7.2.1复数的加、减运算及其几何意义课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦复数的四则运算，系统讲解加减乘除运算法则及几何意义，通过“问题-追问”链导入，以向量坐标和几何形式为支架，从加法法则构建到运算律探究，再类比引出减法定义及几何意义，搭建从已知到新知的学习脉络。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言，通过向量类比培养观察联系的数学眼光，问题链设计引导逻辑推理的数学思维，几何意义与代数运算结合强化数学语言表达。如模的最值问题结合几何意义解题，欧拉公式拓展数学文化，学生能夯实运算能力、培养直观想象，教师可依托清晰结构和多样题型提升教学效率。

复数的四则运算 第一课时 复数的加，减运算及其几何意义 人教A版必修第二册第七章 1.会复数的加法、减法的运算法则及其几何意义； 2.会求复数的乘法、除法，掌握复数是四则运算. 课时目标 1.复数的加法、减法 【问题1】同时用坐标和几何形式表示复数与所对应的向量，并计算，你有什么发现？ （1）复数的加法法则 设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数，那么z1+z2=(a+c)+(b+d)i. 【追问1】结合复数与向量之间联系，复数的加法满足哪些运算律？ （2）复数加法的运算律 对于任意，有 交换律：z1+z2= z2+z1 ; 结合律：(z1+z2) + z3 = z1+ ( z2+ z3). 1.复数的加法、减法 【追问2】类比向量加法的几何意义，复数加法的几何意义是什么？ （3）复数加法的几何意义 复数的加法可以按照向量的加法来进行（如右图），这就是复数加法的几何意义. 【追问3】结合复数与向量之间联系， 应该怎样定义复数的减法？ （4）复数的减法法则 设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数，那么z1+z2=(a c)+(b d)i. 【追问4】类比复数加法的几何意义，你能得出复数减法的几何意义吗？ （5）复数加法的几何意义 复数的减法可以按照向量的减法来进行（如右图），这就是复数减法的几何意义. 1.复数的加法、减法 1.复数的加法、减法 题型1.复数的加、减运算 【例1】（1）计算：（8－2i）－（－7＋5i）＋（3＋7i）； （2）设z1＝x＋2i，z2＝3－yi（x，y∈R），且z1＋z2＝5－6i， 求z1－z2. 【答案】（1）＝15＋3.（2）z1－z2＝－1＋10i. 复数加、减法运算的法则 （1）复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部； （2）复数的运算可以类比多项式的运算（类似于合并同类项）：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算. 题型2.复数加、减运算的几何意义 【例2】如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C对应的复数分别为0，3＋2i，－2＋4i.求：  （1）对应的复数； （2）对应的复数； （3）对应的复数及｜｜的长度. 【答案】（1）对应的复数为－3－2i. （2）对应的复数为5－2i. （3）对应的复数为1＋6i，所以｜｜＝＝. 复数与向量的对应关系的两个关注点 （1）复数z＝a＋bi（a，b∈R）与以原点为起点，Z（a，b）为终点的向量一一对应； （2）一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应的复数发生改变. 题型3.复数模的最值问题 【例3】（1）已知复数z满足｜z＋i｜＝｜z－i｜，则｜z＋1＋2i｜的最小值为（　　） A.1 B.2 C. D. （2）复数z满足｜z＋i｜＝1，且z＋＝2，则z＝　　　　　.  【答案】（1）B；（2）1－i. 【例3】（3）已知复数|z|＝1，则复数3＋4i＋z的模的最大值及最小值为_____. 【答案】6，4. ||z1|z2|| ≤|z1z2|≤|z1|＋|z2|. 两个复数差的模的几何意义 （1）｜z－z0｜表示复数z，z0的对应点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式； （2）｜z－z0｜＝r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆； （3）涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解. 题型3.复数模的最值问题 【思考】设z1，z2是任意两个复数，联系向量模长的不等式，复数的模有哪些性质？不等式||z1|－|z2|| ≤|z1 z2|≤|z1|＋|z2|等号成立的条件是什么？ 【复数的模的性质1】设z1，z2是任意两个复数，则 (1) ||z1|－|z2|| ≤|z1＋z2|≤|z1|＋|z2|，等号成立的条件是： ①当|z1＋z2|＝|z1|＋|z2|时，即z1，z2所对应的向量同向共线； ②当||z1|－|z2||＝|z1＋z2|时，即z1，z2所对应的向量反向共线. (2)||z1|－|z2||≤|z1－z2|≤|z1|＋|z2|，等号成立的条件是： ①当|z1－z2|＝|z1|＋|z2|时，即z1，z2所对应的向量反向共线； ②当||z1|－|z2||＝|z1－z2|时，即z1，z2所对应的向量同向共线. 题型3.复数模的最值问题 题型4.因式分解 【练习】分解因式： (1)x2＋2xy＋y2＋z2； (2)x4－81. 【例4】分别在有理数集、实数集、复数集中分解因式x4－25. 【练习1】计算： (1)2i－[3＋2i＋3(－1＋3i)]； (2)(a＋2bi)－(3a－4bi)－5i(a，b∈R)． (3)(2＋4i)＋(3－4i)； (4)(－3－4i)＋(2＋i)－(1－5i). (5)(1－2i)－(2－3i)＋(3－4i)－(4－5i)＋…＋(2011－2012i)－(2012－2013i). 