2025年 九年级数学中考一轮复习 方程与不等式的实际应用 知识点分类综合训练题

2025年春九年级数学中考一轮复习《方程与不等式的实际应用》 知识点分类综合训练题（附答案） 一、一元二次方程的实际应用 1．在可持续发展的道路上，绿色转型已成为一个重要的话题，绿色转型不仅是一种环保理念，更是一种经济发展方式，新能源汽车在践行绿色低碳循环理念推动高质量发展中发挥重要作用．近年来，随国家政策扶持，新能源车的销量逐年增加，据统计，2022年新能源汽车全国销量为578万辆，2024年新能源汽车全国销量达到832.32万辆． (1)求2022—2024年这两年新能源汽车销量的平均增长率； (2)若增长率保持不变，请估计到2025年全国新能源汽车的销量是多少？ 2．某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园（如图所示），其中一边靠墙（墙长为，另外三边用的篱笆围成．为方便进出，在垂直于墙的一边留一个宽的门，设苗圃园垂直于墙的一边长为，苗圃园的面积为． (1)写出S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)若苗圃园的面积为，求垂直于墙的一边长为多少m？ (3)苗圃园的面积能否达到？若能，请说明理由；若不能，请求出苗圃园的面积最大值． 3．甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，计划每天各施工米．已知甲乙每天施工所需成本共万元．因地质情况不同，甲每合格完成米桥梁施工成本比乙每合格完成米的桥梁施工成本多万元． (1)分别求出甲，乙每合格完成米的桥梁施工成本； (2)实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖．乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖米．若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 4．有两张长，宽的矩形纸板，分别按照图1与图2两种方式裁去若干小正方形和小矩形，剩余部分（阴影部分）恰好做成无盖和有盖的长方体纸盒各一个． (1)做成有盖长方体纸盒的裁剪方式是______（填“图1”或“图2”）． (2)若图1中裁去的小正方形边长为，则做成的纸盒的底面积是______． (3)若按图2裁剪方式做成纸盒的底面积为，则剪去的小正方形的边长为多少？ 5．以下是我市热点新闻，请你从中挖掘数学信息，解决相关问题： (1)热点新闻1：2024年国庆期间，我市某景区接待游客约64.8万人次，接待游客量再创新高，继续推动我市旅游业高质量发展． 数据显示，2022年该景区接待游客约45万人次，若该景区每年接待游客人数的增长率相同，则年平均增长率为多少？ (2)热点新闻2：2024“望陶杯”江西省首届“NBA”篮球选拔赛在景德镇市成功举办，经历小组赛、淘汰赛的多轮角逐，黑猫集团代表队夺得了本次比赛的冠军． 小组赛赛制为单循环制（每两队之间赛一场），已知小组赛共进行比赛28场，则此次参赛一共有多少个球队？ 6．某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元．经过市场调查发现，该文具每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价/元 … 12 13 14 … 每天的销售量/件 … 36 34 32 … (1)求与之间的函数关系式； (2)若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？ (3)该超市要使每天销售这种文具的利润最大，销售单价应为多少元？最大利润是多少元？ 7．九龙坡区有七条特色的山城步道，不仅景色宜人，而且各有特色．中梁山云岭森林公园是主城区首个全开放式无围墙森林公园，公园里有一条长的登山步道，学校两个登山小队组织周末登山活动，计划沿步道登山，若两队同时出发，第一队的登山速度是第二队登山速度的倍，他们比第二队早40分钟到达步道终点． (1)两个小队的登山速度各是多少千米/小时？ (2)到达步道终点后，第一队队长小明继续沿着另一条山路登山，直至山顶．在他从山路登山开始的前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多登山2分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在山路登山到山顶的过程中小明共消耗1050卡路里热量，小明从山路登山直至山顶共用多少分钟？ 8．在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空：________，________（用含t的代数式表示）； (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． (4)是否存在t的值，使的面积S最大，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 二、一元一次不等式的实际应用 9．45中百草园社团准备带学生种植A、B两种绿色植物共50棵，其中A种绿植数量不超过B种绿植的三倍． (1)社团最多购买A种绿色植物多少棵? (2)已知种植A种绿色植物每棵需要，B种绿色植物种植每棵需要，若种植绿色植物总面积不超过，百草园社团购买绿色植物的方案有几种？哪种方案的占地面积最少？ 10．苹果的进价是1.5元/千克，香梨的进价是2元/千克；李老板购进苹果的重量比香梨重量的3倍多20千克，一共花费420元；为方便销售，定价均为7元/千克． (1)李老板购进苹果和香梨各多少千克？ (2)若平均每天卖出苹果和香梨共50千克，每天利润不少于268元，则每天卖出的苹果至少是多少千克？ (3)由于天气炎热，当苹果还剩余60千克时，为尽快清仓，李老板决定对剩下的苹果进行打折销售，为确保销售苹果的总利润不低于1016元，最低可以打多少折？ 11．寻乌县委县政府着力打造的“寻乌调查·1930”红色文旅街区于2024年1月1日开街，惊艳亮相于世人面前，该文旅街区已经成为红色革命老区——寻乌的网红打卡点．开街期间，街区内某知名小吃店计划购买甲，乙两种食材制作寻乌特色小吃．已知购买甲种食材和乙种食材共需68元，购买甲种食材和乙种食材共需280元． (1)求甲，乙两种食材的单价； (2)该小吃店计划购买两种食材共，但总费用又不超过1200元，则甲种食材至多可以购买多少？ 12．2022年河南夏粮喜获丰收，加之小麦收购价格一路上扬，极大提升了农民群众的种粮热情．某粮食生产基地计划投入一笔资金购买甲、乙两种收割机，已知1台甲种收割机比1台乙种收割机贵1万元，用18万元购买甲种收割机的数量和用15万元购买乙种收割机的数量相同． (1)求购买1台甲种收割机和1台乙种收割机各需多少万元． (2)若该粮食生产基地计划购买甲、乙两种收割机共30台，且购买的乙种收割机不超过甲种收割机的2倍，则怎样购买可使费用最低，最低费用为多少？ 13．《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．小洋在网上开设相关周边专卖店，一次，小洋发现一张进货单上的一个信息是：A款哪吒玩偶的进货单价比B款哪吒玩偶少5元，花500元购进A款哪吒玩偶的数量与花750元购进B款哪吒玩偶的数量相同． (1)问： A、B两款的进货单价分别是多少元？ (2)小洋决定将A款玩偶的销售单价定为12元，将B款玩偶的销售单价定为20元，小洋打算要花费1000元购进A、B两款玩偶若干个，且A款的数量不小于B款的一半，请你根据计算说明，当A、B两款各购进多少时，小洋获得的总利润最高，最高为多少？ 14．随着新能源汽车的销售越来越多，小区新能源汽车充电也越来越困难，某小区为了解决业主新能源汽车充电难的问题，准备在小区内修建10个充电桩，已知新建2个地下充电桩和1个地上充电桩需要1万元；新建1个地下充电桩和3个地上充电桩也需要1万元． (1)该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需多少钱？ (2)若该小区计划用不超过2.6万元的资金新建充电桩，问共有几种建造方案？并列出所有方案， (3)在第（2）问的条件下哪种方案投资最少？请求出最少投资金额． 三、一元一次不等式组的实际应用 15．认真阅读下面三个人的对话． 小朋友：阿姨，我买一盒饼干和一袋牛奶（递上10元钱）． 售货员：本来你用10元钱买一盒饼干是有剩余的，但再买一袋牛奶就不够了．不过今天是儿童节，我给你买的饼干打9折，两样东西请拿好，还有找你的8角钱． 旁观者：一盒饼干的标价可是整数哦！ 根据对话内容，试求出饼干和牛奶的标价各是多少？ 16．某玩具店销售甲、乙两种型号的玩具汽车，已知卖出甲、乙两种型号的玩具汽车各2辆，收款共88元；卖出3辆甲型号玩具汽车和1辆乙型号玩具汽车，共收款84元． (1)求每辆甲型号和乙型号玩具汽车的单价； (2)某人想在该店购买甲、乙两种型号的玩具汽车共6辆，花费不少于130元，且不超过140元，则有哪几种购买方案？ 17．今年4月23日是第29个世界读书日．育才中学举办了“阅读伴成长，书香满校园”主题活动．学校图书馆准备订购一批鲁迅文集（套）和四大名著（套）． (1)采购员从市场上了解到四大名著（套）的单价比鲁迅文集（套）的单价贵25元．花费3000元购买鲁迅文集（套）的数量与花费4500元购买四大名著（套）的数量相同．求鲁迅文集（套）和四大名著（套）的单价各是多少元？ (2)若该校图书馆计划购买鲁迅文集和四大名著共30套，其中四大名著（套）的购买数量比鲁迅文集（套）的购买数量至少多4套，并且总费用不超过1960元，问该校图书馆有哪几种购买方案？ 18．生活常识告诉我们：糖水里再添加糖，在糖完全溶解的情况下，糖水会变的更甜．我们把含糖的质量与糖水质量的比值称之为甜度，甜度越大糖水越甜．小观现在有一杯质量为100克的糖水，其中含有a克糖（）；他试了一下感觉不够甜，又向其中添加了10克糖，并搅拌至完全溶解． (1)原来的甜度为 ，加糖后的甜度为 ． (2)根据加糖前后的甜度，请你利用不等式的基本性质证明加糖后确实变甜了． (3)要使糖水口感好，又比较健康，甜度应不低于，又不超过．如果上述操作后甜度符合要求，那么a应该在什么范围？ 19．某商场筹集资金万元，一次性购进空调、彩电共台．根据市场需要，这些空调、彩电可以全部销售，全部销售后利润不少于万元，其中空调、彩电的进价和售价见表格． 空调 彩电 进价(元/台) 售价(元/台) 设商场计划购进空调x台，空调和彩电全部销售后商场获得的利润为y元． (1)试写出y与x的函数关系式； (2)商场有哪几种进货方案可供选择？ (3)最大利润为多少？ 20．如图1是一架自制天平，支点O固定不变，左侧托盘固定在点A处，右侧托盘的点P可以在横梁段滑动．已知，，根据杠杆原理，平衡时：左盘物体质量右盘物体质量（托盘与横梁的质量不计）．小慧在存钱罐里存了若干个1元硬币（只有1元硬币），她想利用这个自制天平估计存钱罐里一元硬币的数量．进行了如下操作： (1)测量一个硬币的质量：如图1，在天平左侧托盘放置一个砝码，右侧托盘放入10个相同的1元硬币，调整点P的位置，发现当时，天平平衡，则测得每个1元硬币的质量为 g； (2)估算硬币的数量：已知空的存钱罐的质量约为，将装了若干个1元硬币的存钱罐放在左侧托盘，右侧托盘放入砝码，调整点P的位置，发现当时，天平向左侧倾斜（如图2），当时，天平向右侧倾斜（如图3），请你帮小慧算一下存钱罐里大约有几个1元硬币？ 参考答案 1．（1）解：设这两年新能源汽车销售量年平均增长率为x，由题意得， ， 解得：（不合题意舍去） 答：2022—2024年这两年新能源汽车销量的平均增长率为． （2）解：若增长率保持不变为，估计到2025年全国新能源汽车的销量万辆， 答：估计到2025年全国新能源汽车的销量万辆． 2．（1）解：设苗圃园垂直于墙的一边长为，则矩形的长，依题意，得：， ，， ， ． （2）解：当时，得， 故， 解得：，， ， ． 答：花园面积是，此时x的长为12米． （3）解：当时，，， ， 故方程无实数根， 苗圃园的面积不能否达到． 根据题意，得， 故当时，． 3．（1）解：设乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元，则甲每合格完成米桥梁施工成本为万元， ∴，解得，， ∴甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元． （2）解：由（1）可知，甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元， ∴实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，则甲每合格完成米实际成本为万元，且每天多挖，则甲每天实际完成量为米，乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，则乙每合格完成米实际成本为万元，且每天多挖米，则乙每天实际完成量为米，终每天实际总成本比计划多万元，则最中每天的实际总成本为万元， ∴，整理得，，解得，，（不符合题意，舍去）， ∴的值为． 4．（1）解：做成有盖长方体纸盒的裁剪方式是图2， 故答案为：图2． （2）解：∵图1中裁去的小正方形边长为， ∴底面长方形的长为，宽为， ∴做成的纸盒的底面积是， 故答案为：． （3）解：设剪去的小正方形的边长为， 由题意得：， 解得：或， 当时，，不符合题意，舍去， ∴， 答：剪去的小正方形的边长为． 5．（1）解：设每年接待游客人数的增长率为， 可列方程：，解得（舍去） 答：平均增长率为． （2）解：设此次参赛一共有个球队， 可列方程：，解得，（舍去） 答：此次参赛一共有8个球队． 6．（1）解：设与之间的函数关系式为， 将点和代入得：， 解得， 所以与之间的函数关系式为． （2）解：设销售单价为元，则每天的销售量为件， 由题意得：， 解得或， ∵该文具购进的价格是每件10元，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元， ∴， ∴， 答：销售单价为18元． （3）解：设该超市每天销售这种文具的利润为元， 由题意得： ， ∵该文具购进的价格是每件10元，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元， ∴， 又∵二次函数的对称轴为直线，且， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为， 答：该超市要使每天销售这种文具的利润最大，销售单价应为19元，最大利润是198元． 7．（1）解；设第二队的登山速度为x千米/小时，则第一队的登山速度为千米/小时， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， ∴第一队的登山速度为3千米/小时， 第二队的登山速度为千米/小时； （2）解：小明从山路登山直至山顶共用m分钟， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：小明从山路登山直至山顶共用60分钟． 8．（1）解：由题意：， 故答案为． （2）解：由题意得：， 解得：，． 或2时，； （3）解：存在秒，能够使得五边形的面积等于． 理由如下：长方形的面积是：， 五边形的面积， ， 即， 解得：（不合题意舍去），． 即当秒时，使得五边形的面积等于． （4）解：由题意得， ， 当时，的面积最大． 9．（1）解：设购买A种绿色植物x棵，则购买B种绿色植物棵， 依题意得：， 解得：， 又为正整数， 的最大值为37， 答：社团最多购买A种绿色植物37棵； （2）依题意得：， 解得：， 又，且x为正整数， 可以为35，36，37， ∴百草园社团共有3种购买绿色植物的方案， 方案1：购买A种绿色植物35棵，B种绿色植物15棵； 方案2：购买A种绿色植物36棵，B种绿色植物14棵； 方案3：购买A种绿色植物37棵，B种绿色植物13棵， 选择方案1时，种植绿色植物的占地面积为， 选择方案2时，种植绿色植物的占地面积为， 选择方案3时，种植绿色植物的占地面积为， ， ∴方案3的占地面积最少． 10．（1）解：设李老板购进香梨千克，则李老板购进苹果为千克， 根据题意得， 解方程得， 购进香梨60千克，购进苹果千克； （2）解：设苹果的日销售量是千克，则香梨的日销售量是千克，根据题意，得 解不等式，得： 答：每天卖出的苹果至少是36千克； （3）设苹果打折销售， 苹果的总利润为：， 解不等式得：， 答：最低可以打8折． 11．（1）解：设甲种食材和乙种食材的单价分别为元和元． 依题意，得，解得：． 