精品解析：天津市第五十五中学2024-2025学年高一下学期3月检测数学试卷

五十五中学2024-2025学年度下学期 高一数学3月检测卷 一、单选题（共 27 分，每小题 3分） 1. 下列命题错误的是（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. 若与都是单位向量，则 C. 若，都为非零向量，则使成立的条件是与反向共线 D. 若，，则 2. 已知向量，是平面上两个不共线的单位向量，且，，，则（ ） A. 、、三点共线 B. 、、三点共线 C. 、、三点共线 D. 、、三点共线 3. 下列等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量 ，， ，则与的夹角为（ ） A B. C. D. 6. 我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设三个内角所对的边分别为，面积为，则 “三斜求积”公式为.若， 则用“三斜求积”公式求得的面积为（ ） A. B. C. 3 D. 7. 在中，角对边分别为，若，则（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 8. 菱形边长为，，点在边上（包含端点），则的最小值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，为上一点，且，若，则值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共24分，每小题4分） 10. 已知向量，，若，则________． 11. 已知的面积是，，则角________． 12. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则的外接圆的半径为____________. 13. 如图，某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为45°，沿倾斜角为30°的斜坡前进2千米后到达D处，又测得山顶B的仰角为75°，则山的高度BC为___________千米. 14. 如图，AB为半圆的直径，点C为的中点，点M为线段AB上的一动点（含端点A，B）．若，则的取值范围是__________． 15. 在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E. 且交AC于点F，则的最小值为______. 三、解答题 16. 已知向量，． （1）求的坐标及； （2）若与共线，求实数的值． 17. 已知在中，，. （1）求大小 （2）若AB边上的高等于1，求的面积. 18. 已知，，，. （1）当时，求实数x的值； （2）当取最小值时，求向量与的夹角的余弦值. 19. 在中，角所对的边分别是．已知． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 20. 在中，角的对边分别为，已知． （1）求角的大小； （2）若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围； （3）若，且外接圆半径为2，圆心为为上的一动点，试求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 五十五中学2024-2025学年度下学期 高一数学3月检测卷 一、单选题（共 27 分，每小题 3分） 1. 下列命题错误的是（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. 若与都是单位向量，则 C. 若，都为非零向量，则使成立的条件是与反向共线 D. 若，，则 【答案】B 【解析】 【分析】由相等向量的概念判断选项A即可；由单位向量与零向量，共线向量的概念即可判断选项B，C；由相等向量的传递性即可判断选项D. 【详解】对于A，若，则，反之若，则可能不等， 故“”是“”的必要不充分条件，故A正确； 对于B，若与都是单位向量，则，不一定有，故B错误； 对于C，若，都为非零向量，且，所以， 则与反向共线，故C正确； 对于D，，，则，故D正确； 故选：B 2. 已知向量，是平面上两个不共线的单位向量，且，，，则（ ） A. 、、三点共线 B. 、、三点共线 C. 、、三点共线 D. 、、三点共线 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量共线则判断即可. 【详解】对A，因为，，不存在实数使得，故、、三点不共线，故A错误； 对B，因为，，不存在实数使得，故、、三点不共线，故B错误； 对C，因为，，则，故、、三点共线，故C正确； 对D，因为，，不存在实数使得，故、、三点不共线，故D错误. 故选：C 3. 下列等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】AB选项，利用向量的加减运算法则得到答案；C选项，举出反例；D选项，利用向量数量积运算法则得到D正确. 【详解】A选项，，A错误； B选项，，B错误； C选项，不妨设， 则， ， 故，C错误. D选项，由数量积的运算法则得到，D正确. 故选：D 4. 已知，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量在向量上的投影公式进行计算即可. 【详解】因为向量在向量上的投影向量为：， 故选：C. 5. 已知向量 ，， ，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的坐标表示可得，结合向量夹角的范围及，即可求解. 【详解】，，，， . ，， ，. 故选：A. 6. 我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设三个内角所对的边分别为，面积为，则 “三斜求积”公式为.若， 则用“三斜求积”公式求得的面积为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 分析】根据题意，结合正弦定理，分别求出和，代入公式即可求解. 【详解】根据题意，由，结合正弦定理得，即， 因为，所以， 故. 故选：B 7. 在中，角的对边分别为，若，则（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 分析】利用余弦定理结合整体代入思想求解即可. 【详解】因为，所以，而， 在中，，所以，故， 由余弦定理得，代入得， ，故， 故，故B正确. 故选：B 8. 