课堂练习 【练习2】 (1)设z1，z2∈C，已知|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝，求|z1－z2|. (2)已知|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，求|z1＋z2|. 课堂练习 课堂练习 【练习3】已知复数z1＝1＋（10－a2）i，z2＝（2a－5）i（a＞0），＋z2∈R. （1）求实数a的值； （2）若z∈C，｜z－z2｜＝2，求｜z｜的取值范围. 【答案】（1）a＝3. （2）｜z｜的取值范围为[1，3]. 【练习4】著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小.”费马问题中所求的点称为费马点.已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当△ABC的三个内角均小于120°时，使得∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°的点P即费马点.根据以上材料，若z∈C，则｜z－2｜＋｜z＋2｜＋｜z＋2i｜的最小值为（　　） A.2－2 B.2＋2 C.－1 D.＋1 【答案】B. 课堂练习 作业布置 1. 教材P80，习题 第1，2题（做在作业本上）； 2. 三维设计：课时训练. 复数的四则运算 第二课时 复数的乘、除运算 人教A版必修第二册第七章 【问题1】设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 则z1·z2 还是一个复数吗？若是，其实部和虚部分别是什么？ 1.复数乘法、除法 1.复数的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. 【追问1】复数的乘法是否满足交换律、结合律？乘法对加法满足分配律吗？ 2.复数乘法、除法 2.复数乘法的运算律 对任意复数z1、z2、z3∈C，有: 交换律：z1·z2＝z2·z1 ； 结合律： (z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3) ； 乘法对加法的分配律：z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3. 【追问2】若的共轭复数为，那么： (1)在复平面内， 与所对应的点有怎样的位置关系？ (2) 是一个怎样的数？ 2.复数乘法、除法 【结论】设z＝a＋bi，则 ＝ a－bi(a，b∈R)， 则＝(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2＝ 2. 【追问3】类比实数的除法是乘法的逆运算，我们规定复数的除法是乘法的逆运算，试探求复数除法的法则. 2.复数乘法、除法 思考 【追问4】设z1，z2是任意两个复数，联系向量数量积与模长的关系，复数的模还有哪些性质？ 【例1】计算： (1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)； (2)(3＋4i)(3－4i)； (3)(1＋i)2. 题型1.复数乘法 复数的乘法运算法则的应用 （1）复数的乘法运算可以把i看作字母，类比多项式的乘法进行，注意要把i2化为－1，进行最后结果的化简； （2）对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更简便.例如平方差公式、完全平方公式等. 【答案】（1） －20＋15i ；（2）25； （3）2i. 题型2.复数除法 1.两个复数代数形式的除法运算的步骤 （1）首先将除式写为分式； （2）再将分子、分母同乘以分母的共轭复数； （3）然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式. 2.常用公式 （1）＝－i；（2）＝i；（3）＝－i. 【例2】（1）已知z＝，i为虚数单位，则｜z｜＝（　　） A. B. C. D. （2）若复数z满足zi＝－1＋i（i为虚数单位），则z＝（　　） A.－1－i B.－1＋i C.1－i D.1＋i 【答案】　（1）C　（2）D 题型2.复数除法 题型3.幂值的周期性及应用 【例3】（1）复数z＝i2 023的模是（　　） A.i B.－1 C.0 D.1 （2）计算：1＋i＋i2＋i3＋…＋i100（i为虚数单位）的结果是　　　.  【答案】　（1）D　（2）1 利用i幂值的周期性解题的技巧 （1）熟记i的幂值的4个结果，当幂指数除以4所得的余数是0，1，2，3时，相应的幂值分别为1，i，－1，－i； （2）对于n∈N，有in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0. 题型4.在复数范围内解方程 【例4】在复数范围内解下列方程： （1）x2＋5＝0； （2）x2＋4x＋6＝0. 【答案】（1）x＝±i. （2）x＝－2±i. 　　在复数范围内，实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的求解方法 （1）求根公式法： ①当Δ≥0时，x＝； ②当Δ＜0时，x＝. （2）利用复数相等的定义求解： 设方程的根为x＝m＋ni（m，n∈R），代入方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），化简后利用复数相等的定义求解； （3）一元二次方程根与系数的关系仍成立，即x1＋x2＝－，x1x2＝. 题型5.共轭复数及应用 【答案】－6 － 4i. 题型6. 复数运算综合应用 【答案】1+ 3i, 1－ 3i, 3+ i, 3－ i. 题型7.欧拉公式 欧拉公式eix＝cos x＋isin x（x∈R，i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域推广到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”. 【例】（1）欧拉公式eiθ＝cos θ＋isin θ把自然对数的底数e、虚数单位i、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美.