精品解析：重庆市荣昌中学校2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

重庆市荣昌中学高2027届高一（下）第一次月考试卷 数学 时间：120分钟 分值：150分 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 下列说法正确的是（ ） A. 单位向量均相等 B. 单位向量 C. 零向量与任意向量平行 D. 若向量，满足，则 【答案】C 【解析】 【分析】对于A：由方向不一定相同否定结论；对于B：单位向量.否定结论； 对于C：零向量与任意向量平行.即可判断；对于D：，的方向可以是任意的. 否定结论. 【详解】对于A：单位向量模相等，但是方向不一定相同.故A错误； 对于B：单位向量.故B错误； 对于C：零向量与任意向量平行.正确； 对于D：若向量，满足，但是，的方向可以是任意的. 故选：C 2. 已知向量，若向量与向量共线，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的坐标求出向量与向量的坐标，结合共线的坐标表示可求的值. 【详解】因为，所以， 因为向量与向量共线，所以，即. 故选：A. 3. 已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断即可. 【详解】由已知可得：. A：因为，所以本选项不符合题意； B：因为，所以本选项不符合题意； C：因为，所以本选项不符合题意； D：因为，所以本选项符合题意. 故选：D. 【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义和运算性质，考查了两平面向量数量积为零则这两个平面向量互相垂直这一性质，考查了数学运算能力. 4. 已知的边BC上有一点D，且满足，则（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，结合平面向量的线性运算法则，化简计算可得出的表达式. 【详解】由，得 ， 故选：C. 5. 若的三个内角满足，则（ ） A. 一定是锐角三角形 B. 一定是直角三角形 C. 一定是钝角三角形 D. 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】由，得出，可得出角为最大角，并利用余弦定理计算出，根据该余弦值的正负判断出该三角形的形状. 【详解】由，可得出， 设，则，，则角为最大角， 由余弦定理得，则角为钝角， 因此，为钝角三角形，故选C. 【点睛】本题考查利用余弦定理判断三角形的形状，只需得出最大角的属性即可，但需结合大边对大角定理进行判断，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 6. 在圆O中弦AB的长度为8，则=（ ） A. 8 B. 16 C. 24 D. 32 【答案】D 【解析】 【分析】根据垂径定理以及平面向量数量积的定义即可求出． 【详解】． 故选：D 7. 在中，，，分别是角，，的对边，的面积为，，，则的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形面积为，得到，利用余弦定理得到，最后根据正弦定理求. 【详解】由，得， 因为，，所以. 由余弦定理得，解得， 所以. 故选：C. 8. 在中，在上，且，在上，且．若，则（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量的基本定理和平面向量的线性运算求得正确答案. 【详解】 因为， 所以，则． 因为，所以，则． 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. 已知，若，则 D. 与夹角的余弦值为 【答案】BC 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标表示可判断A错误，利用模长的坐标公式可得B正确，再由向量平行的坐标表示可判断C正确，利用夹角的坐标公式计算可知D错误. 【详解】对于A，易知，所以不垂直，即A错误； 对于B，，可得，可得B正确； 对于C，由且可得，解得，即C正确； 对于D，设与的夹角为，所以，可得D错误. 故选：BC 10. （多选）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则B的值为（    ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据已知条件结合余弦定理可得，为三角形内角有，即可求B的值. 详解】根据余弦定理可知，代入， 可得，即，因为， 所以或. 故选：BD. 11. 设的内角的对边分别是，若，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的外接圆的面积是 C. 的面积的最大值是 D. 的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A项，由正弦定理边化角及和角公式求解即可；对于B项，由正弦定理及圆的面积公式求解即可； 对于C项，由余弦定理及重要不等式可求得的最大值，结合三角形面积公式求解即可； 对于D项，由正弦定理边化角可得，求此函数的值域即可. 【详解】对于A项，因为， 所以， 所以， 又因为，所以， 又因为，所以，故A项错误． 对于B项，设的外接圆的半径为，由正弦定理可得， 则的外接圆的面积是，故B项正确． 对于C项，由余弦定理可得，即①． 因为②，当且仅当时，等号成立， 所以由①②得，当且仅当时，等号成立， 所以的面积，则C项正确． 对于D项，由正弦定理可得，则，， 所以 又因为，所以，所以， 所以，即的取值范围是，故D项正确． 故选：BCD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，，则最短边的边长等于________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件确定最小角，再利用正弦定理计算作答. 【详解】在中，，则，因此，角B是最小角，边b是最短边， 由正弦定理得：，又，即， 所以最短边的边长等于. 故答案为： 13. 已知，则方向上的单位向量的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据单位向量的定义直接可得解. 【详解】由已知， 则， 则方向上的单位向量为， 故答案为：. 14. 在平行四边形ABCD中, AD = 1, , E为CD的中点. 若, 则AB的长为_____. 【答案】 【解析】 【详解】设AB的长为，因为，，所以 ==+1+=1， 解得，所以AB的长为. 【考点定位】本小题主要考查平面向量的数量积等基础知识，熟练平面向量的基础知识是解答好本类题目的关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，分别是角所对的边，且满足． （1）求角的大小； （2）设向量，向量，且，判断的形状． 【答案】（1）； （2）直角三角形. 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求解即可； （2）由，可得，即有，，即可得结论. 【小问1详解】 解：因为， 所以， 因为， 所以； 【小问2详解】 解：因为，，且， 所以， 所以， 所以或（舍）， 当时，， 所以为直角三角形． 16. 若向量，满足：，，，求： （1）与的夹角的余弦值； （2）的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据数量积的运算律求出，再根据夹角公式即可得解； （2）将平方开根号结合数量积的运算律即可得解. 【小问1详解】 由，得，所以， 则， 即与的夹角的余弦值为； 【小问2详解】 . 17. 在中，角，，所对的边分别为，，，若，，________，求边上的高．在①，②；③．这三个条件中任选一个，补充在上面的空中后作答． 【答案】答案见解析 【解析】 【分析】利用正弦定理或者余弦定理求出，结合三角形的性质可得答案. 【详解】选择①，在中，由正弦定理得， 即，解得； 由余弦定理得， 即， 化简得，解得或（舍去）； 所以边上的高为． 选择②，在中，由正弦定理得， 又因为，所以，即； 由余弦定理得， 即， 化简得，解得或（舍去）； 所以边上的高为． 选择③，在中，由，得； 由余弦定理得， 即， 化简得，解得或（舍去）； 所以边上的高为． 18. 在中，角，，所对的边分别是，，，且． （1）求角的大小； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角，结合正弦二倍角公式即可求解； （2）由余弦定理及面积公式即可求解； 【小问1详解】 由，结合正弦定理边化角可得： , 又， 所以，又， 所以 【小问2详解】 由（1）知，，又，， 所以根据余弦定理得，， 即， 即解得或． 当时，； 当时，． 所以的面积为或． 19. 个有次序的实数所组成的有序数组称为一个维向量，其中称为该向量的第个分量．特别地，对一个维向量，若，称为维信号向量．设，则和的内积定义为，且． （1）直接写出4个两两垂直的4维信号向量． （2）证明：不存在14个两两垂直的14维信号向量． （3）已知个两两垂直的2024维信号向量满足它们的前个分量都是相同的，求证：． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合两两垂直的定义，即可求解； （2）根据题意，不妨设，得到有7个分量为，设的前7个分量中有个，得到7个分量中有个，进而求得的值，即可求解； （3）任取，得到，设的第个分量之和为，结合，列出不等式，即可求解. 【小问1详解】 解：根据题意，结合维向量的定义， 则两两垂直的4维信号向量可以为：． 【小问2详解】 解：假设存在14个两两垂直的14维信号向量， 因为将这14个向量的某个分量同时变号或将某两个位置的分量同时互换位置，任意两个向量的内积不变， 所以，不妨设， 因为，所以有7个分量为， 设的前7个分量中有个，则后7个分量中有个， 所以，可得，矛盾， 所以不存在14个两两垂直的14维信号向量． 【小问3详解】 解：任取，计算内积，将所有这些内积求和得到， 则， 设的第个分量之和为， 则从每个分量的角度考虑，每个分量为的贡献为 所以， 令所以，所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重庆市荣昌中学高2027届高一（下）第一次月考试卷 数学 时间：120分钟 分值：150分 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 下列说法正确的是（ ） A 单位向量均相等 B. 单位向量 C 零向量与任意向量平行 D. 若向量，满足，则 2. 已知向量，若向量与向量共线，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（ ） A B. C. D. 4. 已知的边BC上有一点D，且满足，则（ ） A. B. C. D. 5. 若的三个内角满足，则（ ） A. 一定是锐角三角形 B. 一定是直角三角形 C. 一定是钝角三角形 D. 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 6. 在圆O中弦AB的长度为8，则=（ ） A. 8 B. 16 C. 24 D. 32 7. 在中，，，分别是角，，的对边，的面积为，，，则的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 8. 在中，在上，且，在上，且．若，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. 已知，若，则 D. 与夹角的余弦值为 10. （多选）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则B的值为（    ） A. B. C. D. 11. 设的内角的对边分别是，若，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的外接圆的面积是 C. 的面积的最大值是 D. 的取值范围是 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，，则最短边边长等于________． 13. 已知，则方向上的单位向量的坐标为__________． 14. 在平行四边形ABCD中, AD = 1, , E为CD中点. 若, 则AB的长为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，分别是角所对的边，且满足． （1）求角的大小； （2）设向量，向量，且，判断的形状． 16. 若向量，满足：，，，求： （1）与的夹角的余弦值； （2）的值． 17. 在中，角，，所对的边分别为，，，若，，________，求边上的高．在①，②；③．这三个条件中任选一个，补充在上面的空中后作答． 18. 在中，角，，所对的边分别是，，，且． （1）求角的大小； （2）若，，求的面积． 19. 个有次序的实数所组成的有序数组称为一个维向量，其中称为该向量的第个分量．特别地，对一个维向量，若，称为维信号向量．设，则和的内积定义为，且． （1）直接写出4个两两垂直的4维信号向量． （2）证明：不存在14个两两垂直的14维信号向量． （3）已知个两两垂直的2024维信号向量满足它们的前个分量都是相同的，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$