7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义（课件PPT）-【状元桥·优质课堂】2024-2025学年高中数学必修第二册（人教版2024）

复数 第七章 7.2　复数的四则运算 7.2.1　复数的加、减运算及其几何意义 返回目录 数学　必修 第二册 必备知识·基础落实 关键能力·素养提升 随堂检测·学以致用 课时作业·自测反思 必备知识·基础落实 要点一　复数加法与减法的运算法则 (a＋c)＋(b＋d)i (a－c)＋(b－d)i z2＋z1 z1＋(z2＋z3) 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 要点二　复数加、减法的几何意义 返回目录 数学　必修 第二册 |z2－z1| 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 探究一　复数的加、减法运算 关键能力·素养提升 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 探究二　复数加、减法运算的几何意义 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 19 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 探究三　复数的模的综合问题 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 随堂检测·学以致用 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 返回目录 数学　必修 第二册 课时作业·自测反思 返回目录 数学　必修 第二册 制 作 者：状元桥 适用对象：高中学生 制作软件：Powerpoint2010、 Photoshop cs3 运行环境：WindowsXP以上操作系统 [学习目标] 1.掌握复数代数表示式的加、减法的运算法则(重点).2.了解复数加、减运算的几何意义(重点).3.发展数学运算和数学抽象的核心素养． 1．复数的加法和减法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1＋z2＝________________，z1－z2＝________________. 2．对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝_________，(z1＋z2)＋z3＝____________. 思考：复数的加、减法可以推广到多个复数相加、减吗？ 提示　复数的加、减法可以推广到多个复数相加、减的情形．设复数z1＝a1＋b1i(a1，b1∈R)，z2＝a2＋b2i(a2，b2∈R)，…，zn＝an＋bni(an，bn∈R)，则z1±z2±…±zn＝(a1＋b1i)±(a2＋b2i)±…±(an＋bni)＝(a1±a2±…±an)＋(b1±b2±…±bn)i. 1．如图，设复数z1，z2对应的向量分别为，，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是_____，与z1－z2对应的向量是_____. 2．复平面内两点间的距离公式 公式d＝__________，其中z1，z2是复平面内的两点Z1和Z2所对应的复数，d为点Z1和Z2之间的距离． 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)两个虚数的和或差可能是实数．(　　) (2)在进行复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部．(　　) (3)关于复数的减法的结论(z1－z2)－z3＝z1－(z2＋z3)可能不成立．(　　) (4)复数z是实数的充要条件是z＝.(　　) 解析　(1)正确，复数的和或差可以是实数也可以是虚数． (2)正确，根据复数的加法法则知说法正确． (3)错误，关于复数的减法的结论(z1－z2)－z3＝z1－(z2＋z3)一定成立． (4)正确，设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝⇔a＋bi＝a－bi⇔b＝0⇔z是实数． 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 规律总结　 (1)设a＋bi与c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数． ①当b＝0，d＝0时，复数的加、减法法则与实数的加、减法法则一致； ②加法运算的交换律、结合律在复数集中仍成立； ③符合向量加法的平行四边形法则． (2)法则的记忆：可以类比合并同类项，两个复数相加(减)，就是实部与实部相加(减)，虚部与虚部相加(减)． 【例题1】 计算：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)； (2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]； (3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a，b∈R)． 解析　(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i) ＝(4－2i)－(5＋6i)＝－1－8i. (2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]＝5i－(4＋i)＝－4＋4i. (3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝(a－2a)＋[b－(－3b)－3]i＝－a＋(4b－3)i. 【变式1】 计算：(1)(3＋5i)＋(3－4i)； (2)(－1＋i)＋(1－i)； (3)3＋(4－5i)． 解析　(1)(3＋5i)＋(3－4i) ＝(3＋3)＋[5＋(－4)]i＝6＋i. (2)(－1＋i)＋(1－i) ＝(－1＋1)＋[＋(－)]i＝0. (3)3＋(4－5i)＝(3＋4)＋[0＋(－5)]i＝7－5i. 规律总结　 复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)分别对应复平面上的向量，，则有＝(a，b)，＝(c，d)．由平面向量的坐标运算，知＋＝(a＋c，b＋d)．这说明 两个向量与的和就是复数z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i对应的向量．因此复数的加法可以按照向量的加法来进行．这就是复数加法的几何意义．由平面向量的坐标运算，知－＝(a－c，b－d)．这说明两个向量与的差就是复数z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i对应的向量．