5.2 课时3 角平分线的性质 课件 2024—2025学年北师大版数学七年级下册

第五章 图形的轴对称 5.2 课时3 角平分线的性质 22201 1.掌握角的平分线有关性质. 2. 能运用角的平分线性质解决简单的几何问题. 3. 会用尺规作角的平分线. 学习目标 22201 牧羊人想建一个羊圈 A 地，使羊圈 A 到草地 m 和河流 l 的距离相同. 牧羊人应该把羊圈 A 地建在哪个位置? 草地 m 河流 l 羊圈 A 牧羊人应该把羊圈建在什么位置呢？通过这节课的学习来解决这个问题吧！ 新课引入 22201 如果把∠AOB沿OC翻折， 使得AO与BO重合， 发现OC平分∠AOB， 即∠AOC =∠BOC. O B A C 结论：角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴. 新知学习 22201 如图，OP是∠AOB的平分线，点C是OP上的任意一点.在∠AOB中画出以 OP所在直线为对称轴的一组对应点 D和D'，连接 CD和 CD'. (1)你认为线段 CD 和 CD'之间有什么关系?说说你的理由. A O B C P D D' CD = CD' 理由一： 用刻度尺测量CD，CD'，得到两条线段的长度相等. 尝试·思考 22201 A O B C P D D' 理由二： 连接DD'； 因为OP是∠AOB的平分线，点 D和D'关于OP对称， 所以线段DD'被直线OP垂直平分. 又因为点C是OP上的任意一点， 所以CD = CD' 22201 (2)特别地，当CD⊥OA时，CD'与 OB有怎样的位置关系?为什么?此时，线段 CD 和 CD'之间还有(1)中的关系吗?由此你能得到什么结论? A O B C P D D' 当CD⊥OA时，CD'⊥ OB； CD = CD' 结论：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 你能尝试说明一下吗？ 22201 角平分线的性质： 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 所以PD = PE PD⊥OA，PE⊥OB， 数学语言： 因为OP 是∠AOB的平分线， A O B C P D E 22201 A B C D E F 理由如下： 因为 AD 是∠BAC 的角平分线， DE⊥AB，DF⊥AC， 所以 DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°. 在△BDE 和 △CDF中， 所以△BDE ≌ △CDF(AAS). 所以EB=FC. ∠B= ∠C ， DE=DF ， ∠DEB=∠DFC ， 例1 已知：如图，在△ABC 中，AD 是它的角平分线，且∠B=∠C，DE⊥AB，DF⊥AC. 垂足分别为E，F. 试说明：EB=FC. 22201 如图，已知∠AOB，如何作出它的平分线？ A O B 假设∠AOB的平分线已作出，那么， (1)这条射线有什么特征? 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. (2)如何确定这条射线上的除端点之外的一个点? 用三角尺、量角器、圆规等工具试一试. 如果只用尺规呢? 与同伴进行交流. 温馨提示：需要确定的点是角的对称轴上的点，因此应当从角两边进行“对称”的操作. 思考·交流 22201 B O A 用尺规作角平分线. 例2 利用尺规，作∠AOB的平分线(如图). 已知：∠AOB. 求作：射线OC，使∠AOC＝∠BOC. 作法：1.在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD＝OE. 你能说说这样作的道理吗？ 练一练 2.分别以D，E为圆心、以大于 DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C. 3.作射线OC，OC就是∠AOB的平分线(如图). D E C 22201 B O A D E C 在△OCD 和△OCE 中 OD=OE CD=CE OC=OC 所以△OCD ≌ △OCE (SSS)； 所以∠AOC=∠BOC. 原理说明 22201 上面提到，牧羊人想新建一个羊圈A地，使从羊圈A地出发，让羊群在草地m吃草的时间和让羊群去河流l饮水的时间相同.牧羊人应该把羊圈A地建在哪个位置，可使两个路程所用时间相同? m草地 l河流 A羊圈 O B 即牧羊人应该把羊圈A地建在∠DOE的角平分线OB上的任意一点，便可使两个路程所用时间相同. 因为角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. D E 22201 过直线上一点作已知直线的垂线与作一个平角的平分线，这两种尺规作图方法有什么共同点? 与同伴进行交流. 都涉及到了一个对称轴的概念. 在作垂线的情况下，利用的是直线的对称性；而在作平角的平分线时，利用的是角的对称性. 思考·交流 22201 1. 如图，在纸上画有∠AOB，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点P在∠AOB的平分线上，则( ) A. d1与d₂一定相等 B. d₁与d₂一定不相等 C. l₁与l₂一定相等 D. l₁与l₂一定不相等 A 随堂练习 22201 2. 如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B. 下列结论中不一定成立的是( ) A O B P D A.PA=PB B.PO平分∠APB C.OA=OB D.AB垂直平分OP 22201 3.小颖想要制作一个如图①所示的风筝，她抽象出风筝外形如图②所示，中间骨架(OC)是两边骨架(OA和OB)构成的夹角(锐角)的平分线，且 OC两侧彩色条纹DE⊥OA，DF⊥OB，已知OE＝30 cm，DF＝25 cm，若小颖打算给阴影部分涂上颜色，则涂色部分的面积为 cm2. 750 22201 4. (2024湖南)如图，在锐角三角形ABC中，AD是边BC上的高，在BA，BC上分别截取线段BE，BF，使BE=BF；分别以点E，F为圆心，大于 EF的长为半径画弧，在∠ABC内，两弧交于点P，作射线BP，交AD于点M，过点M作MN⊥AB于点N. 若MN=2，AD=4MD，则AM= . 6 E F 22201 5. 先任意画一个角，然后将它四等分. 作法：画出已知角∠AOB . 1.作∠AOB 的平分线OC. 2.分别作∠AOC和∠BOC的平分线OD、OE， 即将∠AOB四等分 . O B A C E D 22201 角的对称性 及角平分线 性质 尺规作 角平分线 (2)分别以点D，E为圆心，以大于 DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C； (3)作射线OC. OC就是∠AOB的平分线. (1)在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD＝OE； 2.角平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 1.角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴． 课堂小结 22201 $$