6.3.2 二项式系数的性质（课件PPT）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教版2024）

计数原理 第六章 6.3　二项式定理 6.3.2　二项式系数的性质 必备知识·基础落实 关键能力·素养提升 随堂检测·学以致用 课时作业·自测反思 必备知识·基础落实 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 要点一　二项式系数的性质 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 要点二　杨辉三角 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 探究一　二项展开式中系数的最值问题 关键能力·素养提升 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 探究二　二项展开式的系数和 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 探究三　与杨辉三角有关的问题 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 随堂检测·学以致用 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 返回目录 数学　选择性必修 第三册 课时作业·自测反思 返回目录 数学　选择性必修 第三册 制 作 者：状元桥 适用对象：高中学生 制作软件：Powerpoint2010、 Photoshop cs3 运行环境：WindowsXP以上操作系统 问题导入 (a＋b)n的展开式的二次项系数，当n分别取1,2,3,4,5,6时可以表示成如下形式： (a＋b)11　1 (a＋b)21　2　1 (a＋b)31　3　3　1 (a＋b)41　4　6　4　1 (a＋b)51　5　10　10　5　1 (a＋b)61　6　15　20　15　6　1 问题3：二项式系数的最大值有何规律？ 提示　n＝2,4,6时，中间一项最大，n＝3,5时中间两项最大． 问题1：从上面的表示形式可以直观地看出什么规律？ 提示　在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和． 问题2：计算每一行的系数和，你又能看出什么规律？ 提示　2,4,8,16,32,64，…，其系数和为2n. 性质 内容 对称性 在(a＋b)n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即Ceq \o\al(m,n)＝Ceq \o\al(n－m,n) 增减性与最大值 增减性 当k<eq \f(n＋1,2)时，Ceq \o\al(k,n)随k的增加而增大； 当k>eq \f(n＋1,2)时，Ceq \o\al(k,n)随k的增加而减小 微梳理 性质 内容 增减性与最大值 最大值 当n是偶数时，中间的一项取得最大值； 当n是奇数时，中间的两项，相等，且同时取得最大值 各二项式系数的和 ①C＋C＋C＋…＋C＝2n； ②C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1，即奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和 1．概念 在探究(a＋b)n的展开式的二项式系数性质时，我们曾把系数写成一张表(图1)，借助它发现了系数的一些规律．事实上，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中，就已经出现了这个表．所不同的只是这里的表用阿拉伯数字表示，在那本书里是用汉字表示(图2)的．我们称这个表为杨辉三角． 2．特点 (1)在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等． (2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即C＝C＋C. 思考：系数最大的项一定是二项式系数最大的项吗？ 提示　系数最大的项不一定是二项式系数最大的项，只有当二项式系数与各项系数相等时，二者才一致． 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)二项展开式中系数最大项是中间一项(共奇数项)或中间两项(共偶数项)．(　　) (2)二项展开式的偶数项系数和等于奇数项系数和．(　　) (3)二项展开式项的系数是先增后减的．(　　) (4)杨辉三角中每行(除第一行外)两端的数都是1.(　　) 解析　(1)错误．二项展开式中项的系数与二项式系数是不同的，二项式系数最大项是中间一项(共奇数项)或中间两项(共偶数项)，但是项的系数的最大值与项的其他数字因数的大小有关． (2)错误．在二项式(a＋b)n中只有当a，b的系数都为1时，展开式的偶数项系数和才等于奇数项系数和． (3)错误．二项式系数是随n的增加先增后减的，二项展开式项的系数和a，b的系数有关． (4)正确．根据杨辉三角的特点可知说法正确． 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 【例题1】 已知二项式8. (1)求展开式中二项式系数最大的项的系数； (2)求展开式中系数最大的项． 解析　(1)二项式8的展开式中第5项的二项式系数最大，因此由T5＝C4·24·x4＝x4，可知此项的系数为. (2)由题意设二项展开式的第r＋1项的系数最大，则解得7≤r≤8，所以展开式中系数最大的项为第8项或第9项，即T8＝C1·27x7＝28x7，T9＝C0·28x8＝28x8. 规律总结 求二项展开式系数最大的项的方法 (1)求二项式系数最大的项：若n是偶数，则中间一项，即第项的二项式系数最大，即最大值是；若n是奇数，则中间两项，即第项与第项的二项式系数相等且最大，即且最大． (2)求展开式中系数最大的项：如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式中各项系数分别为A0，A1，A2，…，An，且第(r＋1)项系数最大，应用解出r，即得系数最大的项． [注意] 二项式系数与项的系数是两个不同的概念．二项式系数是组合数，仅与二项式的指数及项数有关，一定为正，而项的系数与二项式的指数、项数及字母的系数均有关，可正可负． 【变式1】 (1)在(2－3x)15的展开式中，二项式系数的最大值为(　　) A．C B．C C．－C D．－C (2)10的展开式中，系数最大的项为(　　) A．第6项 B．第3项 C．第3项和第6项 D．第5项和第7项 解析　(1)(2－3x)15的展开式中共有16项，中间的两项为第8项和第9项，这两项的二项式系数相等且最大，为C＝C.故选B项． (2)展开式中，二项式系数与对应的项的系数的绝对值相等．