因此复数的减法可以按照向量的减法来进行．这就是复数减法的几何意义． 【例题2】 已知复平面内平行四边形ABCD，点A对应的复数为2＋i，向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i. (1)求点C，D对应的复数； (2)求平行四边形ABCD的面积． 解析　(1)因为向量对应的复数为1＋2i，向量对应的复数为3－i，所以向量对应的复数为－＝(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.又＝＋，其中O为坐标原点，所以点C对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.因为＝，所以向量对应的复数为3－i，即＝(3，－1)．设D(x，y)，则＝(x－2，y－1)＝(3，－1)，即解得所以点D对应的复数为5. (2)由题意得＝(1,2)，＝(3，－1)． 因为·＝||||cos B， 所以cos B＝＝＝＝， 所以sin B＝， 所以S＝||||sin B＝××＝7， 所以平行四边形ABCD的面积为7. 【变式2】 已知复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i.它们在复平面上对应的点是一个正方形的三个顶点．求这个正方形的第四个顶点对应的复数． 解析　方法一　如图，设复数z1，z2，z3所对应的点为A，B，C，正方形的第四个顶点D对应的复数为x＋yi(x， y∈R)，于是＝－对应的复数为(x＋yi)－ (1＋2i)＝(x－1)＋(y－2)i，＝－对应的复 数为(－1－2i)－(－2＋i)＝1－3i. 因为＝，所以(x－1)＋(y－2)i＝1－3i， 所以解得 故点D对应的复数为2－i. 方法二　如图，设复数z1，z2，z3所对应的点为A，B，C，正方形的第四个顶点D对应的复数为x＋yi(x，y∈R)， 因为点A与点C关于原点对称， 所以原点O为正方形的中心，于是(－2＋i)＋(x＋yi)＝0， 所以x＝2，y＝－1，故点D对应的复数为2－i. 规律总结　 (1)与复数的模有关的问题常用的解题方法有三种：一是运用复数的定义求解，思路清晰；二是运用复数模的性质求解，解法简便；三是运用复数的几何意义及复数加、减法的几何意义求解，解法简便且不用计算． (2)在复平面内，复数z1，z2对应的点为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点．与复数的模有关的几个常见结论： ①四边形OACB为平行四边形； ②若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形； ③若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形； ④若|z1|＝|z2|，且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形． 【例题3】 (1)设z1，z2∈C，已知|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝，求|z1－z2|. (2)如果|z－4－3i|≤3，求|z|的取值范围． 解析　(1)方法一　设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，由题意得所以2ac＋2bd＝0， 所以|z1－z2|2＝|a＋bi－(c＋di)|2＝(a－c)2＋(b－d)2＝a2－2ac＋c2＋b2－2bd＋d2＝2，所以|z1－z2|＝. 方法二　在复平面内作出复数z1，z2对应的向量，， 因为|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝，所以，不共线， 以，为邻边作平行四边形OZ1ZZ2. 因为|z1|＝|z2|＝1，所以平行四边形OZ1ZZ2为菱形． 因为|z1|2＋|z2|2＝|z1＋z2|2， 所以∠ZZ1O＝90°. 所以平行四边形OZ1ZZ2为正方形，所以|z1－z2|＝. (2)易知|z－4－3i|≤3表示以(4,3)为圆心，3为半径的圆面，如图所示，|z|＝|OZ|，因为点O到圆心(4,3)的距离为＝5，所以当z所对应的点在上述圆面内变动时，2＝5－3＝|OZ2|≤|OZ|≤|OZ1|＝5＋3＝8，即2≤|z|≤8.所以|z|的取值范围是[2,8]． 【变式3】 (1)已知|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，求|z1＋z2|. (2)已知复数z的模为2，求|z－i|的最大值． 解析　(1)在复平面内分别作出复数z1，z2对应的向量，，易知，不共线，以，为邻边作平行四边形OZ1ZZ2.因为|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，所以平行四边形OZ1ZZ2是有一个内角为60° 的菱形，所以|z1＋z2|＝|OZ| ＝＝. (2)在复平面内，复数z对应的点的集合是以原点为圆心，2为半径的圆，i对应的点为C(0,1)．如图所示，|z－i|表示圆上各点到定点C的距离，由图易知点(0，－2)到该点的距离最大，最大值为3.所以|z－i|的最大值为3. 1．复数(1－i)－(2＋i)＋3i＝(　　) A．－1＋i B．1－i C．i D．－i 答案　A 解析　(1－i)－(2＋i)＋3i＝－1＋i.故选A项． 2．已知z1＝2＋i，z2＝1－2i，则复数z＝z2－z1在复平面内对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　C 解析　z＝z2－z1＝(1－2i)－(2＋i)＝－1－3i，故z在复平面内对应的点为(－1，－3)，位于第三象限．故选C项． 3．若|z－1|＝|z＋1|，则|z－1|的最小值是_______. 解析　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则|(a－1)＋bi|＝|(a＋1)＋bi|，所以＝，即a＝0，则z＝bi，b∈R，所以|z－1|min＝|bi－1|min＝，故当b＝0时，|z－1|取得最小值1. 答案　1 4．在复平面内，已知平行四边形OABC的三个顶点O，A，C对应的复数分别为0,2＋4i，3－3i. (1)求向量对应的复数； (2)求向量对应的复数； (3)求点B对应的复数． 解析　因为复平面内平行四边形OABC的三个顶点O，A，C对应的复数分别为0，2＋4i，3－3i，所以对应的复数为2＋4i，对应的复数为3－3i. (1)因为＝－，所以向量对应的复数为－(3－3i)＝－3＋3i. (2)因为＝－，所以向量对应的复数为(3－3i)－(2＋4i)＝1－7i. (3)因为＝＋，所以向量对应的复数为(2＋4i)＋(3－3i)＝5＋i，所以点B对应的复数为5＋i. $$