的动点，设，， ， ， 其中， ， 故当时，取得最小值，最小值为. 故答案为：， 【点睛】平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路： ①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解； ②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解. 三、解答题（本大题共5小题，每题12分，共60分） 15. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量的线性运算即可求解； （2）由向量的数乘运算计算可得. 【小问1详解】 易知； 【小问2详解】 计算可得. 16. 已知向量； （1）求与的夹角； （2）求． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）运用数量积和模长公式求出夹角余弦值，再得到夹角即可；（2）运用向量坐标的模长公式求解即可. 【小问1详解】 由于， 则， 又，则与的夹角为； 【小问2详解】 ，则 17. 已知单位向量的夹角是． （1）证明：点A，B，C共线； （2）求与夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明向量平行，再根据有共同点得出三点共线； （2）先应用向量数量积运算律得出模长，再根据夹角余弦公式计算. 【小问1详解】 由题意得， ， ，且向量起点相同，故点A，B，C共线； 【小问2详解】 与夹角的余弦值为 18. 已知向量， （1）若，求实数的值； （2）若与的夹角是钝角，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量线性运算与垂直的坐标表示即可得解； （2）利用向量夹角是钝角得到且与不反向共线，从而得解. 【小问1详解】 因为，， 所以， 因为， 所以，解得； 【小问2详解】 因为与的夹角是钝角，，， 所以，解得， 又当，即时，，此时与的夹角为，故， 综上可得. 19. 已知向量的夹角为. （1）求； （2）若存在实数，使得与的夹角为锐角，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量夹角余弦公式计算出，得到答案； （2）设与的夹角为，则，且与不同向共线，得到不等式，求出答案. 【小问1详解】 ， 因为，所以； 【小问2详解】 设与的夹角为， 则且，故，且与不同向共线， ，， 故， 且， 解得且， 故的取值范围是. 附加题（共30分） 四、附加题（本题30分） 20. 现定义一种新的运算：．已知两个不共线向量与的夹角为，，且． （1）求的值； （2）若为钝角，试探究与能否垂直，若能，求出的值，若不能，请给予证明； （3）若，当时，求的最小值，并求出此时与的夹角． 【答案】（1） （2）不可能垂直； （3），夹角为； 【解析】 【分析】（1）根据定义可化简二阶行列式，利用三角函数和差角的公式以及辅助角公式化简即可得出结果； （2）利用向量垂直可得，再由为钝角进行判断即可得出结论； （3）由可得，由向量的模长运算公式，求得当时，结合向量夹角公式即可求解. 【小问1详解】 由题意可得： ， 因此可得 【小问2详解】 由（1）可知， 因此， 所以， 因为为钝角，可得， 因此， 故为钝角时，与不可能垂直； 【小问3详解】 由可得， 所以， 易知当时，，此时， 所以， 可得， 又因为， 所以与的夹角为. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用新定义运算结合辅助角公式求得，再由向量数量积运算律以及夹角计算公式可求得结果. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津北洋嘉恒高级中学2024-2025学年度高一年级第二学期第一次月考 数学试题 考试时间：100分钟；命题人：高一年级数学组；审核人：教务处 注意事项： 1．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）和附加题三部分，第Ⅰ卷和第Ⅱ卷共120分，附加题30分，考试用时100分钟. 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考生号、考场号和座位号等信息填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条码.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷、草稿纸或其它非答题区域的无效.考试结束后，只将答题卡和草稿纸交回，试卷需自行带出考场. 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、单项选择题（本大题共10小题，每题4分，共40分） 1. 对于物理量：①路程，②时间，③速度，④体积，⑤长度，⑥重力，以下说法正确的是（ ） A. ①②④是数量，③⑤⑥是向量 B. ①④⑤是数量，②③⑥是向量 C. ①④是数量，②③⑤⑥是向量 D. ①②④⑤是数量，③⑥是向量 2. 已知非零向量，满足，且，则与的关系是（ ） A. 垂直 B. 共线 C. 夹角为 D. 夹角为 3. 在中，在上且，设，则（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式中不能化简为的是（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 6. 是平面内不共线两向量，已知，，，若，，三点共线，则的值为（ ） A. 3 B. C. D. 2 7. 已知的顶点坐标为，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知平面向量满足，且，则（ ） A. 2 B. C. D. 1 9. 已知向量，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共80分） 二、填空题（本大题共5小题，11-14题每空3分，15题每空4分，共20分） 10. 已知单位向量与单位向量的夹角为，则____________． 11. 在中，，P是直线上一点，若，则实数m的值为_____. 12. 已知向量，，若与垂直，则____________. 13. 三角形ABC中，，，，则____. 14. 如图，在边长为1的正方形中，是对角线上一点，且，则__________，若点为线段（含端点）上的动点，则的最小值为___________． 三、解答题（本大题共5小题，每题12分，共60分） 15. 计算： （1）； （2）． 16. 已知向量； （1）求与的夹角； （2）求． 17. 已知单位向量的夹角是． （1）证明：点A，B，C共线； （2）求与夹角的余弦值． 18. 已知向量， （1）若，求实数的值； （2）若与的夹角是钝角，求实数的取值范围. 19. 已知向量的夹角为. （1）求； （2）若存在实数，使得与的夹角为锐角，求的取值范围. 附加题（共30分） 四、附加题（本题30分） 20. 现定义一种新的运算：．已知两个不共线向量与的夹角为，，且． （1）求的值； （2）若为钝角，试探究与能否垂直，若能，求出的值，若不能，请给予证明； （3）若，当时，求的最小值，并求出此时与的夹角． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $