精品解析：湖南省湘西土家族苗族自治州吉首市第一中学2024-2025学年高一下学期第一次月考（3月）数学试题

2025年高一数学第一次月考卷 分值：150分 时量：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用交集运算，即可得结果. 【详解】由， 故选：C. 2. 已知实数，且，则的最小值为（ ） A. B. C. 8 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】利用“1”的代换，由基本不等式求最小值． 【详解】由，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为8. 故选：C. 3. 下列说法正确的是（    ） A. 若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 B. 两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C. 若，，则 D. 向量与向量的长度相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题可根据单位向量、平行向量、相等向量等向量的基本概念，对每个选项逐一进行分析判断. 【详解】单位向量是指模等于的向量.若两个单位向量平行，它们的方向可能相同或相反.当方向相反时，这两个单位向量并不相等.所以A选项错误.  两个有共同起点且长度相等的向量，它们的方向不一定相同.向量由大小和方向共同决定，方向不同时，终点也不同.比如，以原点为起点，长度都为的向量，一个沿轴正方向，一个沿轴正方向，它们的终点显然不同.所以B选项错误.  当时，对于任意向量和，都有且，但与不一定平行.因为零向量与任意向量都平行.所以C选项错误.  向量与向量是方向相反的向量，但它们的长度是相等的，因为向量的长度只与向量的大小有关，与方向无关.所以D选项正确.  故选：D. 4. 在中，点是的中点，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判断三角形为直角三角形，根据投影向量的定义，即可求得答案. 【详解】由题意知在中，点是的中点，且， 故， 则在上的投影向量为 . 故选：C 5. 已知向量，满足，则（ ） A. 0 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把两边同时平方，结合向量的模长可得结果. 【详解】由得，， ∵，∴，即. 故选：B. 6. 已知函数是定义在上的奇函数，且，且当时，，则（ ） A. B. 0 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得函数关于点对称，再结合条件可得函数是周期为的周期函数，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数， 所以，即， 即函数关于点对称，所以， 又因为，则函数关于直线对称， 即， 所以，令，则， ，即，所以， 即，函数是周期为的周期函数， 又当时，， 则，， 则，，， 则 . 故选：B 7. 已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的( ) （注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角形的垂心） A. 重心外心垂心 B. 重心外心内心 C. 外心重心垂心 D. 外心重心内心 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：因为，所以到定点的距离相等，所以为的外心，由，则，取的中点，则，所以，所以是的重心；由，得，即，所以，同理，所以点为的垂心，故选C. 考点：向量在几何中的应用. 8. 已知函数在上有且仅有三个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，利用函数的零点个数，转化为方程的根的个数，利用三角函数的有界性，转化求解即可． 【详解】因为， 故可得， 由，故可得， 令，可得， 则或或或，， 因为在上有且仅有三个解， ，解得． 故选：D. 【点睛】本题考查函数的零点的判断三角函数的图象与形状的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各组向量中，不可以作为基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】平面内两个不共线的非零向量构成一组基底，判断每个选项的向量是否共线即可得到答案. 【详解】A选项：零向量和任意向量都共线，不能作一组基底； B选项：，两向量不共线，可以作为一组基底； C选项：，两向量共线，不能作为一组基底； D选项：，两向量共线，不能作为一组基底. 故选：ACD. 10. 下列命题中，正确的有（ ） A. 在中，“”是“”的充要条件 B. 指数函数，且与对数函数，且互为反函数 C. 非零向量，则向量在向量上的投影向量为 D. 函数的单调递减区间为 【答案】BC 【解析】 【分析】举例可判断A；根据反函数定义判断B；根据投影向量定义判断C；根据函数的单调性区间判断D. 【详解】对于A，在中，，则A可取，此时，不成立， 故“”不是“”的充要条件，A错误； 对于B，指数函数，且与对数函数，且互为反函数，B正确； 对于C，非零向量，则向量在向量上的投影向量为，正确； 对于D，函数的单调递减区间为，两区间之间不能用并集符号，故D错误， 故选：BC 11. 已知函数，且时，，则（    ） A. B. C. 的取值范围为 D. 函数的最小值、最大值分别为1， 【答案】ACD 【解析】 【分析】作出函数的图象，得出范围判断A；由，求得，判断B；，，从而判定C；设，换元计算二次函数值域判断D． 【详解】作出函数的图象， 由图可知，若， 则，A正确； ∵，可得，∴，可得，B错误； 依题意，，得， 则，且当接近时，接近，接近4， 此时，且当接近时，无限增大，∴趋于负无穷， 则的取值范围为，C正确； 函数，，设，则， 则，，∴函数的值域为，D正确． 故选:ACD． 【点睛】关键点点睛：解题关键点是对函数图象的应用，数形结合分别计算范围，从而求范围． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数是偶函数，则不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数的定义，结合是偶函数，可得，再根据单调性解不等式即可. 【详解】幂函数是偶函数， ，解得或， 当时，为奇函数，不符合题意， 当时，为偶函数，符合题意， ,在内单调递增，且为偶函数， 可化为， 两边取平方可得：， 整理的，解得， 的解集为. 故答案为：. 13. 在中，点O为BC的中点，过O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N若，则的值为________ 【答案】2 【解析】 【详解】试题分析：三点共线时，以任意点为起点，这三点为终点的三向量，其中一向量可用另外两向量线性表示，其系数和为一． ∵M、O、N三点共线， 考点：平行向量与共线向量． 14. 在锐角中，内角、、的对边分别为、、，已知，，点是线段的中点，则线段长的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由余弦定理可得出，由已知可得，结合平面向量数量积的运算性质可得出，利用正弦定理结合三角恒等变换化简得出，求出角的取值范围，利用正弦型函数的基本性质可求得线段长的取值范围. 【详解】在中，由余弦定理可得． 由平面向量数量积的定义可得， 在锐角中，点是线段的中点，则， 所以 ． 由及正弦定理，得，， 所以 ． 因为为锐角三角形，且，则，解得， 则，所以， 所以，所以． 所以线段的长的取值范围为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知平面直角坐标系中，点为原点，，． （1）求的坐标及； （2）若，，求及的坐标； （3）求． 【答案】（1） （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）先求得，再根据向量模的坐标公式即可求解； （2）根据向量线性运算的坐标表示，即可求解； （3）根据数量积的坐标表示即可求解. 【小问1详解】 ，. 【小问2详解】 ， . 【小问3详解】 ,. 16. 如图，，分别是矩形的边和的中点，与交于点N. （1）设，，试用，表示； （2）若，，H是线段上的一动点，求的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）引入，重新整理得出和这组基底的关系； （2）以A为原点，AB，AD分别为x， y轴，建立平面坐标系，借助的方程，化为关于的表达式，从而利用二次函数性质求最值. 小问1详解】 取AC的中点O，连OE，OF则， 因为， 所以. 【小问2详解】 以A为原点，AB，AD分别为x， y轴，建立直角坐标系， 则，，，， 直线的方程为：， 设， 则，， 所以， 当时等号成立. 17. 如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从点A测得点M的仰角，点C的仰角，以及.从点C测得，已知山高. （1）求两点AC间的长度； （2）求山MN的高度. 【答案】（1） （2）200 【解析】 【分析】（1）解直角三角形即可求得答案； （2）应用正弦定理求出,再结合直角三角形即可求； 小问1详解】 在中，因为，，， 所以， 【小问2详解】 在中，因为，，可得， 因为，所以， 在直角中，可得. 18. 在中，角所对的边分别为，已知． （1）求角的大小； （2）若，，求的面积； （3）若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式得到，即可得解； （2）利用余弦定理求出，再由面积公式计算可得； （3）利用正弦定理将转化为关于的三角函数，结合三角形为锐角三角形求出的范围，即可求出的取值范围. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得， ∴， ∵，则，∴，又，∴； 【小问2详解】 因为，， 由余弦定理，即， ∴，解得， ∴； 【小问3详解】 在中，由正弦定理， ∴， ∴ ， 又为锐角三角形，∴， ∴，∴， ∴，∴，∴， 故周长的取值范围为 19. 已知函数. （1）求不等式的解集； （2）设函数，若存在，使得成立，求实数的取值范围； （3）已知函数在区间上单调递减.试判断：是否恒成立？请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）恒成立，理由见解析 【解析】 【分析】（1）先判断定义域，然后根据对数的运算以及对数函数的单调性可求得结果； （2）先分别求出两个函数的值域，根据函数值相等可得到结果； （3）根据解析式得到的表达式，根据对数的运算进行化简，可得到不等关系. 【小问1详解】 由得， 又，即，所以， 解得，即不等式的解集为； 【小问2详解】 当时，单调递减，又为增函数， 所以函数在区间上单调递减， 又时，，所以的值域为， 因为在区间上单调递减，所以的值域为. 若存在，使得成立，只需，即， 所以实数的取值范围是； 【小问3详解】 恒成立，理由如下： 因为， 所以 ， 因为在区间上单调递减， 所以当时，，所以， 即，即， 所以， 即恒成立 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高一数学第一次月考卷 分值：150分 时量：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知实数，且，则最小值为（ ） A. B. C. 8 D. 12 3. 下列说法正确的是（    ） A. 若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 B. 两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C. 若，，则 D. 向量与向量的长度相等 4. 在中，点是的中点，且，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，满足，则（ ） A. 0 B. 2 C. D. 6. 已知函数是定义在上的奇函数，且，且当时，，则（ ） A. B. 0 C. 2 D. 7. 已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的( ) （注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角形的垂心） A. 重心外心垂心 B. 重心外心内心 C. 外心重心垂心 D. 外心重心内心 8. 已知函数在上有且仅有三个零点，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各组向量中，不可以作为基底的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题中，正确的有（ ） A. 在中，“”是“”的充要条件 B. 指数函数，且与对数函数，且互为反函数 C. 非零向量，则向量在向量上投影向量为 D. 函数的单调递减区间为 11. 已知函数，且时，，则（    ） A. B. C. 的取值范围为 D. 函数的最小值、最大值分别为1， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数是偶函数，则不等式解集为________． 13. 在中，点O为BC的中点，过O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N若，则的值为________ 14. 在锐角中，内角、、的对边分别为、、，已知，，点是线段的中点，则线段长的取值范围为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知平面直角坐标系中，点为原点，，． （1）求的坐标及； （2）若，，求及坐标； （3）求． 16. 如图，，分别是矩形的边和的中点，与交于点N. （1）设，，试用，表示； （2）若，，H是线段上的一动点，求的最大值. 17. 如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从点A测得点M的仰角，点C的仰角，以及.从点C测得，已知山高. （1）求两点AC间的长度； （2）求山MN的高度. 18. 在中，角所对的边分别为，已知． （1）求角的大小； （2）若，，求的面积； （3）若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围． 19. 已知函数. （1）求不等式的解集； （2）设函数，若存在，使得成立，求实数的取值范围； （3）已知函数在区间上单调递减.试判断：是否恒成立？请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$