平面向量与三角形的“四心”讲义-2025届高三数学一轮复习

培优9 平面向量与三角形的“四心” 已知，，，是所在平面上的任意点，,,分别为三个内角，，所对的边. 垂心 为垂心 简证：.余下证明同理，略 重心 为重心 简证：以，为邻边作平行四边形，对角线交于，则为的中点.由于，所以，于是，，共线，且.余下证明同理，略 外心 为外心 简证：.余下证明同理，略 内心 为内心 简证：,即,而，，则,知在的平分线上.余下证明同理，略 类型一 平面向量与三角形的“重心”问题 典例1 已知,,是平面上不共线的三点，为坐标原点，动点满足,，则点的轨迹一定经过（ ） A. 的内心 B. 的垂心 C. 的重心 D. 边的中点 [解析]取 的中点，则. 因为. 又，所以,,三点共线， 所以点 的轨迹一定经过 的重心. 类型二 平面向量与三角形的“外心”问题 典例2 已知点为的外心，边的长为2，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 [解析] 因为点 为 的外心，设 的中点为,连接,则,如图.所以. 类型三 平面向量与三角形的“垂心”问题 典例3 已知是平面上的一个定点，,,是平面上不共线的三个点，动点满足，,则动点的轨迹一定经过的（ ） A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心 [解析]由题知，，所以,所以，所以点 在 的高线上，即动点 的轨迹一定经过 的垂心. 类型四 平面向量与三角形的“内心”问题 典例4 已知在中，，，，则直线经过的（ ） A. 重心 B. 外心 C. 垂心 D. 内心 [解析]由题知，. 设，，则. 因为， 所以 平分，即 平分， 所以直线 经过 的内心. 【跟踪训练】 1. 已知点是的内心、外心、重心、垂心之一，且满足,则点一定是的（ ） A. 内心 B. 外心 C. 重心 D. 垂心 [解析]选.设 为 的中点，可得,因为,所以，即，移项得,即,得.结合 为 的中点，可得点 在 的垂直平分线上，又点 是 的内心、外心、重心和垂心之一，所以结合三角形外接圆的性质，得点 是 的外心. 2. 设,分别为斜三角形的外心与垂心，若，则1. [解析] 如图所示，因为,,所以,所以,取 的中点,连接,则，所以,.又，所以，所以,即,因为 不恒为0，所以必有，解得. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优9 平面向量与三角形的“四心” 已知，，，是所在平面上的任意点，,,分别为三个内角，，所对的边. 垂心 为垂心 简证：.余下证明同理，略 重心 为重心 简证：以，为邻边作平行四边形，对角线交于，则为的中点.由于，所以，于是，，共线，且.余下证明同理，略 外心 为外心 简证：.余下证明同理，略 内心 为内心 简证：,即,而，，则,知在的平分线上.余下证明同理，略 类型一 平面向量与三角形的“重心”问题 典例1 已知,,是平面上不共线的三点，为坐标原点，动点满足,，则点的轨迹一定经过（ ） A. 的内心 B. 的垂心 C. 的重心 D. 边的中点 类型二 平面向量与三角形的“外心”问题 典例2 已知点为的外心，边的长为2，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 类型三 平面向量与三角形的“垂心”问题 典例3 已知是平面上的一个定点，,,是平面上不共线的三个点，动点满足，,则动点的轨迹一定经过的（ ） A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心 类型四 平面向量与三角形的“内心”问题 典例4 已知在中，，，，则直线经过的（ ） A. 重心 B. 外心 C. 垂心 D. 内心 【跟踪训练】 1. 已知点是的内心、外心、重心、垂心之一，且满足,则点一定是的（ ） A. 内心 B. 外心 C. 重心 D. 垂心 2. 设,分别为斜三角形的外心与垂心，若，则1. 学科网（北京）股份有限公司 $$