平面向量的数量积及应用讲义-2025届高三数学一轮复习

第3讲 平面向量的数量积及应用 课标要求； 1.理解平面向量数量积的含义及几何意义. 2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系. 3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算. 4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他实际问题. 考情分析； 高考命题常以向量、平面几何图形为载体，考查向量的夹角、模、向量共线、垂直.求参数值、数量积是高考的热点，常以选择题、填空题的形式出现.预计2025年高考，平面向量数量积的概念及运算，与长度、夹角、平行、垂直有关的问题仍是考查的热点，会以选择题或填空题的形式出现. 理一理 1. 向量的夹角 （1） 定义：已知两个非零向量和，是平面上的任意一点,作，，则①   叫做向量与的夹角. （2） 范围：向量夹角 的范围是②  . ［提醒］ 当 与 同向时， ;与 反向时， ;与 垂直时， . 2. 平面向量的数量积 （1） 定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为 ,把数量③  叫做向量与的数量积（或内积），记作，即④  . 规定：零向量与任一向量的数量积为⑤0. （2） 投影向量 如图，在平面内任取一点，作,，过点作直线的垂线，垂足为，则⑥  就是向量在向量上的投影向量. 设与方向相同的单位向量为,与的夹角为 ，则与,, 之间的关系为⑦  . （3） 运算律 ①. ②. ③⑧  . 3. 平面向量数量积的性质及坐标表示 已知非零向量,,与的夹角为 . 向量的有关概念 几何表示 坐标表示 模 ⑨   ⑩   夹角 ⑪   的充要条件 ⑫   ⑬   与的关系 ⑭   记一记 1.平面向量数量积运算的常用公式 （1）； （2）. 2.有关向量夹角的两个结论 （1）两向量与的夹角为锐角且与不共线. （2）两向量与的夹角为钝角且与不共线. 3.在上的投影向量为，在上的投影向量的模为. 4.极化恒等式 （1）极化恒等式：. （2）变式:, . （3）极化恒等式的几何意义：如图，在中，设为的中点，则,即向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差. 用一用 1. 已知向量,满足，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 2. 已知向量，，且，则2，向量在向量上的投影向量为 核心考点⇄师生共研 考点一 平面向量数量积的运算 例1 [2023·全国乙卷]（一题多解）已知正方形的边长为2，为的中点，则（ ） A. B. 3 C. D. 5 解题技法 求两个向量的数量积的三种方法 对点训练 1. 已知非零向量，，满足，与的夹角为 ，且，则（ ） A. 0 B. C. D. 2. [2024·重庆名校联盟联考]已知单位向量,满足，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 3. [2024·湖北武汉质检]已知在中，，，，若点满足,则（ ） A. B. C. 1 D. 考点二 平面向量数量积的应用 角度1 平面向量的模 例2 [2023·新课标Ⅱ卷]已知向量，满足，，则 ． 解题技法 求平面向量的模的两种方法 角度2 平面向量的夹角 例3 （1） [2023·全国甲卷]已知向量,，则,（ ） A. B. C. D. （2） [2024·山东济南学情检测]已知向量,满足,，则向量,的夹角为（ ） A. B. C. D. 解题技法 求平面向量的夹角的方法 （1）定义法：， 的取值范围为. （2）坐标法：若,,则. 角度3 平面向量的垂直问题 例4 已知,,,若与的夹角为 ，且，则（ ） A. B. C. 6 D. 4 解题技法 有关平面向量垂直的两类题型 （1）若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可. （2）根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数. 对点训练 1. [2023·新课标Ⅰ卷]已知向量,.若，则（ ） A. B. C. D. 2. [2024·山东聊城模拟]已知在梯形中，,,，则的余弦值为（ ） A. B. C. D. 3. 在菱形中，， ，点是线段上的一点，已知，则线段的长为 考点三 与向量数量积有关的最值（范围）问题 例5 （一题多解）已知圆的半径为1，，为该圆的两条切线，，为两切点，那么的最小值为（ ） A. B. C. D. 解题技法 求向量数量积的最值或范围问题的关键 （1）会计算向量的数量积，有关向量数量积的计算通常有两种方法：数量积的定义、坐标运算. （2）求目标代数式，通过引入参数求出向量数量积，转化为关于参数的函数，此时，常利用函数的单调性、配方法、基本不等式求出向量数量积的最值或范围. 对点训练 1. 在梯形中，， ，，，若在线段上运动，且，则的最小值为 2. [2024·重庆调研]已知在矩形中，,，点为边的中点，点为线段上的动点，则的取值范围是 课后达标⇄分级演练 A 基础达标 1. 已知，为单位向量，向量在向量上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，满足，，，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 3. 在中，，, ，是线段上任意一点，则的最小值是 （ ） A. B. C. D. 4. [2024·山东济南模拟]（多选）已知平面向量,，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 与的夹角为钝角 D. 向量在向量上的投影向量的模为 5. （多选）在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况.假设行李包所受的重力为，所受的两个拉力分别为，，若且与的夹角为 ，则以下结论正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的范围为 C. 当时， D. 当时， 6. [2022·全国甲卷]设向量，的夹角的余弦值为，且，，则 7. （人教A版必修第二册P60T8改编）已知向量，向量满足,，则  ；若,则实数 的值为 8. [2024·广东模拟]如图所示，,,,是正弦函数图象上的四个点，且在,两点函数值最大，在,两点函数值最小，则 9. 已知向量，. （1） 若，求的值； （2） 若，求向量与的夹角的大小. B 综合运用 10. [2024·山东济南检测]已知非零向量,满足,且,则为（ ） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 11. 已知外接圆的半径等于1，其圆心满足,，则在上的投影向量的模为（ ） A. B. C. D. 3 12. 已知为等边三角形，，所在平面内的点满足,则的最小值为（ ） A. B. C. D. 13. 在平面直角坐标系中，点，，. （1） 求以线段,为邻边的平行四边形的两条对角线的长； （2） 设实数满足，求的值. C 素养提升 14. 在如图所示的平面直角坐标系中，已知点，，,且 ，其中为坐标原点. （1） 若，设点为线段上的动点，求的最小值； （2） 若，向量,，求的最小值及对应的 值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3讲 平面向量的数量积及应用 课标要求； 1.理解平面向量数量积的含义及几何意义. 2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系. 3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算. 4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他实际问题. 考情分析； 高考命题常以向量、平面几何图形为载体，考查向量的夹角、模、向量共线、垂直.求参数值、数量积是高考的热点，常以选择题、填空题的形式出现.预计2025年高考，平面向量数量积的概念及运算，与长度、夹角、平行、垂直有关的问题仍是考查的热点，会以选择题或填空题的形式出现. 理一理 1. 向量的夹角 （1） 定义：已知两个非零向量和，是平面上的任意一点,作，，则①   叫做向量与的夹角. （2） 范围：向量夹角 的范围是②  . ［提醒］ 当 与 同向时， ;与 反向时， ;与 垂直时， . 2. 平面向量的数量积 （1） 定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为 ,把数量③  叫做向量与的数量积（或内积），记作，即④  . 规定：零向量与任一向量的数量积为⑤0. （2） 投影向量 如图，在平面内任取一点，作,，过点作直线的垂线，垂足为，则⑥  就是向量在向量上的投影向量. 设与方向相同的单位向量为,与的夹角为 ，则与,, 之间的关系为⑦  . （3） 运算律 ①. ②. ③⑧  . 3. 平面向量数量积的性质及坐标表示 已知非零向量,,与的夹角为 . 向量的有关概念 几何表示 坐标表示 模 ⑨   ⑩   夹角 ⑪   的充要条件 ⑫   ⑬   与的关系 ⑭   记一记 1.平面向量数量积运算的常用公式 （1）； （2）. 2.有关向量夹角的两个结论 （1）两向量与的夹角为锐角且与不共线. （2）两向量与的夹角为钝角且与不共线. 3.在上的投影向量为，在上的投影向量的模为. 4.极化恒等式 （1）极化恒等式：. （2）变式:, . （3）极化恒等式的几何意义：如图，在中，设为的中点，则,即向量的数量积可转化为中线长与半底边长的平方差. 用一用 1. 已知向量,满足，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 [解析]选.由题意得，，即，整理得， 则.故选. 2. 已知向量，，且，则2，向量在向量上的投影向量为 [解析]由题意可得，解得.，则向量 在向量 上的投影向量为. 核心考点⇄师生共研 考点一 平面向量数量积的运算 例1 [2023·全国乙卷]（一题多解）已知正方形的边长为2，为的中点，则（ ） A. B. 3 C. D. 5 思路一：以,为基底 表示， 计算. 思路二：建立平面直角坐标系 用坐标表示， 计算. 思路三：利用已知计算， 计算 计算. [解析]方法一：以,为基底，可知,，则, , 所以.故选. 方法二：如图，以 为坐标原点，,所在直线为 轴，轴，建立平面直角坐标系，则,,，可得,,所以. 方法三：由题意可得,, 在 中，由余弦定理的推论可得, 所以.故选. 解题技法 求两个向量的数量积的三种方法 对点训练 1. 已知非零向量，，满足，与的夹角为 ，且，则（ ） A. 0 B. C. D. [解析]选.设，因为 与 的夹角为 ， 所以. 因为非零向量，，满足， 所以， 所以.故选. 2. [2024·重庆名校联盟联考]已知单位向量,满足，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. [解析]选.设向量 与 的夹角为 ，则所求投影向量为.因为，所以，又，，所以，所以.故选. 3. [2024·湖北武汉质检]已知在中，，，，若点满足,则（ ） A. B. C. 1 D. [解析]选.由题意得，,,又,，，所以，所以.故选. 考点二 平面向量数量积的应用 角度1 平面向量的模 例2 [2023·新课标Ⅱ卷]已知向量，满足，，则 ． [解析]由,得,即.①由,得,整理得，结合①，得，整理得,所以. 解题技法 求平面向量的模的两种方法 角度2 平面向量的夹角 例3 （1） [2023·全国甲卷]已知向量,，则,（ ） A. B. C. D. [解析]由题意知，,,所以,.故选. （2） [2024·山东济南学情检测]已知向量,满足,，则向量,的夹角为（ ） A. B. C. D. [解析]由题得，因为，所以，所以，则,，又, ，所以, .故选. 解题技法 求平面向量的夹角的方法 （1）定义法：， 的取值范围为. （2）坐标法：若,,则. 角度3 平面向量的垂直问题 例4 已知,,,若与的夹角为 ，且，则（ A ） A. B. C. 6 D. 4 [解析]由题意得, .所以.故选. 解题技法 有关平面向量垂直的两类题型 （1）若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可. （2）根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数. 对点训练 1. [2023·新课标Ⅰ卷]已知向量,.若，则（ ） A. B. C. D. [解析]选.由题可得，,，因为，所以，所以,整理得.故选. 2. [2024·山东聊城模拟]已知在梯形中，,,，则的余弦值为（ ） A. B. C. D. [解析]选. 如图，,,所以，所以.故选. 3. 在菱形中，， ，点是线段上的一点，已知，则线段的长为 [解析]因为点 是线段 上的一点, 所以， 所以， 解得,即线段 的长为，所以. 考点三 与向量数量积有关的最值（范围）问题 例5 （一题多解）已知圆的半径为1，，为该圆的两条切线，，为两切点，那么的最小值为（ ） A. B. C. D. 思路一：令可表示为关于的函数结果. 思路二：若以圆心到线段中点的距离为变量可表示为关于的函数结果. 思路三：建立平面直角坐标系 数量积的坐标运算结果. [解析]方法一：如图所示，设, ,则，.所以有，当且仅当 时等号成立. 所以.故选. 方法二：如图所示，设 的中点为 且，则,在 中，由直角三角形射影定理有,所以，所以.当且仅当 时等号成立，所以.故选. 方法三：如图所示，以 为坐标原点,所在直线为 轴，过 点垂直于 的直线为 轴建立平面直角坐标系，则圆 的方程为， 设，，. ,因为，所以，当且仅当 时等号成立，所以.故选. 解题技法 求向量数量积的最值或范围问题的关键 （1）会计算向量的数量积，有关向量数量积的计算通常有两种方法：数量积的定义、坐标运算. （2）求目标代数式，通过引入参数求出向量数量积，转化为关于参数的函数，此时，常利用函数的单调性、配方法、基本不等式求出向量数量积的最值或范围. 对点训练 1. 在梯形中，， ，，，若在线段上运动，且，则的最小值为 [解析]如图所示，以 为坐标原点，的方向为 轴正方向，的方向为 轴正方向，建立平面直角坐标系，则,,,.不妨设,, 则,, 所以 , 所以当 时，取得最小值，最小值为. 2. [2024·重庆调研]已知在矩形中，,，点为边的中点，点为线段上的动点，则的取值范围是 [解析]方法一：.设，则，则.所以.因为，所以，即. 方法二：如图所示，以 为坐标原点，,所在直线分别为 轴,轴建立平面直角坐标系， 则，，,设，则，，则.因为，所以，即. 课后达标⇄分级演练 A 基础达标 1. 已知，为单位向量，向量在向量上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. [解析]选.设 与 的夹角为，则向量 在向量 上的投影向量为，所以，所以. 2. 已知向量，满足，，，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 [解析]选.由题知，，即，所以（负值已舍去）.故选. 3. 在中，，, ，是线段上任意一点，则的最小值是 （ ） A. B. C. D. [解析]选. 设，, ，由二次函数性质知，当 时， 取最小值,最小值为，故 的最小值是. 4. [2024·山东济南模拟]（多选）已知平面向量,，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 与的夹角为钝角 D. 向量在向量上的投影向量的模为 [解析]选.由题得，所以 正确；，所以 不正确；因为，且 与 不平行，所以 与 的夹角为锐角，所以 不正确；向量 在向量 上的投影向量的模为，所以 正确.故选. 5. （多选）在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况.假设行李包所受的重力为，所受的两个拉力分别为，，若且与的夹角为 ，则以下结论正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的范围为 C. 当时， D. 当时， [解析]选.由题意知，，可得，两边同时平方得,所以.当 时，；当 时，；当 时，；当 时，竖直方向没有分力与重力平衡，不成立，所以，故，，正确，错误. 6. [2022·全国甲卷]设向量，的夹角的余弦值为，且，，则 [解析]设 与 的夹角为 ，则. 又，，所以， 所以. 7. （人教A版必修第二册P60T8改编）已知向量，向量满足,，则  ；若,则实数 的值为 [解析]设,的夹角为 ，因为，所以.因为，所以.因为，所以，所以,即，解得. 8. [2024·广东模拟]如图所示，,,,是正弦函数图象上的四个点，且在,两点函数值最大，在,两点函数值最小，则 [解析]由题图知，，，,，所以,,,，所以,，所以. 9. 已知向量，. （1） 若，求的值； 解：由题意得， 由，可得， 解得，即,所以. （2） 若，求向量与的夹角的大小. [答案] 由题意得，， 故，所以， 所以,, 因为,，所以 与 的夹角是. B 综合运用 10. [2024·山东济南检测]已知非零向量,满足,且,则为（ ） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 [解析]选.由，得，又 ，所以.由,得,所以角 的平分线垂直于，所以,所以 为等边三角形.故选. 11. 已知外接圆的半径等于1，其圆心满足,，则在上的投影向量的模为（ ） A. B. C. D. 3 [解析]选. 由题意得，点 在 上，且 为 的中点，如图，所以 是 外接圆的直径,故 .因为，所以 是等边三角形，所以 ，所以 .在 中，.所以 在 上的投影向量的模为.故选. 12. 已知为等边三角形，，所在平面内的点满足,则的最小值为（ ） A. B. C. D. [解析]选.因为，所以,所以,当且仅当 与 方向相反时，等号成立.因此 的最小值为.故选. 13. 在平面直角坐标系中，点，，. （1） 求以线段,为邻边的平行四边形的两条对角线的长； 解：由题设知,,则,. 所以，. 故所求的两条对角线的长分别为，. （2） 设实数满足，求的值. [答案] 方法一：由题设知， . 由, 得， 从而，所以. 方法二：由题设得, ,, 则. C 素养提升 14. 在如图所示的平面直角坐标系中，已知点，，,且 ，其中为坐标原点. （1） 若，设点为线段上的动点，求的最小值； 解：设， 由题意知， 所以, 所以, 所以当 时，取最小值，最小值为. （2） 若，向量,，求的最小值及对应的 值. [答案] 由题意得, ， 则 ， 因为，所以， 所以当， 即 时，取得最大值，最大值为1， 此时 取得最小值，最小值为.此时. 学科网（北京）股份有限公司 $$