方法突破10 配速法：配出简单运动 讲义 -2025届高考物理二轮复习备考

2025届物理总复习·二轮·方法突破 方法10 配速法：配出简单运动 目 录 （一）带电粒子的复杂运动 1．从轮摆线（滚轮线）说起 2．带电粒子在复合场中的复杂运动 （二）配速法解读 1．带电粒子运动，较易定量分析的六种类型 2．分析带电粒子复杂运动行之有效的方法——配速法 3．配速法的两种操作方法（添速法与分解法） 4．配速法的本质要点——配速配力配运动 （1）配速法的本质 （2）配速法的适用情况 （3）配速法的思维顺序 ①先配运动 ②再配力 ③最后配速度 5．配速法的操作过程 （三）摆线运动规律 1．最大速度与最小速度 2．最高点与最低点的高度差 3．受力与运动特点 规律总结 4．同一高度的速度特点 5．交点条件及回归时间 6．摆线运动另外两种轨迹 （四）配速法解题示范 【作业】 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届物理总复习·二轮·方法突破 方法10 配速法：配出简单运动 ( c O a b O a b c )（一）带电粒子的复杂运动 1．从轮摆线（滚轮线）说起 一个圆轮贴着一条平直轨道做无滑滚动， 圆轮上及圆轮外各点可能做比较复杂的曲线 运动。 考察这些点的运动时，我们可以将各个 点的运动看成由两个运动组成： 一个是随圆轮圆心水平方向的匀速直线 运动； 另一个是绕圆心的匀速圆周运动。 各点的运动轨迹如右所示，这样的曲线 轨迹一般称为摆线。 2．带电粒子在复合场中的复杂运动 带电粒子在磁场、电场及重力场等复合场中运动时，由于所受洛伦兹的大小、方向与速度的大小、方向有关，当带电粒子做变速曲线运动时，洛伦兹力发生复杂的变化，粒子也就做复杂的曲线运动。 在这种情况下，用常规数学物理方法已经难于分析处理。 先看几例： 【例1】（2022年全国卷）空间中存在着匀强磁场和匀强电场，磁场方向垂直于纸面（xOy平面）向里，电场方向沿y轴正方向。一带正电的粒子在电场和磁场作用下，从坐标原点O由静止开始运动。下列四图，能正确描述该粒子运动轨迹的是（ ） A． B． C． D． ( B )【例2】在磁感应强度为B的水平匀强磁场中，一质量为m、带正电荷量为 q的小球从O点由静止释放，小球的运动曲线如图所示。已知此曲线在最低点的 曲率半径为该点到x轴距离的2倍，重力加速度为g。则小球在运动过程中第一 次下降的最大距离为（ ） A． B． C． D． 【例3】如图所示，空间中存在着正交的匀强磁场和匀强电场，已知电场强度大小为E，方向竖直向下；磁感应强度大小为B，方向垂直纸面沿水平方向。一电子由O点以一定初速度v0水平向右飞入其中，运动轨迹如图所示，其中O、Q和P分别为轨迹在一个周期内的最高点和最低点，不计电子的重力。下列说法正确的是（ ） A．磁感应强度方向垂直纸面水平向外 B．电子的初速度v0小于 C．由O点至P点的运动过程中，电子的速度增大 D．将电子的初速度调整至合适值可以使其做直线运动 ( x O P ( x ， y ) y B )【例4】（2008年江苏卷）在场强为B的水平匀强磁场中，一质量为m、带正电q的小球从O点由静止释放，小球的运动曲线如图所示。已知此曲线在最低点的曲率半径为该点到x轴距离的2倍，重力加速度为g。求： （1）小球运动到任意位置P（x，y）处的速率v； （2）小球在运动过程中第一次下降的最大距离ym； （3）当在上述磁场中加一竖直向上场强为E（＞）的匀强电场时， 小球从O点由静止释放后获得的最大速率vm。 （二）配速法解读 1．带电粒子运动，较易定量分析的六种类型 （1）没有洛伦兹力，只受电场力、重力等恒力作用下的抛物线轨迹运动 （2）只受洛伦兹力，在垂直于匀强磁场的平面内做匀速圆周运动 （3）只受洛伦兹力，但速度不垂直于匀强磁场，粒子在三维空间中做等距螺旋运动（将速度分解为垂直于磁场和平行于磁场的两个分量。） （4）垂直于磁场的平面内受大小恒定的洛伦兹力而做匀速圆周运动，平行于磁场方向受恒力（如重力、电场力）而做匀变速直线运动，合起来为不等距螺旋运动 （5）所受所有力平衡而做匀速直线运动 （6）所受其他力平衡，只在洛伦兹力作用下，在垂直于磁场的平面内做匀速圆周运动（一般利用向上的电场力平衡掉向下的重力） 2．分析带电粒子复杂运动行之有效的方法——配速法 在很多问题（特别是物理竞赛）中，带电粒子可能做复杂的曲线运动，速度大小和方向时刻改变，导致洛伦兹力大小和方向也时刻改变，运动轨迹不再是简单的直线、抛物线、圆（圆弧）和等径螺旋线。 对于这类运动，高中阶段用常规方法几乎无法求解。 这时，我们可以借助等效原理，或运动的合成与分解原理，将带电粒子的复杂运动看成由两个简单运动组成，最终达到容易分析求解的目的。习惯上把这种分析方法称为配速法。 3．配速法的两种操作方法（添速法与分解法） （1）添速法：给带电粒子配上一对大小相等、方向相反的速度（可以认为这一对速度是凭空添上去的）（其实合速度等于零），其中一个速度使带电粒子受到的洛伦兹力与其他力平衡，粒子在该速度方向上做匀速直线运动；另一个速度使带电粒子受洛伦兹力而做匀速圆周运动 （2）分解法：将带电粒子的速度分解，其中一个分速度使带电粒子受到的洛伦兹力与其他力（如重力、电场力）平衡，粒子在该分速度方向上做匀速直线运动；另一个分速度使带电粒子受洛伦兹力而做匀速圆周运动。 也就是说，配速法一般就是将带电粒子的复杂运动，分解为一个匀速直线运动和一个匀速圆周运动。 ( M N v v )【例5】（本题详细阐述配速法思想与方法）带电粒子在重力场中和磁场中的运动可以分解为在水平方向上的匀速直线运动和在竖直平面内的匀速圆周运动。若带正电小球的初速度为零，可以分解为在水平方向上的两个大小相等、方向相反的速度。水平向右的速度对应的洛伦兹力与小球的重力平衡，水平向左的速度对应的洛伦兹力提供小球做匀速圆周运动向心力。设带电小球的质量为m、电量为+q，磁感应强度为B（磁场范围无限 大），重力加速度为g，小球由静止开始下落，则以下猜想正确的是（ ） A．M、N两点间的距离为 B．小球在运动过程中机械能不守恒 C．小球下降的最大高度为 D．小球的加速度大小恒为g 4．