精品解析：2025届湖南省长沙市岳麓实验中学高三一模数学试题

2025届高三一模 数学 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出集合，再由交集运算求解可得. 【详解】因为集合， ， 所以， 即. 故选：A 2. 终边上一点坐标为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得，利用两角和与差的余弦公式求解值，判断选项. 【详解】由终边上一点坐标为，则， 则. 故选：D. 3. 已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围，再由可得答案. 【详解】∵在上单调递增，∴，∴， 所以， ∵，， ∴，，∴. 故选：B. 4. 若复数，则虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数除法运算法则计算，然后求虚部即可. 【详解】， 所以的虚部为. 故选：D. 5. 若直线与圆交于、两点，则的取值不可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出图形，利用勾股定理求出的取值范围，即可得解. 【详解】圆圆心为，半径为， 直线的方程可化为， 联立，解得，即直线过定点，且直线不表示直线， 显然当直线过圆心时，取最大值， 当直线与垂直时，圆心到的距离取最大值， 此时，取最小值， 因为，则直线的斜率为， 此时，直线的方程为，即，不合乎题意， 因此，的取值范围是. 故选：A. 6. 已知为函数的零点，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由题意确定为方程的根，构造函数，由其单调性即可求解. 【详解】由得，即，即， 因为，所以，所以为方程的根， 令，则，所以上单调递增， 又，所以， 即，即， 故选：B． 7. 红海行动是一部现代化海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事．撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务A必须排在前三位，且任务、必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】D 【解析】 【分析】分任务A排在第1位，第2位，第3位三种情况进行讨论，每种情况中要将E和F用捆绑法当作一个整体，再与剩余任务进行全排列，当A排第2位时，要注意E和F的整体不可放置在第1位上，最后将所有情况用分类加法进行求和即可. 【详解】解：根据题意，由于任务A必须排在前三位，分种情况讨论： 排在第一位， 任务、必须排在一起，则任务、相邻的位置有个，考虑两者的顺序，有种情况， 将剩下的个任务全排列，安排在其他三个位置，有种安排方法， 则此时有种安排方案； 排在第二位， 任务、必须排在一起，则任务、相邻的位置有个，考虑两者的顺序，有种情况， 将剩下的个任务全排列，安排在其他三个位置，有种安排方法， 则此时有种安排方案； 排在第三位， 任务、必须排在一起，则任务、相邻的位置有个，考虑两者的顺序，有种情况， 将剩下的个任务全排列，安排在其他三个位置，有种安排方法， 则此时有种安排方案； 则符合题意要求的安排方案有种； 故选：D． 8. 在不断发展的过程中，我国在兼顾创新创造的同时，也在强调已有资源的重复利用，废弃资源的合理使用，如土地资源的再利用是其中的重要一环.为了积极响应国家号召，某地计划将如图所示的四边形荒地改造为绿化公园，并拟计划修建主干路与.为更好的规划建设，利用无人机对该地区俯视图进行角度勘探，在勘探简化图中，平分，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，则，根据余弦定理及二倍角公式求得，根据的范围即可得解. 【详解】设，则，设，则. 故在中，由余弦定理可得， 而，故，解得， 在直角三角形中，为锐角，故，故. 故选：A. 二、多选题（共18分） 9. 已知是圆上的动点，直线与交于点，则（ ） A. B. 直线与圆相切 C. 直线与圆截得弦长为 D. 的值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据两直线一般式满足的系数关系即可求解A，根据点到直线的距离与半径的关系即可求解B，根据弦长公式即可求解C，根据勾股定理即可求解D. 【详解】直线与， 由于，，故A正确； 圆心到的距离，直线与圆相离，故B错误； 圆心到的距离，弦长，故C正确； 由于，过圆心分别作的垂线，垂足为，如图, 则四边形为矩形，，故D正确． 故选：ACD． 10. 如图，正方体中，为棱的中点，为平面上的动点，设直线与底面所成的角为，直线EP与底面所成的角为，平面与底面的夹角为，平面与底面的夹角为，则（ ） A. 若，则点在圆上 B. 若，则点在双曲线上 C. 若，则点在抛物线上 D. 若，则点在直线上 【答案】AC 【解析】 【分析】根据建系求出轨迹方程可以判断A,根据线面角及二面角定义作图计算判断B,C,应用边长关系判断D. 【详解】对于A选项，如图1，连接PA，PB，由，可知，故， 以点为原点，AB为轴，AD为轴建系，，设，则， 即，故点的轨迹为圆，A正确； 对于B选项，如图2，作于，于，则， 同理作于M，于，则，由可知，， 故为的平分线，点的轨迹为直线，B错误； 对于C选项，如图3，，，由可知，， 根据抛物线的定义可知点的轨迹为抛物线，C正确； 对于D选项，由C选项可知，显然不是直线，D错误. 故选：AC. 11. 已知正方形ABCD在平面直角坐标系xOy中，且AC：，则直线AB的方程可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由正方形的特征可知，直线与直线夹角为，由直线斜率利用两角差的正切公式求出直线的斜率，对照选项即可判断. 【详解】设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 直线斜率为2，有，则. 依题意有或， 当时，，即， 解得，即直线的斜率为-3，C选项中的直线斜率符合； 当时，，即， 解得，即直线的斜率为，B选项中的直线斜率符合. 故选：BC 三、填空题（共15分） 12. 已知数列的前项和为，且.若，则的最小值为__________. 【答案】7 【解析】 【分析】降次作差得，构造数列，求出，则得到，作差构造新数列，再证明其单调性即可得到答案. 【详解】因为， 两式相减得：，即. 两边同除以可得， 又，得，满足， 所以数列是首项为，公差为的等差数列，故， 即，所以， 因为， 令，则， 所以数列单调递增，因为， 所以当时，，即； 当7时，， 即.所以的最小值为7. 故答案为：7. 【点睛】关键点点睛：本题的关键首先是作差得到，然后是构造等差数列，从而得到，最后作差并结合数列的单调性即可. 13. 函数是定义在上的偶函数，且，若，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】推导出函数为周期函数，且为该函数的一个周期，再利用周期性可求得的值. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，且， 则，即， 所以，函数为周期函数，且为该函数的一个周期， 当时，，则. 故答案为：. 14. 如图，现有两排座位，第一排3个座位，第二排5个座位，将8人（含甲、乙、丙）随机安排在这两排座位上，则甲、乙、丙3人的座位互不相邻（相邻包括左右相邻和前后相邻）的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先按3人的座位在第二排的人数进行分类，再根据分类计数原理与古典概型概率公式可得. 【详解】甲、乙、丙3人的座位互不相邻的情况分为三种： 第一种，这3人都在第二排，共有种不同的安排方法； 第二种，这3人中2人在第一排，1人在第二排， 共有种不同的安排方法； 第三种，这3人中1人在第一排，2人在第二排， ①若第一排的这1人安排在中间的位置， 则有种不同的安排方法， ②若第一排的这1人不安排在中间的位置， 则有种不同的安排方法． 故甲、乙、丙3人的座位互不相邻的概率为． 故答案为：. 四、解答题（共77分） 15. 已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足． （1）求角A的大小； （2）若，的角平分线AD与边BC相交于点D，且，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理可得，结合余弦定理可得，可求； （2）由，可得，结合余弦定理可得，可求的面积. 【小问1详解】 ∵，∴由正弦定理可得， ∴， 整理得：， ∴， 由于， 所以； 【小问2详解】 ∵的角平分线AD与边BC相交于点D， ∴，∴， ∴， 在中，由余弦定理可得， ∴，解得或（舍去）． ∴的面积． 16. 在前项和为的等比数列中，，，. （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)根据等比数列的通项公式，由，可以计算得出等比数列的公比或，分别再由得，验证，是否符合，得到，得出数列的通项公式. (2)根据，得出通项公式，错位相减得出. 【小问1详解】 设数列的公比为， 由，得，所以，解得或， 若，则由，得，所以，与矛盾，所以， 若，则由，得，所以，，符合 ，所以，，所以. 故数列的通项公式为： 【小问2详解】 由， 两边乘以2得 ， 两式相减得：， 故数列的前项和. 17. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求a的取值范围. 【答案】（1）答案见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得单调性. （2）分类讨论，根据函数的单调性及函数零点的判断，分别求得函数的零点，即可求得a的取值范围． 【小问1详解】 函数的定义域为R， 求导得， 令，求导得，当时，，当时，， 函数在上递减，在上递增， ，即， ①当时，，恒成立，在R上单调递减； ②当时，由，得，由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，在R上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 由（1）知，当时，在R上单调递减，在R上至多一个零点，不满足条件， 当时，，令， 则， 令，求导得，当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，，即， 于是，函数在R上单调递增，而， 则当时，，当时，，当时，， ①若，则，故恒成立，无零点； ②若，则，仅有一个实根，不满足条件； ③若，则， 注意到，， 于是在上有一个实根，又， 且 ， 令，则，当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增，， 则，又，即，则有， 即，于是在上有一个实根， 又在上单调递减，在上单调递增，因此在R上至多两个实根， 又在及上均至少有一个实根，则在R上恰有两个实根， 所以时，在R上恰有两个实根. 【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤： ①转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题； ②列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式； ③得解，即由列出的式子求出参数的取值范围． 18. 如图，在四棱锥中，，，，，平面． （1）求证：平面； （2）求的长； （3）若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据平面，平面，通过线面垂直的性质定理得到，结合，利用线面垂直的判定定理得到平面. （2）取中点，连接，，在三角形中利用勾股定理求解. （3）以为坐标原点，，为，轴的正方向，以过且与平面垂直向上为轴的正方向建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，利用空间向量夹角余弦公式求解即可. 【小问1详解】 由平面，平面，得， 又，且平面，平面，， 所以平面. 【小问2详解】 取中点，连接，，由，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 由（1）平面得平面， 由平面，所以， 由平面，平面， 得，所以， 又，所以. 【小问3详解】 以为坐标原点，，为，轴的正方向，以过且与平面垂直向上为轴的正方向建立空间直角坐标系． 由，得为正三角形，所以， 又，，，所以，， 设平面的法向量，则，即， 取，得到平面的一个法向量． 又，设直线与平面所成角大小为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 19. 某市统计了2024年4月的空气质量指数（AQI），将其分为，，，的4组，画出频率分布直方图如图所示. 若，称当天空气质量达标；若，称当天空气质量不达标. （1）求； （2）从4月的30天中任取2天，求至少有1天空气质量达标的概率； （3）若2024年6月的30天中有8天空气质量达标，请完成下面2×2列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为空气质量是否达标与月份有关联？ 月份 空气质量 合计 达标 不达标 4月 6月 合计 附：， 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）0.002 （2） （3）不能 【解析】 【分析】（1）由频率和为1求解； （2）由对立事件的概率计算公式求解； （3）先求出列联表，再计算卡方值进行判断即可． 【小问1详解】 依题意得，， 解得． 【小问2详解】 由频率分布直方图知， 4月份的空气质量达标的天数为：， 则4月份的空气质量不达标的天数为：， 则任取2天，至少有1天空气质量达标的概率为：． 【小问3详解】 列联表如下： 月份 空气质量 合计 达标 不达标 4月 12 18 30 6月 8 22 30 合计 20 40 60 零假设：空气质量是否达标与月份无关， 则 所以根据小概率值的独立性检验，没有充分理由推断假设不成立， 故不能认为空气质量是否达标与月份有关联． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届高三一模 数学 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 终边上一点坐标为，则（ ） A B. C. D. 3. 已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 若复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 5. 若直线与圆交于、两点，则的取值不可能为（ ） A. B. C. D. 6. 已知为函数零点，则（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 红海行动是一部现代化海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事．撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务A必须排在前三位，且任务、必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 8. 在不断发展的过程中，我国在兼顾创新创造的同时，也在强调已有资源的重复利用，废弃资源的合理使用，如土地资源的再利用是其中的重要一环.为了积极响应国家号召，某地计划将如图所示的四边形荒地改造为绿化公园，并拟计划修建主干路与.为更好的规划建设，利用无人机对该地区俯视图进行角度勘探，在勘探简化图中，平分，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共18分） 9. 已知是圆上的动点，直线与交于点，则（ ） A. B. 直线与圆相切 C. 直线与圆截得弦长为 D. 的值为 10. 如图，正方体中，为棱的中点，为平面上的动点，设直线与底面所成的角为，直线EP与底面所成的角为，平面与底面的夹角为，平面与底面的夹角为，则（ ） A. 若，则点在圆上 B. 若，则点在双曲线上 C. 若，则点在抛物线上 D. 若，则点在直线上 11. 已知正方形ABCD在平面直角坐标系xOy中，且AC：，则直线AB的方程可能为（ ） A. B. C. D. 三、填空题（共15分） 12. 已知数列的前项和为，且.若，则的最小值为__________. 13. 函数是定义在上的偶函数，且，若，，则_______． 14. 如图，现有两排座位，第一排3个座位，第二排5个座位，将8人（含甲、乙、丙）随机安排在这两排座位上，则甲、乙、丙3人座位互不相邻（相邻包括左右相邻和前后相邻）的概率为__________． 四、解答题（共77分） 15. 已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足． （1）求角A大小； （2）若，的角平分线AD与边BC相交于点D，且，求的面积． 16. 在前项和为的等比数列中，，，. （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 17. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求a的取值范围. 18. 如图，在四棱锥中，，，，，平面． （1）求证：平面； （2）求的长； （3）若，求直线与平面所成角的正弦值． 19. 某市统计了2024年4月的空气质量指数（AQI），将其分为，，，的4组，画出频率分布直方图如图所示. 若，称当天空气质量达标；若，称当天空气质量不达标. （1）求； （2）从4月的30天中任取2天，求至少有1天空气质量达标的概率； （3）若2024年6月的30天中有8天空气质量达标，请完成下面2×2列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为空气质量是否达标与月份有关联？ 月份 空气质量 合计 达标 不达标 4月 6月 合计 附：， 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$