精品解析：2025年辽宁省沈阳市浑南区中考零考试数学试卷

2024—2025学年下学期期初学科调研测试 九年级数学 （试题满分120分 考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生须用0.5mm黑色字迹的签字笔在答题卡规定位置填写自己的姓名、本次测试考号． 2．考生须在答题卡上作答，不能在本试卷上作答，答在本试卷上无效． 3．考试结束，将答题卡交回． 4．本试卷23道小题，共8页．如缺页、印刷不清，考生须声明，否则后果自负． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图，是由7个相同小立方块搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 2. 某种药品的说明书上标明保存温度是，则该药品适合保存的温度范围为（ ） A. B. C. D. 3. 年春节期间，辽宁省文化和旅游厅推出繁荣文化和旅游消费的措施，积极弘扬春节文化，大力促进文旅消费．据测算，春节8天假期，辽宁全省共计接待游客约人次，同比增长．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A B. C. D. 6. 如图，四边形是平行四边形，添加下列条件，能判定这个四边形是矩形的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，菱形的对角线、相交于点，，，为过点的一条直线，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 8. 我国古代数学著作《九章算术》中有“二人持米”问题：“今有甲，乙二人持米不知其数．甲云：“我得乙半，当满五十石．”乙云：“我得甲大半，亦满五十石．”问甲，乙各持米几何？”这里的“大半“指三分之二，设甲有x石，乙有y石，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 9. 甲，乙两人玩如图所示的转盘游戏，游戏规则是：转盘被平均分为3个区域，颜色分别为黑，白，红，转动转盘时，指针指向的颜色即为转出的颜色（如果指针指在两区域的分界线上，则重转一次）．转动两次转盘，其中“一定有黑色”的概率是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，中，顶点A落在y轴上，顶点B，C落在x轴上，其中点C的坐标是，边的中点E的坐标是，则点D的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 方程的解为__________． 12. 如图，在平面直角坐标系中，B，C为抛物线与x轴的交点，以为直角边在x轴上方作等腰直角三角形，且，则的面积是__________． 13. 如图，过正五边形的顶点E作，分别交，的延长线于点M，N，则__________․ 14. 如图，中，，以C为圆心，在CD上截取CF，使得，连接；以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别与，相交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于长为半径作弧，两弧在的内部相交于点H，射线与交于点E，与交于点G，若，，则的面积为__________． 15. 点A为矩形的边延长线上一点，，，点F为边上的动点，连接，过点F作，垂足为G，点H是点A关于点D的对称点，则的最小值为__________． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答题应写出文字说明，演算步骤或推理过程） 16 （1）计算： （2）计算： 17. 为了鼓励居民节约用水，某城市实行阶梯水价制度，规定每月用水量在一定范围内按基础价格收费，超出部分则提高价格收费．已知该城市居民用水基础价格为每吨2.5元，超出部分每吨价格为4元，小亮家上个月用水12吨，共缴纳水费33元． （1）求该城市规定的基础用水量是多少吨？ （2）若小亮家本月水费预算不超过46元，那么他家这个月最多能用多少吨水？ 18. 为了了解九年级学生寒假每周的锻炼情况，某校随机抽取九年级名女生和部分男生，对他们一周锻炼的时间进行了调查，四舍五入处理后制作了不完整（部分数据被覆盖）的统计表和统计图．已知一周锻炼2小时的女生人数占随机抽取学生总数的，一周锻炼4小时的男生和女生人数相等．请根据信息，解答下列问题： 女生一周锻炼时间频数分布表 分组（四舍五入后） 频数（学生人数） 频率 1小时 2 2小时 a 3小时 4 4小时 b （1）求出统计表中a，b值以及随机抽取学生的总人数； （2）求随机抽取的男生一周平均锻炼时间为多少小时？ （3）为了激励学生加强锻炼，学校决定对全年级一周锻炼时间（四舍五入后）达到3小时及3小时以上的学生进行表彰，每人一份奖品，全年级共有名学生，请问学校应准备大约多少份奖品？ 19. 2025年哈尔滨第九届亚冬会吉祥物“滨滨”和“妮妮”以东北虎为原型设计，寓意“哈尔滨欢迎您”，深受市民和游客喜爱．某特许商品零售店推出吉祥物毛绒玩偶，每件进价35元．根据市场调研，若售价定为50元时，每天可售出200件，售价每下降1元，销量增加20件． （1）若商家决定降价销售，设每件降价x元，求每日销量y（件）与x（元）的函数关系式； （2）在（1）条件下，若商家要想获利3080元，且让顾客获得更大实惠，则这种玩偶每件应降价多少元？ 20. 小明准备利用无人机测量建筑物的高度．如图所示，小明先将观测点选在建筑物对面的楼房的楼上一点A，利用无人机先测得建筑物的顶端M的俯角为，又遥控无人机沿与地面保持平行方向由点A飞行米到达点B处，此时测得该建筑物底端N的俯角为，又测得点H的俯角为，已知与均垂直地面，垂足分别为N，H（点A，B，M，N，H在同一平面内）． （1）求的长； （2）求建筑物的高度．（结果精确到1米）（参考数据：，，，，，，，，） 21. 如图所示，A，B，C为上的三点，，延长交于点E，过点B作射线的垂线，垂足为D． （1）求证：为的切线； （2）若半径长为5，，求的长． 22. 如图，矩形中，，，点P是直线上动点，连接，以为边在右侧作等边三角形，其中A，P，N按逆时针排列． （1）当点N落在线段上时，请直接写出的长； （2）当与矩形的边平行时，求的长； （3）将沿翻折，点N的落点为点，点M为的中点，请判断点M到的距离是否发生改变，并证明你的结论． 23. 阅读理解： 如图所示，在平面直角坐标系中，可以将函数通过“坐标特定变化”得到它的“变化函数”，即将函数图像上的各点横坐标不变，纵坐标都乘以m（m为常数，且，）得到函数，或者将函数图像上的各点纵坐标不变，横坐标都乘以n（n为常数，且，）得到函数，则称函数和均为函数的“变化函数”．如：将函数图像上各点的纵坐标都乘以3，横坐标不变，得到函数；或将图像上各点的横坐标都乘以，纵坐标不变，得到函数，我们称函数和均为函数的“变化函数”．类似的，我们也可以对其它函数进行变化．实践应用： （1）求出将图像上各点的纵坐标都乘以4，横坐标不变得到的“变化函数”的表达式； （2）求出将反比例函数图像上各点的横坐标都乘以5，纵坐标不变得到的“变化函数”的表达式； （3）已知函数， ①求出将函数的图像上各点的横坐标都乘以2，纵坐标不变得到的“变化函数”的表达式； ②点A是①中“变化函数”图像上位于x轴下方一个动点，设动点A的横坐标为a，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点D，再作轴于点B，轴于点C．设矩形的周长为y，求y关于a的函数表达式； ③在②的条件下，当直线与函数y的图像相交，且截得的线段长为时，请直接写出t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年下学期期初学科调研测试 九年级数学 （试题满分120分 考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生须用0.5mm黑色字迹的签字笔在答题卡规定位置填写自己的姓名、本次测试考号． 2．考生须在答题卡上作答，不能在本试卷上作答，答在本试卷上无效． 3．考试结束，将答题卡交回． 4．本试卷23道小题，共8页．如缺页、印刷不清，考生须声明，否则后果自负． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图，是由7个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识，掌握以上知识是解题的关键； 根据三视图的知识进行作答，即可求解； 【详解】解：从上往下，每行小正方形的个数分别是3，2，且第二行的2个小正方形靠向左边，因此，该几何体的俯视图是D中的图形. 故选：D. 2. 某种药品的说明书上标明保存温度是，则该药品适合保存的温度范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查的是正数和负数，掌握正负号的意义是解题的关键．依据正负号的意义计算即可． 详解】解：，， ∴该药品适合保存的温度范围为， 故选：D． 3. 年春节期间，辽宁省文化和旅游厅推出繁荣文化和旅游消费的措施，积极弘扬春节文化，大力促进文旅消费．据测算，春节8天假期，辽宁全省共计接待游客约人次，同比增长．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的知识，本题考查用科学记数法表示较大的数．用科学记数法表示数，一定要注意的形式，以及指数的确定方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，掌握以上知识是解题的关键； 本题根据科学记数法的知识进行作答，即可求解； 【详解】解：， 故答案为：D； 4. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的加法，乘法，除法以及幂的乘方的运算．关键在于对加减乘除乘方各种运算的法则的熟练掌握和准确判断及应用． 【详解】A、，此项不正确，不符合题意， B、，此项不正确，不符合题意， C、，此项正确，符合题意， D、，此项不正确，不符合题意， 故选：C． 5. 剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A．既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意； B．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； C．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； D．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； 故选：A． 6. 如图，四边形是平行四边形，添加下列条件，能判定这个四边形是矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由矩形的判定和平行四边形的性质分别对各个选项进行判断即可； 【详解】解：A、四边形是平行四边形， ， ， ， 平行四边形是矩形，故选项A符合题意； B、四边形ABCD是平行四边形，， ，， ， 选项B不能判定这个平行四边形为矩形，故选项B不符合题意； C、四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形，故选项C不符合题意； D、四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形，故选项D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定是解题的关键． 7. 如图，菱形的对角线、相交于点，，，为过点的一条直线，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的性质可证出，可将阴影部分面积转化为的面积，根据菱形的面积公式计算即可． 【详解】解：四边形为菱形， ，，， ， , ∴, ∴, ∴ 故选：． 【点睛】此题考查了菱形的性质，菱形的面积公式，全等三角形的判定，将阴影部分的面积转化为的面积为解题关键． 8. 我国古代数学著作《九章算术》中有“二人持米”问题：“今有甲，乙二人持米不知其数．甲云：“我得乙半，当满五十石．”乙云：“我得甲大半，亦满五十石．”问甲，乙各持米几何？”这里的“大半“指三分之二，设甲有x石，乙有y石，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系； 本题根据二元一次方程组的应用的知识进行作答，即可求解； 【详解】解：设甲有x石，乙有y石， 由题意可得：， 故选：C； 9. 甲，乙两人玩如图所示的转盘游戏，游戏规则是：转盘被平均分为3个区域，颜色分别为黑，白，红，转动转盘时，指针指向的颜色即为转出的颜色（如果指针指在两区域的分界线上，则重转一次）．转动两次转盘，其中“一定有黑色”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查概率的应用，掌握画树状图或列表求概率的方法是解题的关键．通过画树状图或列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解． 【详解】解：画树状图如下： ∴共有9种可能结果，其中“一定有黑色”的有5种， ∴其中“一定有黑色”的概率， 故选：C． 10. 如图，中，顶点A落在y轴上，顶点B，C落在x轴上，其中点C的坐标是，边的中点E的坐标是，则点D的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质、坐标与图形的性质等知识，根据中点坐标公式可求出A、B的坐标，然后根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】解：∵顶点A落在y轴上，顶点B，C落在x轴上， ∴设，， ∵边的中点E的坐标是， ∴，， 解得，， ∴，， ∵点C的坐标是， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，即轴， ∴点D的坐标为， 故选：B． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 方程的解为__________． 【答案】##3.5 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键． 先把化为整数方程，解方程得，经检验是方程 的解，即可得到答案． 【详解】解： ， 解得：， 经检验是方程的解， 故答案为：． 12. 如图，在平面直角坐标系中，B，C为抛物线与x轴的交点，以为直角边在x轴上方作等腰直角三角形，且，则的面积是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数综合，先求出点B和点C的坐标，进而求出的长，再由等腰直角三角形的定义得到的长，据此利用三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：中，当时，或， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，过正五边形的顶点E作，分别交，的延长线于点M，N，则__________․ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的性质、平行线的性质，等腰三角形的性质等知识，利用正多边形性质求出，利用等腰三角形的性质求出，进而求出，利用平行线的性质求出，最后根据三角形的外角的性质求解即可． 【详解】解：∵正五边形的内角度数为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，中，，以C为圆心，在CD上截取CF，使得，连接；以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别与，相交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于长为半径作弧，两弧在的内部相交于点H，射线与交于点E，与交于点G，若，，则的面积为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】过B作于P，连接，由作图知：，根据平行四边形的性质，等角对等边等知识可得出，进而求出，，证明，求出，根据平行线的性质，等边对等角并结合已知可证明，根据勾股定理求出，根据等积法求出，即可求解． 【详解】解：过B作于P，连接， 由作图知：， 中，，，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了尺规作图—作角平分线，平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造相似三角形是解题的关键． 15. 点A为矩形的边延长线上一点，，，点F为边上的动点，连接，过点F作，垂足为G，点H是点A关于点D的对称点，则的最小值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，连接，，过H作于K，证明四边形是平行四边形，得出，则，故当三点共线时，最小，最小值为，证明，根据相似的性质求出，，然后在中，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：连接，，过H作于K， ∵矩形， ∴， 又， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 当三点共线时，最小，最小值为， 在中，，，， ∴， ∵点H是点A关于点D对称点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答题应写出文字说明，演算步骤或推理过程） 16. （1）计算： （2）计算： 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先计算零指数幂、负整数指数幂，化简绝对值、二次根式，再计算加减即可； （2）先计算括号内的异分母分式减法，再计算除法即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 17. 为了鼓励居民节约用水，某城市实行阶梯水价制度，规定每月用水量在一定范围内按基础价格收费，超出部分则提高价格收费．已知该城市居民用水基础价格为每吨2.5元，超出部分每吨价格为4元，小亮家上个月用水12吨，共缴纳水费33元． （1）求该城市规定的基础用水量是多少吨？ （2）若小亮家本月水费预算不超过46元，那么他家这个月最多能用多少吨水？ 【答案】（1）该城市规定的基础用水量是吨 （2）他家这个月最多能用吨水 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程、一元一次不等式的应用，根据题意找准等量关系正确列出方程和不等式是解题的关键． （1）设该城市规定的基础用水量是吨，列方程得，解方程即可得到答案； （2）设他家这个月最多能用吨水，列不等式得，解不等式即可得到答案． 【小问1详解】 解：， 小亮家上个月用水量超过了基础用水量， 设该城市规定的基础用水量是吨， 根据题意列方程得：， 解得：， 答：该城市规定的基础用水量是吨； 【小问2详解】 解：设他家这个月最多能用吨水， 根据题意得：， 解得：， 他家这个月最多能用吨水． 18. 为了了解九年级学生寒假每周的锻炼情况，某校随机抽取九年级名女生和部分男生，对他们一周锻炼的时间进行了调查，四舍五入处理后制作了不完整（部分数据被覆盖）的统计表和统计图．已知一周锻炼2小时的女生人数占随机抽取学生总数的，一周锻炼4小时的男生和女生人数相等．请根据信息，解答下列问题： 女生一周锻炼时间频数分布表 分组（四舍五入后） 频数（学生人数） 频率 1小时 2 2小时 a 3小时 4 4小时 b （1）求出统计表中a，b的值以及随机抽取学生的总人数； （2）求随机抽取的男生一周平均锻炼时间为多少小时？ （3）为了激励学生加强锻炼，学校决定对全年级一周锻炼时间（四舍五入后）达到3小时及3小时以上的学生进行表彰，每人一份奖品，全年级共有名学生，请问学校应准备大约多少份奖品？ 【答案】（1），，随机抽取的学生总人数为人 （2）随机抽取的男生一周平均锻炼时间为小时 （3）应准备约份奖品 【解析】 【分析】本题考查了频数分布表和扇形统计图的知识，掌握以上知识是解题的关键； （1）根据频数分布表和女生总人数为人，即可求解； （2）本题先求男生人数，再求男生锻炼总时长，然后即可求解； （3）本题先求在人的样本中获奖比例，再通过全校总人数即可求解； 【小问1详解】 解：由题可得：表中给出“一周锻炼2小时”的女生频率为，故2小时的女生人数， ∵女生人数合计， ∴， ∵2小时的女生人数占随机抽取学生总数的， ∴随机抽取的学生总人数为人， 综上所述：，，随机抽取的学生总人数为人； 【小问2详解】 解：抽取男生人数为人， 又给出“4 小时的男生人数与女生相等”，即男生4小时组有6人， ∴男生4小时所占比例为：， ∴男生3小时所占比例为：， ∴男生1小时人数为：人， 男生2小时人数为：人， 男生3小时人数为：人， ∴男生扇形图信息：1小时占，2小时占，其余两组（3小时、4小时）各占（因为总和须），故男生“四组”对应人数分别为 3， 15， 6， 6， ∴男生锻炼总时长为，平均锻炼时间为小时， ∴随机抽取的男生一周平均锻炼时间为小时； 【小问3详解】 解：全年级需要准备的奖品份数 样本中“3小时及以上”的人数：女生(3小时4人，4小时6人)共人，男生(3小时6人，4小时6人)共人，合计人， 在人的样本中占比，若全年级有人，则预计有人达标，故应准备约份奖品； 19. 2025年哈尔滨第九届亚冬会吉祥物“滨滨”和“妮妮”以东北虎为原型设计，寓意“哈尔滨欢迎您”，深受市民和游客喜爱．某特许商品零售店推出吉祥物毛绒玩偶，每件进价35元．根据市场调研，若售价定为50元时，每天可售出200件，售价每下降1元，销量增加20件． （1）若商家决定降价销售，设每件降价x元，求每日销量y（件）与x（元）的函数关系式； （2）在（1）条件下，若商家要想获利3080元，且让顾客获得更大实惠，则这种玩偶每件应降价多少元？ 【答案】（1） （2）这种玩偶每件应降价元 【解析】 【分析】本题考查了求一次函数解析式，一元二次方程的应用，根据题意列一元二次方程是解题的关键． （1）根据题意列函数解析式即可； （2）设这种玩偶每件应降价元，根据题意列方程得，解得或，为了让顾客获得更大实惠，则这种玩偶每件应降价元． 【小问1详解】 解：根据题意：每件降价x元， 每日销量y（件）与x（元）的函数关系式为； 【小问2详解】 解：设这种玩偶每件应降价元， 根据题意列方程得， 解得：或， 为了让顾客获得更大实惠， 这种玩偶每件应降价元． 20. 小明准备利用无人机测量建筑物的高度．如图所示，小明先将观测点选在建筑物对面的楼房的楼上一点A，利用无人机先测得建筑物的顶端M的俯角为，又遥控无人机沿与地面保持平行方向由点A飞行米到达点B处，此时测得该建筑物底端N的俯角为，又测得点H的俯角为，已知与均垂直地面，垂足分别为N，H（点A，B，M，N，H在同一平面内）． （1）求的长； （2）求建筑物的高度．（结果精确到1米）（参考数据：，，，，，，，，） 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形和三角函数的知识，掌握以上知识是解题的关键； （1）本题根据，然后即可求解； （2）本题根据，求得，即，再根据，即可求解； 【小问1详解】 解：由题得，， ∴在中，， ∵，，， ∴， 解得：， 故的长为米； 【小问2详解】 解：延长和相交于点，如图： ， 由题得：，四边形为矩形， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴建筑物的高度为米； 21. 如图所示，A，B，C为上的三点，，延长交于点E，过点B作射线的垂线，垂足为D． （1）求证：为的切线； （2）若半径长为5，，求的长． 【答案】（1）证明过程见详解； （2） 【解析】 【分析】本题主要涉及圆的相关性质：同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角以及解直角三角形、勾股定理的应用． （1）连接、．证明 得，由，得,进而证明，即可得，从而证明为的切线； （2）连接，由是的直径，得，进而得 ，利用勾股定理求解的长． 【小问1详解】 证明：连接、． ，，， ． ． 又， ． ， ， , ， ， ，即， 又是的半径， 为的切线． 【小问2详解】 解：连接，如图， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 半径长为5， ， ， ， ， ． 22. 如图，矩形中，，，点P是直线上动点，连接，以为边在右侧作等边三角形，其中A，P，N按逆时针排列． （1）当点N落在线段上时，请直接写出的长； （2）当与矩形的边平行时，求的长； （3）将沿翻折，点N的落点为点，点M为的中点，请判断点M到的距离是否发生改变，并证明你的结论． 【答案】（1） （2）8或 （3）不改变，证明见解析 【解析】 【分析】（1）本题先证明，得到，然后，即可求解； （2）分两种情况：①当与矩形的边平行时，根据平行证明为等边三角形，即可求解；②当与矩形的边平行时，证明垂直平分，即可求解． （3）在上的取点Q，；证明，当点P在直线上运动时，点M在直线上运动，根据平行线间的距离处处相等，可得出结论． 【小问1详解】 解：当点N落在线段上时，如图， ∵四边形为矩形，，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：分两种情况：①当与矩形的边平行时，如图， ∵， ∴， 由（1）得：，，， ∴， ∴， ∴为等边三角形； ∴； ②当与矩形的边平行时，如图， ∵为等边三角形， ∴，， ∵矩形， ∴， ∵， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∵，，由（1）知：， ∴， ∴， ∴． 综上，的长为8或． 【小问3详解】 解：中点 到 的距离不变， 证明：如图，在上的点Q，，当，由（2）知边 的中点与点Q重合， ∵是等边三角形， ∴ 由翻折可知：， ∴四边形是菱形， ∴ ∵点M为的中点，点Q为的中点， ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∴当点P在直线上运动时，点M在直线上运动，如图， 根据平行线间的距离处处相等， ∴中点 到 的距离不变． 【点睛】本题考查了矩形性质、等边三角形性质、勾股定理和翻折对称的性质，菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，平行线间的距离，掌握以上知识是解题的关键． 23. 阅读理解： 如图所示，在平面直角坐标系中，可以将函数通过“坐标特定变化”得到它的“变化函数”，即将函数图像上的各点横坐标不变，纵坐标都乘以m（m为常数，且，）得到函数，或者将函数图像上的各点纵坐标不变，横坐标都乘以n（n为常数，且，）得到函数，则称函数和均为函数的“变化函数”．如：将函数图像上各点的纵坐标都乘以3，横坐标不变，得到函数；或将图像上各点的横坐标都乘以，纵坐标不变，得到函数，我们称函数和均为函数的“变化函数”．类似的，我们也可以对其它函数进行变化．实践应用： （1）求出将图像上各点纵坐标都乘以4，横坐标不变得到的“变化函数”的表达式； （2）求出将反比例函数图像上各点的横坐标都乘以5，纵坐标不变得到的“变化函数”的表达式； （3）已知函数， ①求出将函数的图像上各点的横坐标都乘以2，纵坐标不变得到的“变化函数”的表达式； ②点A是①中“变化函数”图像上位于x轴下方的一个动点，设动点A的横坐标为a，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点D，再作轴于点B，轴于点C．设矩形的周长为y，求y关于a的函数表达式； ③在②的条件下，当直线与函数y的图像相交，且截得的线段长为时，请直接写出t的值． 【答案】（1） （2） （3）①；②；③或 【解析】 【分析】（1）根据定义解答即可； （2）根据定义解答即可； （3）①根据定义解答即可； ②根据题意可知其对称轴轴为直线，由题意可知，，，进而得，，分两种情况讨论：当点在对称轴左侧时， 当点在对称轴右侧时，结合矩形的面积即可求解； ③根据题意可知函数的图像关于直线对称，作出草图，分两种情况：当直线在下方时，当直线在上方时，分别讨论求解即可． 【小问1详解】 解：设图像上任意点的坐标为， 将图像上各点的纵坐标都乘以4，横坐标不变， 则任意点的坐标变为，则， ∴得到的“变化函数”的表达式为； 【小问2详解】 设图像上任意点的坐标为， 将反比例函数图像上各点的横坐标都乘以5，纵坐标不变， 则任意点的坐标变为，则，即：， ∴得到的“变化函数”的表达式为：， 【小问3详解】 ①设图像上任意点的坐标为， 将函数的图像上各点的横坐标都乘以2，纵坐标不变， 则任意点的坐标变为， 则， ∴得到的“变化函数”的表达式为； ②∵， ∴其对称轴轴为直线， 由题意可知，，，而，且， ∴，， 当点在对称轴左侧时，， 在矩形中，， ∴矩形的周长为， 即：； 当点在对称轴右侧时，， 在矩形中，， ∴矩形的周长为， 即：； 综上：； ③对于函数，即： ∵， ∴函数的图像关于直线对称， 当时，，即；当时，，即；当时，，即； 当直线在下方时，交函数的图像于，，则， 由对称可知，， 此时，； 当直线在上方时，交函数的图像段于，，则，， 交函数的图像段于，，由对称可知，即此情况满足截得的线段长为， 由对称可知，， ∴， 此时，； 综上，或． 【点睛】本题主要考查了函数的新定义，反比例函数，二次函数的图像与性质，二次函数与几何图形，理解新定义函数及其相关概念，利用分型结合的数学思想，对问题进行分类讨论，是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$