第1讲 平面向量的概念及线性运算 讲义-2025届高三数学一轮复习

第1讲 平面向量的概念及线性运算 课标要求； 1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义，理解向量的几何表示. 2.掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义. 3.掌握向量的数乘运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义. 4.了解向量线性运算的性质及其几何意义. 考情分析； 虽然近两年在本讲没有直接命题，但在考查其他知识点时，经常涉及向量的加法、减法及数乘运算以及它们的几何意义.预计2025年高考仍会考查线性运算，题型以选择题、填空题为主，难度属中、低档. 理一理 1. 向量的有关概念 （1） 向量：既有大小又有①方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的②模. （2） 零向量：长度为③0的向量，其方向是任意的. （3） 单位向量：长度等于④1个单位长度的向量. （4） 平行向量：方向相同或⑤相反的非零向量，又叫共线向量，规定：与任意向量平行. （5） 相等向量：长度相等且方向⑥相的向量. （6） 相反向量：长度相等且方向⑦相反的向量. ［提醒］ 单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同；与向量 平行的单位向量有两个，即向量 和. 2. 向量的线性运算 向量运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算 交换律：⑧  ; 结合律：⑨   减法 求两个向量差的运算 数乘 求实数 与向量的积的运算 ⑩  ，当时,与的方向⑪相同； 当时,与 的方向⑫相反； 当时，⑬   ⑭  ; ⑮  ; ⑯   3. 向量共线定理 向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数 ，使⑰  . ［提醒］ 只有 才能保证实数 的存在性和唯一性. 记一记 1.若为线段的中点,为平面内任一点,则 2.若为的重心，则有 （1）;（2）. 3.（ , 为实数），若点,,共线，则. 用一用 1. 设,,在一条直线上，在该直线外，已知,则 [解析]因为,,三点共线，所以,解得. 2. 如图，点在的内部，为边的中点，且,则的面积与的面积的比值为 [解析]因为 为 的中点，则,又,所以,所以 为 的中点.又因为 为 的中点，所以,则. 核心考点⇄师生共研 考点一 平面向量的有关概念 例1 （多选）下列命题中的真命题是（ ） A. 若，则 B. 若,,,是不共线的四点，则“”是“四边形为平行四边形”的充要条件 C. 若,,则 D. 的充要条件是且 [解析]两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同，不正确;因为,所以 且,又,,,是不共线的四点，所以四边形 为平行四边形；反之，若四边形 为平行四边形，则,且,方向相同，因此,正确;因为,所以,的长度相等且方向相同，又,所以,的长度相等且方向相同，所以,的长度相等且方向相同，故,正确;当 且方向相反时，即使,也不能得到,故 且 不是 的充要条件，而是必要不充分条件，不正确.故选. 解题技法 平面向量有关概念的四个关注点 （1）相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性. （2）共线向量即为平行向量,它们均与起点和终点无关. （3）向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量,解题时,不要把它与函数图象的移动混淆. （4）非零向量与的关系：是与同方向的单位向量. 对点训练 1. 设，为非零向量，则下列四个条件中，使成立的充分条件是（ ） A. B. C. D. 且 [解析]选.因为向量 与向量 方向相同，向量 与向量 方向相同，且，所以向量 与向量 方向相同，故可排除选项，，. 当 时，，故“”是“”成立的充分条件. 2. 给出下列命题，其中叙述正确的为（ ） A. 向量的长度与向量的长度相等 B. 向量与平行，则与的方向相同或相反 C. 与方向相反 D. 若非零向量与非零向量的方向相同或相反，则与,之一的方向相同 [解析]选.与 是相反向量，长度相等，故 正确；当,其中之一为 时,,不成立,故，错误；当 时，不成立，故 错误.故选. 考点二 平面向量的线性运算 角度1 向量加、减法的几何意义 例2 若向量,，且，则向量与向量所在直线的夹角是 .