由于二项式系数的最大项为T6，且T6＝C·x55＝－C中的二项式系数等于项的系数的相反数，此时T6的系数最小．而T5＝Cx6·4＝Cx2，T7＝Cx4·6＝Cx－2，且C＝C.所以系数最大的项为第5项和第7项．故选D项． 答案　(1)B　(2)D 【例题2】 设(2－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，求下列各式的值． (1)a0； (2)a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100； (3)a1＋a3＋a5＋…＋a99； (4)(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2； (5)|a0|＋|a1|＋…＋|a100|. 解析　(1)令x＝0，得a0＝2100. (2)令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋…＋a100＝(2－)100，① 所以a1＋a2＋…＋a100＝(2－)100－2100. (3)令x＝－1，可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋)100.② 由①－②得a1＋a3＋…＋a99＝. (4)原式＝[(a0＋a2＋…＋a100)＋(a1＋a3＋…＋a99)]×[(a0＋a2＋…＋a100)－(a1＋a3＋…＋a99)] ＝(a0＋a1＋a2＋…＋a100)×(a0－a1＋a2－a3＋…＋a98－a99＋a100) ＝[(2－)×(2＋)]100＝1100＝1. (5)因为Tr＋1＝(－1)rC2100－r()rxr， 所以a2k－1<0(k∈N*)，a2k>0(k∈N)． 所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a100|＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋)100. 规律总结 用赋值法求二项展开式系数的和 赋值法即对字母作特殊赋值，可达到求和目的．赋值时可视所求和式子的结构特点而定． (1)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则有a0＝f(0)；a0＋a1＋a2＋…＋an＝f(1)；a0－a1＋a2－a3＋…＋(－1)nan＝f(－1)；a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10＋…＝；a1＋a3＋a5＋a7＋a9＋…＝ . (2)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x＝y＝1即可． 【变式2】 (1)若(5x＋4)3＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3，则(a0＋a2)－(a1＋a3)＝(　　) A．－1 B．1 C．2 D．－2 (2)(mx＋)n(n∈N*)的展开式中，各二项式系数和为32，各项系数的和为243，则展开式中x3的系数为(　　) A．40 B．30 C．20 D．10 解析　(1)(5x＋4)3＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3，所以令x＝－1，得 (－1)3＝a0－a1＋a2－a3＝(a0＋a2)－(a1＋a3)＝－1.故选A项． (2)(mx＋)n的展开式中，各二项式系数和为2n＝32，所以n＝5.令x＝1，可得各项系数的和为(m＋1)5＝243＝35，所以m＝2，所以(mx＋)n＝(2x＋)5，其展开式的通项为Tr＋1＝C·25－r·x，令5－＝3，可得r＝4，故展开式中x3的系数为C×2＝10.故选D项． 答案　(1)A　(2)D 【例题3】 如图所示的三角形数阵叫“莱布尼茨调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为(n∈N*，n≥2)，每个数是它下一行左、右相邻两数的和，如＝＋，＝＋，＝＋，…，则第10行的第4个数(从左往右数)为__________. 　　 　　　　 　　　　　　 　　　　　　　　 … 解析　将杨辉三角中的每一个数C都换成分数即可得到“莱布尼茨调和三角形”，杨辉三角中第10行的第4个数为C＝84，所以“莱布尼茨调和三角形”中第10行的第4个数为＝. 答案　 规律总结 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路 【变式3】 将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，……，第n次全行的数都为1的是第______行；第61行中1的个数是______. 第1行　1　　1 第2行　1　　0　　1 第3行　1　　1　　1　　1 第4行　1　　0　　0　　0　　1 第5行　1　　1　　0　　0　　1　　1 第6行　1　　0　　1　　0　　1　　0　　1 第7行　1　　1　　1　　1　　1　　1　　1　　1 　… 解析　观察可得第1行，第3行，第7行，全行都为1，故第n次全行的数都为1的是第2n－1行．当n＝6时，26－1＝63，故第63行共有64个1，递推知第62行共有32个1，第61行共有32个1. 答案　2n－1　32 1．观察图中的数所成的规律，则a所表示的数是(　　) 1 1　　2　　1 1　　3　　3　　1 1　　4　　a　　4　　1 1　　5　　10　　10　　5　　1 A．8 B．6 C．4 D．2 答案　B 解析　由题图知，下一行的数是其肩上两数的和，所以4＋a＝10，解得a＝6.故选B项． 2．(1＋x)2n(n∈N*)的展开式中，系数最大的项是(　　) A．第＋1项 B．第n项 C．第n＋1项 D．第n项与第n＋1项 答案　C 解析　由于第r＋1项的系数为C，故当r＝n时，系数最大，即第n＋1项的系数最大．故选C项． 3．若(2－3x)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，则a1＋a2＋a3＋…＋a6＝(　　) A．－4 B．4 C．－64 D．－63 答案　D 解析　由题意可令x＝0，得(2－3×0)6＝a0＋a1×0＋a2×0＋…＋a6×0，即a0＝64，再令x＝1，可得64＋a1＋a2＋a3＋…＋a6＝1，所以a1＋a2＋a3＋…＋a6＝－63.故选D项． 4．已知(1＋3x)n的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中二项式系数最大的项． 解析　由已知得C＋C＋C＝121，则n(n－1)＋n＋1＝121，即n2＋n－240＝0，解得n＝15或n＝－16(舍去)，所以展开式中二项式系数最大的项是T8＝C(3x)7和T9＝C(3x)8. $$