菱形的边长为，，点在边上（包含端点），则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，以为原点，、所在直线为、轴建立直角坐标系，，其中，利用平面向量数量积的坐标运算可得出关于的二次函数关系式，利用二次函数的基本性质可求得的最小值. 【详解】如图：设，因为四边形为菱形，则， 以为原点，、所在直线为、轴建立直角坐标系， 易得，、、， 设，，其中， 则，所以，， ，，， 则， 所以，当时，取最小值． 故选：C. 9. 如图，在中，，为上一点，且，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合题意可知三点共线，进而得到，利用向量基本定理表示出,进而表示出计算即可. 【详解】因为，所以 所以， 因为，所以， 即， 因为三点共线，所以，解得， 所以， 而, 所以, 即. 故选：D. 二、填空题（共24分，每小题4分） 10. 已知向量，，若，则________． 【答案】##-1.5 【解析】 【分析】由向量平行的坐标表示进行计算． 【详解】由题意，． 故答案为： 11. 已知的面积是，，则角________． 【答案】 【解析】 【分析】分别表示出正弦面积公式和向量数量积公式，作比化简即可求解 【详解】由题意得，①，又②．得，，所以，因为，所以． 故答案为： 12. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则的外接圆的半径为____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理的边角互化以及三角形的内角和性质求出，得出，再由正弦定理即可求解. 【详解】由 可得， 即， 所以， 所以， 因为，所以， 所以， 即，因为， 所以， 所以，即. 故答案为： 13. 如图，某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为45°，沿倾斜角为30°的斜坡前进2千米后到达D处，又测得山顶B的仰角为75°，则山的高度BC为___________千米. 【答案】2 【解析】 【分析】根据条件可得，，，然后利用正弦定理即可求出的长度，从而可求出的长 【详解】解：作,垂足为，如图所示： 由题意得，， 所以，，，且， 在中，由正弦定理得，即， ，解得， 所以， 故答案为：2 14. 如图，AB为半圆的直径，点C为的中点，点M为线段AB上的一动点（含端点A，B）．若，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由圆的性质得到，，然后根据数量积的性质得到，最后根据的范围计算即可. 【详解】因为点C为的中点，，所以，， 所以 ． 因为点M为线段AB上的一动点（含端点），所以， 所以，所以的取值范围是． 故答案为：. 15. 在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E. 且交AC于点F，则的最小值为______. 【答案】##0.55 【解析】 【分析】先设出线段再根据相似和勾股定理求出其他线段的长，然后把用表示即可用表示得值，最后结合二次函数的性质即可求最小值. 【详解】设，取的中点连接，易知， 易知，则，， 同理，， 因为所以，又因为，所以， 所以 又因为， 所以 当时有最小值. 故答案为： 三、解答题 16. 已知向量，． （1）求的坐标及； （2）若与共线，求实数值． 【答案】（1） （2）1或 【解析】 【分析】（1）由向量坐标的线性运算以及模的坐标公式即可得解. （2）由向量平行的充要条件列出方程即可得解. 【小问1详解】 由题意，，所以， 所以. 【小问2详解】 由题意与平行， 所以当且仅当，化简得， 解得，即实数的值为1或-1. 17. 已知在中，，. （1）求的大小 （2）若AB边上的高等于1，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理得到，得到； （2）作出辅助线，结合（1）求出各边长，利用三角形面积公式得到答案. 【小问1详解】 ， 又，故； 【小问2详解】 ，故， 过点作⊥于点，AB边上的高等于1，故， 故， 由（1）知，，所以， 所以， 所以. 18. 已知，，，. （1）当时，求实数x的值； （2）当取最小值时，求向量与的夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）转化为，利用向量数量积的运算律求解即可； （2）转化，利用向量数量积的运算律展开求解最大值，可得，即，用数量积表示向量夹角的余弦，求解即可 【小问1详解】 ， ， 解得. 小问2详解】 . 当时，有最小值1，即有最小值1. 此时， ， 设向量与的夹角为， 则. 19. 在中，角所对的边分别是．已知． （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理即可解出； （2）根据余弦定理即可解出； （3）由正弦定理求出，再由平方关系求出，即可由两角差的正弦公式求出． 【小问1详解】 由正弦定理可得，，即，解得：； 【小问2详解】 由余弦定理可得，，即， 解得：或（舍去）． 【小问3详解】 由正弦定理可得，，即，解得：，而， 所以都为锐角，因此，， ． 20. 在中，角的对边分别为，已知． （1）求角的大小； （2）若，且为锐角三角形，求的周长的取值范围； （3）若，且外接圆半径为2，圆心为为上的一动点，试求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接利用正余弦定理即可求解； （2）利用正弦定理将周长转化为关于角的三角函数，利用三角函数的值域即可求解； （3）易得三角形为等边三角形，取中点，可得，由为上的一动点，可得，进而可求的取值范围. 【小问1详解】 依题意， 由正弦定理，， 由 可得， 由余弦定理， 则，则， 因为，所以； 【小问2详解】 由为锐角三角形，，可得， 由正弦定理，则， 则， 则的周长为， 由，则，因为，整理得： ，解得或（舍去）， 所以，则周长范围是； 【小问3详解】 由正弦定理，则，则， 由，可得，则， 则三角形为等边三角形，取中点，如图所示： 则 ， 由，则，则． 【点睛】方法点睛：（1）利用正余弦定理可进行边角互换用以化简条件；（2）涉及三角形周长与面积的最值问题，可将问题转化为基本不等式或三角函数来求最值；（3）外接圆动点范围问题，可转化为动点到某个定点的距离问题，结合几何图形性质分析得出范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$