若复数z满足（eiπ＋i）·z＝i，则z的虚部为（　　） A.　　 　 B.－ C.1　　 　 D.－1 （2）（多选）欧拉公式exi＝cos x＋isin x（其中i为虚数单位，x∈R），依据欧拉公式，下列选项正确的是（　　） A.复数e2i对应的点位于第三象限 B.为纯虚数 C.复数的模等于 D.的共轭复数为－i 题型7.欧拉公式 【答案】　（1）B　（2）BC 课堂练习 课堂练习 课堂练习 【练习4】（2023·济南月考）欧拉公式eiθ＝cos θ＋isin θ（e＝2.718 28…），被誉为数学上优美的数学公式.已知＝＋i，则θ＝（　　） A.＋2kπ（k∈Z） B.＋2kπ（k∈Z） C.＋kπ（k∈Z） D.＋kπ（k∈Z） 【答案】B. 【练习5】（多选）公式eix＝cos x＋isin x（x∈R，i为虚数单位）在复变函数中有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，据此公式，则有（　　） A.eiπ＋1＝0 B.（＋i）2 022＝1 C.｜eix＋e－ix｜≤2 D.－2≤eix－e－ix≤2 【答案】ABC.　 课堂练习 作业布置 1. 教材P80，习题 第4，5，6，7，8题（做在作业本上）； 2. 三维设计：课时训练. 思考 【思考】设z1，z2是任意两个复数，联系向量模长的不等式，不等式||z1|－|z2|| ≤|z1 z2|≤|z1|＋|z2|等号成立的条件是什么？ 复数的加、减法法则及几何意义与运算律 z1，z2，z3∈C，设eq \o(oz1,\s\up12(→))，eq \o(oz2,\s\up12(→))分别与复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)相对应，且eq \o(oz1,\s\up12(→))，eq \o(oz2,\s\up12(→))不共线 加法 减法 运算法则 z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i 几何意义 复数的和z1＋z2与向量 eq \o(oz1,\s\up12(→))＋eq \o(oz2,\s\up12(→))＝eq \o(oz,\s\up12(→))的坐标对应 复数的差z1－z2与向量 eq \o(oz1,\s\up12(→))－eq \o(oz2,\s\up12(→))＝eq \o(z2z1,\s\up12(→))的坐标对应 运算律 交换律 z1＋z2＝z2＋z1 结合律 (z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3) 在有理数集中：x4－25＝(x2＋5)(x2－5). 在实数集中：x4－25＝(x2＋5)(x2－5)＝(x2＋5)(x＋eq \r(5))(x－eq \r(5)). 在复数集中：x4－25＝(x2＋5)(x2－5)＝(x2＋5)(x＋eq \r(5))(x－eq \r(5)) ＝(x＋eq \r(5)i)(x－eq \r(5)i)(x＋eq \r(5))(x－eq \r(5)). 【引例】若 ，求复数？ 3.复数的除法 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)， 则eq \f(z1,z2)＝eq \f(a＋bi,c＋di)＝eq \f(a＋bic－di,c＋dic－di)＝eq \f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq \f(bc－ad,c2＋d2)i. 【复数的模的性质2】设z1，z2是任意两个复数，则 (1)|z1·z2|＝|z1|·|z2|； (2)|zeq \o\al(n,)|＝|z|n(n∈N*)； (3)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(z1,z2)))＝eq \f(|z1|,|z2|)(|z2|≠0). 【例2】计算下列复数的值： ； ； ； . 【例5】若f(z)＝2z＋eq \x\to(z)－3i，f(eq \x\to(z)＋i)＝6－3i，求f(－z). 【例6】求同时满足下列两个条件的所有复数z： (1) 是实数，且 ； (2)z的实部和虚部都是整数. 【练习1】计算： (1)(1＋2i)÷(3－4i)； (2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))6＋eq \f(\r(2)＋\r(3)i,\r(3)－\r(2)i). (3)eq \f(1＋i3－1－i3,1＋i2－1－i2) 【练习2】已知z∈C，解方程z·eq \x\to(z)－3i·eq \x\to(z)＝1＋3i. 【练习3】(2017全国1)设有下列四个命题： (1)若复数Z满足 ，则 ； (2)若复数Z满足 ，则 ； (3)若复数Z1，Z2满足 ，则 ； (4)若复数 ，则 . 其中的真命题为( ) A.(1)(3) B.(1)(4) C.(2)(3) D.(2)(4) 【复数的模的性质】设z1，z2是任意两个复数，则 (1)|z1·z2|＝|z1|·|z2|，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(z1,z2)))＝eq \f(|z1|,|z2|)(|z2|≠0)(复数的乘、除法将在下节学习到). (2)|zeq \o\al(n,1)|＝|z1|n(n∈N*). (3)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(|z1|－|z2|))≤|z1＋z2|≤|z1|＋|z2|，等号成立的条件是： ①当|z1＋z2|＝|z1|＋|z2|时，即z1，z2所对应的向量同向共线； ②当||z1|－|z2||＝|z1＋z2|时，即z1，z2所对应的向量反向共线. (4)||z1|－|z2||≤|z1－z2|≤|z1|＋|z2|，等号成立的条件是： ①当|z1－z2|＝|z1|＋|z2|时，即z1，z2所对应的向量反向共线； ②当||z1|－|z2||＝|z1－z2|时，即z1，z2所对应的向量同向共线. $