（用弧度表示） [解析]设,,以，为邻边作，如图所示， 则,. 因为, 所以, 所以 是等边三角形， 所以，四边形 为菱形. 在菱形 中，对角线 平分， 所以向量 与向量 所在直线的夹角是. 解题技法 角度2 向量的线性运算（链接高考） 例3 [2022·新高考Ⅰ卷]在中，点在边上，.记,，则（ ） A. B. C. D. ［分析及溯源］ 本题考查了平面向量的线性运算，考查学生的逻辑思维能力.试题源于教材人教A版必修第二册及，，. [解析]由题知，即，所以.故选. 【考题变式】 （综合变式）在中，点在直线上，的面积与的面积比为.若,,则 [解析]由 得, 当 在线段 上时（如图1），, 即， 所以. 当 在 的延长线上时（如图2）， , 即， 所以. 综上，或. 例4 [2024·浙江嘉兴模拟]在平行四边形中，点,分别在边,上，且,,记,,则（ A ） A. B. C. D. [解析]由题可得，.故选. 解题技法 平面向量的线性运算的求解策略 角度3 根据向量线性运算求参数 例5 如图，四边形为平行四边形，,,若,则（ ） A. 1 B. C. D. [解析]由题意可知，在 中， , 因为,, 所以, 又.可得.故选. 解题技法 解决与向量的线性运算有关的参数问题,一般是构造三角形或者平行四边形，利用向量运算的三角形法则或平行四边形法则，应用其几何意义进行加法或减法运算，然后通过建立方程（组）即可求得相关参数的值. 对点训练 1. 在四边形中，若，且，则四边形为（ ） A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 梯形 [解析]选.因为，可得，所以四边形 是平行四边形. 又，可得， 所以平行四边形 的对角线相等， 因此四边形 是矩形.故选. 2. 在等腰梯形中，，点是线段的中点，若，则  ， [解析]方法一：取 的中点，连接（图略），则由题意可得，且. 因为 ， 所以，. 方法二：因为, 又, 所以, 所以， 所以,. 考点三 向量共线定理的应用 例6 设，是两个不共线的向量，已知，，. （1） 求证：，，三点共线； 【解】证明：由已知得. 因为，所以. 又 与 有公共点，所以，，三点共线. （2） 若，且，求实数的值. [答案] 由（1）知，若，且， 可设, 所以，即.又，是两个不共线的向量， 所以 解得. 解题技法 ［注意］ 证明三点共线时，需说明共线的两个向量有公共点. 对点训练 1. 已知向量与不共线，,，则与共线的条件是（ ） A. B. C. D. [解析]选.由,共线，得,即 所以. 2. 如图所示，在中，点是边的中点，过点的直线分别交,所在直线于不同的两点,,若,，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 [解析]选.连接（图略）.由于 为 的中点， 故,, 同理可得，. 由于向量,共线，故存在实数 使得， 即. 由于,不共线， 故 消去 ,化简即得.故选. 课后达标⇄分级演练 A 基础达标 1. 在正六边形中，（ ） A. B. C. D. [解析]选..故选. 2. （人教A版必修第二册P16例8改编）已知,是两个不共线的向量，向量,共线，则实数,满足的关系式为（ ） A. B. C. D. [解析]选.由向量共线知,,即 所以,即. 3. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 若,都是非零向量，,则与的方向相反 D. 若,,都是非零向量，,则 [解析]选.对于，向量不能比较大小，故 错误；对于,,故 正确；对于，因为,都是非零向量，,所以 与 的方向相同，故 错误；对于，由,不能确定,,的方向，故 错误.故选. 4. 已知点为的外接圆的圆心，且，则的内角为（ ） A. B. C. D. [解析]选.由,得.又点 为 的外接圆的圆心，根据加法的几何意义，四边形 为菱形，且 ，因此 . 5. 如图，在中，点在边上，且,点在边上，且,则用向量,表示为（ ） A. B. C. D. [解析]选.由平面向量的三角形法则及向量共线的性质可得. 6. 已知在中，点为的中点，，，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. [解析]选.依题意设，则，即，所以 故.故选. 7. （多选）已知,则下列结论正确的是（ ） A. ,,,四点共线 B. ,,三点共线 C. D. [解析]选.因为,所以，所以，因为,有公共点，所以,,三点共线，且,所以,正确，错误；由,得,所以,所以 错误. 8. （多选）设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则点是边的中点 B. 若，则点在边的延长线上 C. 若，则点是的重心 D. 若，且,则的面积是面积的 [解析]选.若，则点 是边 的中点，故 正确；若，即有，即，则点 在边 的延长线上，故 错误；若，即，则点 是 的重心，故 正确；如图，若,且，可得,设，则,,三点共线，且 为 的中点，则 的面积是 面积的，故 正确. 9. 若，，则  . [解析]由 可知，点 是线段 上靠近点 的三等分点，则，所以,解得. 10. [2024· 鄂东示范高中联考]已知向量,不共线，且向量与的方向相反，则实数 [解析]因为向量 与 的方向相反，所以,,因为,不共线，所以 则,因为,解得. 11. 若点是所在平面内的一点，且满足,则的形状为 [解析],,所以.故,,为矩形的三个顶点，为直角三角形. 12. 若点是所在平面内一点，且满足,则与的面积之比为 [解析]由题意得，即，则点 在边 上，且，所以，所以 与 的面积之比为. B 综合运用 13. 已知,,是平面上不共线的三点，是的重心，动点满足,则点一定为（ ） A. 边中线的中点 B. 边中线的三等分点（非重心） C. 的重心 D. 边的中点 [解析]选.设 的中点为,则,所以,即,也就是,因为,有公共点,所以,,三点共线，且点 是线段 上靠近 点的三等分点. 14. 我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若,,,则（ ） A. B. C. D. [解析]选.,整理得,即. 15. 已知向量,,,, ，是线段上依次从到排列的等分点，若,则1, [解析]由,,三点共线知.由题知. 16. 在直角梯形中， ， ，，，点在线段上，若，则 的取值范围是 [解析]由已知可得,, 所以. 因为点 在线段 上， 所以. 因为， 又， 所以 . 因为，所以. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1讲 平面向量的概念及线性运算 课标要求； 1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义，理解向量的几何表示. 2.掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义. 3.掌握向量的数乘运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义. 4.了解向量线性运算的性质及其几何意义. 考情分析； 虽然近两年在本讲没有直接命题，但在考查其他知识点时，经常涉及向量的加法、减法及数乘运算以及它们的几何意义.预计2025年高考仍会考查线性运算，题型以选择题、填空题为主，难度属中、低档. 理一理 1. 向量的有关概念 （1） 向量：既有大小又有①方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的②模. （2） 零向量：长度为③0的向量，其方向是任意的. （3） 单位向量：长度等于④1个单位长度的向量. （4） 平行向量：方向相同或⑤相反的非零向量，又叫共线向量，规定：与任意向量平行. （5） 相等向量：长度相等且方向⑥相的向量. （6） 相反向量：长度相等且方向⑦相反的向量. ［提醒］ 单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同；与向量 平行的单位向量有两个，即向量 和. 2. 向量的线性运算 向量运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算 交换律：⑧  ; 结合律：⑨   减法 求两个向量差的运算 数乘 求实数 与向量的积的运算 ⑩  ，当时,与的方向⑪相同； 当时,与 的方向⑫相反； 当时，⑬   ⑭  ; ⑮  ; ⑯   3. 向量共线定理 向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数 ，使⑰  . ［提醒］ 只有 才能保证实数 的存在性和唯一性. 记一记 1.若为线段的中点,为平面内任一点,则 2.若为的重心，则有 （1）;（2）. 3.（ , 为实数），若点,,共线，则. 用一用 1. 设,,在一条直线上，在该直线外，已知,则 2. 如图，点在的内部，为边的中点，且,则的面积与的面积的比值为 核心考点⇄师生共研 考点一 平面向量的有关概念 例1 （多选）下列命题中的真命题是（ ） A. 若，则 B. 若,,,是不共线的四点，则“”是“四边形为平行四边形”的充要条件 C. 若,,则 D. 的充要条件是且 解题技法 平面向量有关概念的四个关注点 （1）相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性. （2）共线向量即为平行向量,它们均与起点和终点无关. （3）向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量,解题时,不要把它与函数图象的移动混淆. （4）非零向量与的关系：是与同方向的单位向量. 对点训练 1. 设，为非零向量，则下列四个条件中，使成立的充分条件是（ ） A. B. C. D. 且 2. 给出下列命题，其中叙述正确的为（ ） A. 向量的长度与向量的长度相等 B. 向量与平行，则与的方向相同或相反 C. 与方向相反 D. 若非零向量与非零向量的方向相同或相反，则与,之一的方向相同 考点二 平面向量的线性运算 角度1 向量加、减法的几何意义 例2 若向量,，且，则向量与向量所在直线的夹角是 .（用弧度表示） 解题技法 角度2 向量的线性运算（链接高考） 例3 [2022·新高考Ⅰ卷]在中，点在边上，.记,，则（ ） A. B. C. D. 【考题变式】 （综合变式）在中，点在直线上，的面积与的面积比为.若,,则 例4 [2024·浙江嘉兴模拟]在平行四边形中，点,分别在边,上，且,,记,,则（ A ） A. B. C. D. 解题技法 平面向量的线性运算的求解策略 角度3 根据向量线性运算求参数 例5 如图，四边形为平行四边形，,,若,则（ ） A. 1 B. C. D. 解题技法 解决与向量的线性运算有关的参数问题,一般是构造三角形或者平行四边形，利用向量运算的三角形法则或平行四边形法则，应用其几何意义进行加法或减法运算，然后通过建立方程（组）即可求得相关参数的值. 对点训练 1. 在四边形中，若，且，则四边形为（ ） A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 梯形 2. 在等腰梯形中，，点是线段的中点，若，则  ， 考点三 向量共线定理的应用 例6 设，是两个不共线的向量，已知，，. （1） 求证：，，三点共线； （2） 若，且，求实数的值. 解题技法 ［注意］ 证明三点共线时，需说明共线的两个向量有公共点. 对点训练 1. 已知向量与不共线，,，则与共线的条件是（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示，在中，点是边的中点，过点的直线分别交,所在直线于不同的两点,,若,，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 课后达标⇄分级演练 A 基础达标 1. 在正六边形中，（ ） A. B. C. D. 2. （人教A版必修第二册P16例8改编）已知,是两个不共线的向量，向量,共线，则实数,满足的关系式为（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 若,都是非零向量，,则与的方向相反 D. 若,,都是非零向量，,则 4. 已知点为的外接圆的圆心，且，则的内角为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，点在边上，且,点在边上，且,则用向量,表示为（ ） A. B. C. D. 6. 已知在中，点为的中点，，，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 7. （多选）已知,则下列结论正确的是（ ） A. ,,,四点共线 B. ,,三点共线 C. D. 8. （多选）设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则点是边的中点 B. 若，则点在边的延长线上 C. 若，则点是的重心 D. 若，且,则的面积是面积的 9. 若，，则  . 10. [2024· 鄂东示范高中联考]已知向量,不共线，且向量与的方向相反，则实数 11. 若点是所在平面内的一点，且满足,则的形状为 12. 若点是所在平面内一点，且满足,则与的面积之比为 B 综合运用 13. 已知,,是平面上不共线的三点，是的重心，动点满足,则点一定为（ ） A. 边中线的中点 B. 边中线的三等分点（非重心） C. 的重心 D. 边的中点 14. 我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若,,,则（ ） A. B. C. D. 15. 已知向量,,,, ，是线段上依次从到排列的等分点，若,则1, 16. 在直角梯形中， ， ，，，点在线段上，若，则 的取值范围是 学科网（北京）股份有限公司 $$