精品解析：江西省抚州市市区联动第一次月考2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题

2024-2025年度九年级下学期第一次月考数学试卷 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 由6个完全相同的小正方体组成的几何体如图所示，则从上面看得到的平面图形是（　　） A. B. C. D. 2. 将抛物线向右平移4个单位长度后，再向上平移5个单位长度，所得到的抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 以正方形ABCD两条对角线的交点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，双曲线经过点D，则正方形ABCD的面积是（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 4. 如图，平面直角坐标系中，已知矩形，为原点，点、分别在轴、轴上，点的坐标为，连接，将沿直线翻折，点落在点的位置，则 的值是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，是的直径，点，在上，，交于点．若．则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，抛物线（）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且对称轴为直线，点A的坐标为，则下面的结论中：①；②；③；④当时，或，其中正确的结论个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 7. 有4张背面相同，正面分别印有的卡片，现将这4张卡片背面朝上，从中随机抽取1张，恰好抽到正面印有整数的卡片的概率为 _____． 8. 如图，小华在地面上放置一个平面镜E来测量铁塔AB的高度，镜子与铁塔的距离EB=20米，镜子与小华的距离ED=2米时，小华刚好从镜子中看到铁塔顶端点A，已知小华的眼睛距地面的高度CD=1.5米，则铁塔AB的高度是____米； 9. 若二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是___________． 10. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D都在格点上，点在的延长线上，以点A为圆心，为半径画弧，交的延长线于点，且弧经过点，则扇形的面积为______． 11. 我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点、、、分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为，为半圆的直径，则这个“果圆”被轴截得的弦的长为___________． 12. 如图，在中，，E为边上一点，以为直径的半圆O与相切于点D，连接，．P是边上的动点，当为等腰三角形时，的长为_____________． 三、解答题：本题共5小题，每小题6分，共30分． 13. （1）计算：； （2）解方程： 14. 如图，菱形ABCD中，∠B=60°，延长BC至E，使．取CD的中点F，连接EF，请利用无刻度的直尺按下列要求作图（保留画图痕迹）． （1）在图1中作出△CEF中CF边上的中线； （2）在图2中作出BC的中点． 15. 若抛物线经过点与点 （1）求，的值； （2）若把此抛物线向下平移4个单位长度，求此时抛物线的顶点坐标． 16. 如图，四边形内接于，为的直径，． （1）试判断的形状，并给出证明； （2）若，，求的长度． 17. 如图，在四边形中，，，对角线、交于点O，平分，过点C作交延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 四、解答题：本题共3小题，每小题8分，共24分． 18. 如图，已知抛物线y=+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）， （1）求m的值及抛物线的顶点坐标． （2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标． 19. 如图1是一种建筑行业用的小型吊机实物图，图2，图3是吊机的示意图，支架AB＝150cm，吊杆AM＝200cm，∠ACB＝90°，∠BAC＝37° （1）如图2，若AM⊥AB，求点M到地平面BC的距离； （2）如图3，当液压杆DE伸长时，此时点M比（1）中的点M到地平面BC的距离升高了21cm，求∠MAB的度数．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，sin45°≈0.7） 20. 如图，分别位于反比例函数y＝，y＝ 在第一象限图象上的两点A、B，与原点O在同一直线上，且． （1）求反比例函数y＝的表达式； （2）过点A作x轴的平行线交y＝的图象于点C，连接BC，求△ABC的面积． 五、解答题：本题2小题，每小题9分，共18分． 21. 在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购买一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构，根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量（个）与销售单价（元/个）之间的关系式为，许愿瓶的进价为6元/个 （1）按照上述市场调查的销售规律，求销售利润（元）与销售单价（元/个）之间的函数关系式，为了让顾客得到实惠，售价定为多少时可获利1200元？ （2）若许愿瓶的进价成本不超过900元，要想获得最大利润，试确定此时的销售单价，并求出此时的最大利润 22. 如图，、是的切线，、是切点，是的直径，连接，交于点，交于点． （1）求证：； （2）若恰好是的中点，且四边形的面积是，求阴影部分的面积； （3）若，且，求切线的长． 六、解答题：本题共1小题，共12分． 23. 如图，抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)的对称轴为直线x=-1，抛物线交x轴与点A、C两点，与直线y=x-1交于A、B两点，直线AB与抛物线的对称轴交于点E （1）求抛物线的解析式； （2）点P在直线AB上方的抛物线上运动，若△ABP的面积最大，求此时点P的坐标 （3）在平面直角坐标系中，以点B、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件点D的坐标 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025年度九年级下学期第一次月考数学试卷 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 由6个完全相同的小正方体组成的几何体如图所示，则从上面看得到的平面图形是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查从不同方向观察几何体，从上面看，可以看到三行，中间一行有3个小正方形，上面一行最右侧有1个小正方形，下面一行最左侧有1个小正方形． 【详解】解：从上面看得到的平面图形为： ， 故选B． 2. 将抛物线向右平移4个单位长度后，再向上平移5个单位长度，所得到的抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出原抛物线顶点坐标，再根据平移得出新抛物线顶点坐标即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为，将抛物线向右平移4个单位长度后，再向上平移5个单位长度，顶点也如此平移，其顶点坐标为， 故选：B． 【点睛】本题考查了抛物线的平移，解题关键是熟练运用抛物线平移规律，确定顶点坐标． 3. 以正方形ABCD两条对角线的交点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，双曲线经过点D，则正方形ABCD的面积是（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵双曲线y=经过点D， ∴正方形的面积=3×4=12． 故选∶C 【点睛】本题考查反比例函数的比例系数的几何意义． 4. 如图，平面直角坐标系中，已知矩形，为原点，点、分别在轴、轴上，点的坐标为，连接，将沿直线翻折，点落在点的位置，则 的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据翻折不变性及勾股定理求出、的长，再根据相似三角形的性质，求出的长，的长即可解决问题； 【详解】解：作轴于，轴于，交于． 在与中， ， ， ， 设， 则， 于是在中，； 解得． ； 轴，轴， ， ， ， ， ； 又， ． ． 故选：D． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、矩形与折叠的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型． 5. 如图，是的直径，点，在上，，交于点．若．则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据圆周角定理得到∠，再根据等弧所对的弦相等，得到，∠，最后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，得到∠CAD=，∠BAG=，即可求解． 【详解】解：∵是的直径 ∴∠ ∵ ∴ ∴∠ ∵ ∴∠ ∴∠ ∴∠ 故选：B． 【点睛】此题主要考查圆周角定理和弧、弦及圆周角之间的关系，熟练掌握圆周角定理和三者之间的关系是解题关键． 6. 如图，抛物线（）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且对称轴为直线，点A的坐标为，则下面的结论中：①；②；③；④当时，或，其中正确的结论个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质．熟练掌握二次函数图像的开口方向，对称轴，与y轴交点，与x轴交点，对称性增减性，是解答本题的关键． 根据抛物线开口向下，得，对称轴是直线， 得，与y轴的交点在x轴上方，得 ，得，即可判断①；根据，得，即可判断②；当时，，即可判断③；根据点关于对称轴直线对称的点为，得当时，或，即可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴是直线， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴， ∴， 故①正确，符合题意； ∵， ∴， ∴， 故②不正确，不符合题意； ∵当时，， 即， 故③正确，符合题意； ∵点与点B关于对称轴直线对称， ∴， ∴当时，或， 故④正确，符合题意． 所以正确的有①③④共3个． 故选：B． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 7. 有4张背面相同，正面分别印有的卡片，现将这4张卡片背面朝上，从中随机抽取1张，恰好抽到正面印有整数的卡片的概率为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】直接由概率公式求解即可． 【详解】解：一共有4张卡片，其中整数有2个，故从中随机抽取1张，恰好抽到正面印有整数的卡片的概率为． 故答案为：． 【点睛】此题考查的是概率公式．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 8. 如图，小华在地面上放置一个平面镜E来测量铁塔AB的高度，镜子与铁塔的距离EB=20米，镜子与小华的距离ED=2米时，小华刚好从镜子中看到铁塔顶端点A，已知小华的眼睛距地面的高度CD=1.5米，则铁塔AB的高度是____米； 【答案】15 【解析】 【分析】因为入射光线和反射光线与镜面夹角相等,所以△CDE∽△ABE再根据相似三角形的对应边成比例解答即可. 【详解】结合光的反射原理得：∠CED=∠AEB. 在Rt△CED和Rt△AEB中， ∵∠CDE=∠ABE=90∘，∠CED=∠AEB， ∴Rt△CED∽Rt△AEB， ∴= 即= 解得AB=15(m). 故答案为15 【点睛】此题考查了相似三角形对应边成比例,解题关键是将实际问题转化为数学问题,本题只要把实际问题抽象到相似三角形中,利用相似比列出方程即可求出. 9. 若二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是___________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据题意可得关于x的一元二次方程有实数根，据此利用判别式和一元二次方程的定义进行求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴有交点， ∴关于x的一元二次方程有实数根， ∴， ∴且， 故答案为：且． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，熟知二次函数与x轴有交点即对应的一元二次方程有实数根是解题的关键． 10. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D都在格点上，点在的延长线上，以点A为圆心，为半径画弧，交的延长线于点，且弧经过点，则扇形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据勾股定理求出，求出，再根据扇形面积公式求出答案即可． 【详解】解：如图，连接，由题意可知，，， 则， 扇形的面积． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的性质和扇形的面积计算等知识点，掌握扇形的面积计算公式是解题的关键．注意：一个扇形所对的圆心角是，半径为，那么这个扇形的面积是． 11. 我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点、、、分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为，为半圆的直径，则这个“果圆”被轴截得的弦的长为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，，由抛物线的解析式可求出，，的坐标，进而求出，，的长，在直角三角形中，利用相似三角形的判定和性质可求出的长，进而可求出的长． 本题是二次函数综合题，主要考查了抛物线与坐标轴的交点问题、解一元二次方程、圆周角定理、相似三角形的判定和性质，读懂题目信息，理解“果圆”的定义是解题的关键． 【详解】解：连接，， 抛物线的解析式为， 点的坐标为， 的长为， 设，则， 解得：或， ， ，， 为半圆的直径， ， ， ∴， ∴， ∴， ， ， ， 故答案为：． 12. 如图，在中，，E为边上一点，以为直径的半圆O与相切于点D，连接，．P是边上的动点，当为等腰三角形时，的长为_____________． 【答案】或 【解析】 【分析】连接，勾股定理求出半径，平行线分线段成比例，求出的长，勾股定理求出和的长，分和两种情况进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵以为直径的半圆O与相切于点D， ∴，， ∴ 设，则， 在中：，即：， 解得：， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵为等腰三角形， 当时，， 当时， ∵， ∴点与点重合， ∴， 不存在的情况； 综上：的长为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查切线的性质，平行线分线段成比例，勾股定理，等腰三角形的定义．熟练掌握切线的性质，等腰三角形的定义，确定点的位置，是解题的关键． 三、解答题：本题共5小题，每小题6分，共30分． 13. （1）计算：； （2）解方程： 【答案】（1）；（2），； 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的混合运算，解一元二次方程，熟记特殊角的三角函数值，掌握一元二次方程的解法是解题关键． （1）先将特殊角的三角函数值代入，再计算乘方和乘法，最后计算加减法即可； （2）利用配方法解方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）． ． ． 即． ． ，； 14. 如图，菱形ABCD中，∠B=60°，延长BC至E，使．取CD的中点F，连接EF，请利用无刻度的直尺按下列要求作图（保留画图痕迹）． （1）在图1中作出△CEF中CF边上的中线； （2）在图2中作出BC的中点． 【答案】（1） 如图，EG即为所求； （2） 如图，点H即为所求； 【解析】 【分析】（1）连接AC和BD交于点O，连接OE交CD于点G，EG即为所求； （2）连接AC和BD交于点O，连接FO并延长交AB于点M，连接MC交BD于点N，连接AN并延长，交BC于点H，点H即为所求. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了作图-复杂作图，解题的关键是掌握菱形的性质，灵活运用所学知识解决问题. 15. 若抛物线经过点与点 （1）求，的值； （2）若把此抛物线向下平移4个单位长度，求此时抛物线的顶点坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数解析式，二次函数的平移，二次函数的性质，掌握相关知识点是解题关键． （1）将点与点代入计算求值即可； （2）由（1）可知，抛物线的解析式为，再求出平移后解析式，即可得到顶点坐标． 【小问1详解】 解：将点与点代入， 得 ； 【小问2详解】 解：由（1）可知，抛物线的解析式为， 则向下平移4个单位长度后得， 此时抛物线的顶点坐标为． 16. 如图，四边形内接于，为的直径，． （1）试判断的形状，并给出证明； （2）若，，求的长度． 【答案】（1）△ABC是等腰直角三角形； 证明：∵AC是圆的直径，则∠ABC=∠ADC=90°， ∵∠ADB=∠CDB，∠ADB=∠ACB，∠CDB=∠CAB， ∴∠ACB=∠CAB， ∴△ABC是等腰直角三角形； （2）； 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理可得∠ABC=90°，由∠ADB=∠CDB根据等弧对等角可得∠ACB=∠CAB，即可证明； （2）Rt△ABC中由勾股定理可得AC，Rt△ADC中由勾股定理求得CD即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵△ABC是等腰直角三角形， ∴BC=AB=， ∴AC=， Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=1，则CD=， ∴CD=． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识；掌握等弧对等角是解题关键． 17. 如图，在四边形中，，，对角线、交于点O，平分，过点C作交延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：， ， 平分， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形； （2）四边形ABCD的面积为 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定，角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，掌握菱形的面积公式是解题的关键． （1）先证，则四边形是平行四边形，再由，即可得出结论； （2）由菱形的性质可得，，，，，由直角三角形的性质和勾股定理可求，的长，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是菱形，， ，，，，， ，， ， ， ， （负值舍去）， ， 菱形的面积． 四、解答题：本题共3小题，每小题8分，共24分． 18. 如图，已知抛物线y=+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）， （1）求m的值及抛物线的顶点坐标． （2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标． 【答案】(1)m=2,顶点为(1,4)；(2)（1,2）. 【解析】 【分析】（1）首先把点B的坐标为（3，0）代入抛物线y=+mx+3，利用待定系数法即可求得m的值，继而求得抛物线的顶点坐标； （2）首先连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时PA+PC的值最小，然后利用待定系数法求得直线BC的解析式，继而求得答案． 【详解】解：（1）把点B的坐标为（3，0）代入抛物线y=+mx+3得：0=+3m+3， 解得：m=2， ∴y=+2x+3=， ∴顶点坐标为：（1，4）． （2）连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时PA+PC的值最小， 设直线BC的解析式为：y=kx+b， ∵点C（0，3），点B（3，0）， ∴，解得：， ∴直线BC的解析式为：y=﹣x+3， 当x=1时，y=﹣1+3=2， ∴当PA+PC的值最小时，点P的坐标为：（1，2）． 【点睛】 19. 如图1是一种建筑行业用的小型吊机实物图，图2，图3是吊机的示意图，支架AB＝150cm，吊杆AM＝200cm，∠ACB＝90°，∠BAC＝37° （1）如图2，若AM⊥AB，求点M到地平面BC的距离； （2）如图3，当液压杆DE伸长时，此时点M比（1）中的点M到地平面BC的距离升高了21cm，求∠MAB的度数．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，sin45°≈0.7） 【答案】（1）点M到地平面BC的距离约为240cm； （2）∠MAB＝98° 【解析】 【分析】（1）要求点M到直线BC的距离，所以过点M作MF⊥BC，垂足为F，再过点A作AG⊥MF，垂足为G，这样把MF分成MG与GF的和，利用已知易求∠MAG＝37°，然后放在Rt△AMG中即可解答； （2）根据点M比（1）中的点M到直线BC的距离升高了21cm，想到过点M作MP⊥BC，垂足为P，再过点A作AN⊥MP，垂足为N，然后放在Rt△AMN中即可解答． 【小问1详解】 解：过A作ANBC，过M点作MN⊥AN交AN于点N， ∴∠ANM＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴ ∠MAN＋∠BAN＝90°， ∠BAC＋∠BAN＝90°， ∴∠MAN＝∠BAC， 在Rt△ABC中， AC＝AB·cos37°≈150×0.8＝120， 在Rt△ANM中， MN＝AM·sin37°≈200×0.6＝120， 点M到地平面BC的距离约为240cm； 【小问2详解】 过A作AFBC，过M点作MF⊥AF于点F， MF＝120＋21＝141， 在Rt△AMF中， sin∠MAF＝＝≈0.7， ∴∠MAF≈45°， ∴∠MAB＝∠MAF＋∠BAF＝98°． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 20. 如图，分别位于反比例函数y＝，y＝ 在第一象限图象上的两点A、B，与原点O在同一直线上，且． （1）求反比例函数y＝的表达式； （2）过点A作x轴的平行线交y＝的图象于点C，连接BC，求△ABC的面积． 【答案】（1）；（2）8． 【解析】 【详解】试题分析：（1）作AE、BF分别垂直于x轴，垂足为E、F，根据△AOE∽△BOF，则设A的横坐标是m，则可利用m表示出A和B的坐标，利用待定系数法求得k的值； （2）根据AC∥x轴，则可利用m表示出C的坐标，利用三角形的面积公式求解． 试题解析： (1)作AE，BF分别垂直于x轴，垂足为E，F， ∴AE∥BF，∴△AOE∽△BOF， ∴＝＝＝. 由点A在函数y＝的图象上， 设A的坐标是， ∴＝＝，＝＝， ∴OF＝3m，BF＝， 即B的坐标是. 又点B在y＝的图象上， ∴＝，解得k＝9， 则反比例函数y＝的表达式是y＝. (2)由(1)可知A，B， 又已知过A作x轴的平行线交y＝的图象于点C， ∴C的纵坐标是. 把y＝代入y＝得x＝9m， ∴C的坐标是， ∴AC＝9m－m＝8m. ∴S△ABC＝×8m×＝8. 五、解答题：本题2小题，每小题9分，共18分． 21. 在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购买一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构，根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量（个）与销售单价（元/个）之间的关系式为，许愿瓶的进价为6元/个 （1）按照上述市场调查的销售规律，求销售利润（元）与销售单价（元/个）之间的函数关系式，为了让顾客得到实惠，售价定为多少时可获利1200元？ （2）若许愿瓶的进价成本不超过900元，要想获得最大利润，试确定此时的销售单价，并求出此时的最大利润 【答案】（1）售价定为元/个 （2）单价为元/个时，最大利润为元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数在销售问题中的应用，一元一次不等式的应用等； （1）找出等量关系式：销售利润单个许愿瓶销售利润销售量，据此列出函数关系式，当时，解对应的一元二次方程，即可求解； （2）由进价成本不超过900元求出的取值范围，将化为顶点式，利用二次函数的性质求最值，即可求解； 找出等量关系式，会利用二次函数性质求最值是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得 ， 当时， ， 整理得：， 解得：，， 让顾客得到实惠， 舍去， 故为了让顾客得到实惠，售价定为元/个时可获利1200元； 【小问2详解】 解：由题意得， 解得：， ， 当时，随着的增大而减小， 当时，取得最大值为， （元）， 故此时的销售单价为元/个时，最大利润为元． 