答：甲种食材和乙种食材的单价分别为38元和30元． （2）解：设购买甲种食材，则购买乙种食材． 依题意，得，解得， 最大取15． 答：甲种食材至多可以购买． 12．（1）解：设购买1台乙种收割机需要万元，则购买1台甲种收割机需要万元． 由题意，得， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． ∴． 答：购买1台甲种收割机需要6万元，1台乙种收割机需要5万元； （2）设购买台甲种收割机，则购买台乙种收割机，购买费用为万元． ∵购买的乙种收割机不超过甲种收割机的2倍， ∴， 解得． 由题意，得． ∵， ∴随的增大而增大． ∴当时，取得最小值，最小值为． 此时． 答：当购买甲种收割机10台，乙种收割机20台时，购买费用最低，最低费用为160万元 13．（1）解：设A款的进货单价是元，则B款的进货单价是元， 根据题意，可得， 解得， 经检验，是该方程的解， ∴， 答：A款的进货单价是10元，则B款的进货单价是15元； （2）解：设购进B款个，则购进A款个， 又A款的数量不小于B款的一半， ， 解得：， 设总利润为，则， ， ∴随的增大而增大， 当取得最大整数解50时，取得最大值，最大值为， 此时，则， 答：购进A款25个，购进B款50个时，获得的总利润最高，最高为300元． 14．（1）解：设新建一个地上充电桩需万元，新建一个地下充电桩需万元，根据题意， ，解得 答：新建一个地上充电桩需0.2万元，新建一个地下充电桩需0.4万元. （2）解：设新建地上充电桩个，则地下充电桩个 根据题意，得 解得． 整数a的值为7，8，9，10 一共有4种方案，分别为：①新建地上充电梼7个，则地下充电桩3个； ②新建地上充电㭫8个，则地下充电桩2个； ③新建地上充电桩9个，则地下充电桩1个； ④新建地上充电桩10个，则地下充电桩0个． （3）解：方案①需要的资金为万元 方案②需要的资金为万元 方案③需要的资金为万元 方案④需要的资金为万元. ， 方案④投资最少，最少投资金额为2万元． 15．解：设一盒饼干x元，则一袋牛奶为元，根据题意得： ， 解得：， ∵一盒饼干的价钱为整数元， ∴， （元）， 答：一盒饼干9元，则一袋牛奶为1.1元． 16．（1）解：设每辆甲型号和乙型号玩具汽车的单价分别为元，元． 根据题意得, 解得， 答：每辆甲型号和乙型号玩具汽车的单价分别是20元和24元； （2）解：设购买甲型号玩具汽车辆，则购买乙型号玩具汽车辆， 根据题意得， 解得． 为正整数， 取1、2、3． 答：共有三种购买方案，分别为甲型号1辆，乙型号5辆；甲型号2辆，乙型号4辆；甲型号3辆，乙型号3辆． 17．（1）解：设鲁迅文集（套）的单价为x元，则四大名著（套）的单价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是方程的解，且符合题意， ∴， 答：鲁迅文集（套）的单价是50元，四大名著（套）的单价是75元； （2）解：设购买鲁迅文集套，则购买四大名著套， 由题意得：， 解得：， ∵为正整数， ∴或13， 故该该校图书馆有两种购买方案：①购买鲁迅文集12套，四大名著18套；②购买鲁迅文集13套，四大名著17套． 18．（1）解：根据题意得：原来的甜度为，加糖后的甜度为； （2）解：加糖前的甜度为，加糖后的甜度为， ， ∵， ∴， ∴，即， ∴加糖后确实变甜了； （3）解：根据题意得：， 解得：， ∴a的取值范围为． 19．（1）解：设商场计划购进空调台，则计划购进彩电台， 由题意，得； （2）依题意，有 解得 为整数， ，， 即商场有三种方案可供选择： 方案：购空调台，购彩电台；   方案：购空调台，购彩电台； 方案：购空调台，购彩电台 （3），， 随的增大而增大，    即当时，有最大值， 最大元． 故选择方案：购空调台，购彩电台时，商场获利最大，最大利润是元 20．（1）解：设每个1元硬币的质量为，10个1元硬币的质量为， 由题意得， 解得， 答：每个1元硬币的质量为； 故答案为：6； （2）解：设存钱罐里有个1元硬币， 当时，由题意得， 解得， 当时，由题意得， 解得， ∴， ∵为正整数， ∴， 答：存钱罐里大约有个1元硬币． 学科网（北京）股份有限公司 $$