配速法的本质要点——配速配力配运动 （1）配速法的本质：就是运动的分解，就是将一个复杂的运动分解为两个我们熟悉的简单的运动 具体来说，就是将初速度分解为两个分速度，两个分速度各自引起一个运动（一般为一个匀速直线运动，一个匀速圆周运动），两个运动相互独立互不影响 （2）配速法的适用情况：除了洛伦兹力以外还受到别的力，而且别的力为恒力（如重力、电场力），洛伦兹力大小和方向都时刻改变 （说明：以下内容，为了描述方便，我们都以受洛伦兹力和重力为例） （3）配速法的思维顺序： ①先配运动；②再配力；③最后配速度 配速法的目的，就是要将一个复杂的运 动变为两个简单的运动。所以，首先应该考 虑将带电粒子的复杂运动配成什么形式什么 方向的两个简单运动。 运动1：匀速直线运动。速度大小满足，这个速度是为了和重力平衡“配”出来的，所以叫做“配速法”。 运动2：匀速圆周运动。速度大小，要保证两个分运动的初速度合成后还是原来的初速度，然后这里不用考虑重力了，因为重力已经给了运动1，这里就只受到洛伦兹力做匀速圆周运动了。 然后，按照两个分运动各自独立运动来理解即可。 当然通过合成我们也可以得到其实际的运动轨迹、合速度、合位移，等等。我们先将合运动的轨迹画出来，就是在同一平面内一个匀速直线运动加一个匀速圆周运动的轨迹，也就是摆线。 5．配速法的操作过程 下面通过一个实例来看配速法的操作过程 ( y E B v 0 x )【例6】（分解法）（福建高考题改编）如图，空间存在一范围足够大的垂直于xOy平面向外的匀强磁场和沿y轴正向的匀强电场，磁感应强度大小为B，电场强度大小为E。让质量为m，电量为q（q＞0）的粒子从O以初速度v0沿y轴正向发射。不计重力和粒子间的影响，求该粒子运动过程中的最大速度值vm。 ▲配速法的应用步骤 （1）确定需要平衡的恒力，一般为重力、电场力或重力及电场力的合力； （2）给带电粒子配上一个速度，让这个速度引起的洛伦兹力与上述力平衡，并得出相应的速度大小及方向； （3）一般再配一个与上述速度等大、反向的速度（添速法）；或应用速度分解法配速（分解法）。 （三）摆线运动规律 将初速度分解为：v1（匀速直线运动）和 v2（匀速圆周运动） 我们以v1＜v2为例，结合轨迹图研究这个 摆线运动中的一些规律。 1．最大速度与最小速度 最大速度（最低点）：vmax＝v1+v2，水平 最小速度（最高点）：vmin＝v2−v1，水平，与最低点反向 只有重力做功，所以最高点和最低点速度有极值 运动过程中，v1大小方向都不变，v2大小不变方向变，所 以合速度大小方向时刻改变 2．最高点与最低点的高度差 匀速直线运动不会产生竖直方向的位移，所以最高点和 最低点的高度差完全由匀速圆周运动决定，也就是直径大小 3．受力与运动特点 （1）最高点： （向心力） （A处的曲率半径） （2）最低点： （向心力） （B处的曲率半径） 规律总结： ①经所有位置的合力大小都是，即合力大小不变（等于开始运动时的合力大小），方向时刻改变（因为重力已经被平衡掉了，合力就等于匀速圆周运动的向心力） ②经最高处时曲率半径小，轨迹更弯曲；经最低处时曲率半径大，轨迹更平坦 4．同一高度的速度特点 （1）速度大小相等（图中vC＝vD） （2）速度方向与水平方向夹角相等 ( v 1 v 2 v E θ α )5．交点条件及回归时间 如图中，从交点E斜向上运动再回到E点，求时间的基本思路： 分运动1（匀速直线运动）向右的位移，等于分运动2（匀速圆 周运动）向左运动的弦长： 又因，是水平的 则（竖直分量相等） 所以（这就是回归交点的角度条件） 由上述角度条件，即可求得回归时间 （具体的回归时间看配速之后v1、v2的大小关系） 6．摆线运动另外两种轨迹 ( v 1 v 2 v 1 ＝ v 2 v A = 0 v B =2 v 1 =2 v 2 ) ( v 1 v 2 v A v 1 v 2 v B )（1）配速后v1＞v2的轨迹如下 （2）配速后v1＝v2的轨迹如下 （四）配速法解题示范 【例7】如图所示，空间中有正交的匀强磁场和匀强电场，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B，匀强电场方向竖直向下，将一质量为m，带电量为+q的粒子沿水平向左以速度v抛入复合场中，忽略粒子的重力。已知匀强电场的强度大小E＝Bv，在粒子之后运动的过程中，以下说法正确的是（ ） A．粒子偏离入射方向的最大距离为 B．粒子在轨迹最低点的曲率半径为 C．粒子从抛出到最低点的过程电势能的变化量为 D．粒子运动过程中动能与电势能的总和是守恒的 【例8】（2023年江苏卷）霍尔推进器某局部区域可抽象成如图所示的模型。Oxy平面内存在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。质量为m、电荷量为e的电子从O点沿x轴正方向水平入射。入射速度为v0时，电子沿x轴做直线运动；入射速度小于v0时，电子的运动轨迹如图中的虚线所示，且在最高点与在最低点所受的合力大小相等。不计重力及电子间相互作用。 （1）求电场强度的大小E； （2）若电子入射速度为v0/4，求运动到速度为v0/2时位置的纵坐标y1； （3）若电子入射速度在0＜v＜v0范围内均匀分布，求能到达纵坐标 位置的电子数N占总电子数N0的百分比。 【例9】（2024年山东卷）如图所示，在Oxy坐标系x＞0，y＞0区域内充满垂直纸面向里，磁感应强度大小为B的匀强磁场。磁场中放置一长度为L的挡板，其两端分别位于x、y轴上M、N两点，∠OMN＝60°，挡板上有一小孔K位于MN中点。△OMN之外的第一象限区域存在恒定匀强电场。位于y轴左侧的粒子发生器在0＜y＜的范围内可以产生质量为m，电荷量为+q的无初速度的粒子。粒子发生器与y轴之间存在水平向右的匀强加速电场，加速电压大小可调，粒子经此电场加速后进入磁场，挡板厚度不计，粒子可沿任意角度穿过小孔，碰撞挡板的粒子不予考虑，不计粒子重力及粒子间相互作用力。 （1）求使粒子垂直挡板射入小孔K的加速电压U0； （2）调整加速电压，当粒子以最小速度从小孔K射出后恰好做匀速直线运动，求第一象限中电场强度的大小和方向； （3）当加速电压为时，求粒子从小孔K射出后，运动过程中距离y轴最近位置的坐标。 【例10】如图所示，在xOy直角坐标系中，在x轴负半轴区域内有沿y轴负方向的匀强电场，电场强度大小为E1（未知）。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，从A点（到x轴的距离是d）以一定的初速度沿x轴正方向开始运动，粒子恰好以速度v0经过原点进入y轴右侧区域，v0的方向与x轴正方向的夹角θ＝30°。在第一、四象限内，距y轴为L的MN左侧区域内存在磁感应强度大小均为B（未知）的匀强磁场，第一象限的匀强磁场方向垂直纸面向外，第四象限的匀强磁场方向垂直纸面向里。MN右侧区域内存在正交分布的匀强电场和匀强磁场，磁感应强度方向垂直纸面向里，大小也为B，电场强度沿x轴正方向，大小为E2。若带电粒子恰好从MN与x轴的交点P进入MN右侧区域。不计粒子的重力，不计空气阻力。 （1）求A点到y轴的距离x和E1的大小； （2）求B的大小； ( A E 1 O θ v 0 B B P M N y x B E 2 )（3）若，，求粒子在MN右侧区域运动时，距y轴最远时的位置坐标。 【作业】 班次 座次 姓名 1．在空间中存在垂直于纸面向外的匀强磁场和沿着纸面竖直方向的匀强电场（图中均未画出），有一带负电的粒子（不考虑重力）从O点由静止释放后，其运动轨迹如图所示，则下列说法正确的是（ ） A．电场方向竖直向下 B．该粒子在轨迹最低点所受合力方向竖直向上 C．该粒子从释放到轨迹最低点的过程中，电势能减小 D．该粒子从释放到轨迹中相邻最高点的过程中，做速率不变的曲线运动 2．如图所示，磁控管内局部区域分布有水平向右的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场。 电子从M点由静止释放，沿图中所示轨迹依次经过N、P两点。已知M、P在同一等势面上， 下列说法正确的有（ ） A．电子从N到P，电场力做正功 B．N点的电势高于P点的电势 C．电子从M到N，洛伦兹力不做功 D．电子在M点所受合力大于在P点所受合力 3．如图所示，空间中存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度B＝1T。 将一质量为m＝0.1kg、电荷量为q＝1C的带正电小球从P点由静止释放，小球在 重力和洛伦兹力的作用下，部分运动轨迹如图中实线所示，到达右侧Q点时速度 为0。g取10m/s2，下列说法正确的是（ ） A．P点位置比Q点高 B．小球可能沿轨迹返回P点 C．小球运动的最大速度为2m/s D．小球下降的最大高度为0.4m 4．（2024年安徽卷）空间中存在竖直向下的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B。一质量为m的带电油滴a，在纸面内做半径为R的圆周运动，轨迹如图所示。当a运动到最低点P时，瞬间分成两个小油滴Ⅰ、Ⅱ，二者带电量、质量均相同。Ⅰ在P点时与a的速度方向相同，并做半径为3R的圆周运动，轨迹如图所示。Ⅱ的轨迹未画出。己知重力加速度大小为g，不计空气浮力与阻力以及Ⅰ、Ⅱ分开后的相互作用，则（ ） A．油滴a带负电，所带电量的大小为 B．油滴a做圆周运动的速度大小为 C．小油滴Ⅰ做圆周运动的速度大小为，周期为 D．小油滴Ⅱ沿顺时针方向做圆周运动 5．如图所示，已知车轮边缘上一质点P的轨迹可看成质点P相对圆心O做速率为v的匀速圆周运动，同时圆心O向右相对地面以速率v做匀速运动形成的，该轨迹称为滚轮线（也称为摆线）。如图乙所示，空间存在水平方向（垂直纸面向里）的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一质量为m、电荷量为+q的小球以竖直向上的初速度v0进入磁场，小球的轨迹就是滚轮线。设重力加速度为g，则小球运动过程中的最大速度大小为（ ） A． B． C． D． 6．（2013年福建卷）如图甲所示，空间存在一范围足够大的垂直于xOy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。让质量为m，电荷量为q（q＞0）的粒子从坐标原点O沿xOy平面以不同的初速度大小和方向入射到磁场中。不计重力和粒子间的影响。 （1）若粒子以初速度v1沿y轴正向入射，恰好能经过x轴上的A（a，0）点，求v1的大小； （2）已知一粒子的初速度大小为v（v＞v1），为使该粒子能经过A（a，0）点，其入射角θ（粒子初速度与x轴正向的夹角）有几个？并求出对应的sinθ值； （3）如图乙，若在此空间再加入沿y轴正向、大小为E的匀强电场，一粒子从O点以初速度v0沿y轴正向发射。研究表明：粒子在xOy平面内做周期性运动，且在任一时刻，粒子速度的x分量vx与其所在位置的y坐标成正比，比例系数与场强大小E无关。求该粒子运动过程中的最大速度值vm。 7．（2024年甘肃卷）质谱仪是科学研究中的重要仪器，其原理如图所示。Ⅰ为粒子加速器，加速电压为U；Ⅱ为速度选择器，匀强电场的电场强度大小为E1，方向沿纸面向下，匀强磁场的磁感应强度大小为B1，方向垂直纸面向里；Ⅲ为偏转分离器，匀强磁场的磁感应强度大小为B2，方向垂直纸面向里。从S点释放初速度为零的带电粒子（不计重力），加速后进入速度选择器做直线运动、再由O点进入分离器做圆周运动，最后打到照相底片的P点处，运动轨迹如图中虚线所示。 （1）粒子带正电还是负电？求粒子的比荷。 （2）求O点到P点的距离。 （3）若速度选择器Ⅱ中匀强电场的电场强度大小变为E2（E2略大于E1），方向不变，粒子恰好垂直打在速度选择器右挡板的O′点上。求粒子打在O′点的速度大小。 8．（2024年海南卷）如图，在xOy坐标系中有三个区域，圆形区域Ⅰ分别与x轴和y轴相切于P点和S点。半圆形区域Ⅱ的半径是区域Ⅰ半径的2倍。区域Ⅰ、Ⅱ的圆心O1，O2连线与x轴平行，半圆与圆相切于Q点，QF垂直于x轴，半圆的直径MN所在的直线右侧为区域Ⅲ。区域Ⅰ、Ⅱ分别有磁感应强度大小为B、B/2的匀强磁场，磁场方向均垂直纸面向外。区域Ⅰ下方有一粒子源和加速电场组成的发射器，可将质量为m、电荷量为q的粒子由电场加速到v0。改变发射器的位置，使带电粒子在OF范围内都沿着y轴正方向以相同的速度v0沿纸面射入区域Ⅰ。已知某粒子从P点射入区域Ⅰ，并从Q点射入区域Ⅱ（不计粒子的重力和粒子之间的影响） （1）求加速电场两板间的电压U和区域Ⅰ的半径R； （2）在能射入区域Ⅲ的粒子中，某粒子在区域Ⅱ中运动的时间最短，求该粒子在区域Ⅰ和区域Ⅱ中运动的总时间t； （3）在区域Ⅲ加入匀强磁场和匀强电场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里，电场强度的大小E＝Bv0，方向沿x轴正方向。此后，粒子源中某粒子经区域Ⅰ、Ⅱ射入区域Ⅲ，进入区域Ⅲ时速度方向与y轴负方向的夹角成74°角。当粒子动能最大时，求粒子的速度大小及所在的位置到y轴的距离（，）。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届物理总复习·二轮·方法突破 方法10 配速法：配出简单运动 ( c O a b O a b c )（一）带电粒子的复杂运动 1．从轮摆线（滚轮线）说起 一个圆轮贴着一条平直轨道做无滑滚动， 圆轮上及圆轮外各点可能做比较复杂的曲线 运动。 考察这些点的运动时，我们可以将各个 点的运动看成由两个运动组成： 一个是随圆轮圆心水平方向的匀速直线 运动； 另一个是绕圆心的匀速圆周运动。 各点的运动轨迹如右所示，这样的曲线 轨迹一般称为摆线。 2．带电粒子在复合场中的复杂运动 带电粒子在磁场、电场及重力场等复合场中运动时，由于所受洛伦兹的大小、方向与速度的大小、方向有关，当带电粒子做变速曲线运动时，洛伦兹力发生复杂的变化，粒子也就做复杂的曲线运动。 在这种情况下，用常规数学物理方法已经难于分析处理。 先看几例： 【例1】（2022年全国卷）空间中存在着匀强磁场和匀强电场，磁场方向垂直于纸面（xOy平面）向里，电场方向沿y轴正方向。一带正电的粒子在电场和磁场作用下，从坐标原点O由静止开始运动。下列四图，能正确描述该粒子运动轨迹的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 AC：在xOy平面内电场的方向沿y轴正方向，故在坐标原点O静止的带正电粒子在电场力作用下会向y轴正方向运动。磁场方向垂直于纸面向里，根据左手定则，可判断出向y轴正方向运动的粒子同时受到沿x轴负方向的洛伦兹力，故带电粒子向x轴负方向偏转。AC错误； BD：运动的过程中在电场力对带电粒子做功，粒子速度大小发生变化，粒子所受的洛伦兹力方向始终与速度方向垂直。由于匀强电场方向是沿y轴正方向，故x轴为匀强电场的等势面，从开始到带电粒子偏转再次运动到x轴时，电场力做功为0，洛伦兹力不做功，故带电粒子再次回到x轴时的速度为0，随后受电场力作用再次进入第二象限重复向左偏转，故B正确，D错误。 ( B )【例2】在磁感应强度为B的水平匀强磁场中，一质量为m、带正电荷量为 q的小球从O点由静止释放，小球的运动曲线如图所示。已知此曲线在最低点的 曲率半径为该点到x轴距离的2倍，重力加速度为g。则小球在运动过程中第一 次下降的最大距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设在最大距离ym处的速率为vm 洛伦兹力不做功，只有重力做功，由动能定理有 根据圆周运动规律有 由题目给定条件有 解得，故B正确。 【例3】如图所示，空间中存在着正交的匀强磁场和匀强电场，已知电场强度大小为E，方向竖直向下；磁感应强度大小为B，方向垂直纸面沿水平方向。一电子由O点以一定初速度v0水平向右飞入其中，运动轨迹如图所示，其中O、Q和P分别为轨迹在一个周期内的最高点和最低点，不计电子的重力。下列说法正确的是（ ） A．磁感应强度方向垂直纸面水平向外 B．电子的初速度v0小于 C．由O点至P点的运动过程中，电子的速度增大 D．将电子的初速度调整至合适值可以使其做直线运动 【答案】D 【解析】 A：电子受电场力向上，但开始的轨迹向下弯曲，说明洛伦兹力向下，据左手定则得磁感应强度垂直向里，故A错误； B：电子从O运动到P，合外力指向轨迹凹侧，有qv0B＞qE。则＞，故B错误； C：由O点至P点的运动过程中，电场力做负功，洛伦兹力不做功，电子的速度逐渐减小，故C错误； D：当qv0B＝qE，即＝，电子受力平衡，可以做直线运动，故D正确。 ( x O P ( x ， y ) y B )【例4】（2008年江苏卷）在场强为B的水平匀强磁场中，一质量为m、带正电q的小球从O点由静止释放，小球的运动曲线如图所示。已知此曲线在最低点的曲率半径为该点到x轴距离的2倍，重力加速度为g。求： （1）小球运动到任意位置P（x，y）处的速率v； （2）小球在运动过程中第一次下降的最大距离ym； （3）当在上述磁场中加一竖直向上场强为E（＞）的匀强电场时， 小球从O点由静止释放后获得的最大速率vm。 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 （1）洛仑兹力不做功，由动能定理得 （2）设在最大距离ym处的速率为vm，则 由 又由题意知 解得 （3）小球运动如图所示，由动能定理得 圆周运动向心力 由上两式及解得 （二）配速法解读 1．带电粒子运动，较易定量分析的六种类型 （1）没有洛伦兹力，只受电场力、重力等恒力作用下的抛物线轨迹运动 （2）只受洛伦兹力，在垂直于匀强磁场的平面内做匀速圆周运动 （3）只受洛伦兹力，但速度不垂直于匀强磁场，粒子在三维空间中做等距螺旋运动（将速度分解为垂直于磁场和平行于磁场的两个分量。） （4）垂直于磁场的平面内受大小恒定的洛伦兹力而做匀速圆周运动，平行于磁场方向受恒力（如重力、电场力）而做匀变速直线运动，合起来为不等距螺旋运动 （5）所受所有力平衡而做匀速直线运动 （6）所受其他力平衡，只在洛伦兹力作用下，在垂直于磁场的平面内做匀速圆周运动（一般利用向上的电场力平衡掉向下的重力） 2．分析带电粒子复杂运动行之有效的方法——配速法 在很多问题（特别是物理竞赛）中，带电粒子可能做复杂的曲线运动，速度大小和方向时刻改变，导致洛伦兹力大小和方向也时刻改变，运动轨迹不再是简单的直线、抛物线、圆（圆弧）和等径螺旋线。 对于这类运动，高中阶段用常规方法几乎无法求解。 这时，我们可以借助等效原理，或运动的合成与分解原理，将带电粒子的复杂运动看成由两个简单运动组成，最终达到容易分析求解的目的。习惯上把这种分析方法称为配速法。 3．配速法的两种操作方法（添速法与分解法） （1）添速法：给带电粒子配上一对大小相等、方向相反的速度（可以认为这一对速度是凭空添上去的）（其实合速度等于零），其中一个速度使带电粒子受到的洛伦兹力与其他力平衡，粒子在该速度方向上做匀速直线运动；另一个速度使带电粒子受洛伦兹力而做匀速圆周运动 （2）分解法：将带电粒子的速度分解，其中一个分速度使带电粒子受到的洛伦兹力与其他力（如重力、电场力）平衡，粒子在该分速度方向上做匀速直线运动；另一个分速度使带电粒子受洛伦兹力而做匀速圆周运动。 也就是说，配速法一般就是将带电粒子的复杂运动，分解为一个匀速直线运动和一个匀速圆周运动。 ( M N v v )【例5】（本题详细阐述配速法思想与方法）带电粒子在重力场中和磁场中的运动可以分解为在水平方向上的匀速直线运动和在竖直平面内的匀速圆周运动。若带正电小球的初速度为零，可以分解为在水平方向上的两个大小相等、方向相反的速度。水平向右的速度对应的洛伦兹力与小球的重力平衡，水平向左的速度对应的洛伦兹力提供小球做匀速圆周运动向心力。设带电小球的质量为m、电量为+q，磁感应强度为B（磁场范围无限 大），重力加速度为g，小球由静止开始下落，则以下猜想正确的是（ ） A．M、N两点间的距离为 B．小球在运动过程中机械能不守恒 C．小球下降的最大高度为 D．小球的加速度大小恒为g 【答案】CD 【解析】 A：给小球初始时刻配上向右、向左的两个水平速度v ( M N v v qvB mg )且让小球因为向右的速度v而受到的竖直向上的洛伦兹力与向下的重力平衡： 因为向左的速度v而使小球在竖直面内做匀速圆周运动 轨道半径，周期 则M、N两点间距离，故A错； B：小球在运动过程中只有重力做功，洛伦兹力不做功，小球的机械能守恒，故B错； C：小球下落的最大高度，故C对； D：小球因向右的分速度做匀速直线运动，无加速度； 因向左的分速度做匀速圆周运动，加速度大小恒为 则小球总的加速度大小恒为g，故D对。 4．配速法的本质要点——配速配力配运动 （1）配速法的本质：就是运动的分解，就是将一个复杂的运动分解为两个我们熟悉的简单的运动 具体来说，就是将初速度分解为两个分速度，两个分速度各自引起一个运动（一般为一个匀速直线运动，一个匀速圆周运动），两个运动相互独立互不影响 （2）配速法的适用情况：除了洛伦兹力以外还受到别的力，而且别的力为恒力（如重力、电场力），洛伦兹力大小和方向都时刻改变 （说明：以下内容，为了描述方便，我们都以受洛伦兹力和重力为例） （3）配速法的思维顺序： ①先配运动；②再配力；③最后配速度 配速法的目的，就是要将一个复杂的运 动变为两个简单的运动。所以，首先应该考 虑将带电粒子的复杂运动配成什么形式什么 方向的两个简单运动。 运动1：匀速直线运动。速度大小满足，这个速度是为了和重力平衡“配”出来的，所以叫做“配速法”。 运动2：匀速圆周运动。速度大小，要保证两个分运动的初速度合成后还是原来的初速度，然后这里不用考虑重力了，因为重力已经给了运动1，这里就只受到洛伦兹力做匀速圆周运动了。 然后，按照两个分运动各自独立运动来理解即可。 当然通过合成我们也可以得到其实际的运动轨迹、合速度、合位移，等等。我们先将合运动的轨迹画出来，就是在同一平面内一个匀速直线运动加一个匀速圆周运动的轨迹，也就是摆线。 5．配速法的操作过程 下面通过一个实例来看配速法的操作过程 ( y E B v 0 x )【例6】（分解法）（福建高考题改编）如图，空间存在一范围足够大的垂直于xOy平面向外的匀强磁场和沿y轴正向的匀强电场，磁感应强度大小为B，电场强度大小为E。让质量为m，电量为q（q＞0）的粒子从O以初速度v0沿y轴正向发射。不计重力和粒子间的影响，求该粒子运动过程中的最大速度值vm。 【答案】 【解析】如图所示，将v0分解为v1和v2，且使v1满足 ( x y v 0 v 1 v 2 )即v1引起的洛伦兹力与电场力平衡，v1使得粒子x轴正方向匀速运动 而v2使得粒子在xOy平面内做匀速圆周运动，其圆半径 当粒子圆周运动的速度也沿x轴正方向时，粒子的合速度最大，为 ▲配速法的应用步骤 （1）确定需要平衡的恒力，一般为重力、电场力或重力及电场力的合力； （2）给带电粒子配上一个速度，让这个速度引起的洛伦兹力与上述力平衡，并得出相应的速度大小及方向； （3）一般再配一个与上述速度等大、反向的速度（添速法）；或应用速度分解法配速（分解法）。 （三）摆线运动规律 将初速度分解为：v1（匀速直线运动）和 v2（匀速圆周运动） 我们以v1＜v2为例，结合轨迹图研究这个 摆线运动中的一些规律。 1．最大速度与最小速度 最大速度（最低点）：vmax＝v1+v2，水平 最小速度（最高点）：vmin＝v2−v1，水平，与最低点反向 只有重力做功，所以最高点和最低点速度有极值 运动过程中，v1大小方向都不变，v2大小不变方向变，所 以合速度大小方向时刻改变 2．最高点与最低点的高度差 匀速直线运动不会产生竖直方向的位移，所以最高点和 最低点的高度差完全由匀速圆周运动决定，也就是直径大小 3．受力与运动特点 （1）最高点： （向心力） （A处的曲率半径） （2）最低点： （向心力） （B处的曲率半径） 规律总结： ①经所有位置的合力大小都是，即合力大小不变（等于开始运动时的合力大小），方向时刻改变（因为重力已经被平衡掉了，合力就等于匀速圆周运动的向心力） ②经最高处时曲率半径小，轨迹更弯曲；经最低处时曲率半径大，轨迹更平坦 4．同一高度的速度特点 （1）速度大小相等（图中vC＝vD） （2）速度方向与水平方向夹角相等 ( v 1 v 2 v E θ α )5．交点条件及回归时间 如图中，从交点E斜向上运动再回到E点，求时间的基本思路： 分运动1（匀速直线运动）向右的位移，等于分运动2（匀速圆 周运动）向左运动的弦长： 又因，是水平的 则（竖直分量相等） 所以（这就是回归交点的角度条件） 由上述角度条件，即可求得回归时间 （具体的回归时间看配速之后v1、v2的大小关系） 6．摆线运动另外两种轨迹 ( v 1 v 2 v 1 ＝ v 2 v A = 0 v B =2 v 1 =2 v 2 ) ( v 1 v 2 v A v 1 v 2 v B )（1）配速后v1＞v2的轨迹如下 （2）配速后v1＝v2的轨迹如下 （四）配速法解题示范 【例7】如图所示，空间中有正交的匀强磁场和匀强电场，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B，匀强电场方向竖直向下，将一质量为m，带电量为+q的粒子沿水平向左以速度v抛入复合场中，忽略粒子的重力。已知匀强电场的强度大小E＝Bv，在粒子之后运动的过程中，以下说法正确的是（ ） A．粒子偏离入射方向的最大距离为 B．粒子在轨迹最低点的曲率半径为 C．粒子从抛出到最低点的过程电势能的变化量为 D．粒子运动过程中动能与电势能的总和是守恒的 【答案】BCD 【解析】 A：用“配速法”，将粒子的初速度等效为一个水平向左的速度2v和一个水平向右的v 向右的速度v会产生一个竖直向上的洛伦兹力与电场力平衡，则可认为粒子水平向右匀速运动 另一个分运动是水平向左沿逆时针方向的匀速圆周运动，轨道半径 则粒子偏离入射方向的最大距离，A错误； B：粒子运动到最低点时两个分速度方向均向右，速度大小为3v，设曲率半径设为r，则 ，B正确； C：从抛出到最低点，电场力做正功，电势能减小，变化量，C正确； D：粒子在复合场中运动过程中只有电场力做功，所以粒子的动能和电势能的总和是守恒的，D正确。 【例8】（2023年江苏卷）霍尔推进器某局部区域可抽象成如图所示的模型。Oxy平面内存在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。质量为m、电荷量为e的电子从O点沿x轴正方向水平入射。入射速度为v0时，电子沿x轴做直线运动；入射速度小于v0时，电子的运动轨迹如图中的虚线所示，且在最高点与在最低点所受的合力大小相等。不计重力及电子间相互作用。 （1）求电场强度的大小E； （2）若电子入射速度为v0/4，求运动到速度为v0/2时位置的纵坐标y1； （3）若电子入射速度在0＜v＜v0范围内均匀分布，求能到达纵坐标 位置的电子数N占总电子数N0的百分比。 【答案】（1）；（2）；（3）90% 【解析】 （1）由题知，入射速度为v0时，电子沿x轴做直线运动则有 （2）入射速度为v0/4小于v0，电子沿虚线向上偏转，电场力做正功，根据动能定理有 （3）若电子以v入射时，设电子能达到的最高点位置的纵坐标为y，则根据动能定理有 由于电子在最高点与在最低点所受的合力大小相等，则 在最高点时合力，在最低点v时合力 联立有， 要让电子达纵坐标位置，即 解得≤ 则能到达纵坐标位置的电子数N占总电子数N0的90%。 【例9】（2024年山东卷）如图所示，在Oxy坐标系x＞0，y＞0区域内充满垂直纸面向里，磁感应强度大小为B的匀强磁场。磁场中放置一长度为L的挡板，其两端分别位于x、y轴上M、N两点，∠OMN＝60°，挡板上有一小孔K位于MN中点。△OMN之外的第一象限区域存在恒定匀强电场。位于y轴左侧的粒子发生器在0＜y＜的范围内可以产生质量为m，电荷量为+q的无初速度的粒子。粒子发生器与y轴之间存在水平向右的匀强加速电场，加速电压大小可调，粒子经此电场加速后进入磁场，挡板厚度不计，粒子可沿任意角度穿过小孔，碰撞挡板的粒子不予考虑，不计粒子重力及粒子间相互作用力。 （1）求使粒子垂直挡板射入小孔K的加速电压U0； （2）调整加速电压，当粒子以最小速度从小孔K射出后恰好做匀速直线运动，求第一象限中电场强度的大小和方向； （3）当加速电压为时，求粒子从小孔K射出后，运动过程中距离y轴最近位置的坐标。 【答案】（1）；（2），方向沿x轴正方向； （3） 【解析】 （1）根据题意，作出粒子垂直挡板射入小孔K的运动轨迹如图所示 根据几何关系可知粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径 在△OMN区域由洛伦兹力提供向心力，有 在匀强加速电场中由动能定理有 联立解得 （2）根据题意，当轨迹半径最小时，粒子速度最小，则作出粒子以最小的速度从小孔K射出的运动轨迹如图所示 根据几何关系可知粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为 在△OMN区域根据洛伦兹力提供向心力有 粒子从小孔K射出后恰好做匀速直线运动，由左手定则可知粒子经过小孔K后受到的洛伦兹力沿x轴负方向 则粒子经过小孔K后受到的电场力沿x轴正方向 又粒子带正电，则△OMN之外第一象限区域电场强度的方向沿x轴正方向，大小满足 联立可得 （3）在匀强加速电场中由动能定理有 可得 在△OMN区域根据洛伦兹力提供向心力有 可得粒子在△OMN区域运动的轨迹半径 作出从小孔K射出的粒子的运动轨迹如图所示 粒子从K射出时，越偏向y轴，离y轴越近 由几何关系有 由配速法将运动分解为y轴方向的匀速直线运动和沿x方向的匀速圆周运动，其中 ， 匀速圆周运动的半径为 故最小距离为 【例10】如图所示，在xOy直角坐标系中，在x轴负半轴区域内有沿y轴负方向的匀强电场，电场强度大小为E1（未知）。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，从A点（到x轴的距离是d）以一定的初速度沿x轴正方向开始运动，粒子恰好以速度v0经过原点进入y轴右侧区域，v0的方向与x轴正方向的夹角θ＝30°。在第一、四象限内，距y轴为L的MN左侧区域内存在磁感应强度大小均为B（未知）的匀强磁场，第一象限的匀强磁场方向垂直纸面向外，第四象限的匀强磁场方向垂直纸面向里。MN右侧区域内存在正交分布的匀强电场和匀强磁场，磁感应强度方向垂直纸面向里，大小也为B，电场强度沿x轴正方向，大小为E2。若带电粒子恰好从MN与x轴的交点P进入MN右侧区域。不计粒子的重力，不计空气阻力。 （1）求A点到y轴的距离x和E1的大小； （2）求B的大小； ( A E 1 O θ v 0 B B P M N y x B E 2 )（3）若，，求粒子在MN右侧区域运动时，距y轴最远时的位置坐标。 【答案】（1），；（2）（n＝1、2、3、…）； （3）（，）（k＝0、1、2、3、…） 【解析】 （1）根据动能表达式及勾股定理可知，在y方向上可独立应用动能定理： y方向做匀加速运动，可得从A到O的运动时间 则 （2）粒子经中间的磁场刚能经过P点，分析知粒子在该磁场中做圆弧运动的轨道半径 则（n＝1、2、3、…） ( A E 1 O θ v 0 B B P M N y x B E 2 v 0 v 1 v 2 θ )（3）时，粒子在中间磁场中运动轨迹如图 所示，进入右边复合场中的速度大小仍为v0，方向 如图所示与x轴正方向的夹角也为θ。 将粒子在右边复合场的速度沿x轴方向和垂直于x 轴方向正交分解： x轴方向：, x轴垂直方向： ( v 1 O θ v 0 B B P M N y x E 2 B v 1 v 1 2 r 1 2 r 1 2 r 1 )因v2使粒子受到的洛伦兹力，方向沿x轴负方向 粒子受到的电场力，方向沿x轴正方向 F洛2与F电平衡，粒子沿v2方向做匀速直线运动 因v1使粒子做匀速圆周运动，轨道半径设为r1，则 粒子在MN右侧运动过程中，每一次离y轴最远时，x坐标为 y坐标我们分MN左右两边来分析： 在MN右边时用配速法分析： 因存在分速度v1，每一次都做匀速圆周运动，轨道半径均为 而因存在分速度v2，沿NM方向做匀速运动，每转1/4圈的时间内y方向位移 在MN左边看实际运动。从右向左穿过MN时速度大小仍为v0方向与x轴负方向所成夹角仍为θ＝30° 在MN左边磁场中运动的轨道半径，r2在MN上的分量 则上可得，离y轴最远时y坐标 （k＝0、1、2、3、…） 即在MN右侧离y轴最远时坐标为（，）（k＝0、1、2、3、…） 【作业】 班次 座次 姓名 1．在空间中存在垂直于纸面向外的匀强磁场和沿着纸面竖直方向的匀强电场（图中均未画出），有一带负电的粒子（不考虑重力）从O点由静止释放后，其运动轨迹如图所示，则下列说法正确的是（ ） A．电场方向竖直向下 B．该粒子在轨迹最低点所受合力方向竖直向上 C．该粒子从释放到轨迹最低点的过程中，电势能减小 D．该粒子从释放到轨迹中相邻最高点的过程中，做速率不变的曲线运动 【答案】BC 【解析】 该带负电的粒子由静止释放后，在洛伦兹力和静电力的共同作用下向右下方运动，由配速法可知，粒子做向右的匀速直线运动和匀速圆周运动，由左手定则可知向右的匀速直线运动对应的洛伦兹力向上，说明静电力向下，因而电场方向竖直向上，选项A错误； 在曲线运动中，合力方向指向轨迹凹侧，所以该粒子在轨迹最低点所受合力方向竖直向上，选项B正确； 该粒子从释放到轨迹最低点的过程中，静电力做正功，所以电势能减小，选项C正确； 该粒子从释放到轨迹中相邻最高点的过程中，静电力先做正功后做负功，洛伦兹力不做功，因此粒子的速率先增大后减小，选项D错误。 2．如图所示，磁控管内局部区域分布有水平向右的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场。 电子从M点由静止释放，沿图中所示轨迹依次经过N、P两点。已知M、P在同一等势面上， 下列说法正确的有（ ） A．电子从N到P，电场力做正功 B．N点的电势高于P点的电势 C．电子从M到N，洛伦兹力不做功 D．电子在M点所受合力大于在P点所受合力 【答案】BC 【解析】 A：由题可知电子所受电场力水平向左，电子从N到P的过程中电场力做负功，故A错误； B：根据沿着电场线方向电势逐渐降低可知N点的电势高于P点，故B正确； C：由于洛伦兹力一直都和速度方向垂直，故电子从M到N洛伦兹力都不做功；故C正确； D：由于M点和P点在同一等势面上，故从M到P电场力做功为0，而洛伦兹力不做功，M点速度为0，根据动能定理可知电子在P点速度也为0，则电子在M点和P点都只受电场力作用，在匀强电场中电子在这两点电场力相等，即合力相等，故D错误。 3．如图所示，空间中存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度B＝1T。 将一质量为m＝0.1kg、电荷量为q＝1C的带正电小球从P点由静止释放，小球在 重力和洛伦兹力的作用下，部分运动轨迹如图中实线所示，到达右侧Q点时速度 为0。g取10m/s2，下列说法正确的是（ ） A．P点位置比Q点高 B．小球可能沿轨迹返回P点 C．小球运动的最大速度为2m/s D．小球下降的最大高度为0.4m 【答案】C 【解析】 A：小球经P、Q两点的速度都为0，由动能定理可知小球从P到Q重力做功为0，所以P、Q等高，故A错； B：根据左手定则可知，小球从Q点向下运动，受到向右的洛伦兹力而向右偏转，不可能沿轨迹返回P点，故B错; CD：利用配速法，把由静止释放的小球看成具有一个向左的速度v0和一个向右的速度v0，且让 则小球的两个分运动为向右的匀速直线运动和匀速圆周运动 当运动到最低点时，小球的速度最大，最大速度 设小球下降的最大高度为hm，由动能定理有，故C对D错。 4．（2024年安徽卷）空间中存在竖直向下的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B。一质量为m的带电油滴a，在纸面内做半径为R的圆周运动，轨迹如图所示。当a运动到最低点P时，瞬间分成两个小油滴Ⅰ、Ⅱ，二者带电量、质量均相同。Ⅰ在P点时与a的速度方向相同，并做半径为3R的圆周运动，轨迹如图所示。Ⅱ的轨迹未画出。己知重力加速度大小为g，不计空气浮力与阻力以及Ⅰ、Ⅱ分开后的相互作用，则（ ） A．油滴a带负电，所带电量的大小为 B．油滴a做圆周运动的速度大小为 C．小油滴Ⅰ做圆周运动的速度大小为，周期为 D．小油滴Ⅱ沿顺时针方向做圆周运动 【答案】ABD 【解析】 A：油滴a做圆周运动，故重力与电场力平衡，可知带负电，有，故A正确； B：洛伦兹力提供向心力，则，故B正确； C：设小油滴Ⅰ的速度大小为，由圆周运动轨道半径公式得， 周期，故C错误； D：带电油滴a分离前后动量守恒，设分离后小油滴Ⅱ的速度为，取油滴a分离前瞬间的速度方向为正方向，得 由于分离后的小液滴受到的电场力和重力仍然平衡，分离后小油滴Ⅱ的速度方向与正方向相反，根据左手定则可知小油滴Ⅱ沿顺时针方向做圆周运动，故D正确。 5．如图所示，已知车轮边缘上一质点P的轨迹可看成质点P相对圆心O做速率为v的匀速圆周运动，同时圆心O向右相对地面以速率v做匀速运动形成的，该轨迹称为滚轮线（也称为摆线）。如图乙所示，空间存在水平方向（垂直纸面向里）的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一质量为m、电荷量为+q的小球以竖直向上的初速度v0进入磁场，小球的轨迹就是滚轮线。设重力加速度为g，则小球运动过程中的最大速度大小为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据配速法，把初速度v0分解为向右的速度v1和斜向左上方的速度v2，且有 ， 则小球运动过程中的最大速度为，故B正确。 6．（2013年福建卷）如图甲所示，空间存在一范围足够大的垂直于xOy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。让质量为m，电荷量为q（q＞0）的粒子从坐标原点O沿xOy平面以不同的初速度大小和方向入射到磁场中。不计重力和粒子间的影响。 （1）若粒子以初速度v1沿y轴正向入射，恰好能经过x轴上的A（a，0）点，求v1的大小； （2）已知一粒子的初速度大小为v（v＞v1），为使该粒子能经过A（a，0）点，其入射角θ（粒子初速度与x轴正向的夹角）有几个？并求出对应的sinθ值； （3）如图乙，若在此空间再加入沿y轴正向、大小为E的匀强电场，一粒子从O点以初速度v0沿y轴正向发射。研究表明：粒子在xOy平面内做周期性运动，且在任一时刻，粒子速度的x分量vx与其所在位置的y坐标成正比，比例系数与场强大小E无关。求该粒子运动过程中的最大速度值vm。 【答案】（1）； （2）两个，； （3） 【解析】 （1）当粒子沿y轴正向入射，转过半个圆周至A点，半径 由运动定律有 （2）如图所示，O、A两点处于同一圆周上，且圆心在的直线上，半径为R 当给定一个初速率v时，有两个入射角，分别在第1、2象限，即 另有 解得 （3）粒子在运动过程中仅有电场力做功，因此在轨道的最高点处速率最大，且此处速度方向水平 用ym表示该处的纵坐标，由动能定理有 由题意知，且因k与E的大小无关，因此可利用E＝0时的状况来求k 若E＝0时，粒子以初速度v0沿y轴正向入射，洛伦兹力充当向心力 其中的R0就是对应的纵坐标y0，因此得，，则 舍去负值，得 7．（2024年甘肃卷）质谱仪是科学研究中的重要仪器，其原理如图所示。Ⅰ为粒子加速器，加速电压为U；Ⅱ为速度选择器，匀强电场的电场强度大小为E1，方向沿纸面向下，匀强磁场的磁感应强度大小为B1，方向垂直纸面向里；Ⅲ为偏转分离器，匀强磁场的磁感应强度大小为B2，方向垂直纸面向里。从S点释放初速度为零的带电粒子（不计重力），加速后进入速度选择器做直线运动、再由O点进入分离器做圆周运动，最后打到照相底片的P点处，运动轨迹如图中虚线所示。 （1）粒子带正电还是负电？求粒子的比荷。 （2）求O点到P点的距离。 （3）若速度选择器Ⅱ中匀强电场的电场强度大小变为E2（E2略大于E1），方向不变，粒子恰好垂直打在速度选择器右挡板的O′点上。求粒子打在O′点的速度大小。 【答案】（1）正电，比荷为；（2）；（3） 【解析】 （1）由于粒子向上偏转，根据左手定则可知粒子带正电； 设粒子的质量为m，电荷量为q，粒子进入速度选择器时的速度为v0 在速度选择器中粒子做匀速直线运动，由平衡条件得 在加速电场中，由动能定理得 联立解得，粒子的比荷 （2）由洛伦兹力提供向心力，则，可得O点到P点的距离 （3）粒子进入Ⅱ瞬间，受到向上的洛伦兹力 向下的电场力 由于E2＞E1，且 用配速法，使得，如图所示 则粒子在速度选择器中水平向右以速度v0＋v1做匀速运动的同时 竖直方向以v1做匀速圆周运动 当速度转向到水平向右时，满足垂直O′点的要求，故此时粒子打在O′点的速度大小为 8．（2024年海南卷）如图，在xOy坐标系中有三个区域，圆形区域Ⅰ分别与x轴和y轴相切于P点和S点。半圆形区域Ⅱ的半径是区域Ⅰ半径的2倍。区域Ⅰ、Ⅱ的圆心O1，O2连线与x轴平行，半圆与圆相切于Q点，QF垂直于x轴，半圆的直径MN所在的直线右侧为区域Ⅲ。区域Ⅰ、Ⅱ分别有磁感应强度大小为B、B/2的匀强磁场，磁场方向均垂直纸面向外。区域Ⅰ下方有一粒子源和加速电场组成的发射器，可将质量为m、电荷量为q的粒子由电场加速到v0。改变发射器的位置，使带电粒子在OF范围内都沿着y轴正方向以相同的速度v0沿纸面射入区域Ⅰ。已知某粒子从P点射入区域Ⅰ，并从Q点射入区域Ⅱ（不计粒子的重力和粒子之间的影响） （1）求加速电场两板间的电压U和区域Ⅰ的半径R； （2）在能射入区域Ⅲ的粒子中，某粒子在区域Ⅱ中运动的时间最短，求该粒子在区域Ⅰ和区域Ⅱ中运动的总时间t； （3）在区域Ⅲ加入匀强磁场和匀强电场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里，电场强度的大小E＝Bv0，方向沿x轴正方向。此后，粒子源中某粒子经区域Ⅰ、Ⅱ射入区域Ⅲ，进入区域Ⅲ时速度方向与y轴负方向的夹角成74°角。当粒子动能最大时，求粒子的速度大小及所在的位置到y轴的距离（，）。 【答案】（1）；（2）；（3）， 【解析】 （1）根据动能定理得 粒子进入区域I做匀速圆周运动，根据题意某粒子从P点射入区域Ⅰ，并从Q点射入区域Ⅱ 故可知此时粒子的运动轨迹半径与区域Ⅰ的半径R相等，粒子在磁场中运动洛伦兹力提供向心力 （2）带电粒子在OF范围内都沿着y轴正方向以相同的速度v0沿纸面射入区域Ⅰ 由（1）可得，粒子的在磁场中做匀速圆周运动，轨迹半径均为R 因在区域Ⅰ中的磁场半径和轨迹半径相等，粒子射入点、区域Ⅰ圆心O1、轨迹圆心O′、粒子出射点四点构成菱形 由几何关系可得，区域Ⅰ圆心O1和粒子出射点连线平行于粒子射入点与轨迹圆心O′连线 则区域Ⅰ圆心O1和粒子出射点水平，根据磁聚焦原理可知粒子都从Q点射出 粒子射入区域II，仍做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则 要使粒子在区域Ⅱ中运动的时间最短，轨迹所对应的圆心角应最小 可知在区域Ⅱ中运动的圆弧所对的弦长最短 即此时最短弦长为区域Ⅱ的磁场圆半径2R 此时在区域Ⅱ和区域Ⅰ中运动轨迹所对应的圆心角都为60° 粒子在两区域磁场中运动周期分别为 ， 故可得该粒子在区域Ⅰ和区域Ⅱ中运动的总时间 （3）如图所示，将速度v0分解为沿y轴正方向的速度v0及速度v′ 因E＝Bv0，可得qE＝qv0B 即沿y轴正方向的速度v0产生的洛伦兹力与电场力平衡 粒子同时受到另一方向的洛伦兹力qv′B 故粒子沿y轴正方向做旋进运动 根据几何关系可得v′＝2v0sin53°＝1.6v0 当v′方向竖直向上时粒子速度最大，最大速度 vm＝v0＋1.6v0＝2.6v0 根据几何关系可知此时所在的位置到y轴的距离 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$