22. 如图，、是的切线，、是切点，是的直径，连接，交于点，交于点． （1）求证：； （2）若恰好是的中点，且四边形的面积是，求阴影部分的面积； （3）若，且，求切线的长． 【答案】 （1）证明：∵是的切线 ∴，即 ∴ ∵AC是的直径 ∴∠ABC=90° ∴ ∴ （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）证明∠POB=∠CBO，根据“内错角相等，两直线平行”即可证明结论； （2）证明△AOD是等边三角形得∠AOD=60°，设OA=R，求出AE=，AB=，PO=2R，根据四边形的面积是求出R，再利用求解即可； （3）利用设出BC=m，则AC=3m，分别求出，DE=m，在Rt△AED中运用勾股定理列方程，求出m的值，再证明∠APO=∠BAC，利用求出PA的长． 【详解】解：（1）略 （2）∵E是OD的中点，且AB⊥OD， ∴AO=AD， 又AO=OD ∴△AOD是等边三角形 ∴∠AOD=60° ∵PA是的切线，OA是的半径， ∴∠OAP=90° ∴∠APO=30° ∴PO=2AO 在中，∠AOE=60° ∴∠OAE=30° 设OA=R，则 ∴ ∴ ∵四边形的面积是， ∴，即 解得，（负值舍去） ∴ ∵ ∴ ∴ （3）∵ ∴ 故设BC=m，则AC=3m， ∴ ∵OE//BC ∴ 在Rt△AEO中， 在Rt△AED中， ∴ ∴ (负值舍去) ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题考查的是切线的判定和性质、扇形面积的计算、勾股定理以及解直角三角形等知识，灵活运用切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径和切线的判定是解题的关键． 六、解答题：本题共1小题，共12分． 23. 如图，抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)的对称轴为直线x=-1，抛物线交x轴与点A、C两点，与直线y=x-1交于A、B两点，直线AB与抛物线的对称轴交于点E （1）求抛物线的解析式； （2）点P在直线AB上方的抛物线上运动，若△ABP的面积最大，求此时点P的坐标 （3）在平面直角坐标系中，以点B、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件点D的坐标 【答案】（1）y=-x2-2x+3；（2）点P的坐标是（，）；D1（0，3），D2（-6，-3），D3（-2，-7）． 【解析】 【分析】（1）令y=0，求出点A的坐标，根据抛物线的对称轴是x=-1，求出点C的坐标，再根据待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）设点P（m，-m2-2m+3），利用抛物线与直线相交，求出点B的坐标，过点P作PM∥y轴交直线AB于点M，利用S△ABP=S△PBM+S△PMA，用含m的式子表示出△ABP的面积，利用二次函数的最大值，即可求得点P的坐标； （3）求出点E的坐标，然后求出直线BC、直线BE、直线CE的解析式，再根据以点B、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形，得到直线D1D2、直线D1D3、直线D2D3的解析式，即可求出交点坐标． 【详解】（1）令y=0，可得：x-1=0，解得：x=1， ∴点A（1，0）， ∵抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)的对称轴为直线x=-1， ∴-1×2-1=-3，即点C（-3，0）， ∴，解得：， ∴抛物线的解析式：y=-x2-2x+3； （2）∵点P在直线AB上方的抛物线上运动， ∴设点P（m，- m 2-2m+3）， ∵抛物线与直线y=x-1交于点A，B两点， ∴，解得: ， ∴点B（-4，-5）， 如图，过点 P作PM∥y轴交直线AB于点M， ∴PM=- m 2-2m+3-m+1=- m 2-3m+4， ∴S△ABP=S△PBM+S△PMA=(- m 2-3m+4)(m+4)+ (- m 2-3m+4)(1-m) =， ∴当m=时，△ABP的面积最大，此时，点P的坐标是（，）； （3）当x=-1时，y=-1-1=-2， ∴E（-1，-2）， 如图，直线BC的解析式为y=5x+15，直线BE的解析式为y=x-1，直线CE的解析式为y=-x-3， ∵以点B、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形， ∴直线D1D3的解析式为y=5x+3，直线D1D2的解析式为y=x+3，直线D2D3的解析式为y=-x-9， 联立，得D1（0，3）， 同理得D2（-6，-3），D3（-2，-7）， 综上所述：符合条件点D的坐标为D1（0，3），D2（-6，-3），D3（-2，-7）． 【点睛】本题主要考查二次函数的图像和性质，一次函数的图像和性质，平行四边形的性质，熟练掌握待定系数法，分类讨论思想，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $