复数专题讲义-2025届高三数学一轮复习

复 数 课标要求； 1.通过方程的解，认识复数. 2.理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义. 3.掌握复数的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义. 考情分析； 近几年高考在此处都有命题，主要考查复数及其有关概念、复数的四则运算，预计2025年高考会考查复数运算，属于低档题目. 理一理 1. 复数的有关概念 （1） 复数的定义 形如的数叫做复数，其中实部是①  ，虚部是②  . （2） 复数的分类 复数分类如下： =   =       （3） 复数相等 ⑨  且  . （4） 共轭复数 与共轭 ⑩  且  . （5） 复数的模 向量的模叫做复数的模或绝对值，记作⑪  或⑫  ,即⑬  . ［提醒］ 一个复数为纯虚数，不仅要求实部为0，还要求虚部不为0. 2.复数的几何意义 （1）复数复平面内的点. （2）复数平面向量. ［提醒］ 复数 的对应点的坐标为，而不是. 3. 复数的运算 （1） 复数的加、减、乘、除运算法则：设，,,,,.       （2） 复数加法的运算律，设,,，则复数加法满足以下运算律： ①交换律:⑰  ; ②结合律：⑱  . （3） 复数乘法的运算律：设,,，则复数乘法满足以下运算律： ①交换律：⑲  ； ②结合律：⑳  ； ③分配律：㉑  . 记一记 1.，，. 2.,，,，. 3.,,. 用一用 1. 已知复数，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. [解析]选.因为，，所以，则.故选. 2. 若复数（为虚数单位），则 [解析]因为，则，所以. 核心考点⇄师生共研 考点一 复数的有关概念 例1 （1） [2023·全国甲卷]设,，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 [解析]因为, 所以 且, 解得.故选. （2） 如果复数是纯虚数，那么实数的值为 [解析]，因为此复数为纯虚数， 所以 解得 或. 解题技法 解决复数概念问题的两个注意事项 对点训练 1. 已知（,，为虚数单位），则 的共轭复数为（ ） A. B. C. D. [解析]选.由，得，即, 所以 解得 所以,则其共轭复数为. 2. （多选）若复数，其中为虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A. 的虚部为 B. C. 为纯虚数 D. 的共轭复数为 [解析]选.，的虚部为，，故,正确；因为，所以 为纯虚数，故 正确；的共轭复数为，故 错误. 考点二 复数的几何意义 例2 （1） 如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 [解析]由复数的几何意义知,，则，在复平面内对应的点的坐标为，位于第三象限.故选. （2） 已知，则的最大值是 [解析]设,,，在复平面内对应的点为，则有，即，则点 在以 为圆心，2为半径的圆上. ，，表示点 与点 的距离，如图所示， 由图可知，，即 的最大值为7. 解题技法 复数的几何意义及应用 （1）复数、复平面上的点及向量相互联系，即. （2）由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观. 对点训练 1. 已知复数，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 [解析]选.，故，对应点的坐标为，所以 在复平面内对应的点位于第四象限. 2. 设复数满足，在复平面内对应的点的坐标为，则（ ） A. B. C. D. [解析]选.因为 在复平面内对应的点的坐标为，所以.因为，所以，所以. 考点三 复数的运算 例3 （1） [2023·新课标Ⅰ卷]已知,则（ ） A. B. C. 0 D. 1 [解析]因为,所以,所以.故选. （2） [2024·山东潍坊统考]若复数满足，则（ ） A. B. C. D. [解析]由题意，得.故选. 解题技法 复数代数形式运算的策略 对点训练 1. 已知为虚数单位，则（ ） A. 5 B. C. D. [解析]选.方法一：.故选. 方法二：.故选. 2. 设复数满足,则（ ） A. B. C. D. [解析]选.由,得,所以.故选. 课后达标⇄分级演练 A 基础达标 1. 设，若复数的虚部与复数的虚部相等，则（ ） A. B. C. D. [解析]选.由题意得，则，因此.故选. 2. [2024·河北石家庄质检]复数在复平面内对应的点为，则（ ） A. 8 B. 4 C. D. [解析]选.由题可得,所以，则，所以.故选. 3. [2024·重庆调研]已知，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 [解析]选.因为，所以，所以，则 在复平面内对应的点为，位于第二象限.故选. 4. [2024·辽宁沈阳模拟]已知（是虚数单位）是关于的方程的一个根，则（ ） A. 9 B. 1 C. D. [解析]选.已知（是虚数单位）是关于 的方程 的一个根，则，即，即 解得 故.故选. 5. 在复平面内，已知复数与对应的点关于轴对称，则（ ） A. B. C. D. [解析]选.设，则,,因为复数 与 对应的点关于 轴对称， 所以 解得 则,.故选. 6. 复数满足（为虚数单位），为复数的共轭复数，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. [解析]选.由题意，得,，，则，，,.故选. 7. （多选）若复数满足（其中是虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A. 的虚部为 B. 的模为 C. 的共轭复数为 D. 在复平面内对应的点位于第四象限 [解析]选.由 得，所以 的虚部为，错误；的模为,正确；的共轭复数为，错误；在复平面内对应的点为，位于第四象限，正确. 8. （多选）已知复数满足，且复数在复平面内对应的点在第一象限，则下列结论正确的是（ ） A. 复数的虚部为 B. C. D. 复数的共轭复数为 [解析]选.设,，且,，因为,即,所以 解得 所以.对于,复数 的虚部为，故 不正确；对于，,故 正确；对于，因为,，所以，故 正确；对于，的共轭复数为,故 不正确. 9. 已知复数满足（为虚数单位），则的模为 [解析]由题知，，则. 10. 已知，若为实数，则  , [解析],因为 为实数，所以,解得，所以. 11. （人教A版必修第二册P80习题7.2 T2改编）已知复数，，在复平面内对应的点分别为，，，若四边形为平行四边形（为复平面的坐标原点），则复数的模为 [解析]设，则，而，, 由题知，， 即 解得 所以. 12. 已知，且，为虚数单位，则的最大值是 [解析]由题意得，在复平面内对应的点 在以 为圆心，1为半径的圆上，表示点 到点 的距离，，所以. B 综合运用 13. [2024·江苏南京、盐城模拟]若复数满足，则复数在复平面内对应点组成的图形的面积为（ ） A. B. C. D. [解析]选.令,则，即，所以复数 在复平面内对应的点在以 为圆心，2为半径的圆内（含边界），所以复数 在复平面内对应点组成的图形的面积为 .故选. 14. 已知复数数列满足，，，为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. [解析]选.因为,，所以，,，, ，所以数列 是以4为周期的周期数列，所以.故选. 15. （多选）已知为虚数单位，若，则可以是（ ） A. 2 020 B. 2 022 C. 2 024 D. 2 026 [解析]选.因为，，所以， 所以若 成立，则 为偶数即可.故选. 16. [2024·辽宁东北育才学校模考]18世纪末期，挪威测量学家韦塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义.例如，，即复数的模的几何意义为在复平面内对应的点到原点的距离.在复平面内，若复数对应的点为，为曲线上的动点，则与之间的最小距离为4. [解析]因为，所以.又因为曲线 表示以 为圆心，1为半径的圆，且,故 与 之间的最小距离为. 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 复 数 课标要求； 1.通过方程的解，认识复数. 2.理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义. 3.掌握复数的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义. 考情分析； 近几年高考在此处都有命题，主要考查复数及其有关概念、复数的四则运算，预计2025年高考会考查复数运算，属于低档题目. 理一理 1. 复数的有关概念 （1） 复数的定义 形如的数叫做复数，其中实部是①  ，虚部是②  . （2） 复数的分类 复数分类如下： =   =       （3） 复数相等 ⑨  且  . （4） 共轭复数 与共轭 ⑩  且  . （5） 复数的模 向量的模叫做复数的模或绝对值，记作⑪  或⑫  ,即⑬  . ［提醒］ 一个复数为纯虚数，不仅要求实部为0，还要求虚部不为0. 2.复数的几何意义 （1）复数复平面内的点. （2）复数平面向量. ［提醒］ 复数 的对应点的坐标为，而不是. 3. 复数的运算 （1） 复数的加、减、乘、除运算法则：设，,,,,.       （2） 复数加法的运算律，设,,，则复数加法满足以下运算律： ①交换律:⑰  ; ②结合律：⑱  . （3） 复数乘法的运算律：设,,，则复数乘法满足以下运算律： ①交换律：⑲  ； ②结合律：⑳  ； ③分配律：㉑  . 记一记 1.，，. 2.,，,，. 3.,,. 用一用 1. 已知复数，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 2. 若复数（为虚数单位），则 核心考点⇄师生共研 考点一 复数的有关概念 例1 （1） [2023·全国甲卷]设,，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 （2） 如果复数是纯虚数，那么实数的值为 解题技法 解决复数概念问题的两个注意事项 对点训练 1. 已知（,，为虚数单位），则 的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 2. （多选）若复数，其中为虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A. 的虚部为 B. C. 为纯虚数 D. 的共轭复数为 考点二 复数的几何意义 例2 （1） 如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 （2） 已知，则的最大值是 解题技法 复数的几何意义及应用 （1）复数、复平面上的点及向量相互联系，即. （2）由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观. 对点训练 1. 已知复数，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 设复数满足，在复平面内对应的点的坐标为，则（ ） A. B. C. D. 考点三 复数的运算 例3 （1） [2023·新课标Ⅰ卷]已知,则（ ） A. B. C. 0 D. 1 （2） [2024·山东潍坊统考]若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 解题技法 复数代数形式运算的策略 对点训练 1. 已知为虚数单位，则（ ） A. 5 B. C. D. 2. 设复数满足,则（ ） A. B. C. D. 课后达标⇄分级演练 A 基础达标 1. 设，若复数的虚部与复数的虚部相等，则（ ） A. B. C. D. 2. [2024·河北石家庄质检]复数在复平面内对应的点为，则（ ） A. 8 B. 4 C. D. 3. [2024·重庆调研]已知，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. [2024·辽宁沈阳模拟]已知（是虚数单位）是关于的方程的一个根，则（ ） A. 9 B. 1 C. D. 5. 在复平面内，已知复数与对应的点关于轴对称，则（ ） A. B. C. D. 6. 复数满足（为虚数单位），为复数的共轭复数，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 7. （多选）若复数满足（其中是虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A. 的虚部为 B. 的模为 C. 的共轭复数为 D. 在复平面内对应的点位于第四象限 8. （多选）已知复数满足，且复数在复平面内对应的点在第一象限，则下列结论正确的是（ ） A. 复数的虚部为 B. C. D. 复数的共轭复数为 9. 已知复数满足（为虚数单位），则的模为 10. 已知，若为实数，则  , 11. （人教A版必修第二册P80习题7.2 T2改编）已知复数，，在复平面内对应的点分别为，，，若四边形为平行四边形（为复平面的坐标原点），则复数的模为 12. 已知，且，为虚数单位，则的最大值是 B 综合运用 13. [2024·江苏南京、盐城模拟]若复数满足，则复数在复平面内对应点组成的图形的面积为（ ） A. B. C. D. 14. 已知复数数列满足，，，为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 15. （多选）已知为虚数单位，若，则可以是（ ） A. 2 020 B. 2 022 C. 2 024 D. 2 026 16. [2024·辽宁东北育才学校模考]18世纪末期，挪威测量学家韦塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义.例如，，即复数的模的几何意义为在复平面内对应的点到原点的距离.在复平面内，若复数对应的点为，为曲线上的动点，则与之间的最小距离为4. 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $$